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【重难点讲义】浙教版数学七年级下册-第08讲 乘法公式的应用专题探究
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这是一份【重难点讲义】浙教版数学七年级下册-第08讲 乘法公式的应用专题探究，文件包含第08讲乘法公式的应用专题探究原卷版docx、第08讲乘法公式的应用专题探究解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。
第8讲 乘法公式的应用专题探究
类型一 利用乘法公式求面积：
【类题训练】
1．如图，将一个长为2m，宽为2n的长方形沿图中虚线裁剪成四个相同的小长方形，并将这四个小长方形拼成一个大正方形．观察拼图，下列等量关系成立的是（ ）
A．（m+n）2＝（m﹣n）2+mn B．（m+n）2＝（m﹣n）2+2mn
C．（m+n）2＝（m﹣n）2+3mn D．（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn
【分析】用含有m、n的代数式表示图形中各个部分的面积，再根据面积之间的和差关系可得答案．
【解答】解：由题意可知，每一个小长方形的长为m，宽为n，因此面积为mn，
大正方形的边长为m+n，因此面积为（m+n）2，
小正方形的边长为m﹣n，因此面积为（m﹣n）2，
由面积之间的关系可得，（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn，
故选：D．
2．分别观察下列四组图形，在每个图形的下方，都有一个由这个图形可以验证出的代数公式，其中图形与公式之间的对应关系表达相符的有（ ）
A．一组 B．两组 C．三组 D．四组
【分析】用代数式表示每个图形的面积以及各个部分的面积和，再进行判断即可．
【解答】解：图1，整体长方形的长为a+b+c，宽为d，因此面积为（a+b+c）d，
整体长方形由三个长方形构成的，这三个长方形的面积和为ad、bd、cd，
所以有：（a+b+c）d＝ad+bd+cd，
因此图1符合题意；
图2，整体长方形的长为a+b，宽为c+d，因此面积为（a+b）（c+d），
整体长方形由四个长方形构成的，这四个长方形的面积和为ac+ad+bc+bd，
所以有：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd，
因此图2符合题意；
图3，整体正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，
整体正方形由四个部分构成的，这四个部分的面积和为a2+2ab+b2，
所以有：（a+b）2＝a2+2ab+b2，
因此图3符合题意；
图4，整体正方形的边长为a，因此面积为a2，
整体正方形由四个部分构成的，其中较大的正方形的边长为a﹣b，因此面积为（a﹣b）2，较小正方形的边长为b，因此面积为b2，
另外两个长方形的长为（a﹣b），宽为b，则面积为（a﹣b）×b×2＝2ab﹣2b2，
所以有a2＝（a﹣b）2+b2+2ab﹣2b2，
即（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
因此图4符合题意；
综上所述，四组均符合题意；
故选：D．
3．数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成新的图形．现给出下列3种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是 ．（请填上正确的序号）
【分析】针对每一种拼法，利用代数式表示拼接前、后的面积，适当化简或变形可得答案．
【解答】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），
故可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；
在图②中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边阴影部分面积＝（a+b）•（a﹣b），
可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；
在图③中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，右边阴影部分面积＝2a•2b＝4ab，
可得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝2a•2b，不可以验证平方差公式．
故答案为：①②．
4．如图，长方形ABCD的周长是12厘米，以、AB、BC为边向外作正方形ABGH和正方形BCEF，如果正方形ABGH和正方形BCEF的面积之和为18平方厘米，那么长方形ABCD的面积是（ ）
A．6平方厘米 B．8平方厘米 C．9平方厘米 D．10平方厘米
【分析】由完全平方公式，求出AB⋅AD的值，即可解决问题．
【解答】解：∵正方形ABGH和ADGH的面积之和为18，
∴AB2+AD2＝18，
∵长方形ABCD的周长是12，
∴，
∴（AB+AD）2＝36，
∴AB2+AD2+2AB⋅AD＝36，
∴AB⋅AD＝9，
∴长方形ABCD的面积是9（平方厘米）．
故选：C．
5．如图，以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，若四个正方形的周长之和为40，面积之和为28，则长方形ABCD的面积为（ ）
A． B．11 C．22 D．43
【分析】设AB＝a，BC＝b，由四个正方形的周长之和为40，面积之和为28，根据完全平方公式得出2ab＝11，求解即可．
【解答】解：设AB＝a，BC＝b，由四个正方形的周长之和为40，面积之和为28可得，
4a×2+4b×2＝40，2a2+2b2＝28，
即a+b①，a2+b2＝14②，
由①得，a2+2ab+b2＝25③，
③﹣②得2ab＝11，
所以，
即长方形ABCD的面积为，
故选：A．
6．如图，点B是线段CG上一点，以BC，BE为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，设CG＝6，两个正方形的面积之和S1+S2＝16，则阴影部分△BCE的面积为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【分析】由完全平方公式，求出BC与BE的积，即可求解．
【解答】解：设BC＝a，BE＝b，
∵四边形BEFG是正方形，
∴BE＝BG＝b，
∵两正方形的面积和S1+S2＝16，
∴a2+b2＝16，
∵a+b＝6，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝36，
∴ab＝10，
∴S阴＝ab＝5，
故选：B．
7．如图，两个正方形边长分别为a，b，已知a+b＝7，ab＝9，则阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．1 1 C．12 D．13
【分析】根据题意可得，阴影部分的面积等于边长为a的正方形面积减去边长为a的等腰直角三角形面积，再减去边长为a﹣b和b的直角三角形面积，即可得（a²﹣ab+b²），根据完全平方公式的变式应用可得[（a+b）²﹣3ab]，代入计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
S阴＝a²﹣﹣
＝（a²﹣ab+b²）
＝[（a+b）²﹣3ab]，
把a+b＝7，ab＝9代入上式，
则S阴＝×（72﹣3×9）＝11．
故选：B．
8．如图①，现有边长为b和a+b的正方形纸片各一张，长和宽分别为b，a的长方形纸片一张，其中a＜b．把纸片Ⅰ，Ⅲ按图②所示的方式放入纸片Ⅱ内，已知图②中阴影部分的面积满足S1＝6S2，则a，b满足的关系式为（ ）
A．3b＝4a B．2b＝3a C．3b＝5a D．b＝2a
【分析】用含a，b的代数式表示出S1，S2，即可得出答案．
【解答】解：由题意得，，，
∵S1＝6S2，
∴2ab＝6（ab﹣a2），
2ab＝6ab﹣6a2，
∵a≠0，
∴b＝3b﹣3a，
∴2b＝3a，
故选：B．
9．冬季奥运主题活动中，西雅中学某班设计如图1的“红色徽章”，其设计原理是：如图2，在边长为a的正方形EFGH四周分别放置四个边长为b的小正方形，构造了一个大正方形ABCD，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作S1，每一个边长为b的小正方形面积记作S2，若S1＝6S2，则的值是 ．
【分析】利用正方形ABCD的面积减去空白部分的面积求出阴影部分的面积S1，结合S1＝6S2，求出a与b的比值．
【解答】解：∵S1＝（a+2b）2﹣b2﹣a（a+2b）﹣b2﹣（a+b）2
＝2ab+b2，
S2＝b2，S1＝6S2，
∴2ab+b2＝6b2，
∴．
故答案为：．
10．（1）用等号或“＞”、“＜”填空，探究规律并解决问题：比较a2+b2与2ab的大小．
①当a＝3，b＝3时，a2+b2 ＝ 2ab；
②当a＝2，时，a2+b2 ＞ 2ab；
③当a＝﹣2，b＝3时，a2+b2 ＞ 2ab．
（2）通过上面的填空，猜想a2+b2与2ab的大小关系，并证明你的猜想；
（3）如图，直线l上从左至右任取A、B、G三点，以AB，BG为边，在线段AG的两侧分别作正方形ABCD，BEFG，连接CG．设两个正方形的面积分别为S1，S2．若△BCG的面积为2保持不变，请直接写出S1+S2的最小值．
【分析】（1）代入计算得出答案；
（2）根据（1）的结果，得出结论；
（3）由题意可知ab＝2，S1+S2＝a2+b2，而a2+b2≥2ab，进而得出答案．
【解答】解：（1）①把a＝3，b＝3代入，a2+b2＝9+9＝18，2ab＝2×3×3＝18，所以a2+b2＝2ab；
②把a＝2，b＝代入，a2+b2＝4+＝，2ab＝2×2×＝2，所以a2+b2＞2ab；
③把a＝﹣2，b＝3代入，a2+b2＝4+9＝13，2ab＝2×（﹣2）×3＝﹣12，所以a2+b2＞2ab；
故答案为：＝，＞，＞：
（2）由（1）可得，a2+b2≥2ab，理由如下：
∵（a﹣b）2≥0，即a2﹣2ab+b2≥0，
∴a2+b2≥2ab；
（3）由题意可知S1＝a2，S2＝b2，
∵△BCG的面积为2，即ab＝2，
∴ab＝4，
∵S1+S2＝a2+b2≥2ab，
∴S1+S2＝a2+b2≥8，
因此S1+S2的最小值为8．
11．【阅读理解】
若x满足（32﹣x）（x﹣12）＝100，求（32﹣x）2+（x﹣12）2的值．
解：设32﹣x＝a，x﹣12＝b，则（32﹣x）（x﹣12）＝a•b＝100，a+b＝（32﹣x）+（x﹣12）＝20，（32﹣x）2+（x﹣12）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×100＝200，
我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想．
【解决问题】
（1）若x满足（100﹣x）（x﹣95）＝5，则（100﹣x）2+（x﹣95）2＝ 15 ；
（2）若x满足（2023﹣x）2+（x﹣2000）2＝229，求（2023﹣x）（x﹣2000）的值；
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝24cm，点E，F是边BC，CD上的点，EC＝12cm，且BE＝DF＝x，分别以FC，CB为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CBMN，若长方形CBQF的面积为320cm2，求图中阴影部分的面积和．
【分析】（1）根据阅读材料的方法，设100﹣x＝a，x﹣95＝b，则ab＝5，而a+b＝5，根据a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，即可求解；
（2）设2023﹣x＝a，x﹣2000＝b，则a2+b2＝229，而a+b＝23，最后根据完全平方公式，即可求解；
（3）设CF＝a，BC＝b，根据长方形CBQF的面积为320cm2，列方程同理可得结论．
【解答】解：（1）根据阅读材料的方法，设100﹣x＝a，x﹣95＝b，
则ab＝5，
而a+b＝5，
∴（100﹣x）2+（x﹣95）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×5＝15；
故答案为：15；
（2）设2023﹣x＝a，x﹣2000＝b，则a2+b2＝229，
而a+b＝23，
∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝232﹣229＝529﹣229＝300，
∴ab＝150，
即（2022﹣x）（x﹣2000）＝150；
（3）由题意得：CF＝CD﹣DF＝24﹣x，BC＝CE+BE＝x+12，
设CF＝a，BC＝b，
∴a+b＝24﹣x+x+12＝36，
∵长方形CBQF的面积为320cm2，
∴（24﹣x）（8+x）＝ab＝320，
∴图中阴影部分的面积和＝（24﹣x）2+（x+8）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝362﹣2×320＝656（cm2）．
12．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填写到题中横线上）；
方法1 （a+b）2 ；方法2 a2+2ab+b2 ；
（2）观察图2，请你直接写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系 （a+b）2＝a2+2ab+b2 ；
（3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；
（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝6，a2+b2＝14，求ab的值；
②已知（x﹣2018）2+（x﹣2020）2＝34，求（x﹣2019）2的值．
【分析】（1）用两种方法表示图中的面积即可；
（2）由（1）可得两个代数式相等即可；
（3）根据（a+b）（a+2b）可知拼成的长方形的长为（a+2b），宽为（a+b），画出图形即可；
（4）①将公式变形为2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）即可；
②设a＝x﹣2018，b＝x﹣2020，得到a﹣b＝2，a2+b2＝34，进而可得＝x﹣2019，将（x﹣2019）2变形为（）2＝，再代入计算即可．
【解答】解：（1）图2是边长为（a+b）的正方形，因此面积为（a+b）2，
图2可以看作4个部分的面积和，即为a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2，a2+2ab+b2；
（2）由（1）的两种方法计算图形的面积可得，（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（3）如图，可以验证：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；
（4）①∵a+b＝6，a2+b2＝14，
∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝36﹣14＝22，
即ab＝11，
②设a＝x﹣2018，b＝x﹣2020，则a﹣b＝2，a2+b2＝34，＝x﹣2019，
∴2ab＝（a2+b2）﹣（a﹣b）2＝34﹣4＝30，
∴（x﹣2019）2＝（）2＝＝＝16，
答：（x﹣2019）2的值为16．
13．两个边长分别为a和b的正方形（a＞b）如图放置（图1，2，3），若阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3．
（1）用含a，b的代数式分别表示S1，S2，S3；
（2）若S1＝1，S3＝3，求S2的值；
（3）若对于任意的正数a、b，都有S1+mS3＝kS2（m，k为常数），求m，k的值．
【分析】（1）图1中，直接求出阴影的边长，都是a﹣b；图2中，两个正方形的面积与两个白色三角形的面积的和的差；图3中，阴影部分是直角三角形，直接用直角边长的乘积除以2．
（2）把S1＝1，和S3＝3代入（1）中，便可解出ab＝6，a2+b2＝13值，整体代入S2＝a2﹣ab+b2＝（a2+b2）﹣ab＝﹣3＝；
（3）把（1）中的三个等式代入S1+mS3＝kS2，经过整理，有点巧，再由待定系数法解得．
【解答】解：（1）图1中，阴影的边长都是a﹣b，所以S1＝（a﹣b）2；
图2中，阴影面积S2＝（a2+b2）﹣[a2+（a+b）b]＝a2﹣ab+b2；
图3中，S3＝ab．
（2）当S1＝1，S3＝3时，
，
解得ab＝6，a2+b2＝13，代入S2，得，
S2＝a2﹣ab+b2＝（a2+b2）﹣ab＝﹣3＝，
（3）因为S1＝（a﹣b）2；S2＝a2﹣ab+b2；S3＝ab．
对于任意的正数a、b，都有S1+mS3＝kS2（m，k为常数），
则（a﹣b）2+m（ab ）＝k（ a2﹣ab+b2 ），
整理得：2（a²+b²）+ab（m﹣4）＝（a²+b²）k+ab（﹣k），
由于m，k为常数，故由待定系数法得：
k＝2，m﹣4＝﹣k，解得m＝2，k＝2．
类型二 乘法公式的直接运用：
1.平方差公式：
2.完全平方公式：
【类题训练】
1．已知，ab＝4，则（a+b）2的取值为（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
【分析】根据完全平方公式（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab求解即可．
【解答】解：∵，ab＝4，
∴（a+b）2
＝（a﹣b）2+4ab
＝2+16
＝18，
故选：A．
2．已知（m﹣n）2＝9，mn＝4，则m2+n2的值是 17 ．
【分析】通过配方法将m2+n2变形，即可求解．
【解答】解：m2+n2﹣2mn+2mn＝（m﹣n）2+2mn，
∵（m﹣n）2＝9，mn＝4，
∴m2+n2﹣2mn+2mn＝（m﹣n）2+2mn＝9+2×4＝17，
故答案为：17．
3．我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用下图的三角形解释了（a+b）n展开式的系数规律．杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，5，6）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如：此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的各项的系数，…．
下列说法：
①（a+b）5展开式各项系数之和为32；
②（a+b）15展开式各项中，系数最大的项是第八项和第九项；
③（x+1）2023展开式中含x2022的项的系数是2022．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据（a+b）n展开式的系数规律进行判断即可．
【解答】
解：由（a+b）n展开式的系数规律可知，（a+b）5展开式的系数依次为1，5，10，10，5，1，因此各项系数的和为32，所以①正确；
由（a+b）n展开式的系数规律可知，（a+b）15展开式各项中，系数最大的项是第八项和第九项，因此②正确；
（x+1）2023展开式中含x2022的项，即展开式中的第2项，由（a+b）n展开式的系数规律可知，第2项的系数是2023．因此③不正确；
综上所述，正确的有①②，共2个，
故选：C．
4．a、b为实数，整式a2+b2﹣4a+6b的最小值是（ ）
A．﹣13 B．﹣4 C．﹣9 D．﹣5
【分析】利用完全平方公式对式子进行整理，再分析即可．
【解答】解：a2+b2﹣4a+6b
＝（a2﹣4a+4）+（b2+6b+9）﹣13
＝（a﹣2）2+（b+3）2﹣13，
∵（a﹣2）2≥0，（b+3）2≥0，
∴（a﹣2）2+（b+3）2﹣13的最小值为﹣13，
即a2+b2﹣4a+6b的最小值为﹣13．
故选：A．
5．计算：
（1）（x+y）（x2﹣xy+y2）；
（2）（3x﹣5）2﹣（2x+3）2．
【分析】（1）根据多项式乘多项式的运算法则解答即可．
（2）根据完全平方公式解答即可．
【解答】解：（1）（x+y）（x2﹣xy+y2）
＝x3﹣x2y+xy2+yx2﹣xy2+y3
＝x3+（﹣x2y+x2y）+（xy2﹣xy2）+y3
＝x3+y3；
（2）（3x﹣5）2﹣（2x+3）2
＝9x2﹣30x+25﹣（4x2+12x+9）
＝9x2﹣30x+25﹣4x2﹣12x﹣9
＝5x2﹣42x+16．
6．计算：（x﹣2y+3）（x+2y﹣3）．
【分析】原式利用平方差公式，及完全平方公式化简即可得到结果．
【解答】解：原式＝x2﹣（2y﹣3）2
＝x2﹣（4y2﹣12y+9）
＝x2﹣4y2+12y﹣9．
7．计算：（x﹣2）2﹣3（1﹣x）（x+1）．
【分析】先计算完全平方公式和平方差公式，再合并同类项．
【解答】解：原式＝x2﹣4x+4﹣3（1﹣x2）
＝4x2﹣4x+1．
8．先化简，再求值：（2x﹣3）2﹣（x+2y）（x﹣2y）﹣4y2，其中，．
【分析】根据完全平方公式、平方差公式以及整式的加减运算法则进行化简，然后将x与y的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝4x2﹣12x+9﹣（x2﹣4y2）﹣4y2
＝4x2﹣12x+9﹣x2+4y2﹣4y2
＝4x2﹣x2﹣12x+4y2﹣4y2+9
＝3x2﹣12x+9．
当，时，
原式＝．
9．先化简，再求值：
[（x+2y）（x﹣2y）+4（x﹣y）2]÷（﹣x），其中|x+2|+（y﹣1）2＝0；
【分析】根据平方差公式和完全平方公式将括号内的式子展开，然后合并同类项，再算多项式除以单项式，由|x+2|+（y﹣1）2＝0，可以得到x、y的值，最后代入化简后的式子计算即可；
【解答】解：[（x+2y）（x﹣2y）+4（x﹣y）2]÷（﹣x）
＝（x2﹣4y2+4x2﹣8xy+4y2）÷（﹣x）
＝（5x2﹣8xy）÷（﹣x）
＝﹣5x+8y，
∵|x+2|+（y﹣1）2＝0，
∴x+2＝0，y﹣1＝0，
解得x＝﹣2，y＝1，
当x＝﹣2，y＝1时，原式＝﹣5×（﹣2）+8×1＝18；
类型三 运用乘法公式进行简便计算：
【类1．将10.52变形正确的是（ ）
A．10.52＝102+0.52 B．10.52＝（10+0.5）（10﹣0.5）
C．10.52＝102+2×10×0.5+0.52 D．10.52＝102+10×0.5+0.52
【分析】将10.52变形为（10+0.5）2，即可运用完全平方公式简便计算．
【解答】解：10.52
＝（10+0.5）2
＝102+2×10×0.5+0.52．
故选：C．
2．计算的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝．
故选：C．
3．2.1232﹣4.246×5.123+5.1232＝ 9 ．
【分析】原式变形后，利用完全平方公式化简，计算即可求出值．
【解答】解：原式＝2.1232﹣2×2.123×5.123+5.1232
＝（2.123﹣5.123）2
＝（﹣3）2
＝9．
故答案为：9．
4．计算：20232﹣2022×2024＝ 1 ．
【分析】运用平方差公式进行简便运算．
【解答】解：20232﹣2022×2024
＝20232﹣（2023﹣1）（2023+1）
＝20232﹣（20232﹣12）
＝20232﹣20232+1
＝1．
故答案为：1．
5．简便运算：
（1）1007×993；
（2）32×20.22+0.68×2022．
【分析】（1）根据平方差公式简便计算即可；
（2）原式变形成0.32×2022+0.68×2022，逆用乘法分配律即可．
【解答】解：（1）原式＝（1000+7）（1000﹣7）
＝10002﹣72
＝1000000﹣49
＝999951；
（2）原式＝0.32×2022+0.68×2022
＝2022×（0.32+0.68）
＝2022×1
＝2022．
6．简便运算：101×1022﹣101×982．
【分析】利用平方差公式进行求解即可；
【解答】解：101×1022﹣101×982
＝101×（1022﹣982）
＝101×（102+98）×（102﹣98）
＝101×200×4
＝80800；
7．运用乘法公式简便计算：
（1）9982；
（2）1232﹣124×122．
【分析】（1）将998写成（1000﹣2），再用完全平方公式进行计算即可；
（2）将124×122写成（123+1）×（123﹣1），再用平方差公式进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝（1000﹣2）2
＝10002﹣2×1000×2+22
＝1000000﹣4000+4
＝996004；
（2）原式＝1232﹣（123+1）×（123﹣1）
＝1232﹣1232+12
＝1．
8．用乘法公式计算：
（1）40×39；
（2） ．
（3）20222﹣4044×2021+20212．
【分析】（1）首先转化为（40+）×（40﹣），再平方差公式可得答案；
（2）根据平方差公式计算即可．
（3）将4044变形为2×2022，再利用完全平方公式进行计算即可得．
【解答】解：（1）原式＝（40+）×（40﹣）
＝402﹣
＝1600﹣
＝1599；
（2）原式＝
＝
＝2012．
（3）原式＝20222﹣4044×2021+20212
＝20222﹣2×2022×2021+20212
＝（2022﹣2021）2
＝1．
类型四 完全平方公式的变形应用：
完全平方公式的变形公式：
【类题训练】
1．若多项式x2﹣12x+m是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A．6 B．±6 C．36 D．±36
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得解．
【解答】解：∵多项式x2﹣12x+m是一个完全平方式，
∴m＝（）2＝36，
故选：C．
2．如果x2+（n﹣3）x+16是个完全平方式，那么n的值是（ ）
A．11 B．﹣5 C．11或﹣5 D．±8
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出n的值．
【解答】解：∵x2+（n﹣3）x+16＝x2+（n﹣3）x+42是完全平方式，
∴n﹣3＝±（2×4），
解得：n＝11或﹣5，
故选：C．
3．用4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2．若a＝2b，则S1、S2满足（ ）
A．S1＝2S2 B． C．S1＝3S2 D．
【分析】先用a、b的代数式分别表示，，再根据a＝2b，进而得到答案．
【解答】解：根据题意，空白部分的面积为：
，
又∵正方形面积为：（a+b）（a+b）＝a2+2ab+b2，
∴阴影部分面积为：，
又∵a＝2b，
∴，，
∴．
故选：D．
4．如果多项式x2﹣x+p是完全平方式，则p＝ ．
【分析】利用完全平方公式的结构特征进行计算，即可确定出m的值．
【解答】解：设x2﹣x+p＝（x+y）2，
∴x2﹣x+p＝x2+2xy+y2，
∴，
解得：．
故答案为：．
5．若（a+b）2＝25，a2+b2＝13，则ab的值为（ ）
A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12
【分析】利用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2＝25，且a2+b2＝13，即可求ab．
【解答】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝25，a2+b2＝13，
∴2ab＝25﹣13＝12，
∴ab＝6，
故选：A．
6．已知：（2021﹣a）（2020﹣a）＝3，则（2021﹣a）2+（2020﹣a）2的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．12
【分析】根据完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，即可求出答案．
【解答】解：设x＝2021﹣a，y＝2020﹣a，
∴x﹣y＝2021﹣a﹣2020+a＝1，
∵（2021﹣a）（2020﹣a）＝3，
∴xy＝3，
∴原式＝x2+y2
＝（x﹣y）2+2xy
＝1+2×3
＝7，
故选：A．
7．已知a+b＝10，ab＝﹣5，则a2+b2＝ ．
【分析】根据完全平方公式进行计算即可．
【解答】解：∵a+b＝10，ab＝﹣5，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×（﹣5）＝100+10＝110．
故答案为：110．
8．已知：x+y＝0.34，x+3y＝0.86，则x2+4xy+4y2＝ ．
【分析】原式利用完全平方公式化简，将已知等式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：∵x+y＝0.34，x+3y＝0.86，
∴2x+4y＝1.2，即x+2y＝0.6，
则x2+4xy+4y2＝（x+2y）2＝0.36．
故答案为：0.36．
9．若a+9＝b+8＝c+7，则（a﹣b）2+（b﹣c）2﹣（c﹣a）2＝ ．
【分析】由a+9＝b+8＝c+7可得：a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，c﹣a＝2，将其代入即可．
【解答】解：∵a+9＝b+8＝c+7，
∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，c﹣a＝2，
∴原式＝（﹣1）2+（﹣1）2﹣22＝﹣2，
故答案为：﹣2．
10．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．若a+b＝8，ab＝10，则S1+S2＝ ；当S1+S2＝40时，则图3中阴影部分的面积S3＝ ．
【分析】根据拼图可用a、b的代数式表示S1，S2，进而根据a+b＝8，ab＝10，求出S1+S2的值即可；
由第一问可知，当S1+S2＝40时，就是a2+b2﹣ab＝40，再利用a、b的代数式表示S3，变形后再整体代入计算即可求出答案．
【解答】解：由图1可得，S1＝a2﹣b2，
由图2可得，S2＝2b2﹣ab，
因为a+b＝8，ab＝10，
所以S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab
＝a2+b2﹣ab
＝（a+b）2﹣3ab
＝82﹣3×10
＝64﹣30
＝34；
由图3可得，S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2
＝a2+b2﹣ab
＝（a2+b2﹣ab）
＝（S1+S2）
＝×40
＝20；
故答案为：34，20．
11．若，求：
①（b﹣c）2+3（b﹣c）+3的值；
②2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac的值．
【分析】①根据，得，代入（b﹣c）2+3（b﹣c）+3，计算即可；
②先拆项，再配成完全平方形式，再把，，代入，计算即可．
【解答】解：①由得，
∴（b﹣c）2+3（b﹣c）+3
＝+3×（﹣）+3
＝﹣+3
＝；
②2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac
＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+a2﹣2ac+c2
＝（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2
当，时，
原式＝
＝．
【综合练习】
1．若（x2+px+q）（x﹣2）展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（ ）
A．p＝2q B．q＝2p C．p+2q＝0 D．q+2p＝0
【分析】利用多项式乘多项式法则计算，令一次项系数为0求出p与q的关系式即可．
【解答】解：（x2+px+q）（x﹣2）＝x3﹣2x2+px2﹣2px+qx﹣2q＝x3+（p﹣2）x2+（q﹣2p）x﹣2q，
∵结果不含x的一次项，
∴q﹣2p＝0，即q＝2p．
故选：B．
2．已知a，b是常数，若化简（﹣x+a）（2x2+bx﹣3）的结果不含x的二次项，则36a﹣18b﹣1的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．17 D．35
【分析】把式子展开，找到所有x2项的系数，合并后令其为0，再进行计算．
【解答】解：
原式＝﹣2x3﹣bx2+3x+2ax2+abx﹣3a
＝﹣2x3+（2a﹣b）x2+（3+ab）x﹣3a
∵（﹣x+a）（2x2+bx﹣3）结果不含x的二次项
∴2a﹣b＝0
∵式子36a﹣18b﹣1＝18（2a﹣b）﹣1
∴36a﹣18b﹣1＝18×0﹣1＝﹣1
故选：A．
3．若代数式x2+3x+2可以表示为（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，则a+b的值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【分析】利用x2+3x+2＝（x﹣1）2+a（x﹣1）+b，将原式进行化简，得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵x2+3x+2
＝（x﹣1）2+a（x﹣1）+b
＝x2+（a﹣2）x+（b﹣a+1），
∴a﹣2＝3，
∴a＝5，
∵b﹣a+1＝2，
∴b﹣5+1＝2，
∴b＝6，
∴a+b＝5+6＝11，
故选：B．
4．已知代数式x2+y2+4x﹣6y+13＝0，则（y+1）x的值为（ ）
A．16 B．﹣16 C．﹣ D．
【分析】把含x和y的项分别写成完全平方公式的形式，根据非负数的性质求出x，y，再计算代数式的值．
【解答】解：∵x2+y2+4x﹣6y+13＝0，
∴x2+4x+4+y2﹣6y+9＝0，
∴（x+2）2+（y﹣3）2＝0，
∴x+2＝0，y﹣3＝0，
∴x＝﹣2，y＝3，
∴原式＝（3+1）﹣2
＝4﹣2
＝，
故选：D．
5．若2m×8n＝32，，则的值为 ．
【分析】已知等式利用幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘除法则计算，得到关于m与n的方程，组成方程组，求出方程组的解得m与n的值，即可求出所求．
【解答】解：∵2m×8n＝2m×23n＝2m+3n＝32＝25，2m÷4n＝2m÷22n＝2m﹣2n＝＝2﹣4，
∴m+3n＝5，m﹣2n＝﹣4，
两式相加得：2m+n＝1，
则原式＝（2m+n）＝．
故答案为：．
6．已知a+b＝1，ab＝﹣2，则代数式（a+1）（b+1）的值是 ．
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后把a+b与ab的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝ab+a+b+1＝ab+（a+b）+1，
当a+b＝1，ab＝﹣2时，原式＝﹣2+1+1＝0，
故答案为：0．
7．已知x＝+1，则代数式x2﹣2x+1的值为 ．
【分析】根据x的值和完全平方差公式可以解答本题．
【解答】解：∵x＝+1，
∴x2﹣2x+1
＝（x﹣1）2
＝（+1﹣1）2
＝（）2
＝2，
故答案为：2．
8．若a2+ma+25是一个完全平方式，则实数m＝ ．
【分析】根据完全平方式即可求出答案．
【解答】解：∵（a±5）2＝a2±10a+25，
∴m＝±10，
故答案为：±10．
9．若25x2+1加上一个单项式能成为一个完全平方式，这个单项式是 ．
【分析】把25x2看作中间项或第一项，根据完全平方公式可解答，当加上的项是﹣1或﹣25x2时，同样成立．
【解答】解：①25x2是平方项时，25x2±10x+1＝（5x±1）2，
∴可添加的项是10x或﹣10x，
②25x2是乘积二倍项时，+25x2+1＝，
∴可添加的项是，
③可添加﹣1或﹣25x2，
综上所述可添加的项是：10x或﹣10x或﹣1或﹣25x2或．
故答案为：10x或﹣10x或﹣1或﹣25x2或．
10．已知实数m，n满足m﹣n＝1，则代数式m2+2n+4m﹣1的最小值为 ．
【分析】根据题意把原式变形，根据配方法把原式写成含有完全平方的形式，根据偶次方的非负性解答．
【解答】解：∵m﹣n＝1，
∴n＝m﹣1，
则m2+2n+4m﹣1
＝m2+2m﹣2+4m﹣1
＝m2+6m﹣3
＝m2+6m+9﹣12
＝（m+3）2﹣12，
∵（m+3）2≥0，
∴（m+3）2﹣12≥﹣12，即代数式m2+2n+4m﹣1的最小值等于﹣12．
故答案为：﹣12．
11．已知S＝t2﹣2t﹣15，则S的最小值为 ．
【分析】先根据完全平方公式配方，再根据偶次方的非负性即可求解．
【解答】解：∵S＝t2﹣2t﹣15＝（t﹣1）2﹣16，
∴当t＝1时，S取得最小值为﹣16．
故答案为：﹣16．
12．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”，例如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52；则8、16、24这三个数都是奇特数．
（1）填空：32 奇特数，2018 奇特数．（填“是”或者“不是”）
（2）设两个连续奇数是2n﹣1和2n+1（其中n取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？
（3）如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积．
【分析】（1）根据32＝92﹣72，以及8、16、24这三个数都是奇特数，他们都是8的倍数，而2018＝2×1009，不是8的整数倍，进行判断．
（2）利用平方差公式计算（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n•2＝8n，得到两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数；
（3）利用阴影部分面积为：S阴影部分＝992﹣972+952﹣932+912﹣892+…+72﹣52+32﹣12，进而求出即可．
【解答】解：（1）∵32＝8×4＝92﹣72，
∴32是奇特数，
∵因为2018不能表示为两个连续奇数的平方差，
∴2018不是奇特数，
故答案为：是，不是；
（2）由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数，
理由：∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n•2＝8n，
∴由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数．
（3）S阴影部分＝992﹣972+952﹣932+912﹣892+…+72﹣52+32﹣12
＝（99+97）（99﹣97）+（95+93）（95﹣93）+（91+89）（91﹣89）+…+（7+5）（7﹣5）+（3+1）（3﹣1）
＝（99+97+95+…+3+1）×2
＝×2
＝5000．
13．已知多项式A＝x2+2x+n2，多项式B＝2x2+4x+3n2+3．
（1）若多项式x2+2x+n2是完全平方式，则n＝ ±1 ；
（2）有同学猜测B﹣2A的结果是定值，他的猜测是否正确，请说明理由；
（3）若多项式x2+2x+n2的值为﹣1，求x和n的值．
【分析】（1）根据完全平方式的定义计算即可；
（2）把A＝x2+2x+n2，B＝2x2+4x+3n2+3代入B﹣2A计算即可；
（3）由题意可得x2+2x+n2＝﹣1，整理后利用非负数的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵x2+2x+n2是一个完全平方式，
∴x2+2x+n2＝（x+1）2，
∴n2＝1，
∴n＝±1．
故答案为：±1；
（2）猜测不正确，理由：
∵A＝x2+2x+n2，B＝2x2+4x+3n2+3，
∴B﹣2A＝2x2+4x+3n2+3﹣2（x2+2x+n2）＝2x2+4x+3n2+3﹣2x2﹣4x﹣2n2＝n2+3，
∵结果含字母n，
∴B﹣2A的结果不是定值；
（3）由题意可得x2+2x+n2＝﹣1，
∴x2+2x+n2+1＝0，
∴（x+1）2+n2＝0，
∴x+1＝0，n＝0，
∴x＝﹣1．
14．探究题：
（1）问题情景：将下列各式因式分解，将结果直接写在横线上：x2+6x+9＝ （x+3）2 ；x2﹣4x+4＝ （x﹣2）2 ；4x2﹣20x+25＝ （2x﹣5）2 ；
（2）探究发现：观察以上三个多项式的系数，我们发现：62＝4×1×9；（﹣4）2＝4×1×4；（﹣20）2＝4×4×25；
归纳猜想：若多项式ax2+bx+c（a＞0，c＞0）是完全平方式，猜想：系数a，b，c之间存在的关系式为 b2＝4ac ；
（3）验证结论：请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并用此式验证你猜想的结论；
（4）解决问题：若多项式（n+1）x2﹣（2n+6）x+（n+6）是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出n的值．
【分析】（1）可用完全平方公式进行分解因式；
（2）根据问题情境式子中的系数关系，可猜想b2＝4ac；
（3）可用完全平方公式进行验证；
（4）多项式ax2+bx+c（a＞0）是完全平方式，则系数a，b，c存在的关系为b2＝4ac，可得出[﹣（2n+6）]2＝4（n+1）（n+6），进而求出n的值．
【解答】（1）解：x2+6x+9＝（x+3）2；x2﹣4x+4＝（x﹣2）2；4x2﹣20x+25＝（2x﹣5）2．
故答案为：（x+3）2；（x﹣2）2；（2x﹣5）2．
（2）由情境中给的式子系数关系，可归纳猜想：b2＝4ac．
故答案为：b2＝4ac．
（3）验证结论：可用x2+4x+4，
验证：∵b2＝42＝16，4ac＝4×1×4＝16，
∴b2＝4ac．
（4）根据题意可得：[﹣（2n+6）]2＝4（n+1）（n+6），
∴4n2+24n+36＝4（n2+7n+6），
∴4n2+24n+36＝4n2+28n+24，
∴4n＝12，
解得n＝3．
15．阅读材料后解决问题．小明遇到下面一个问题：
计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）
＝（24﹣1）（28+1）
＝216﹣1．
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：
（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）；
（2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）．
【分析】（1）根据题中例题可得，在本题式子前面可乘以（2﹣1），然后利用平方差公式即可算出答案；
（2）根据题中例题可得，在整体的式子前面乘以（3﹣1），要想保持结果不变，再在式子前面乘以，然后利用平方差公式即可运算．
【解答】解：（1）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）
＝（28﹣1）（28+1）（216+1）
＝（216﹣1）（216+1）
＝232﹣1；
（2）原式＝×[（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）]
＝×[（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）]
＝×[（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）]
＝×[（38﹣1）（38+1）（316+1）]
＝×[（316﹣1）（316+1）]
＝．
第8讲 乘法公式的应用专题探究
类型一 利用乘法公式求面积：
【类题训练】
1．如图，将一个长为2m，宽为2n的长方形沿图中虚线裁剪成四个相同的小长方形，并将这四个小长方形拼成一个大正方形．观察拼图，下列等量关系成立的是（ ）
A．（m+n）2＝（m﹣n）2+mn B．（m+n）2＝（m﹣n）2+2mn
C．（m+n）2＝（m﹣n）2+3mn D．（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn
【分析】用含有m、n的代数式表示图形中各个部分的面积，再根据面积之间的和差关系可得答案．
【解答】解：由题意可知，每一个小长方形的长为m，宽为n，因此面积为mn，
大正方形的边长为m+n，因此面积为（m+n）2，
小正方形的边长为m﹣n，因此面积为（m﹣n）2，
由面积之间的关系可得，（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn，
故选：D．
2．分别观察下列四组图形，在每个图形的下方，都有一个由这个图形可以验证出的代数公式，其中图形与公式之间的对应关系表达相符的有（ ）
A．一组 B．两组 C．三组 D．四组
【分析】用代数式表示每个图形的面积以及各个部分的面积和，再进行判断即可．
【解答】解：图1，整体长方形的长为a+b+c，宽为d，因此面积为（a+b+c）d，
整体长方形由三个长方形构成的，这三个长方形的面积和为ad、bd、cd，
所以有：（a+b+c）d＝ad+bd+cd，
因此图1符合题意；
图2，整体长方形的长为a+b，宽为c+d，因此面积为（a+b）（c+d），
整体长方形由四个长方形构成的，这四个长方形的面积和为ac+ad+bc+bd，
所以有：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd，
因此图2符合题意；
图3，整体正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，
整体正方形由四个部分构成的，这四个部分的面积和为a2+2ab+b2，
所以有：（a+b）2＝a2+2ab+b2，
因此图3符合题意；
图4，整体正方形的边长为a，因此面积为a2，
整体正方形由四个部分构成的，其中较大的正方形的边长为a﹣b，因此面积为（a﹣b）2，较小正方形的边长为b，因此面积为b2，
另外两个长方形的长为（a﹣b），宽为b，则面积为（a﹣b）×b×2＝2ab﹣2b2，
所以有a2＝（a﹣b）2+b2+2ab﹣2b2，
即（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
因此图4符合题意；
综上所述，四组均符合题意；
故选：D．
3．数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成新的图形．现给出下列3种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是 ．（请填上正确的序号）
【分析】针对每一种拼法，利用代数式表示拼接前、后的面积，适当化简或变形可得答案．
【解答】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），
故可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；
在图②中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边阴影部分面积＝（a+b）•（a﹣b），
可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；
在图③中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，右边阴影部分面积＝2a•2b＝4ab，
可得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝2a•2b，不可以验证平方差公式．
故答案为：①②．
4．如图，长方形ABCD的周长是12厘米，以、AB、BC为边向外作正方形ABGH和正方形BCEF，如果正方形ABGH和正方形BCEF的面积之和为18平方厘米，那么长方形ABCD的面积是（ ）
A．6平方厘米 B．8平方厘米 C．9平方厘米 D．10平方厘米
【分析】由完全平方公式，求出AB⋅AD的值，即可解决问题．
【解答】解：∵正方形ABGH和ADGH的面积之和为18，
∴AB2+AD2＝18，
∵长方形ABCD的周长是12，
∴，
∴（AB+AD）2＝36，
∴AB2+AD2+2AB⋅AD＝36，
∴AB⋅AD＝9，
∴长方形ABCD的面积是9（平方厘米）．
故选：C．
5．如图，以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，若四个正方形的周长之和为40，面积之和为28，则长方形ABCD的面积为（ ）
A． B．11 C．22 D．43
【分析】设AB＝a，BC＝b，由四个正方形的周长之和为40，面积之和为28，根据完全平方公式得出2ab＝11，求解即可．
【解答】解：设AB＝a，BC＝b，由四个正方形的周长之和为40，面积之和为28可得，
4a×2+4b×2＝40，2a2+2b2＝28，
即a+b①，a2+b2＝14②，
由①得，a2+2ab+b2＝25③，
③﹣②得2ab＝11，
所以，
即长方形ABCD的面积为，
故选：A．
6．如图，点B是线段CG上一点，以BC，BE为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，设CG＝6，两个正方形的面积之和S1+S2＝16，则阴影部分△BCE的面积为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【分析】由完全平方公式，求出BC与BE的积，即可求解．
【解答】解：设BC＝a，BE＝b，
∵四边形BEFG是正方形，
∴BE＝BG＝b，
∵两正方形的面积和S1+S2＝16，
∴a2+b2＝16，
∵a+b＝6，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝36，
∴ab＝10，
∴S阴＝ab＝5，
故选：B．
7．如图，两个正方形边长分别为a，b，已知a+b＝7，ab＝9，则阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．1 1 C．12 D．13
【分析】根据题意可得，阴影部分的面积等于边长为a的正方形面积减去边长为a的等腰直角三角形面积，再减去边长为a﹣b和b的直角三角形面积，即可得（a²﹣ab+b²），根据完全平方公式的变式应用可得[（a+b）²﹣3ab]，代入计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
S阴＝a²﹣﹣
＝（a²﹣ab+b²）
＝[（a+b）²﹣3ab]，
把a+b＝7，ab＝9代入上式，
则S阴＝×（72﹣3×9）＝11．
故选：B．
8．如图①，现有边长为b和a+b的正方形纸片各一张，长和宽分别为b，a的长方形纸片一张，其中a＜b．把纸片Ⅰ，Ⅲ按图②所示的方式放入纸片Ⅱ内，已知图②中阴影部分的面积满足S1＝6S2，则a，b满足的关系式为（ ）
A．3b＝4a B．2b＝3a C．3b＝5a D．b＝2a
【分析】用含a，b的代数式表示出S1，S2，即可得出答案．
【解答】解：由题意得，，，
∵S1＝6S2，
∴2ab＝6（ab﹣a2），
2ab＝6ab﹣6a2，
∵a≠0，
∴b＝3b﹣3a，
∴2b＝3a，
故选：B．
9．冬季奥运主题活动中，西雅中学某班设计如图1的“红色徽章”，其设计原理是：如图2，在边长为a的正方形EFGH四周分别放置四个边长为b的小正方形，构造了一个大正方形ABCD，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作S1，每一个边长为b的小正方形面积记作S2，若S1＝6S2，则的值是 ．
【分析】利用正方形ABCD的面积减去空白部分的面积求出阴影部分的面积S1，结合S1＝6S2，求出a与b的比值．
【解答】解：∵S1＝（a+2b）2﹣b2﹣a（a+2b）﹣b2﹣（a+b）2
＝2ab+b2，
S2＝b2，S1＝6S2，
∴2ab+b2＝6b2，
∴．
故答案为：．
10．（1）用等号或“＞”、“＜”填空，探究规律并解决问题：比较a2+b2与2ab的大小．
①当a＝3，b＝3时，a2+b2 ＝ 2ab；
②当a＝2，时，a2+b2 ＞ 2ab；
③当a＝﹣2，b＝3时，a2+b2 ＞ 2ab．
（2）通过上面的填空，猜想a2+b2与2ab的大小关系，并证明你的猜想；
（3）如图，直线l上从左至右任取A、B、G三点，以AB，BG为边，在线段AG的两侧分别作正方形ABCD，BEFG，连接CG．设两个正方形的面积分别为S1，S2．若△BCG的面积为2保持不变，请直接写出S1+S2的最小值．
【分析】（1）代入计算得出答案；
（2）根据（1）的结果，得出结论；
（3）由题意可知ab＝2，S1+S2＝a2+b2，而a2+b2≥2ab，进而得出答案．
【解答】解：（1）①把a＝3，b＝3代入，a2+b2＝9+9＝18，2ab＝2×3×3＝18，所以a2+b2＝2ab；
②把a＝2，b＝代入，a2+b2＝4+＝，2ab＝2×2×＝2，所以a2+b2＞2ab；
③把a＝﹣2，b＝3代入，a2+b2＝4+9＝13，2ab＝2×（﹣2）×3＝﹣12，所以a2+b2＞2ab；
故答案为：＝，＞，＞：
（2）由（1）可得，a2+b2≥2ab，理由如下：
∵（a﹣b）2≥0，即a2﹣2ab+b2≥0，
∴a2+b2≥2ab；
（3）由题意可知S1＝a2，S2＝b2，
∵△BCG的面积为2，即ab＝2，
∴ab＝4，
∵S1+S2＝a2+b2≥2ab，
∴S1+S2＝a2+b2≥8，
因此S1+S2的最小值为8．
11．【阅读理解】
若x满足（32﹣x）（x﹣12）＝100，求（32﹣x）2+（x﹣12）2的值．
解：设32﹣x＝a，x﹣12＝b，则（32﹣x）（x﹣12）＝a•b＝100，a+b＝（32﹣x）+（x﹣12）＝20，（32﹣x）2+（x﹣12）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×100＝200，
我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想．
【解决问题】
（1）若x满足（100﹣x）（x﹣95）＝5，则（100﹣x）2+（x﹣95）2＝ 15 ；
（2）若x满足（2023﹣x）2+（x﹣2000）2＝229，求（2023﹣x）（x﹣2000）的值；
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝24cm，点E，F是边BC，CD上的点，EC＝12cm，且BE＝DF＝x，分别以FC，CB为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CBMN，若长方形CBQF的面积为320cm2，求图中阴影部分的面积和．
【分析】（1）根据阅读材料的方法，设100﹣x＝a，x﹣95＝b，则ab＝5，而a+b＝5，根据a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，即可求解；
（2）设2023﹣x＝a，x﹣2000＝b，则a2+b2＝229，而a+b＝23，最后根据完全平方公式，即可求解；
（3）设CF＝a，BC＝b，根据长方形CBQF的面积为320cm2，列方程同理可得结论．
【解答】解：（1）根据阅读材料的方法，设100﹣x＝a，x﹣95＝b，
则ab＝5，
而a+b＝5，
∴（100﹣x）2+（x﹣95）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×5＝15；
故答案为：15；
（2）设2023﹣x＝a，x﹣2000＝b，则a2+b2＝229，
而a+b＝23，
∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝232﹣229＝529﹣229＝300，
∴ab＝150，
即（2022﹣x）（x﹣2000）＝150；
（3）由题意得：CF＝CD﹣DF＝24﹣x，BC＝CE+BE＝x+12，
设CF＝a，BC＝b，
∴a+b＝24﹣x+x+12＝36，
∵长方形CBQF的面积为320cm2，
∴（24﹣x）（8+x）＝ab＝320，
∴图中阴影部分的面积和＝（24﹣x）2+（x+8）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝362﹣2×320＝656（cm2）．
12．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填写到题中横线上）；
方法1 （a+b）2 ；方法2 a2+2ab+b2 ；
（2）观察图2，请你直接写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系 （a+b）2＝a2+2ab+b2 ；
（3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；
（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝6，a2+b2＝14，求ab的值；
②已知（x﹣2018）2+（x﹣2020）2＝34，求（x﹣2019）2的值．
【分析】（1）用两种方法表示图中的面积即可；
（2）由（1）可得两个代数式相等即可；
（3）根据（a+b）（a+2b）可知拼成的长方形的长为（a+2b），宽为（a+b），画出图形即可；
（4）①将公式变形为2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）即可；
②设a＝x﹣2018，b＝x﹣2020，得到a﹣b＝2，a2+b2＝34，进而可得＝x﹣2019，将（x﹣2019）2变形为（）2＝，再代入计算即可．
【解答】解：（1）图2是边长为（a+b）的正方形，因此面积为（a+b）2，
图2可以看作4个部分的面积和，即为a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2，a2+2ab+b2；
（2）由（1）的两种方法计算图形的面积可得，（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（3）如图，可以验证：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；
（4）①∵a+b＝6，a2+b2＝14，
∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝36﹣14＝22，
即ab＝11，
②设a＝x﹣2018，b＝x﹣2020，则a﹣b＝2，a2+b2＝34，＝x﹣2019，
∴2ab＝（a2+b2）﹣（a﹣b）2＝34﹣4＝30，
∴（x﹣2019）2＝（）2＝＝＝16，
答：（x﹣2019）2的值为16．
13．两个边长分别为a和b的正方形（a＞b）如图放置（图1，2，3），若阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3．
（1）用含a，b的代数式分别表示S1，S2，S3；
（2）若S1＝1，S3＝3，求S2的值；
（3）若对于任意的正数a、b，都有S1+mS3＝kS2（m，k为常数），求m，k的值．
【分析】（1）图1中，直接求出阴影的边长，都是a﹣b；图2中，两个正方形的面积与两个白色三角形的面积的和的差；图3中，阴影部分是直角三角形，直接用直角边长的乘积除以2．
（2）把S1＝1，和S3＝3代入（1）中，便可解出ab＝6，a2+b2＝13值，整体代入S2＝a2﹣ab+b2＝（a2+b2）﹣ab＝﹣3＝；
（3）把（1）中的三个等式代入S1+mS3＝kS2，经过整理，有点巧，再由待定系数法解得．
【解答】解：（1）图1中，阴影的边长都是a﹣b，所以S1＝（a﹣b）2；
图2中，阴影面积S2＝（a2+b2）﹣[a2+（a+b）b]＝a2﹣ab+b2；
图3中，S3＝ab．
（2）当S1＝1，S3＝3时，
，
解得ab＝6，a2+b2＝13，代入S2，得，
S2＝a2﹣ab+b2＝（a2+b2）﹣ab＝﹣3＝，
（3）因为S1＝（a﹣b）2；S2＝a2﹣ab+b2；S3＝ab．
对于任意的正数a、b，都有S1+mS3＝kS2（m，k为常数），
则（a﹣b）2+m（ab ）＝k（ a2﹣ab+b2 ），
整理得：2（a²+b²）+ab（m﹣4）＝（a²+b²）k+ab（﹣k），
由于m，k为常数，故由待定系数法得：
k＝2，m﹣4＝﹣k，解得m＝2，k＝2．
类型二 乘法公式的直接运用：
1.平方差公式：
2.完全平方公式：
【类题训练】
1．已知，ab＝4，则（a+b）2的取值为（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
【分析】根据完全平方公式（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab求解即可．
【解答】解：∵，ab＝4，
∴（a+b）2
＝（a﹣b）2+4ab
＝2+16
＝18，
故选：A．
2．已知（m﹣n）2＝9，mn＝4，则m2+n2的值是 17 ．
【分析】通过配方法将m2+n2变形，即可求解．
【解答】解：m2+n2﹣2mn+2mn＝（m﹣n）2+2mn，
∵（m﹣n）2＝9，mn＝4，
∴m2+n2﹣2mn+2mn＝（m﹣n）2+2mn＝9+2×4＝17，
故答案为：17．
3．我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用下图的三角形解释了（a+b）n展开式的系数规律．杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，5，6）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如：此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的各项的系数，…．
下列说法：
①（a+b）5展开式各项系数之和为32；
②（a+b）15展开式各项中，系数最大的项是第八项和第九项；
③（x+1）2023展开式中含x2022的项的系数是2022．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据（a+b）n展开式的系数规律进行判断即可．
【解答】
解：由（a+b）n展开式的系数规律可知，（a+b）5展开式的系数依次为1，5，10，10，5，1，因此各项系数的和为32，所以①正确；
由（a+b）n展开式的系数规律可知，（a+b）15展开式各项中，系数最大的项是第八项和第九项，因此②正确；
（x+1）2023展开式中含x2022的项，即展开式中的第2项，由（a+b）n展开式的系数规律可知，第2项的系数是2023．因此③不正确；
综上所述，正确的有①②，共2个，
故选：C．
4．a、b为实数，整式a2+b2﹣4a+6b的最小值是（ ）
A．﹣13 B．﹣4 C．﹣9 D．﹣5
【分析】利用完全平方公式对式子进行整理，再分析即可．
【解答】解：a2+b2﹣4a+6b
＝（a2﹣4a+4）+（b2+6b+9）﹣13
＝（a﹣2）2+（b+3）2﹣13，
∵（a﹣2）2≥0，（b+3）2≥0，
∴（a﹣2）2+（b+3）2﹣13的最小值为﹣13，
即a2+b2﹣4a+6b的最小值为﹣13．
故选：A．
5．计算：
（1）（x+y）（x2﹣xy+y2）；
（2）（3x﹣5）2﹣（2x+3）2．
【分析】（1）根据多项式乘多项式的运算法则解答即可．
（2）根据完全平方公式解答即可．
【解答】解：（1）（x+y）（x2﹣xy+y2）
＝x3﹣x2y+xy2+yx2﹣xy2+y3
＝x3+（﹣x2y+x2y）+（xy2﹣xy2）+y3
＝x3+y3；
（2）（3x﹣5）2﹣（2x+3）2
＝9x2﹣30x+25﹣（4x2+12x+9）
＝9x2﹣30x+25﹣4x2﹣12x﹣9
＝5x2﹣42x+16．
6．计算：（x﹣2y+3）（x+2y﹣3）．
【分析】原式利用平方差公式，及完全平方公式化简即可得到结果．
【解答】解：原式＝x2﹣（2y﹣3）2
＝x2﹣（4y2﹣12y+9）
＝x2﹣4y2+12y﹣9．
7．计算：（x﹣2）2﹣3（1﹣x）（x+1）．
【分析】先计算完全平方公式和平方差公式，再合并同类项．
【解答】解：原式＝x2﹣4x+4﹣3（1﹣x2）
＝4x2﹣4x+1．
8．先化简，再求值：（2x﹣3）2﹣（x+2y）（x﹣2y）﹣4y2，其中，．
【分析】根据完全平方公式、平方差公式以及整式的加减运算法则进行化简，然后将x与y的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝4x2﹣12x+9﹣（x2﹣4y2）﹣4y2
＝4x2﹣12x+9﹣x2+4y2﹣4y2
＝4x2﹣x2﹣12x+4y2﹣4y2+9
＝3x2﹣12x+9．
当，时，
原式＝．
9．先化简，再求值：
[（x+2y）（x﹣2y）+4（x﹣y）2]÷（﹣x），其中|x+2|+（y﹣1）2＝0；
【分析】根据平方差公式和完全平方公式将括号内的式子展开，然后合并同类项，再算多项式除以单项式，由|x+2|+（y﹣1）2＝0，可以得到x、y的值，最后代入化简后的式子计算即可；
【解答】解：[（x+2y）（x﹣2y）+4（x﹣y）2]÷（﹣x）
＝（x2﹣4y2+4x2﹣8xy+4y2）÷（﹣x）
＝（5x2﹣8xy）÷（﹣x）
＝﹣5x+8y，
∵|x+2|+（y﹣1）2＝0，
∴x+2＝0，y﹣1＝0，
解得x＝﹣2，y＝1，
当x＝﹣2，y＝1时，原式＝﹣5×（﹣2）+8×1＝18；
类型三 运用乘法公式进行简便计算：
【类1．将10.52变形正确的是（ ）
A．10.52＝102+0.52 B．10.52＝（10+0.5）（10﹣0.5）
C．10.52＝102+2×10×0.5+0.52 D．10.52＝102+10×0.5+0.52
【分析】将10.52变形为（10+0.5）2，即可运用完全平方公式简便计算．
【解答】解：10.52
＝（10+0.5）2
＝102+2×10×0.5+0.52．
故选：C．
2．计算的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝．
故选：C．
3．2.1232﹣4.246×5.123+5.1232＝ 9 ．
【分析】原式变形后，利用完全平方公式化简，计算即可求出值．
【解答】解：原式＝2.1232﹣2×2.123×5.123+5.1232
＝（2.123﹣5.123）2
＝（﹣3）2
＝9．
故答案为：9．
4．计算：20232﹣2022×2024＝ 1 ．
【分析】运用平方差公式进行简便运算．
【解答】解：20232﹣2022×2024
＝20232﹣（2023﹣1）（2023+1）
＝20232﹣（20232﹣12）
＝20232﹣20232+1
＝1．
故答案为：1．
5．简便运算：
（1）1007×993；
（2）32×20.22+0.68×2022．
【分析】（1）根据平方差公式简便计算即可；
（2）原式变形成0.32×2022+0.68×2022，逆用乘法分配律即可．
【解答】解：（1）原式＝（1000+7）（1000﹣7）
＝10002﹣72
＝1000000﹣49
＝999951；
（2）原式＝0.32×2022+0.68×2022
＝2022×（0.32+0.68）
＝2022×1
＝2022．
6．简便运算：101×1022﹣101×982．
【分析】利用平方差公式进行求解即可；
【解答】解：101×1022﹣101×982
＝101×（1022﹣982）
＝101×（102+98）×（102﹣98）
＝101×200×4
＝80800；
7．运用乘法公式简便计算：
（1）9982；
（2）1232﹣124×122．
【分析】（1）将998写成（1000﹣2），再用完全平方公式进行计算即可；
（2）将124×122写成（123+1）×（123﹣1），再用平方差公式进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝（1000﹣2）2
＝10002﹣2×1000×2+22
＝1000000﹣4000+4
＝996004；
（2）原式＝1232﹣（123+1）×（123﹣1）
＝1232﹣1232+12
＝1．
8．用乘法公式计算：
（1）40×39；
（2） ．
（3）20222﹣4044×2021+20212．
【分析】（1）首先转化为（40+）×（40﹣），再平方差公式可得答案；
（2）根据平方差公式计算即可．
（3）将4044变形为2×2022，再利用完全平方公式进行计算即可得．
【解答】解：（1）原式＝（40+）×（40﹣）
＝402﹣
＝1600﹣
＝1599；
（2）原式＝
＝
＝2012．
（3）原式＝20222﹣4044×2021+20212
＝20222﹣2×2022×2021+20212
＝（2022﹣2021）2
＝1．
类型四 完全平方公式的变形应用：
完全平方公式的变形公式：
【类题训练】
1．若多项式x2﹣12x+m是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A．6 B．±6 C．36 D．±36
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得解．
【解答】解：∵多项式x2﹣12x+m是一个完全平方式，
∴m＝（）2＝36，
故选：C．
2．如果x2+（n﹣3）x+16是个完全平方式，那么n的值是（ ）
A．11 B．﹣5 C．11或﹣5 D．±8
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出n的值．
【解答】解：∵x2+（n﹣3）x+16＝x2+（n﹣3）x+42是完全平方式，
∴n﹣3＝±（2×4），
解得：n＝11或﹣5，
故选：C．
3．用4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2．若a＝2b，则S1、S2满足（ ）
A．S1＝2S2 B． C．S1＝3S2 D．
【分析】先用a、b的代数式分别表示，，再根据a＝2b，进而得到答案．
【解答】解：根据题意，空白部分的面积为：
，
又∵正方形面积为：（a+b）（a+b）＝a2+2ab+b2，
∴阴影部分面积为：，
又∵a＝2b，
∴，，
∴．
故选：D．
4．如果多项式x2﹣x+p是完全平方式，则p＝ ．
【分析】利用完全平方公式的结构特征进行计算，即可确定出m的值．
【解答】解：设x2﹣x+p＝（x+y）2，
∴x2﹣x+p＝x2+2xy+y2，
∴，
解得：．
故答案为：．
5．若（a+b）2＝25，a2+b2＝13，则ab的值为（ ）
A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12
【分析】利用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2＝25，且a2+b2＝13，即可求ab．
【解答】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝25，a2+b2＝13，
∴2ab＝25﹣13＝12，
∴ab＝6，
故选：A．
6．已知：（2021﹣a）（2020﹣a）＝3，则（2021﹣a）2+（2020﹣a）2的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．12
【分析】根据完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，即可求出答案．
【解答】解：设x＝2021﹣a，y＝2020﹣a，
∴x﹣y＝2021﹣a﹣2020+a＝1，
∵（2021﹣a）（2020﹣a）＝3，
∴xy＝3，
∴原式＝x2+y2
＝（x﹣y）2+2xy
＝1+2×3
＝7，
故选：A．
7．已知a+b＝10，ab＝﹣5，则a2+b2＝ ．
【分析】根据完全平方公式进行计算即可．
【解答】解：∵a+b＝10，ab＝﹣5，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×（﹣5）＝100+10＝110．
故答案为：110．
8．已知：x+y＝0.34，x+3y＝0.86，则x2+4xy+4y2＝ ．
【分析】原式利用完全平方公式化简，将已知等式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：∵x+y＝0.34，x+3y＝0.86，
∴2x+4y＝1.2，即x+2y＝0.6，
则x2+4xy+4y2＝（x+2y）2＝0.36．
故答案为：0.36．
9．若a+9＝b+8＝c+7，则（a﹣b）2+（b﹣c）2﹣（c﹣a）2＝ ．
【分析】由a+9＝b+8＝c+7可得：a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，c﹣a＝2，将其代入即可．
【解答】解：∵a+9＝b+8＝c+7，
∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，c﹣a＝2，
∴原式＝（﹣1）2+（﹣1）2﹣22＝﹣2，
故答案为：﹣2．
10．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．若a+b＝8，ab＝10，则S1+S2＝ ；当S1+S2＝40时，则图3中阴影部分的面积S3＝ ．
【分析】根据拼图可用a、b的代数式表示S1，S2，进而根据a+b＝8，ab＝10，求出S1+S2的值即可；
由第一问可知，当S1+S2＝40时，就是a2+b2﹣ab＝40，再利用a、b的代数式表示S3，变形后再整体代入计算即可求出答案．
【解答】解：由图1可得，S1＝a2﹣b2，
由图2可得，S2＝2b2﹣ab，
因为a+b＝8，ab＝10，
所以S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab
＝a2+b2﹣ab
＝（a+b）2﹣3ab
＝82﹣3×10
＝64﹣30
＝34；
由图3可得，S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2
＝a2+b2﹣ab
＝（a2+b2﹣ab）
＝（S1+S2）
＝×40
＝20；
故答案为：34，20．
11．若，求：
①（b﹣c）2+3（b﹣c）+3的值；
②2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac的值．
【分析】①根据，得，代入（b﹣c）2+3（b﹣c）+3，计算即可；
②先拆项，再配成完全平方形式，再把，，代入，计算即可．
【解答】解：①由得，
∴（b﹣c）2+3（b﹣c）+3
＝+3×（﹣）+3
＝﹣+3
＝；
②2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac
＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+a2﹣2ac+c2
＝（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2
当，时，
原式＝
＝．
【综合练习】
1．若（x2+px+q）（x﹣2）展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（ ）
A．p＝2q B．q＝2p C．p+2q＝0 D．q+2p＝0
【分析】利用多项式乘多项式法则计算，令一次项系数为0求出p与q的关系式即可．
【解答】解：（x2+px+q）（x﹣2）＝x3﹣2x2+px2﹣2px+qx﹣2q＝x3+（p﹣2）x2+（q﹣2p）x﹣2q，
∵结果不含x的一次项，
∴q﹣2p＝0，即q＝2p．
故选：B．
2．已知a，b是常数，若化简（﹣x+a）（2x2+bx﹣3）的结果不含x的二次项，则36a﹣18b﹣1的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．17 D．35
【分析】把式子展开，找到所有x2项的系数，合并后令其为0，再进行计算．
【解答】解：
原式＝﹣2x3﹣bx2+3x+2ax2+abx﹣3a
＝﹣2x3+（2a﹣b）x2+（3+ab）x﹣3a
∵（﹣x+a）（2x2+bx﹣3）结果不含x的二次项
∴2a﹣b＝0
∵式子36a﹣18b﹣1＝18（2a﹣b）﹣1
∴36a﹣18b﹣1＝18×0﹣1＝﹣1
故选：A．
3．若代数式x2+3x+2可以表示为（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，则a+b的值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【分析】利用x2+3x+2＝（x﹣1）2+a（x﹣1）+b，将原式进行化简，得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵x2+3x+2
＝（x﹣1）2+a（x﹣1）+b
＝x2+（a﹣2）x+（b﹣a+1），
∴a﹣2＝3，
∴a＝5，
∵b﹣a+1＝2，
∴b﹣5+1＝2，
∴b＝6，
∴a+b＝5+6＝11，
故选：B．
4．已知代数式x2+y2+4x﹣6y+13＝0，则（y+1）x的值为（ ）
A．16 B．﹣16 C．﹣ D．
【分析】把含x和y的项分别写成完全平方公式的形式，根据非负数的性质求出x，y，再计算代数式的值．
【解答】解：∵x2+y2+4x﹣6y+13＝0，
∴x2+4x+4+y2﹣6y+9＝0，
∴（x+2）2+（y﹣3）2＝0，
∴x+2＝0，y﹣3＝0，
∴x＝﹣2，y＝3，
∴原式＝（3+1）﹣2
＝4﹣2
＝，
故选：D．
5．若2m×8n＝32，，则的值为 ．
【分析】已知等式利用幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘除法则计算，得到关于m与n的方程，组成方程组，求出方程组的解得m与n的值，即可求出所求．
【解答】解：∵2m×8n＝2m×23n＝2m+3n＝32＝25，2m÷4n＝2m÷22n＝2m﹣2n＝＝2﹣4，
∴m+3n＝5，m﹣2n＝﹣4，
两式相加得：2m+n＝1，
则原式＝（2m+n）＝．
故答案为：．
6．已知a+b＝1，ab＝﹣2，则代数式（a+1）（b+1）的值是 ．
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后把a+b与ab的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝ab+a+b+1＝ab+（a+b）+1，
当a+b＝1，ab＝﹣2时，原式＝﹣2+1+1＝0，
故答案为：0．
7．已知x＝+1，则代数式x2﹣2x+1的值为 ．
【分析】根据x的值和完全平方差公式可以解答本题．
【解答】解：∵x＝+1，
∴x2﹣2x+1
＝（x﹣1）2
＝（+1﹣1）2
＝（）2
＝2，
故答案为：2．
8．若a2+ma+25是一个完全平方式，则实数m＝ ．
【分析】根据完全平方式即可求出答案．
【解答】解：∵（a±5）2＝a2±10a+25，
∴m＝±10，
故答案为：±10．
9．若25x2+1加上一个单项式能成为一个完全平方式，这个单项式是 ．
【分析】把25x2看作中间项或第一项，根据完全平方公式可解答，当加上的项是﹣1或﹣25x2时，同样成立．
【解答】解：①25x2是平方项时，25x2±10x+1＝（5x±1）2，
∴可添加的项是10x或﹣10x，
②25x2是乘积二倍项时，+25x2+1＝，
∴可添加的项是，
③可添加﹣1或﹣25x2，
综上所述可添加的项是：10x或﹣10x或﹣1或﹣25x2或．
故答案为：10x或﹣10x或﹣1或﹣25x2或．
10．已知实数m，n满足m﹣n＝1，则代数式m2+2n+4m﹣1的最小值为 ．
【分析】根据题意把原式变形，根据配方法把原式写成含有完全平方的形式，根据偶次方的非负性解答．
【解答】解：∵m﹣n＝1，
∴n＝m﹣1，
则m2+2n+4m﹣1
＝m2+2m﹣2+4m﹣1
＝m2+6m﹣3
＝m2+6m+9﹣12
＝（m+3）2﹣12，
∵（m+3）2≥0，
∴（m+3）2﹣12≥﹣12，即代数式m2+2n+4m﹣1的最小值等于﹣12．
故答案为：﹣12．
11．已知S＝t2﹣2t﹣15，则S的最小值为 ．
【分析】先根据完全平方公式配方，再根据偶次方的非负性即可求解．
【解答】解：∵S＝t2﹣2t﹣15＝（t﹣1）2﹣16，
∴当t＝1时，S取得最小值为﹣16．
故答案为：﹣16．
12．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”，例如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52；则8、16、24这三个数都是奇特数．
（1）填空：32 奇特数，2018 奇特数．（填“是”或者“不是”）
（2）设两个连续奇数是2n﹣1和2n+1（其中n取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？
（3）如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积．
【分析】（1）根据32＝92﹣72，以及8、16、24这三个数都是奇特数，他们都是8的倍数，而2018＝2×1009，不是8的整数倍，进行判断．
（2）利用平方差公式计算（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n•2＝8n，得到两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数；
（3）利用阴影部分面积为：S阴影部分＝992﹣972+952﹣932+912﹣892+…+72﹣52+32﹣12，进而求出即可．
【解答】解：（1）∵32＝8×4＝92﹣72，
∴32是奇特数，
∵因为2018不能表示为两个连续奇数的平方差，
∴2018不是奇特数，
故答案为：是，不是；
（2）由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数，
理由：∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n•2＝8n，
∴由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数．
（3）S阴影部分＝992﹣972+952﹣932+912﹣892+…+72﹣52+32﹣12
＝（99+97）（99﹣97）+（95+93）（95﹣93）+（91+89）（91﹣89）+…+（7+5）（7﹣5）+（3+1）（3﹣1）
＝（99+97+95+…+3+1）×2
＝×2
＝5000．
13．已知多项式A＝x2+2x+n2，多项式B＝2x2+4x+3n2+3．
（1）若多项式x2+2x+n2是完全平方式，则n＝ ±1 ；
（2）有同学猜测B﹣2A的结果是定值，他的猜测是否正确，请说明理由；
（3）若多项式x2+2x+n2的值为﹣1，求x和n的值．
【分析】（1）根据完全平方式的定义计算即可；
（2）把A＝x2+2x+n2，B＝2x2+4x+3n2+3代入B﹣2A计算即可；
（3）由题意可得x2+2x+n2＝﹣1，整理后利用非负数的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵x2+2x+n2是一个完全平方式，
∴x2+2x+n2＝（x+1）2，
∴n2＝1，
∴n＝±1．
故答案为：±1；
（2）猜测不正确，理由：
∵A＝x2+2x+n2，B＝2x2+4x+3n2+3，
∴B﹣2A＝2x2+4x+3n2+3﹣2（x2+2x+n2）＝2x2+4x+3n2+3﹣2x2﹣4x﹣2n2＝n2+3，
∵结果含字母n，
∴B﹣2A的结果不是定值；
（3）由题意可得x2+2x+n2＝﹣1，
∴x2+2x+n2+1＝0，
∴（x+1）2+n2＝0，
∴x+1＝0，n＝0，
∴x＝﹣1．
14．探究题：
（1）问题情景：将下列各式因式分解，将结果直接写在横线上：x2+6x+9＝ （x+3）2 ；x2﹣4x+4＝ （x﹣2）2 ；4x2﹣20x+25＝ （2x﹣5）2 ；
（2）探究发现：观察以上三个多项式的系数，我们发现：62＝4×1×9；（﹣4）2＝4×1×4；（﹣20）2＝4×4×25；
归纳猜想：若多项式ax2+bx+c（a＞0，c＞0）是完全平方式，猜想：系数a，b，c之间存在的关系式为 b2＝4ac ；
（3）验证结论：请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并用此式验证你猜想的结论；
（4）解决问题：若多项式（n+1）x2﹣（2n+6）x+（n+6）是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出n的值．
【分析】（1）可用完全平方公式进行分解因式；
（2）根据问题情境式子中的系数关系，可猜想b2＝4ac；
（3）可用完全平方公式进行验证；
（4）多项式ax2+bx+c（a＞0）是完全平方式，则系数a，b，c存在的关系为b2＝4ac，可得出[﹣（2n+6）]2＝4（n+1）（n+6），进而求出n的值．
【解答】（1）解：x2+6x+9＝（x+3）2；x2﹣4x+4＝（x﹣2）2；4x2﹣20x+25＝（2x﹣5）2．
故答案为：（x+3）2；（x﹣2）2；（2x﹣5）2．
（2）由情境中给的式子系数关系，可归纳猜想：b2＝4ac．
故答案为：b2＝4ac．
（3）验证结论：可用x2+4x+4，
验证：∵b2＝42＝16，4ac＝4×1×4＝16，
∴b2＝4ac．
（4）根据题意可得：[﹣（2n+6）]2＝4（n+1）（n+6），
∴4n2+24n+36＝4（n2+7n+6），
∴4n2+24n+36＝4n2+28n+24，
∴4n＝12，
解得n＝3．
15．阅读材料后解决问题．小明遇到下面一个问题：
计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）
＝（24﹣1）（28+1）
＝216﹣1．
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：
（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）；
（2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）．
【分析】（1）根据题中例题可得，在本题式子前面可乘以（2﹣1），然后利用平方差公式即可算出答案；
（2）根据题中例题可得，在整体的式子前面乘以（3﹣1），要想保持结果不变，再在式子前面乘以，然后利用平方差公式即可运算．
【解答】解：（1）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）
＝（28﹣1）（28+1）（216+1）
＝（216﹣1）（216+1）
＝232﹣1；
（2）原式＝×[（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）]
＝×[（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）]
＝×[（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）]
＝×[（38﹣1）（38+1）（316+1）]
＝×[（316﹣1）（316+1）]
＝．
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