人教版七年级下册6.2 立方根优秀课后练习题

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专题6.2 立方根

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1．了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根．
2．了解开方与乘方互为逆运算，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根．
考点精讲

考点1：求一个数的立方根
典例：（2023春·河南周口·七年级校联考阶段练习）已知，求的立方根．
【答案】
【分析】根据算术平方根和完全平方的非负性求出，，带入求值即可得到答案．
【详解】解：，
，，
，，
，
的立方根为 ．
方法或规律点拨
本题考查了算术平方根及完全平方式的非负性，有理数的乘方，立方根的概念，属于基础题，熟练掌握非负性与相关运算法则是解题关键．
巩固练习
1．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）下列说法不正确的是（    ）
A．25的平方根是 B．是81的一个平方根
C．4的算术平方根是 D．的立方根是
【答案】C
【分析】根据平方根，算术平方根，立方根的定义进行判断便可．
【详解】解：A.25的平方根是，说法正确，选项不符合题意；
B．是81的一个平方根，说法正确，选项不符合题意；
C.4的算术平方根是2，不是，说法错误，选项符合题意；
D．的立方根是，说法正确，选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平方根，算术平方根，立方根的定义，关键是熟记和正确理解这些概念．
2．（2022秋·重庆万州·八年级重庆市万州新田中学校考期中）已知代数式与是同类项，那么的值为（    ）
A． B．1 C． D．0
【答案】A
【分析】根据代数式与是同类项，求出m，n的值，再计算即可求解．
【详解】∵代数式与是同类项，
∴，
∴，
∴
故选A．
【点睛】本题考查同类项和立方根的知识，解题的关键是根据同类项和立方根的定义进行求解．
3．（2023春·河南周口·七年级校联考阶段练习）的立方根为（   ）
A． B．
C．2 D．4
【答案】A
【分析】如果一个数的立方等于，那么是的立方根，根据此定义求解即可．
【详解】∵的立方等于，
∴的立方根等于，
故选：A．
【点睛】本题考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方，由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根，注意一个数的立方根与原数的性质符号相同，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
4．（2023秋·河北唐山·八年级统考期末）下列等式成立的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据算术平方根、平方根和立方根的定义求解即可．
【详解】解：A、，此选项错误，不符合题意；
B、，此选项正确，符合题意；
C、，此选项错误，不符合题意；
D、，此选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了算术平方根、平方根和立方根的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．
5．（2023秋·重庆九龙坡·七年级重庆实验外国语学校校考期末）下列说法不正确的是（    ）
A．的平方根是 B．是的一个平方根
C．的算术平方根是0.4 D．的立方根是
【答案】D
【分析】根据平方根的意义、算术平方根的意义、立方根的意义，判断即可；
【详解】解：A．的平方根是，选项正确，不符合题意；
B．是的一个平方根，选项正确，不符合题意；
C．的算术平方根是，选项正确，不符合题意；       
D．的立方根是，选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是平方根、算术平方根的性质，熟练掌握平方根、算术平方根的性质是解题的关键．
6．（2023秋·四川内江·八年级统考期末）下列各式中运算正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平方根、算术平方根及立方根定义计算即可解答．
【详解】解：A. ，故本选项错误；
B. ，故本选项正确；
C. ，故本选项错误；
D. ，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了立方根，算术平方根及立方根定义，掌握平方根和算术平方根的区别与联系是解答本题的关键．
7．（2022秋·浙江温州·七年级统考期中）的立方根是（    ）
A． B． C． D．没有意义
【答案】C
【分析】根据立方根的定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴的立方根是，
故选：C．
【点睛】本题考查立方根，会利用立方根的定义求一个数的立方根是解答的关键．
8．（2022春·湖北武汉·七年级武汉市武珞路中学校考阶段练习）已知一个正方体的体积扩大为原来的n倍，它的棱长变为原来的（    ）
A．倍 B．倍 C．3n倍 D．n3倍
【答案】A
【分析】设正方体的原体积为1，则此时原棱长为1，再由扩大后的体积求出扩大后的棱长，然后比较即可．
【详解】设正方体的原体积为1，
根据正方体体积公式可知此时原棱长为1，
体积扩大为原来的n倍后，体积为n，
此时棱长为，
棱长变为原来的，
故选A．
【点睛】本题考查了正方体的体积公式和求一个数的立方根，解此类题时可先对一个未知量进行假设，从而简化过程．
9．（2022秋·山东青岛·七年级统考期末）下列计算，错误的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】直接利用立方根以及算术平方根的定义计算得出答案．
【详解】解：A．，原计算错误，故该选项符合题意；
B．，正确，故该选项不合题意；
C．，正确，故该选项不合题意；
D．，正确，故该选项不合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了立方根以及算术平方根的定义，正确掌握相关性质是解题关键．
10．（2022秋·山东枣庄·八年级滕州市西岗镇西岗中学校考期末）下列说法中，正确的个数是（   ）
的立方根是；
的算术平方根是；
的立方根是；
的平方根是．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐个进行判断即可．
【详解】解：的立方根是，因此正确；
的算术平方根是，因此不正确；
的立方根是，因此正确；
没有平方根，因此不正确；
因此正确的结论有：，共个，
故选：B．
【点睛】本题考查平方根、算术平方根、立方根，掌握平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
11．（2020秋·四川广元·七年级校考期中）若，则_____．
【答案】或5##5或
【分析】根据平方根和立方根的定义即可求出a，b的值，进一步计算即可．
【详解】解：因为，
所以，，
所以或．
故答案为：或5．
【点睛】此题主要考查了平方根和立方根，能够根据平方根和立方根的定义正确得出a，b的值是解题关键．
12．（2022秋·浙江温州·七年级统考期中）己知a是绝对值最小的数，则______．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义得到，再由0的立方根是0求解即可．
【详解】解：∵绝对值最小的数是0，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查绝对值的意义、立方根，正确得出a值是解答的关键．
13．（2022秋·甘肃天水·八年级校考阶段练习）的立方根是__________．
【答案】2
【分析】利用开方运算，进行计算即可．
【详解】解：，
∴的立方根是：；
故答案为：．
【点睛】本题考查求一个数的立方根．熟练掌握开方运算，是解题的关键．注意先化简，再计算．
14．（2022春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）的立方根是______．
【答案】2
【分析】先求出，再根据立方根的性质，即可求解．
【详解】解：，的立方根为，
故答案为：
【点睛】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的性质是解本题的关键．
考点2：平方根和立方根的综合应用
典例：（2022秋·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）已知的立方根是4，的算术平方根是5，c是9的算术平方根，
(1)求a，b，c的值
(2)求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据立方根的概念和算术平方根的概念进行求解即可；
（2）先代值计算，再根据平方根的定义进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，∴，∴；
∵，∴，∵，∴；
∵，∴；
（2）把：代入得：
，
∵，
∴的平方根是：．
方法或规律点拨
本题考查平方根，算术平方根和立方根，熟练掌握平方根：一个数的平方是，叫做的平方根；算术平方根：一个非负数的平方是，叫做的算术平方根；立方根：一个数的立方是，叫做的立方根，是解题的关键．
巩固练习
1．（2022春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知的立方根为，则的算术平方根是(      )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据立方根的定义求出的值，再代入求出的值，最后由算术平方根的定义进行计算即可．
【详解】解：的立方根为，
，
解得，
，
的算术平方根为，
故选：C．
【点睛】本题考查平方根、算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
2．（2022秋·浙江金华·七年级统考期中）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系
【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，
∴，

∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键．
3．（2022秋·吉林长春·八年级吉林大学附属中学校考期末）若是的算术平方根，是的立方根，则的值为__________．
【答案】##
【分析】根据算术平方根的运算求得；根据立方根运算求得，进而得出结果．
【详解】解：是即4的算术平方根，
，
是的立方根，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查平方根与立方根运算，读懂题意，准确表示出与值是解决问题的关键．
4．（2022秋·山东威海·七年级校考阶段练习）如果a是100的算术平方根，b是125的立方根，的平方根是_____．
【答案】
【分析】根据题意，求得、，再根据算术平方根和平方根求解即可．
【详解】解：∵a是100的算术平方根，b为125的立方根，
∴，，
∴，
∴，
∴的平方根为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了平方根、算术平方根以及立方根的求解，解题的关键是熟练掌握平方根、算术平方根以及立方根的运算．
5．（2022秋·湖南永州·八年级校考期中）已知的算术平方根是6，的立方根是5，则的平方根为___________．
【答案】
【分析】根据的算术平方根是6，的立方根是5，可得方程组，①+②再化简得到的值，然后求平方根即可得到答案．
【详解】解：∵的算术平方根是6，的立方根是5
∴
∴①+②：
∴=16
∴的平方根为
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方根和立方根的定义，平方根和立方根是解题关键．易错点：正数有两个平方根，不能只写一个平方根．
6．（2022秋·吉林长春·八年级长春市第二实验中学校考期末）已知的平方根是，的立方根是，求的平方根
【答案】
【分析】根据已知得出，，求出，，求出的值，最后求出的平方根即可．
【详解】解：的平方根是，的立方根是，
，，
，，
，
即的平方根是 ．
【点睛】本题考查了平方根，立方根的应用，掌握平方根与立方根的定义是解题的关键．
7．（2021秋·陕西汉中·八年级统考期中）一个正数的算术平方根为，它的平方根为，求这个正数的立方根．
【答案】这个正数的立方根为或1．
【分析】分情况讨论：①当时，②当时，求出m的值，即可求出这个正数及其立方根．
【详解】解：根据题意，得
是与两数中的一个．
①当时，解得，则，
所以这个正数为4，它的立方根为；
②当，解得，则，
所以这个正数为1，它的立方根为1．
综上可知，这个正数的立方根为或1．
【点睛】本题考查算术平方根，平方根，立方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根，平方根，立方根．
8．（2022秋·陕西西安·八年级统考期中）已知的立方根是，的算术平方根是，求的值．
【答案】4
【分析】根据立方根与算术平方根的定义求出，的值即可．
【详解】解：的立方根是，的算术平方根是，
，，
，，
．
【点睛】本题考查的是立方根与算术平方根，熟知立方根与算术平方根的定义是解题的关键．
9．（2022秋·山东枣庄·八年级校考阶段练习）己知的平方根为，的立方根为2，求的算术平方根．
【答案】3
【分析】先根据平方根和立方根的定义列出二元一次方程组，然后求得a、b的值，最后代入求的算术平方根即可．
【详解】解：由题意得：
解得
则，，
即的算术平方根为3．
【点睛】本题考查了平方根、立方根的定义，灵活运用平方根、立方根的定义是解答本题的关键．
10．（2022秋·广东佛山·八年级大沥中学校考阶段练习）已知2的平方等于，是27的立方根，表示3的平方根．
(1)求，，的值；
(2)求多项式：．
【答案】(1)，，；
(2)．
【分析】（1）根据平方根和立方根的性质，列式子，求解即可；
（2）将，，的值代入求解即可．
【详解】（1）解：由2的平方等于，是27的立方根，表示3的平方根可得
，，
解得，，；
（2）解：将，，代入，可得
．
【点睛】此题考查了平方根、立方根的性质以及有理数的有关运算，解题的关键是理解平方根、立方根的性质，正确求得，，的值．
11．（2022秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）已知4是的算术平方根，的立方根为．
(1)求和的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)．
(2)
【分析】（1）根据算术平方根、立方根的定义，得到，，求出和的值即可；
（2）把和的值代入代数式求出代数式的值，根据平方根的定义即可解答．
【详解】（1）解：∵4是的算术平方根，
∴，
∴，
∵的立方根为，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，
64的平方根为，
∴的平方根为．
【点睛】此题主要考查了平方根、算术平方根、立方根，解题关键是熟记平方根、算术平方根、立方根的定义．
12．（2022秋·江苏无锡·八年级无锡市天一实验学校校考期中）（1）已知的算术平方根是2，的立方根是2，求a、b的值；
（2）已知一个正数x的平方根分别是和，求x的值．
【答案】（1）；（2）x的值为9．
【分析】（1）利用算术平方根和立方根的概念即可求得a和b的值；
（2）根据一个正数有两个平方根且它们互为相反数，列方程求解得到a的值，即可确定正数x的值．
【详解】解：（1）由题意可得：
，
解得：；
（2）由题意可得：
，
解得：，

∴x的值为9．
【点睛】本题考查算术平方根和立方根，理解算术平方根，平方根，立方根的概念列出相应的方程是解题关键．
13．（2022·全国·七年级专题练习）本学期第六章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：

平方根
立方根
定义
一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）．
一般地，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）．
性质
一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根．
正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．
【类比探索】（1）探索定义：填写下表

1
16
81
x



类比平方根和立方根，给四次方根下定义：______．
（2）探究性质：①1的四次方根是______；②16的四次方根是______；③0的四次方根是______；④______（填“有”或 “没有”）四次方根．
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：______；
【拓展应用】（1）______；（2）______；（3）比较大小：______．
【答案】【类比探索】（1）依次为：，，；一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根；（2）①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；【拓展应用】（1）；（2）；（3）>．
【分析】类比探索：（1）类比平方根和立方根给出四次方根的定义，并进行计算填表；
（2）根据四次方根的定义进行计算填空，归纳出四次方根的性质即可；
拓展应用：根据定义求一个数的四次方根，通过将数进行四次方以后进行比较大小即可．
【详解】类比探索
（1），，；表格中数据依次为：，，；
类比平方根和立方根的定义可得：一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根；
（2）①1的四次方根是：；②16的四次方根：；③0的四次方根是：0；④没有四次方根；
类比平方根和立方根的性质可得：一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；
拓展应用
（1）；（2）；
（3）∵，∴>．
【点睛】本题考查类比探究类问题．类比平方根和立方根得出四次方根的定义和性质是解题的关键．
考点3：利用立方根的性质解方程
典例：（2022春·贵州遵义·七年级校考阶段练习）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】（1）先左右两边同时乘以3，再根据立方根的定义开立方得到，从而得解；
（2）先将移项合并数字得，再根据平方根的定义开方得到，从而得解．
（1）解：两边同时乘以3得：，
根据立方根的定义开立方得：，
解得：．
（2）移项，合并数字得：，
根据平方根的定义开方得：，
解得： 或．
方法或规律点拨
本题考查利用平方根和立方根的定义解方程，掌握相关定义是解题的关键．
巩固练习
1．（2022秋·山西运城·八年级校考阶段练习）求未知数x的值： ．
【答案】
【分析】根据立方根的定义求解即可．
【详解】 ，
，
．
【点睛】本题考查立方根的定义，熟悉掌握立方根的定义是解题的关键．
2．（2022秋·江苏·八年级专题练习）求下列各式中x的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）根据平方根的定义即可得到答案；
（2）根据立方根的定义即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：
，
．
【点睛】本题主要考查了平方根、立方根，熟练掌握平方根的定义、立方根的定义是解题关键．
3．（2022秋·福建三明·八年级统考期中）求值
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据立方根的定义即可进行求解；
（2）根据平方根的定义即可进行求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
，
．
（2）解：∵，，
∴或，
解得：．
【点睛】本题主要考查了根据平方根和立方根的定义解方程，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义，注意一个正数有两个立方根．
4．（2022·全国·七年级专题练习）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)或；
(2)
【分析】（1）方程两边直接开平方，得到两个一元一次方程，解一元一次方程即可；
（2）将方程变形为，然后利用立方根的定义即可求解．
【详解】（1）解：
开平方得，，
即或，
解得或；
（2）解：
移项得，，
方程两边同除以3，得，
∴，
解得．
【点睛】本题考查了利用平方根和立方根解方程，理解掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．
5．（2022秋·辽宁阜新·八年级校考阶段练习）求下列各式中的x．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将方程变形，再根据平方根的定义去掉括号，得到两个一元一次方程，求解即可；
（2）先将方程变形，再开立方求解即可．
【详解】（1）解：


∴或
解得：，；
（2）



解得：.
【点睛】本题考查了利用平方根和立方根的概念解方程，熟练掌握相关定义是解题的关键．
6．（2023秋·辽宁阜新·八年级校考阶段练习）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据题意，可得：，据此求出的值是多少即可；
（2）根据立方根的含义和求法，据此求出的值是多少即可．
（1）
解：，
，
或，
解得：或．
（2）
解：，
，
解得：．
【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的应用，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键．
7．（2023秋·陕西西安·八年级西安益新中学校考阶段练习）解方程：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)变形后直接利用平方根的性质求解；
(2)移项变性后，利用平方根的性质求解；
(3)移项变形后，利用立方根的性质求解．
（1）
解：∵，
∴，
∴，即；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
【点睛】本题考查了平方根和立方根，理解掌握平方根和立方根的性质是解题的关键．
8．（2022春·福建莆田·七年级校考期中）解下列方程
(1)．
(2)．
【答案】(1)x1＝﹣2，x2＝4
(2)x＝﹣1.8

【分析】（1）先系数化为1，再运用平方根的定义求解即可；
（2）移项，系数化为1，再运用立方根的定义求解即可．
（1）
，
系数化为1得（x﹣1）2＝9，
开平方得x﹣1＝±3，
解得x1＝﹣2，x2＝4．
（2）
，
∴，
开立方得，
解得x＝﹣1.8．
【点睛】本题主要考查了立方根和平方根，熟记定义是解题的关键．
9．（2022春·湖北武汉·七年级武汉市武珞路中学校考阶段练习）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将方程化为，再利用平方根的定义即可求解；
（2）将方程变形为，然后利用立方根的定义即可求解．
【详解】（1）解：，
方程两边同除以2，得，
解得；
（2）解：
方程两边同除以3，得，
∴，
解得．
【点睛】本题考查了平方根和立方根的定义，理解掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．
考点4：立方根的实际应用
典例：某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间t（h）可以用公式来估计，其中d（km）是雷雨区域的直径．
（1）如果雷雨区域的直径为6km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果精确到0.1h）
（2）如果一场雷雨持续了1h，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到0.01km）
【答案】（1）0.5h；（2）9.65km
【分析】（1）根据，其中d=6km是雷雨区域的直径，开算术平方，可得答案；
（2）根据，其中t=6h，是雷雨持续时间，开立方，可得答案；
【详解】（1）．这场雷雨大约能持续0.5h．
（2）
方法或规律点拨
本题主要考查了算术平方根，立方根的应用，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．
巩固练习
1．（2022秋·吉林长春·八年级吉林大学附属中学校考阶段练习）一个正方体的体积是，则它的棱长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正方体体积的计算方法，利用立方根进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴若一个正方体的体积是，则它的棱长是，
故选B．
【点睛】本题考查了立方根，理解立方根的意义是正确解答的关键．
2．（2021秋·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）一个正方体的体积是 ，则它的表面积是（    ）
A．96 B．64 C．32 D．16
【答案】A
【分析】设正方体的棱长为，根据题意可得，进而求得的值，根据表面积等于，即可求解．
【详解】解：设正方体的棱长为，根据题意可得，
，
表面积等于，
故选A．
【点睛】本题考查了立方根的应用，求得正方体的棱长是解题的关键．
3．（2022春·安徽六安·七年级统考期中）如果一个正方体的体积变为原来的64倍，那么它的棱长增加为原来的多少倍?（    ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】根据正方体的体积计算公式和立方根的定义即可求解．
【详解】解：设正方体原来的棱长为，则原来的体积为，
增大后的正方体的体积为，则增大后的正方体的棱长为，
所以正方体的棱长增加为原来的4倍．
故选B．
【点睛】此题主要考查了立方体的体积公式，解题关键是利用立方根的定义，准确地求出新立方体的边长，从而求出边长之间的关系．
4．（2022秋·全国·八年级专题练习）随着张吉怀高铁在2021年建成通车，昔日饱受交通制约的湘西州，也迎来了便捷的现代化快速交通．在湘西州花垣县，还有一个现代化的交通大工程——湘西机场正在建设．建设机场多余的土方呈圆锥形，土方的底面直径为100米，高度为50米．现在用卡车将土方运送到15公里外的垃圾池进行填平，已知垃圾池是规则的立方体，并且土方刚好填满垃圾池．请问垃圾池的底面边长大约是多少米（π取3）（      ）
A．50 B．60 C．70 D．40
【答案】A
【分析】根据题意得：垃圾池的体积等于圆锥形土方的体积，求出圆锥形土方的体积，即可求解．
【详解】解：根据题意得：垃圾池的体积等于圆锥形土方的体积，
，
∴垃圾池的底面边长大约是米．
故选：A
【点睛】本题主要考查了立方根的应用，明确题意，理解垃圾池的体积等于圆锥形土方的体积是解题的关键．
5．（2022秋·安徽宿州·八年级统考期中）正方体的体积是正方体的体积的倍，那么正方体的棱长是正方体的棱长的 _____倍．
【答案】
【分析】设正方体的棱长是，正方体的棱长是，根据题意得出根据立方根的定义得出，即可求解．
【详解】解：设正方体的棱长是，正方体的棱长是，
依题意得：
∴
即正方体的棱长是正方体的棱长的倍.
故答案为：
【点睛】本题考查了立方根的应用，掌握立方根的定义是解题的关键．
6．（2022秋·全国·七年级专题练习）底面积为，高为19cm的圆柱形容器内有若干水，水位高度为，现将一个边长为6cm的立方体铁块水平放入容器底部，立方体完全沉没入水中（如图甲）．再将一个边长为acm的立方体铁块水平放在第一个立方体上面，若第二个立方体只有一半没入水中（如图乙）．此时水位高度为，若，则___________cm．

【答案】4
【分析】根据是两个立方体放入水中后水位上升的高度，利用水位上升的高度等于浸没在水中部分的立方体的体积÷圆柱体的底面积，列式进行计算即可．
【详解】解：由题意得：
，
解得：；
故答案为：4．
【点睛】本题考查立方根的应用．解题的关键是明确水位上升的高度等于水位上升的高度等于浸没在水中部分的立方体的体积÷圆柱体的底面积．
7．（2022春·山东德州·七年级统考期中）现有两个大小不等的正方体茶叶罐，大正方体茶叶罐的体积为，小正方体茶叶罐的体积为，将其叠放在一起放在地面上（如图），则这两个茶叶罐的最高点到地面的距离是________．

【答案】15
【分析】直接利用立方根得出大正方体和小正方体的棱长进而得出答案．
【详解】解：∵大正方体的体积为1000cm3，小正方体的体积为125cm3，
∴大立方体的棱长为10cm，小立方体的棱长为5cm，
∴这个物体的最高点A到地面的距离是：10+5=15（cm）．
故答案为：15．
【点睛】此题主要考查了立方根，正确得出各条棱长是解题的关键．
8．（2022秋·安徽宿州·八年级统考期中）“魔方”（如图）是一种立方体形状的益智元具，它由三层完全相同的小立方块组成，如果“魔方”的体积为cm3，那么组成它的每个小立方块的棱长为多少？

【答案】每个小立方块的棱长为2cm
【分析】设每个小立方块的棱长为xcm，则大立方体的棱长为cm，正方体体积公式建立方程并求解即可．
【详解】解：设每个小立方块的棱长为xcm，则大立方体的棱长为cm，
∵“魔方”的体积为cm3，
∴，
，
，

，
答：每个小立方块的棱长为2cm．
【点睛】本题考查了正方体体积公式、立方根的计算；掌握立方根正确求解方程是解题的关键．
9．（2021秋·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）在一个长、宽、高分别为8，4，2的长方体容器中装满水，将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满（两容器的厚度忽略不计），求此正方体容器的棱长．
【答案】4cm
【分析】根据长方体的体积计算可得结论；根据正方体的体积等于棱长的立方进行开立方计算可得结论．
【详解】解：由于装满水的长方体容器中的水，全部倒入正方体容器中，恰好倒满，
所以它们的体积相等，
而长方体容器的体积，
所以正方体容器的体积为64，
所以此正方体容器的棱长为．
【点睛】本题主要考查了立方根的概念的运用以及应用，解决本题的关键是熟练掌握立方根的应用．
10．（2022秋·陕西咸阳·八年级统考期中）李叔叔将8个正方体魔方，放入到一个容积为的正方体纸箱中，恰好填满．求这个魔方的棱长．
【答案】
【分析】先算出1个魔方的体积，然后根据体积公式算出魔方的棱长即可．
【详解】解：1个魔方的体积为：．
则这个魔方的棱长为．
答：这个魔方的棱长为．
【点睛】本题主要考查了立方根的实际应用，解题的关键是熟练掌握正方体的体积公式，准确进行计算．
11．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期中）王老师为班级图书角购买了四本同一型号的字典，这种字典的长与宽相等．班长将这4本字典放入一个容积为512的正方体礼盒里，恰好填满．求这一本字典的厚度．
【答案】一本字典的厚度为2．
【分析】先利用立方根的定义求得正方体礼盒的边长，据此即可求得一本字典的厚度．
【详解】解：∵正方体礼盒的容积为512，
∴正方体礼盒的边长为=8()，
∴一本字典的厚度为8÷4=2()，
答：一本字典的厚度为2．
【点睛】本题考查了立方根的应用，注意：一个正数有一个正的立方根．
12．（2022秋·江苏·八年级专题练习）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题：
(1)已知，且x为整数．
∵，
∴x一定是一个两位数；
∵10648的个位数字是8，
∴x的个位数字一定是______；
划去10648后面的三位648得10，
∵，
∴x的十位数字一定是______；
∴______．
(2)，且y为整数，按照以上思考方法，请你求出y的值．
【答案】(1)2#，2#，22#
(2)
【分析】（1）根据立方根的定义和题意即可得出答案；
（2）根据（1）中的方法计算书写即可得出结果．
【详解】（1）解：∵，且x为整数．
∵，
∴x一定是一个两位数；
∵10648的个位数字是8，
∴x的个位数字一定是2；
划去10648后面的三位648得10，
∵，
∴x的十位数字一定是2；
∴22．
故答案为：2，2，22．
（2）∵，
∴y一定是两位数；
∵614125的个位数字是5，
∴y的个位数字一定是5；
划去614125后面的三位125得614，
∵，
∴y的十位数字一定是8；
∴．
【点睛】本题考查立方根，灵活运用立方根的计算是解题的关键．
13．（2023·全国·九年级专题练习）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤：
①首先进行了估算：因为，，所以是两位数；
②其次观察了立方数：；猜想的个位数字是7；
③接着将往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：的立方根是；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
(1)= ；
(2)若，则 ；
(3)已知，且与互为相反数，求的值．
【答案】(1)
(2)3
(3)，；，；，

【分析】（1）根据题目中给定的方法进行求解即可；
（2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可；
（3）根据立方根的性质，立方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可．
【详解】（1）解：因为，，所以是两位数，
因为；猜想的个位数字是9，
接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是；
最后再依据“负数的立方根是负数”得到；
（2）解：∵，
∴和 互为相反数，
∴，
∴；
故答案为：3．
（3）解：，即，
∴或1或
解得：或3或1
∵与互为相反数，即，
∴，即，
∴时，；
当时，；
当时，．
【点睛】本题考查求一个负数的立方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键．
能力提升

一、单选题（每题3分）
1．（2022秋·浙江丽水·七年级统考期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据有理数的乘方以及平方根、算术平方根、立方根的定义逐项进行计算即可．
【详解】解：A、，选项错误，不符合题意；
B、，选项正确，符合题意；
C、，选项错误，不符合题意；
D、，选项错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查乘方和开方运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
2．（2021春·云南昆明·七年级校考期中）下列计算中正确的是（    ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依据算术平方根以及立方根的定义，即可得到结论．
【详解】解：A、，原计算错误，故该选项不符合题意；
B、，原计算错误，故该选项不符合题意；
C、没有意义，故该选项不符合题意；
D、，正确，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了算术平方根以及立方根的定义，熟练掌握算术平方根以及立方根的定义是解题的关键．
3．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）下列说法不正确的是（   ）
A．225的平方根是 B．的立方根是
C．0的算术平方根是0 D．125的立方根是
【答案】D
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项进行判断即可．
【详解】解：225的平方根是，故A选项正确，不合题意；
的立方根是，故B选项正确，不合题意；
0的算术平方根是0，故C选项正确，不合题意；
125的立方根是，故D选项错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查平方根、算术平方根、立方根的计算，属于基础题，解题的关键是熟练掌握平方根、立方根、算术平方根的定义．
4．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考期中）小明利用计算器得到下表中的数据：

8
8.5
9
9.5
10

64
72.25
81
90.25
100

512
614.125
729
857.375
1000

那么在（    ）A．9～9.5之间 B．9.5～10之间 C．90～95之间 D．95～100之间
【答案】B
【分析】根据表中的数据可知，即，由此可得的取值范围．
【详解】解：∵，，且，
∴，
故在9.5～10之间，
故选：B．
【点睛】本题考查立方根，平方根，能够正确理解立方根的定义是正确解答的前提．
5．（2022秋·浙江宁波·七年级浙江省鄞州区宋诏桥中学校考期中）一个长、宽，高分别为50、8、20的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，则锻造成的立方体铁块的棱长是（    ）
A．20 B．200 C．40 D．
【答案】A
【分析】先求出体积，再求立方根即可．
【详解】解：∵铁块体积是
∴锻造成的立方体铁块的棱长为：，
故选：A．
【点睛】本题考查立方根的应用，会求立方根是解题的关键．
6．（2022秋·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习）类比平方根和立方根，我们定义n次方根为：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整数．例如：因为，所以±3叫81的四次方根，记作：，因为，所以叫的五次方根，记作：，下列说法不正确的是（　　）
A．负数a没有偶数次方根 B．任何实数a都有奇数次方根
C． D．
【答案】D
【分析】利用n次方根的定义逐项判断即可解答．
【详解】解：∵任何实数的偶数次都是非负数，
∴负数a没有偶数次方根，
∴A选项的结论不符合题意；
∵任何实数a都有奇数次方根，
∴B选项的结论不符合题意；
∵，
∴，
∴C选项的结论不符合题意；
∵，
∴，
∴D选项的结论符合题意，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了方根的意义，理解并熟练应用n次方根的定义是解题的关键．
二、填空题（每题3分）
7．（2022秋·福建泉州·八年级校考期末）已知与互为相反数，则________．
【答案】6
【分析】直接利用相反数的定义得出x的值，进而代入计算得出答案．
【详解】解：由题意可知：，
解得：．
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确得出x的值是解题关键．
8．（2022秋·江苏·八年级期中）如果，则__．
【答案】
【分析】先通过求出的值，再将的值代入中即可求解．
【详解】解：，
，
故本题答案为：．
【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，正确掌握算术平方根和立方根的概念是解题的关键．
9．（2023春·广东江门·七年级统考期末）若，，那么________．
【答案】
【分析】根据立方根的小数点的移位法则：被开方数的小数点每移动3位，立方根的小数点移动1位，进行求解即可．
【详解】解：由立方根的小数点的移位法则：被开方数每移动3位，立方根移动1位，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查立方根的小数点的移动法则．熟练掌握被开方数的小数点每移动3位，立方根的小数点移动1位，是解题的关键．
10．（2021秋·浙江湖州·七年级统考期中）定义新运算：对任意实数a、b，都有，例如，，那么=________．
【答案】
【分析】根据题目所给的定义新运算，先求出的值，再求出的值，最后求出的立方根即可．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义运算，立方根的求法，解题的关键是根据题意得到算式，然后由立方根的运算法则进行求解即可．
11．（2022春·河北保定·七年级统考期末）依据图中呈现的运算关系，

可知：=___________；=___________．
【答案】         
【分析】利用立方根和平方根的定义及性质即可解决问题．
【详解】解：依据图中呈现的运算关系，可知2020的立方根是m，a的立方根是，
∴，
∴；
又∵n的平方根是45和b，
∴．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了立方根和平方根的定义及性质，熟练掌握定义及性质是解题的关键．
12．（2022春·广东江门·七年级江门市福泉奥林匹克学校校考阶段练习）已知a，b为两个相连的整数，满足，则的立方根为_________．
【答案】3
【分析】根据夹逼法求出a，b，算出，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵a，b为两个相连的整数，
∴，，
∴，
故答案为3．
【点睛】本题考查二次根数的估算及立方根的定义，解题的关键是用夹逼法求出a，b．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2023春·河南周口·七年级校联考阶段练习）求下列各式中的x的值：
(1)；
(2)
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】（1）移项后直接开平方即可求出x的值；
（2）移项后直接开立方即可求出x的值．
【详解】（1）解：


解得：，；
（2）解：



解得：．
【点睛】本题考查了利用直接开平方和开立方的方法求方程的解，注意开平方有两个根，且互为相反数．
14．（2022秋·浙江嘉兴·七年级校联考期中）计算
(1)
(2)
【答案】(1)1；
(2)12．
【分析】（1）根据算术平方根、立方根的性质化简，再求和即可；
（2）先计算乘方，利用乘法分配律简便计算即可求解．
【详解】（1）解：

；
（2）解：


．
【点睛】本题考查了实数和有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
15．（2022秋·陕西咸阳·八年级统考期中）已知的算术平方根是1，的平方根是，是的立方根，求的平方根．
【答案】的平方根是
【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义求出的值，进而即可求出答案．
【详解】解：的算术平方根是1，
，
，
的平方根是，
，
，
是的立方根，
，
，
的平方根是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了算术平方根、平方根、立方根的定义和性质，解题的关键是熟练掌握其基本知识，属于中考常考题型．