【同步讲义】（人教A版2019）高中数学选修第三册：随机变量及其分布章末检测卷（二）

随机变量及其分布章末检测卷（二）

说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。

3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。

第I卷(选择题  共60分)

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）

1．（2023秋·广东珠海·高二珠海市第四中学校考开学考试）已知事件A，B，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】直接利用条件概率公式计算即可求出.

【详解】因为, .

所以.

故选：A.

2．（2023春·广东广州·高二校考期中）已知随机变量，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用正态分布曲线性质即可求得所求概率.

【详解】，.

故选：A.

3．（2023·内蒙古包头·统考二模）某一随机变量的概率分布如下表，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据离散型随机变量分布列的性质和已知条件得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，由此可求得的值.

【详解】由离散型随机变量分布列的性质以及已知条件得，解得，

因此，.

故选：B.

4．（2023春·广东广州·高二广州市培正中学校考期中）由“0”、“1”、“2”组成的三位数码组中，若用表示“第二位数字为0”的事件，用表示“第一位数字为0”的事件，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由条件概率计算公式计算，，计算出和后即可得．

【详解】.

故选：B.

【点睛】本题考查条件概率，求条件概率可通过公式计算，也可通过求出样本空间中基本事件的个数，以及样本空间中含有样本点的基本事件的个数，由公式计算．

5．（2023春·广东广州·高二中山大学附属中学校考期中）甲乙两位游客慕名来到咸宁泡温泉，准备分别从三江森林温泉、太乙温泉、温泉谷和瑶池温泉4个温泉中随机选择其中一个，记事件A：甲和乙选择的温泉不同，事件B：甲和乙至少一人选择三江森林温泉，则条件概率（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，求出事件A含有的基本事件个数，事件AB含有的基本事件个数，再利用条件概率公式计算作答.

【详解】甲和乙选择的温泉不同，则事件A含有的基本事件个数，

事件AB是三江森林温泉必有1人选，另1人从余下3个温泉中选择1个的事件，

则事件AB含有的基本事件个数，

所以.

故选：D

6．（2023春·广东广州·高二二师番禺附属初中校考期中）某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】解：根据题意，播下4粒种子恰有2粒发芽即4次独立重复事件恰好发生2次，

由n次独立重复事件恰好发生k次的概率的公式可得，

故选B．

7．（2023春·广东·高二统考期末）已知是离散型随机变量，，，，则

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】是离散型随机变量，，，，由已知得，解得，，

，故选B.

8．（2023春·广东广州·高二统考期末）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（    ）

A． B．随机变量服从二项分布

C．随机变量服从几何分布 D．

【答案】C

【分析】由题意知随机变量服从超几何分布，利用超几何分布的性质直接判断各选项即可．

【详解】解：由题意知随机变量服从超几何分布，故B错误，C正确；

的取值分别为0，1，2，3，4，则，，

，，，

，

故A，D错误．

故选：C．

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．（2023·广东广州·校联考）若随机变量Ｘ服从两点分布，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】由两点分布性质可知，根据数学期望和方差计算公式可判断AB的正误；根据均值和方差的性质可判断CD的正误.

【详解】解：随机变量服从两点分布且，，

对于A，，，A正确；

对于B，，B正确；

对于C，，C错误；

对于D，，D正确.

故选：ABD.

10．（2023·广东江门·校考模拟预测）假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表：

在该市场中任意买一部智能手机，用，，分别表示买到的智能手机为甲品牌､乙品牌､其他品牌，B表示买到的是优质品，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】根据表中数据，结合条件概率公式、全概率公式逐一判断即可.

【详解】因为乙品牌市场占有率为30%，所以，因此选项A正确；

因为，所以选项B不正确；

因为，所以选项C正确；因为

所以选项D正确，

故选：ACD

11．（2023春·广东潮州·高二校考期中）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以事件，和表示从甲罐取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，以事件B表示从乙罐取出的球是红球，则下列结论中正确的是（    ）

A．事件B与事件相互独立 B．，，是两两互斥的事件

C． D．

【答案】BC

【分析】由题意，，是两两互斥的事件，由条件概率公式求出， ，对照四个选项进行判断即可．

【详解】解：由题意，，是两两互斥的事件，故B正确；

又，，，，由此知，C正确；

同理可得，，

而，故D错误．

因为，即，所以事件B与事件不相互独立，故A错误；

故选：BC．

12．（2023春·广东湛江·高二湛江二十一中校考期中）下列说法中正确的是（    ）

A．设随机变量X服从二项分布，则

B．已知随机变量X服从正态分布且，则

C．；

D．已知随机变量满足，，若，则随着x的增大而减小，随着x的增大而增大

【答案】ABD

【分析】对于选项都可以通过计算证明它们是正确的；对于选项根据方差的性质，即可判断选项C.

【详解】对于选项设随机变量，

则，

所以选项A正确；

对于选项因为随机变量，

所以正态曲线的对称轴是，

因为，所以，

所以，所以选项B正确；

对于选项，

，故选项C不正确；

对于选项由题意可知，，

，

由一次函数和二次函数的性质知，

当时，随着x的增大而减小，

随着x的增大而增大，故选项D正确.

故选：ABD.

【点睛】本题主要考查二项分布和正态分布的应用，考查期望和方差的计算及其性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

第Ⅱ卷(非选择题  共90分)

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（2023·广东珠海·高二校联考阶段练习）首届国家最高科学技术奖得主，杂交水稻之父袁隆平院士为全世界粮食问题和农业科学发展贡献了中国力量，某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高（单位：）服从正态分布，若测量10000株水稻，株高在的约有______株．（若，，）

【答案】1359

【分析】先根据正态分布的对称性得到株高在的概率，再求出株高在的株数.

【详解】根据题意可知，，所以，，所以，所以株高在的约有株.

故答案为：1359.

14．（2023秋·广东·高二统考期末）某工厂有甲､乙､丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为，假设这三条生产线产品产量的比为，现从这三条生产线上共任意选取100件产品，则次品数的数学期望为___________.

【答案】##

【分析】设各类事件，求出各类事件的概率及相关条件概率，根据全概率公式求出选取的产品为次品的概率，由事件的分布性质求数学期望.

【详解】记事件：选取的产品为次品，

记事件：此件次品来自甲生产线，

记事件：此件次品来自乙生产线，

记事件：此件次品来自丙生产线，

由题意可得：

，

由全概率公式可得

，

从这三条生产线中任意选取1件产品为次品的概率为，任意选取100件产品，

设次品数为，则，

即.

故答案为：.

15．（2023春·广东茂名·高二统考期末）记（k，b为实常数），若，，则__________.

【答案】-3或3

【分析】随机变量 正态分布，则均值为，方差为；若，随机变量服从正态分布，则的均值为，方差为，代入公式计算即可.

【详解】由题知，，则随机变量（为实常数），服从的分布为 ，而又因为，所以有，解得或，所以-3或3.

故答案为-3或3.

16．（2023春·广东潮州·高二校考期中）已知随机变量的分布如下表，则______．

【答案】

【分析】由题知，进而得，再根据方差公式计算即可得答案.

【详解】解：由题知，解得，

所以，

所以

故答案为：

四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（2023春·广东茂名·高二统考期中）某一射手射击所得环数的分布列如下：

（1）求的值；

（2）求此射手射击所得环数的数学期望.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由分布列的性质可求得；

（2）用数学期望公式可求得结果.

【详解】（1）由分布列的性质得；

（2）此射手射击所得环数的数学期望.

18．（2023秋·广东汕尾·高二统考期末）书籍是精神世界的人口，阅读让精神世界闪光，阅读已成为中学生的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地中学生的阅读情况，通过随机抽样调查了n名中学生，对这些人每周的平均阅读时间（单位：小时）进行统计，并将样本数据分成[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12），[12，14），[14，16），[16，18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知这n名中学生中每周平均间读时间不低于16小时的人数是2人．

(1)求n和a的值；

(2)为进一步了解这n名中生数字媒体读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从周平均时间在[8，10），[10，12），[12，14）三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，现从这6人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在[10，12）内的中学生人数为X，求X的分布列和数学期望．

【答案】(1)100，0.10

(2)分布列见解析，期望为1

【分析】（1）根据总数等于频数除频率，即可求得总数n，根据频率和为1，可求得a值.

（2）根据三组内的中学生人数比为，可求得6人中周平均阅读时间在内的中学生人数为2人，可得X的可能取值，分别求得各个取值对应的概率，列出分布列，代入公式，即可得期望.

(1)

由题意得

．

(2)

依题意，周平均阅读时间在三组内的中学生人数比为，

则6人中周平均阅读时间在内的中学生人数为2人

X的所有可能取值为0，1，2

，，

所以X的分布列为

数学期望为

19．（2023春·广东东莞·高二东莞市新世纪英才学校校考阶段练习）某大学在一次公益活动中聘用了10名志愿者，他们分别来自A、B、C三个不同的专业，其中A专业2人，B专业3人，C专业5人，现从这10人中任意选取3人参加一个访谈节目．

（1）求3个人来自两个不同专业的概率；

（2）设X表示取到B专业的人数，求X的分布列．

【答案】（1）（2）见解析

【分析】令事件A表示“3个来自两个不同专业”，表示“3个人来自同一个专业”，表示“3个人来自三个不同专业”，利用对立事件的概率公式先求得，则可得结果．

随机变量X有取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和．

【详解】令事件A表示“3个来自两个不同专业”，

表示“3个人来自同一个专业”，

表示“3个人来自三个不同专业”，

，

，

个人来自两个不同专业的概率：．

随机变量X有取值为0，1，2，3，

，

，

，

，

的分布列为：

【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，考查古典概型、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

20．（2023春·广东佛山·高二佛山市南海区桂华中学校考阶段练习）惠州市某高中学校组织航天科普知识竞赛，分小组进行知识问题竞答.甲乙两个小组分别从6个问题中随机抽取3个问题进行回答，答对题目多者为胜.已知这6个问题中，甲组能正确回答其中4个问题，而乙组能正确回答每个问题的概率均为.甲､乙两个小组的选题以及对每题的回答都是相互独立，互不影响的.

(1)求甲小组至少答对2个问题的概率；

(2)若从甲乙两个小组中选拔一组代表学校参加全市决赛，请分析说明选择哪个小组更好？

【答案】(1)

(2)甲小组参加决赛更好

【分析】（1）甲小组至少答对2道题目可分为答对2题或者答对3题，分别求出其概率，然后由互斥事件的概率加法公式可得答案.

（2）甲小组抽取的3题中正确回答的题数为X，则X的取值分别为1，2，3,求出X的期望和方差，设乙小组抽取的三题中正确回答的题数为Y，则，求出求出Y的期望和方差，比较得出答案.

（1）

甲小组至少答对2道题目可分为答对2题或者答对3题；

，

所求概率

（2）

甲小组抽取的3题中正确回答的题数为X，则X的取值分别为1，2，3.

，

结合（1）可知，

.

设乙小组抽取的三题中正确回答的题数为Y，则，

，

由，可得，甲小组参加决赛更好.

21．（2023春·广东深圳·高二翠园中学校考期中）对于中国航天而言，2023年可以说是历史上的超级航天年，用“世界航天看中国”来形容也不为过．9月17日，神舟十二号航天员聂海胜、刘伯明、汤洪波返回地球后与2名航天科学家从左往右排成一排合影留念．

(1)总共有多少种排法？

(2)若3名宇航员互不相邻，则一共有多少种排列方法？

(3)若2名航天科学家之间航天员的数量为X，求X的分布列与数学期望．

【答案】(1)120

(2)12

(3)分布列见解析，期望为1．

【分析】（1）由全排列定义计数可得；

（2）用插入法，先排2名航天科学家，然后在3个空档插入3名航天员即可得；

（3）由题意得的可能值为0，1，2，3，分别求得概率得分布列，再由期望公式计算期望．

(1)

由全排列定义知共有种排法；

(2)

用分步计数原理，先排2名航天科学家，然后插入3名航天员，方法数；

(3)

由题意的可能值为0，1，2，3，

，，，

，

所以的分布列为

．

22．（2023·广东湛江·统考）某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：），经统计得到下面的频率分布直方图：

(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差．（用每组的中点代表该组的均值）

(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布，用直方图的平均数估计值作为的估计值，用直方图的标准差估计值s作为估计值．

（i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标：

利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．

（ii）若设备状态正常，记X表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在之外的零件个数，求及X的数学期望．

参考公式：直方图的方差，其中为各区间的中点，为各组的频率．

参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，，，．

【答案】(1)

(2)（i）需停止生产并检查设备；（ii），

【分析】（1）根据频率分布直方图结合平均数的计算公式，即可求得，继而结合方差的计算公式求得；

（2）（i）根据，，确定，，判断抽查的零件关键指标有无在之外的情况，即可得结论；（ii）求出抽测一个零件关键指标在之外的概率，确定，根据二项分布的概率公式以及期望公式，即可求得答案.

【详解】（1）由频率分布直方图，得．

．

（2）（i）由（1）可知，，

所以，，

显然抽查中的零件指标，故需停止生产并检查设备．

（ii）抽测一个零件关键指标在之内的概率为，

所以抽测一个零件关键指标在之外的概率为，

故，所以，

X的数学期望．