人教版九年级上册第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质第1课时教学设计

第二十二章 二次函数

22.1 二次函数的图象和性质

22.1.3  二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

一、教学目标

1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.

2.能够熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.

二、教学重难点

重点：求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.

难点：会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.

三、教学过程

【新课导入】

二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质

[思考]我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论二次函数                                         y= x2-6x+21的图象和性质？

[思考]怎样将y= x2-6x+21化成y=a(x-h)2+k的形式？

配方可得y= x2-6x+21

=（x2-12x+42）

=（x2-12x+62-62+42）

=[（x2-12x+62）-62+42]

=[（x-6）2+6]

=（x-6）2+3

y= x2-6x+21你知道是怎样配方的吗？

                             (1)“提”：提出二次项系数；

                             (2)“配”：括号内配成完全平方；

                             (3)“化”：化成顶点式.

y=（x-6）2+3

[思考]你能说出y=（x-6）2+3的对称轴及顶点坐标吗？

对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.

[思考]二次函数y =（x-6）2+3可以看作是由y= x2怎样平移得到的？

平移方法1：

    先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；

平移方法2：

先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.

[思考] 如何画二次函数 y= x2-6x+21的图象？

列表：利用图像的对称性，选取适当值列表计算.

然后描点画图，得到图象如右图.

[思考]结合二次函数y= x2-6x+21的图象，说说其性质.

对称轴左侧，抛物线从左到右下降；

对称轴右侧，抛物线从左到右上升.

当x<6时，y随x的增大而减小；

当x>6时，y随x的增大而增大；

当x=6时，y有最小值3.

探究：画出函数y=- x2 +x- 的图象，并说明这个函数具有哪些性质.

解: 函数y=- x2 +x- 通过配方可得y=- （x-1）2-2                 ，

先列表：

然后描点、连线，得到图象如下图.由图象可知，这个函数具有如下性质：

当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；

当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；

当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2.

[思考]我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0)化成y=a(x-h)2+k的形式？

y=ax2+bx+c =a[x2+x+（）2-（）2]+c

=a[x2+x+（）2-（）2]+c

=a[x2+x+（）2-（）2]+c

=a（x+）2- +c

=a（x+）2+

[归纳总结]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即

y=ax2+bx+c=a（x+）2+

因此，抛物线y=ax2+bx+c 的对称轴是x=-.

顶点是：（-，）

如果a>0,当x<-时，y随x的增大而减小；当x>-时，y随x的增大而增大.

如果a<0,当x<-时，y随x的增大而增大；当x>-时，y随x的增大而减小.

[思考]二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：

二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系

[思考] 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是(　D　)

A．1　　          　B．2　　 　     　C．3　       　　D．4

[分析]由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得c＞0，则abc＞0，故①正确；由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；

 由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；

由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．

[思考] 如图，二次函数y＝ax2－bx＋２的大致图象如图所示，则函数y ＝－ax＋b的图象不经过（  C  ）

A．第一象限       B．第二象限        C．第三象限          D．第四象限

【课堂小结】

函数y=ax2+bx+c的图象和性质

【课堂训练】

1.填空

2.填空：二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质

①               将函数y=-2x2-4x+1化成y＝a(x－h)2＋k的形式是y=-2（x+1）2+3；

②               抛物线的开口方向是向下，顶点坐标是(-1，3)，

对称轴是直线x＝-1；

③               当x＝-1时，函数取得最大值为3；

④               当x大于-1时，y随x的增大而减小，当x小于-1时，y随x的增大而增大；

⑤               抛物线y=-2x2-4x+1可由抛物线y=-2x2向左(或上)平移1(或3)

个单位长度，再向上(或左)平移3(或1)个单位长度得到．

中考链接

1.（2020•百色）将抛物线y＝（x+1）2+1平移，使平移后得到抛物线y＝x2+6x+6．则需将原抛物线（  B  ）

A．先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度 

B．先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 

C．先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度 

D．先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度

2．（2020•菏泽）一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ B ）

1.                     B.                  C.                  D.

3．（2020•温州）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（ B ）

 A．y3＜y2＜y1    B．y3＜y1＜y2    C．y2＜y3＜y1      D．y1＜y3＜y2

4．（2020•西藏）当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝10　 ．

【布置作业】

【教学反思】

通过本节课的学习，培养了学生的归纳及概括问题的能力，还可使学生将知识进行梳理并培养系统化，起到提升能力，内化认知结构的作用。