2021学年22.1.1 二次函数第1课时教案

22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

【知识与技能】

1.能通过配方法把二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）化成y=a(x-h)2+k的形式，以便确定它的对称轴和顶点坐标；

2.会利用对称性画出二次函数的图象，掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的平移规律；

3.会用公式确定二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴和顶点.

【过程与方法】

通过思考、探索、尝试与归纳等过程，让学生能主动积极地探索新知.

【情感态度】

经历探求二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标的过程，感悟二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2的内在联系，体验利用抛物线的对称轴画抛物线的方法，感受数学的对称美.

【教学重点】

用抛物线的对称轴画二次函数y=ax2+bx+c的图象，通过配方确定抛物线的对称轴和顶点坐标.通过配方法将二次函数的一般形式化为顶点式，探索二次函数y=ax2+bx+c的平移变换.

【教学难点】

用配方法推导抛物线的对称轴与顶点坐标.

一、情境导入，初步认识

问题1请说出抛物线y=ax2+k，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标.

问题2你知道二次函数y=x2-6x+21的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标吗？

【教学说明】问题1设计的目的既是对前面所学知识进行简单的回顾，又为本节知识的学习展示着方法和思路，学生处理起来较为简单，可采用抢答形式来处理.问题2设计的目的在于制造认知冲突，激发学生的求知欲望，学生在处理问题2时可能有些困难，教师适时诱导，引入新课.

二、思考探究，获取新知

问题1你能把二次函数y=x2-6x+21化成y=a(x-h)2+k的形式吗？并指出它的图案的对称轴和顶点坐标.

问题2在同一直角坐标系中用描点法画出二次函数y=x2-6x+21与y=x2的图象,并对比观察它们的图象有什么区别和联系.

问题3请结合问题2的图象，指出当x取何值时，函数值y的最小值是多少？当x取何值时，函数y随x的增大而减小？当x取何值时，y随x的增大而增大？

【教学说明】在学生探索上述三个问题过程中，教师巡视，关注学生将二次函数一般式化为顶点式时可能出现的失误，予以诱导，引导学生在画y=x2-6x+21的图象时如何列表，这样列表有哪些好处等，并使学生在活动过程中进一步认识到：要想正确认识二次函数y=ax2+bx+c,一定要将它利用配方法化成y=a(x-h)2+k的形式才行.

三、问题引导，归纳结论

问题1抛物线y=ax2+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？你是如何做到的？

∴抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=，顶点坐标是 .

【归纳结论】二次函数y=ax2+bx+c的图象及其性质:

【教学说明】针对所提出的问题，可能部分同学感到有些困难，因而教师在巡视过程中，应给予帮助，适当鼓励，让学生尽可能自主探究，最后师生共同探索结果.在结论归纳完成后，教师引导学生做课本第39页练习，可让学生自主完成，然后举手回答.

问题2二次函数y=ax2+bx+c的图象的平移变换.

已知将二次函数y=x2+bx+c的图象先向左平移3个单位，再向上平移2个单位得二次函数y=x2-2x+1的图象，求b和c.

分析：要求b与c，需先求函数y=x2+bx+c的关系式，要求关系式，可先求出顶点坐标；根据两抛物线的平移情况，可确定顶点坐标.

解：∵y=x2-2x+1=(x-1)2,∴抛物线y=x2-2x+1的顶点为（1,0）.根据题意，此抛物线向下平移2个单位，向右平移3个单位，可得y=x2+bx+c,此时，（1，0）平移到（4，-2），即抛物线y=x2+bx+c的顶点是（4，-2），∴y=x2+bx+c=(x-4)2-2=x2-8x+14,∴b=-8,c=14.

【教学说明】

1.可先回顾前面学过的y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象的平移关系，引导学生思考，交流，探索结果，然后师生共同探讨总结规律：抛物线y=a(x-h)2+k在平移时，a不变，只是h或k发生变化，因此，研究抛物线的平移问题，关键是准确求出抛物线顶点的坐标，进而研究其顶点位置的变化情况.

2.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）通过配方可化为的形式，于是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可看成由抛物线y=ax2向左或右平移个单位，向上或向下平移个单位得到的.

四、运用新知，深化理解

1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则（   ）

A.a＞0,b＞0,c＞0

B.a＞0,b＜0,c＜0

C.a＜0,b＜0,c＜0

D.a＞0,b＞0,c＜0

2.把二次函数y=1/4x2-x+3用配方法化成y=a(x-h)2+k的形式为_____.

3.二次函数y=-1/2x2-3x+5/2的图象的顶点坐标为_____.

4.把抛物线y=ax2+bx+c，先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2-3x+5,则a+b+c=_____.

【教学说明】1题中a、c的符号可直接通过观察图象获得，再由a的符号及对称轴x=-b/2a＜0，可得到b的符号，这是本题的重难点，教学时教师可予以重点关注；2、3两题较为简单，同学们可自主完成;4题中抛物线通过平移变换，得到y=x2-3x+5,逆推易得a、b、c的值，从而得到a+b+c，此类题型需熟练掌握二次函数的平移变换.

【答案】1.D

2.y=1/4(x-2)2+2

3.(-3,7)

4.11

五、师生互动，课堂小结

1.形如y=ax2+bx+c(a≠0)的二次函数的顶点坐标及对称轴的确定：

（1）当二次函数y=ax2+bx+c容易配方时，可采用配方法来确定顶点坐标及对称轴方程；

（2）当a、b、c比较复杂时，可直接用公式来确定：

抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为，顶点坐标为.

2.解决二次函数y=ax2+bx+c的平移问题时，应先将它化为y=a(x-h)2+k形式后，进行研究为好.

1.布置作业：教材习题22.1中选取.

2. 完成练习册中本课时练习的“课后作业“部分。

本课时的主要任务是理解和掌握二次函数的一般式.我们研究函数的一般基本方法是由解析式画图象，再由图象得出性质，再反过来由函数性质研究图象的其他特征.因此本课时的教学仍可采用这种思维方法来探讨二次函数一般式的性质（如顶点坐标，对称轴以及增减性等），另外还要向学生渗透转化思想，即如何将相对复杂的一般式转化为其他解析式的形式.