人教版九年级上册22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质优质ppt课件

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人教版数学九年级上册
第二十二章 二次函数
22.1.4.2 用待定系数法求二次函数的解析式
1.会用待定系数法求二次函数的表达式；
2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.
重点：会用待定系数法求二次函数的表达式．
难点：会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题．
1. 已知二次函数y=ax2+bx－3的图象经过点A(2，－3)，B(－1，0)．求二次函数的解析式.
二次函数的解析式为y=x2－2x－3
4a+2b－3=－3
a－b－3=0
a=1
b=－2
2. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(－5，0)、(－1，0)、(1，12)，求这个抛物线的表达式及其顶点坐标.
3. 一条抛物线经过点A(－2，0)、B(4，0)，且抛物线的顶点是(1，－3)，求满足此条件的函数解析式.
问题1 (1)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？
(2)下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分：
①选取(－3，0)，(－1，0)，(0，－3)，试求出这个二次函数的解析式.
得
解： 设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c，
把(－3，0)，(－1，0)，(0，－3)代入y=ax2+bx+c
解得
∴所求的二次函数的解析式是y=－x2－4x－3.
其步骤是：①设函数解析式为y=ax2+bx+c；②代入后得到一个三元一次方程组；③解方程组得到a,b,c的值；④把待定系数用数字换掉，写出函数解析式.
已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法.
例1 一个二次函数的图象经过 (0, 1)、(2,4)、(3,10)三点，求这个二次函数的表达式.
又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得
解这个方程组，得
 
解：设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c，
由于这个函数经过点(0, 1)，可得c=1.
 
把顶点(－2，1)代入y=a(x－h)2+k得
y=a(x+2)2+1，
再把点(1，－8)代入上式得
a(1+2)2+1=－8，
解得a=－1.
∴所求的二次函数的解析式是y=－(x+2)2+1或y=－x2－4x－3.
解：设这个二次函数的解析式是y=a(x－h)2+k，
因此，可以设函数表达式为y=a(x－8)2+9.
又由于它的图象经过点(0, 1)，可得0=a(0－8)2+9.
 
解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8, 9)，
 
所以可设这个二次函数的解析式是y=a(x－x1)(x－x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.)
因此得y=a(x+3)(x+1).
再把点(0，－3)代入上式得
∴a(0+3)(0+1)=－3，
解得a=－1，
∴所求的二次函数的解析式是y=－(x+3)(x+1)，即y=－x2－4x－3.
解：∵(－3，0)，(－1，0)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.
直接观察上面表格，你能猜想出当x=－6 时，该二次函数对应的函数值是多少？
利用二次函数图象的对称性，即由表格信息可知，抛物线的对称轴是直线x=－2，横坐标为2和－6的两点必定是该抛物线上的一对对称点，故可知x=－6与x=2的函数值必定相等.
y=－x2－4x－3
1. 如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是___________.
 
2. 过点(2，4)，且当x=1时，y有最值为6，则其解析式是________________.
y=－2(x－1)2+6
顶点坐标是(1，6)
设y=a(x－1)2+6
代入点(2，4)
a=－2
依题意得
∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4.
解得
解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．
即y＝－x2＋1.
解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，
所以设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)．
又因为抛物线过点M(0，1)，
所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，
所以所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)，
5. 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
∴抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋5.
解：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c
得16－4b＋c＝－3，
c－4b＝－19.
∵对称轴是x＝－3，
 
∴b＝6，∴c＝5，
 
∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝－3对称．
∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，
∴点C的横坐标为－7，
∴点C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.
∵点B的坐标为(0，5)，
∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7，
待定系数法求二次函数解析式
课程结束
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