初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数第1课时教案
展开第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.会求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标.
2.会画二次函数y=ax2+bx+c的图象.
3.能把二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)2+k的形式,从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标,并掌握二次函数的性质.
【过程与方法】
1.经历求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标的探究过程,渗透配方和数形结合思想方法.
2.在学习二次函数y=ax2+bx+c性质的过程中,渗透转化的思想,学会用函数的思想去研究、描述其变化规律,逐步学会用函数的观点观察、分析问题,培养学生观察、分析、概括能力.
【情感、态度与价值观】
通过思考(立足于旧知识考虑新问题)、探究、归纳、尝试(应用)等过程,让学生从中学会探索新知识的方式和方法.
◇教学重难点◇
【教学重点】
二次函数y=ax2+bx+c的性质及顶点坐标公式的推导.
【教学难点】
通过配方法把二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)2+k的形式,求对称轴和顶点坐标.
◇教学过程◇
一、情景导入
1.我们已经发现,二次函数y=2(x-3)2+1的图象,可以由函数y=2x2的图象先向右平移3个单位,再向上平移1个单位得到,因此可以直接得出结论:函数y=2(x-3)2+1的开口向上,对称轴是直线x=3,顶点坐标是(3,1).
2.对于任意一个二次函数,如y=ax2+bx+c(a≠0)你能把它化成y=a(x-h)2+k的形式,从而说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标,并画出图象吗?如二次函数y=-12x2+x-52.
二、合作探究
探究点1 二次函数y=ax2+bx+c的性质
典例1 已知二次函数y=12x2-6x+21.
(1)写出抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标;
(2)说明该函数图象有哪些性质.
[解析] (1)∵a=12>0,∴抛物线的开口向上.
把二次函数y=12x2-6x+21配方,得y=12(x-6)2+3.
∴抛物线的顶点坐标为(6,3),对称轴为直线x=6.
(2)当x<6时,y随x的增大而减小;当x>6时,y随x的增大而增大;当x=6时,y取最小值3.
变式训练 在二次函数y=-x2+2x+1的图象中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是( )
A.x<1B.x>1
C.x<-1D.x>-1
[答案] A
探究点2 画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
典例2 画出二次函数y=-12x2-3x-52的图象.
[解析] (1)由y=-12x2-3x-52=-12(x+3)2+2,所以它的顶点坐标为(-3,2).
(2)列表:
(3)描点、连线得函数图象如图所示.
【归纳总结】画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,通常先用配方法确定对称轴x=-b2a,再以-b2a为对称轴对称选取自变量x的对应值,求出对应y的值.一般情况下在x=-b2a两边分别选取三个值.
三、板书设计
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.公式指导
y=ax2+bx+c=ax+b2a2+4ac−b24a.
结论:任何一个二次函数y=ax2+bx+c都可通过配方法化为y=a(x-h)2+k的形式,y=ax+b2a2+4ac−b24a.
2.性质
◇教学反思◇
本节依据学生“探索——思维——应用”的三大学习层次,从学生的原有知识出发,利用前面学过画图象的方法和抛物线平移的规律,让学生亲身体验,在体验中研究二次函数的性质.在应用过程中,针对学生易错易混点集中突破,使学生学过的知识能够落实应用,并有效地迁移,提升学生应用知识的能力.
x
…
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
…
y
…
-2.5
0
1.5
2
1.5
0
-2.5
…
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
(1)抛物线开口向上,并向上无限延伸.
(1)抛物线开口向下,并向下无限延伸.
(2)对称轴是直线x=-b2a,顶点坐标是-b2a,4ac−b24a
(2)对称轴是直线x=-b2a,顶点坐标是−b2a,4ac−b24a
(3)在对称轴的左侧,即当x<-b2a时,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,即当x>-b2a时,y随x的增大而增大,简记为左减右增.
(3)在对称轴的左侧,即当x<-b2a时,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,即当x>-b2a时,y随x的增大而减小,简记为左增右减.
(4)抛物线有最低点,当x=-b2a时,y有最小值,最小值为4ac−b24a.
(4)抛物线有最高点,当x=-b2a时,y有最大值,最大值为4ac−b24a.
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