初中数学湘教版九年级上册第2章 一元二次方程2.3 一元二次方程根的判别式公开课教案设计

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导入新课

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导入新课

同学们，在前面的学习中，我们已将学习了用直接开方的方法、以及配方法解一元二次方程的方法，这节课我们将探究方程的根到底与什么有关系，在上新课之前，我们一起回顾下前面学习的知识：

1.定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的整式方程叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)

3.解法：

【导入新课】用公式法求出下列方程的解：

(1)2x2+x-6＝0；

解：b2-4ac=49，

∵b2-4ac=49>0

∴x=

∴x1=， x2=－1.

(2)3x2-12x+12＝0；

解：b2-4ac=0

∵b2-4ac=0

∴x=

∴x1=x2=2.

(3)2x2-6x+5＝0．

解：b2-4ac=-4，

∵b2-4ac=-4<0

∴原方程无实数解.

我们在运用公式法求解一元二次方程 ax2+bx+c = 0(a≠0)时，只有b2-4ac≥0原方程才有解.

我们将一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠ 0）配方后，可以得到：

由于a≠0，所以4a²＞0 ，因此我们不难发现：

（1）当，>0，由于正数有两个平方根，所以原方程的根为

方程有两个不等的实根.

（2）当，0，由于0的平方根是0，所以原方程的根为

此时，原方程有两个相等的实根.

（3）当，0，由于负数没有平方根，所以原方程没有实数根.

  我们可以发现，b²-4ac的正负决定了方程的个数.

学生跟着教师回忆知识，并思考本节课的知识，注意与老师一起推导公式。

学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。

回顾学过的知识，帮学生复习知识，引出这节课的教学内容，同时也帮助学生能更好的融入课程。

导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。

讲授新课

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例题讲解

讲授新课

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例题讲解

 一般地，像刚刚导入探究的一样，一元二次方程ax2+bx+c＝0根的情况可由b2-4ac来判定，我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式，通常用“△”来表示，即△= b2-4ac.

根的判别式作用：

①判断方程根的情况；

②由根的情况确定方程中系数的取值范围.

一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的根与△= b2-4ac的关系：

①当△时，方程有两个不等的实根：

②当△时，方程有两个相等实根： =－

③当△时，所以原方程无实根.

我们看一个具体的例子：

【例1】不解方程，判别下列方程根的情况：

（1）3x2+4x-3=0；    （2）4x2=12x-9； 

（3）7y=5（y2+1）．

分析：要判断上述方程根的情况，就必须算出“△”，确定它的 符号即可．

解：（1）∵△=b2-4ac=42-4×3×（-3）

                =16+36=52＞0，

       ∴原方程有两个不相等的实数根.

（2）将原方程化为一般形式，得

4x2-12x+9=0.

∵△=（-12）2-4×4×9=144-144=0，

∴原方程有两个相等的实数根.

（3）将原方程化为一般形式，得

5y2-7y+5=0.

∵△=（-7）2-4×5×5=49-100=-51＜0，

∴原方程没有实数根.

【例2】当k取什么值时，关于x的方程 2x2-（4k+1）x+2k2=1，

（1）有两个不相等的实数根；

（2）有两个相等实数根；

（3）方程没有实数根．

 分析：先将原方程化为一般形式，再计算判别式的值，后根据根的情况确定△的符号.

解：原方程可变形为2x2-（4k+1）x+2k2-1=0.

       ∴△=[-（4k+1）]2-4×2（2k2-1）=8k+9.

（1）∵原方程有两个不相等的实数根，

           ∴△＞0．

          ∴8k+9＞0．          ∴k＞－.

（2）∵原方程有两个相等的实数根，

          ∴△=0．∴8k+9=0．∴k =－.

（3）∵原方程没有实数根，

          ∴△＜0．∴8k+9＜0．∴k＜－.

我们可以发现，对于一元二次方程的根与判别式：

2.先把已知一元二次方程化为一般形式，为应用判别式创造条件．

 【例3】设关于x的方程：x²-2mx-2m-4=0，证明:不论m为何值，这个方程总有两个不相等的实数根.

解：∵△=4m²-4（-2m-4）

   =4m²+8m+16

   =4（m²+2m+1）+12

   =4（m+1）²+12>0

∴不论m为何值，这个方程总有两个不相等的实数根

【例4】已知：a、b、c是△ABC的三边，若方程ax²+2 有两个等根，试判断△ABC的形状.

解：对于原方程Δ ＝0，即

（ax²+2）²-4a×2（b+c）=0

  解得a=b=c.

∴△ABC为等边三角形.

结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握一元二次方程根的判别式与根的关系。

老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。

老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。

讲授知识，让学生掌掌握一元二次方程根的判别式与根的关系。

让学生知道本节课的学习内容和重点。

让学生知道本节课的学习内容和重点。

课堂练习

1.一元二次方程x2+4x+12=0的根的情况是 (    D    )

   A.有一个实数根           B.有两个相等的实数根        

   C.有两个不相等的实数根      D.没有实数根

2.下列一元一次方程中，有实数根的是(     C    )

     A.x2-x+1=0           B.x2-2x+3=0

     C.x2+x-1=0           D.x2+4=0

3.已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有实数根，则k的取值范围是（ A ）

A.k≤1      B.k≥1          C.k<1           D.k>1

4、对关于x的方程 x2+6x+m=0回答下列问题．

（1）m取什么值时，使方程有两个相等的实数根？

（2）m取什么值时，方程有两个不等的实数根？

（3）m取什么值时，方程有无实数根？

解：这里a=1，b=6，c=m，∴△=b2-4ac =62-4×1×m=36-m，

  （1）方程有两个相等的实根，即△=36-m=0，即m=36；

  （2）方程有两个不相等的实根，即△=36-m>0，即m<36；

  （3）方程无实根，即△=36-m<0，即m>36；

 5.已知：a、b、c是△ABC的三边的长，且关于x的方程（a+c）x2+2bx+a-c=0有两个相等的实数根. 求证 ：△ABC是直角三角形.

分析：先计算方程判别式的值，再根据△=0确定a、b、c的关系.

证：△=（2b）2-4（a+c）（a-c）=4b2-4a2+4c2.

∵方程有两个相等的实数根，

∴△=0，

∴4b2-4a2+4c2=0，∴b2+c2=a2，

∴△ABC是直角三角形.

 6.关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根.

解：Δ=[-(3m-1)]2-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m

           =m2-2m+1=(m-1)2

∴ (m-1)2=1，

∴m1＝2，  m2＝0(二次项系数不为0，舍去).

当m=2时，原方程变为2x2-5x+3＝0，

∴原方程的根为：x＝或x=1.

学生自主完成巩固练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。

学生自主完成巩固练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。

借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。

借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。

课堂小结

在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：

   1.根的判别式：将记作“△”.△= 叫做一元二次方程“根的判别式”.

2.根的判别式与根个数的关系：，

    ①当△时，方程有两个不等的实根：

    ②当△时，方程有两个相等的实根： =－

    ③当△时，所以原方程无实根.

跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。

帮助学生加强记忆知识。

板书

一元二次方程根的判别式

1.根的判别式：将记作“△”.△= 叫做一元二次方程“根的判别式”.

2.根的判别式与根个数的关系：，

    ①当△时，方程有两个不等的实根：

    ②当△时，方程有两个相等的实根： =－

    ③当△时，所以原方程无实根.

借助板书，让学生知识本节课的重点。

作业

教材第45页练习第1、2题.

教材第45页练习2.3第3、4题.