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第02讲 全等三角形-2023年新八年级数学暑假精品课（苏科版）
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这是一份第02讲 全等三角形-2023年新八年级数学暑假精品课（苏科版），文件包含第02讲全等三角形解析版docx、第02讲全等三角形原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共62页， 欢迎下载使用。
第02讲 全等三角形
1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素.
2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.
一、全等三角形
1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
2.三角形全等的符号：“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
3.三角形对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．
二、全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.
题型一：全等三角形概念
例1．（2021秋·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）能够完全重合的两个三角形叫做_______．
【答案】全等三角形
【变式1】（2022秋·江苏·八年级专题练习）把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做_________，重合的边叫做_________，重合的角叫做_________．记两个三角形全等时，通常把表示_________的字母写在对应位置上．
【答案】 对应顶点 对应边 对应角 对应顶点
【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，以及对应顶点、对应边、对应角的概念填空．
【详解】解：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上．
故答案为：对应顶点；对应边；对应角；对应顶点．
【点睛】此题主要考查了全等形及相关概念，属于基本概念题，是需要识记的内容．
【变式2】（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，，和，和是对应边．写出其他对应边及对应角．
【答案】其他对应边：和．对应角：和，和，和．
【分析】根据全等三角形的概念，写出相对应的边和角即可．
【详解】解：∵△ABC≌△CDA，
∴其他对应边：AC和CA．对应角：∠BAC和∠DCA，∠B和∠D，∠ACB和∠CAD．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的概念，解题的关键在于能够熟记概念．
例2．（2023秋·江苏淮安·八年级校考阶段练习）关于全等三角形，下列说法正确的是（ ）
A．大小相等的三角形是全等三角形
B．面积相等的三角形是全等三角形
C．三个角对应相等的三角形是全等三角形
D．两个三角形全等，它们的形状一定相同
【答案】D
【分析】根据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形，对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、大小相等的三角形，形状不一定相同，所以不一定完全重合，故该选项不符合题意；
B、面积相等的三角形，形状不一定相同，所以不一定完全重合，故该选项不符合题意；
C、三个角对应相等的三角形，边长不一定相等，所以不一定完全重合，故该选项不符合题意；
D、两个三角形全等，它们的形状一定相同，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的概念，熟记概念，要从形状和大小两个方面来考虑两个三角形是否完全重合是解题关键．
例3．（2021秋·江苏常州·八年级校考阶段练习）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线经过点E，交AD于F，∠ACB＝∠AED＝105°，∠CAD＝10°，∠B＝50°，则∠AFE＝_______°．
【答案】85
【分析】利用三角形内角和定理求出∠BAC＝25°，再根据三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：在△ABC中，∵∠B＝50°，∠ACB＝105°，
∴∠BAC＝25°，
∵∠CAD＝10°，∠B＝50°，
∴∠AFE＝∠BAD+∠B＝∠BAC+∠CAD+∠B＝25°+10°+50°＝85°，
故答案为：85．
【点睛】本题考查了全等三角形的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的关键．
例4．（2022秋·江苏泰州·八年级靖江市靖城中学校联考阶段练习）如图，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上的一点，连接BD，CD；如图2，已知AB=AC，D、E为∠BAC的角平分线上的两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上的三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第5个图形中有全等三角形的对数是_____．
【答案】15
【分析】根据图形得出当有1点D时，有1对全等三角形；当有2点D、E时，有3对全等三角形；当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n个点时，图中有 个全等三角形，进而即可求解．
【详解】解：当有1点D时，有1对全等三角形；
当有2点D、E时，有3对全等三角形；
当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；
当有4点时，有10个全等三角形；
…
当有n个点时，图中有个全等三角形．
∴第5个图形中有全等三角形的对数是：．
故答案为：15．
【点睛】本题考查了全等三角形的概念，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，但有一定的难度．
题型二：全等三角形性质
例5.如图，△ABD≌△EBC，AB=3cm，BC=6cm，
（1）求DE的长．
（2）若A、B、C在一条直线上，则DB与AC垂直吗？为什么？
【思路点拨】（1）根据全等三角形对应边相等可得BD=BC=6cm，BE=AB=3cm，然后根据DE=BD﹣BE代入数据进行计算即可得解；（2）DB⊥AC．根据全等三角形对应角相等可得∠ABD=∠EBC，又A、B、C在一条直线上，根据平角的定义得出∠ABD+∠EBC=180°，所以∠ABD=∠EBC=90°，由垂直的定义即可得到DB⊥AC．
【答案与解析】
解：（1）∵△ABD≌△EBC，∴BD=BC=6cm，BE=AB=3cm，∴DE=BD﹣BE=3cm；
（2）DB⊥AC．理由如下：∵△ABD≌△EBC，∴∠ABD=∠EBC，
又∵∠ABD+∠EBC=180°，∴∠ABD=∠EBC=90°，∴DB⊥AC．
【总结升华】本题主要考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．也考查了平角的定义与垂直的定义，熟记性质与定义是解题的关键．
【变式】下列命题中：（1）形状相同的两个三角形是全等形；（2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有（ ）
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
【答案】C；
提示：（1）形状相同、大小相等的两个三角形是全等形，而原说法没有指出大小相等这一点，故（1）错误；（2）在两个全等三角形中，对应角相等，对应边相等，而非相等的角是对应角，相等的边是对应边，故（2）错误；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，故（3）正确．综上可得只有（3）正确．故选C．
例6、 如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，
∠α的度数是_________.
【思路点拨】（1）由∠1，∠2，∠3之间的比例关系及利用三角形内角和可求出∠1，∠2，∠3的度数；（2）由全等三角形的性质求∠EBC，∠BCD的度数；（3）运用外角求∠α的度数.
【答案】∠α＝80°
【解析】∵∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，设∠1＝28，∠2＝5，∠3＝3，
∴28＋5＋3＝36＝180°，＝5°
即∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°
∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，
∴△ABE≌△ADC≌△ABC
∴∠2＝∠ABE，∠3＝∠ACD
∴∠α＝∠EBC＋∠BCD＝2∠2＋2∠3＝50°＋30°＝80°
【总结升华】此题涉及到了三角形内角和，外角和定理，并且要运用全等三角形对应角相等的性质来解决问题.见“比例”设未知数是比较常用的解题思路.
【变式】如图，在△ABC中，∠A:∠ABC:∠BCA ＝3:5:10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（ ）
A．1:2 B．1:3 C．2:3 D．1:4
【答案】D；
提示：设∠A＝3，∠ABC＝5，∠BCA＝10，则3＋5＋10＝18
＝180°，＝10°. 又因为△MNC≌△ABC，所以∠N＝∠ABC＝50°，CN＝CB，所以∠N＝∠CBN＝50°，
∠ACB＝∠MCN＝100°，∠BCN＝180°－50°－50°＝80°，所以∠BCM：∠BCN＝20°：80°＝1：4.
一．选择题（共10小题）
1．（2022秋•亭湖区期中）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据全等三角形的对应边相等推知BD＝AC＝7，然后根据线段的和差即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC≌△DCB，
∴BD＝AC＝7，
∵BE＝5，
∴DE＝BD﹣BE＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，仔细观察图形，根据已知条件找准对应边是解决本题的关键．
2．（北塘区期中）若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为20，AB＝5，BC＝8，则DF长为（ ）
A．5 B．8 C．5或8 D．7
【分析】根据三角形全等的性质可得DF＝AC，再利用已知条件可求得AC的长，可得出答案．
【解答】解：∵△ABC的周长为20，AB＝5，BC＝8，
∴AC＝7，
∵△ABC≌△DEF，
∴DF＝AC＝7，
故选：D．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
3．（常熟市校级期中）如图，△ABC≌△A′B′C，∠ACB＝90°，∠A′CB＝20°，则∠BCB′的度数为（ ）
A．20° B．40° C．70° D．90°
【分析】根据全等三角形对应角相等，∠ACB＝∠A′CB′，所以∠BCB′＝∠BCB′，再根据角的和差关系代入数据计算即可．
【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠ACB＝∠A′CB′，
∴∠BCB′＝∠A′CB′﹣∠A′CB＝70°．
故选：C．
【点评】本题主要考查全等三角形对应角相等的性质，对应角都减去∠A′CB得到两角相等是解决本题的关键，难度适中．
4．（2022秋•云龙区校级月考）如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，且测得BC＝5cm，BF＝7cm，则EC长为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【分析】根据全等三角形性质求出EF＝BC＝5cm，求出CF，代入EF﹣CF即可求出答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴EF＝BC＝5cm，
∵BF＝7cm，BC＝5cm，
∴CF＝7cm﹣5cm＝2cm，
∴EC＝EF﹣CF＝3cm，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，关键是求出BC和CF的长，注意：全等三角形的对应边相等．
5．（2022秋•涟水县期中）如图，△ABC≌△DEC，点B，C，D在同一条直线上，且CE＝1，CD＝3，则BD的长是（ ）
A．1.5 B．2 C．4 D．6
【分析】根据全等三角形的性质得出对应边相等，进而解答即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，CE＝1，CD＝3，
∴BC＝CE＝1，
∴BD＝BC+CD＝3+1＝4，
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质得出对应边相等解答．
6．（2022秋•灌南县校级月考）如图，△ABC≌△EFD，则下列说法错误的是（ ）
A．FC＝BD B．EF平行且等于AB
C．AC平行且等于DE D．CD＝ED
【分析】利用全等三角形的性质进行推理即可．
【解答】解：A、∵△ABC≌△EFD，
∴FD＝CB，
∴FD﹣CD＝BC﹣CD，
即FC＝BD，故此选项不合题意；
B、∵△ABC≌△EFD，
∴∠F＝∠B，EF＝AB，
∴EF∥AB，故此选项不合题意；
C、∵△ABC≌△EFD，
∴∠FDE＝∠BCA，
∴AC∥DE，AC＝DE，故此选项不合题意；
D、不能证明CD＝ED，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
7．（2021秋•仪征市期末）若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（ ）
A．30 B．27 C．35 D．40
【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应边相等进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF＝30，
故选：A．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应边是解题关键．
8．（2022秋•建邺区期末）如图，△ABC≌△AMN，点M在BC上，连接CN，下列结论：
①AM平分∠BMN
②∠CMN＝∠BAM
③∠MAC＝∠MNC
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【分析】根据全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角性质及角的和差求解即可．
【解答】解：∵△ABC≌△AMN，
∴AB＝AM，∠ABC＝∠AMN，
∴∠ABM＝∠AMB，
∴∠AMB＝∠AMN，
∴AM平分∠BMN，
故①正确，符合题意；
∵△ABC≅△AMN，
∴∠ABC＝∠AMN，
∵∠AMC＝∠AMN+∠NMC＝∠ABC+∠BAM，
∴∠CMN＝∠BAM，
故②正确，符合题意；
∵△ABC≅△AMN，
∴∠BAC＝∠MAN，AB＝AM，AC＝AN，∠ACB＝∠ANM，
∴∠BAM＝∠CAN，∠ACN＝∠ANC，∠ABM＝∠AMB，
∴∠ACN＝∠ANC＝∠ABM＝∠AMB，
∵∠AMB＝∠MAC+∠ACB，∠ANC＝∠ANM+∠MNC，
∴∠MAC＝∠MNC
故③正确，符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
9．（2022秋•滨海县期中）如图，△ABD≌△ACE，若AE＝3，AB＝6，则CD的长度为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．2
【分析】根据全等三角形的性质，可以得到AC和AD的长，然后根据CD＝AC﹣AD，代入数据计算即可．
【解答】解：∵△ABD≌△ACE，AE＝3，AB＝6，
∴AD＝AE＝3，AC＝AB＝6，
∴CD＝AC﹣AD＝6﹣3＝3，
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．（2022秋•海安市期末）已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．72° B．60° C．58° D．50°
【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角进而得出答案．
【解答】解：∵图中的两个三角形全等，
∴∠α＝50°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，正确找出对应角是解题关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2022秋•启东市期末）如图，已知△ABC≌△ADC，∠B＝30°，∠BAC＝23°，则∠ACD的度数为 127° ．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠BAC＝23°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝127°，
∵△ABC≌△ADC，
∴∠ACD＝∠ACB＝127°，
故答案为：127°．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
12．（2022秋•溧水区期末）已知△ABC≌△DEF，且△DEF的周长为12，若AB＝5，BC＝4，AC＝ 3 ．
【分析】根据全等三角形的周长相等求出△ABC的周长，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，△DEF的周长为12，
∴△ABC的周长为12，又AB＝5，BC＝4，
∴AC＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的周长相等，面积相等是解题的关键．
13．（2022秋•常州期末）如图，△ABC≌△EDF，则AC的长为 4 ．
【分析】利用全等三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【解答】解：∵△ABC≌△EDF，
∴BC＝DF＝3，
∵AC2+BC2＝AB2，AB＝5，
∴．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质及勾股定理，解决问题的关键是熟练掌握全等三角形的性质．
14．（2022秋•宜兴市月考）三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数等于 180° ．
【分析】直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出∠4+∠9+∠6＝180°，∠5+∠7+∠8＝180°，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：
由图形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7＝540°，
∵三个三角形全等，
∴∠4+∠9+∠6＝180°，
又∵∠5+∠7+∠8＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+180°+180°＝540°，
∴∠1+∠2+∠3的度数是180°．
故答案为：180°．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．
15．（2021秋•射阳县校级期末）如图，△ABC≌△DEF，BE＝4，AE＝1，则DE的长是 5 ．
【分析】先求出AB的长度，再根据全等三角形对应边相等解答即可．
【解答】解：∵BE＝4，AE＝1，
∴AB＝BE+AE＝4+1＝5，
∵△ABC≌△DEF，
∴DE＝AB＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，先求出DE的对应边AB的长度是解题的关键．
三．解答题（共13小题）
16．（2022秋•淮安区期中）如图，△ACF≌△ADE，AC＝11，AF＝5，求DF的长．
【分析】根据△ACF≌△ADE，AC＝11，AF＝5，可以得到AD的长，然后根据DF＝AD﹣AF，代入数据计算即可．
【解答】解：∵△ACF≌△ADE，
∴AE＝AF，AD＝AC，
∵AC＝11，AF＝5，
∴AD＝11，
∴DF＝AD﹣AF＝11﹣5＝6．
【点评】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17．（2022秋•扬州期中）如图，已知△ABF≌△CDE．
（1）若∠B＝45°，∠DCF＝25°，求∠EFC的度数；
（2）若BD＝10，EF＝5，求BF的长．
【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等，三角形的外角的性质计算；
（2）根据全等三角形的对应边相等计算．
【解答】解：（1）∵△ABF≌△CDE，∠B＝45°，
∴∠D＝∠B＝45°，
∵∠DCF＝25°，
∴∠EFC＝∠DCF+∠D＝70°；
（2）∵△ABF≌△CDE，
∴BF＝DE，
∴BF﹣EF＝DE﹣EF，
即BE＝DF，
∵BD＝10，EF＝5，
∴BE＝（10﹣5）÷2＝，
∴BF＝BE+EF＝．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键．
18．（2022秋•江都区月考）如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠A＝30°，∠CGF＝88°，求∠E的度数．
【分析】根据全等三角形的性质得到∠D＝∠A＝30°，∠E＝∠B，根据三角形的外角性质求出∠DCB，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝30°，
∴∠D＝∠A＝30°，∠E＝∠B，
∵∠CGF＝88°，
∴∠DCB＝∠CGF﹣∠D＝88°﹣30°＝58°，
∵CD平分∠BCA，
∴∠ACB＝2∠DCB＝116°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣116°＝34°，
∴∠E＝∠B＝34°．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
19．（2022秋•姜堰区月考）如图，△ABC≌△DBE，点A、D、C在同一条直线上，且∠A＝60°，∠C＝35°，求∠DBC的度数．
【分析】由△ABC≌△DBE，推出AB＝BD，推出∠A＝∠BDA＝60°，再根据∠BDA＝∠C+∠DBC，求出∠DBC即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DBE，
∴AB＝BD，
∴∠A＝∠BDA＝60°，
∵∠BDA＝∠C+∠DBC，∠C＝35°，
∴∠DBC＝60°﹣35°＝25°，
故∠DBC的度数为25°．
【点评】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．（2022秋•崇川区期中）如图，点A、D、C、B在同一条直线上，△ADF≌△BCE，∠B＝33°，∠F＝27°，BC＝5cm，CD＝2cm．求：
（1）∠1的度数．
（2）AC的长．
【分析】（1）根据全等三角形的性质及三角形外角性质求解即可；
（2）根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．
【解答】解：（1）∵△ADF≌△BCE，∠F＝27°，
∴∠E＝∠F＝27°，
∵∠1＝∠B+∠E，∠B＝33°，
∴∠1＝60°；
（2）∵△ADF≌△BCE，BC＝5cm，
∴AD＝BC＝5cm，
∵CD＝2cm，
∴AC＝AD+CD＝7cm．
【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
21．（2022秋•京口区校级月考）如图，已知△ABC≌△DEF，且∠A＝75°，∠B＝35°，ED＝10cm，求∠F的度数与AB的长．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据全等三角形的性质得出AB＝DE，∠F＝∠ACB，即可得出答案．
【解答】解：∵∠A＝75°，∠B＝35°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°，
∵△ABC≌△DEF，ED＝10cm，
∴∠F＝∠ACB＝70°，DE＝AB＝10（cm）．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定的应用，解此题的关键是掌握：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
22．（2022秋•东台市月考）如图所示，已知△ABD≌△CFD，AD⊥BC于D．
（1）求证：CE⊥AB；
（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．
【分析】（1）由△ABD≌△CFD，得出∠BAD＝∠DCF，再利用三角形内角和即可得出答案；
（2）根据全等三角形的性质得出AD＝DC，即可得出BD＝DF，进而解决问题．
【解答】（1）证明：∵△ABD≌△CFD，
∴∠BAD＝∠DCF，
又∵∠AFE＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CDF＝90°，
∴CE⊥AB；
（2）解：∵△ABD≌△CFD，
∴BD＝DF，
∵BC＝7，AD＝DC＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝2，
∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3．
【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟练应用全等三角形的性质是解决问题的关键．
23．（2022秋•邗江区期中）如图，△ABO≌△CDO，点E、F在线段AC上，且AF＝CE．试判断FB与ED的关系，并说明理由．
【分析】根据全等三角形的性质可得BO＝DO，AO＝CO，进一步可证△BOF≌△DOE（SAS），根据全等三角形的性质可得BF＝DE，∠BFO＝∠DEO，根据平行线的判定可得BF∥ED．
【解答】解：FB＝ED，FB∥ED，理由如下：
∵△ABO≌△CDO，
∴BO＝DO，AO＝CO，
∵AF＝CE，
∴OF＝OE，
在△BOF和△DOE中，
，
∴△BOF≌△DOE（SAS），
∴BF＝DE，∠BFO＝∠DEO，
∴BF∥ED，
∴FB＝ED，FB∥ED．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键．
24．（2022秋•句容市期末）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F．
（1）当DE＝8，BC＝5时，求线段AE的长；
（2）已知∠D＝35°，∠C＝60°，求∠DBC与∠AFD的度数．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到AB＝DE＝8，BE＝BC＝5，结合图形计算，得到答案；
（2）根据全等三角形的性质得到∠DBE＝∠C＝60°，∠A＝∠D＝35°，根据三角形内角和定理求出∠ABC，计算即可．
【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝8，BC＝5，
∴AB＝DE＝8，BE＝BC＝5，
∴AE＝AB＝BE＝8﹣5＝3；
（2）∵△ABC≌△DEB，∠D＝35°，∠C＝60°，
∴∠DBE＝∠C＝60°，∠A＝∠D＝35°，∠ABC＝∠DEB，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝85°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝85°﹣60°＝25°，
∵∠ABC＝85°，
∴∠DEB＝85°，
∴∠AED＝95°，
∴∠AFD＝∠A+∠AED＝35°+95°＝130°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
25．（2022秋•盐都区月考）如图，A，E，C三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．
（1）线段DE，CE，BC有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）请你猜想△ADE满足什么条件时，DE∥BC，并证明．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AE＝BC，DE＝AC，再求出答案即可；
（2）当∠AED＝90°时，DE∥BC，根据全等三角形的性质得出∠AED＝∠C，求出∠DEC＝∠C，再根据平行线的判定得出即可．即可．
【解答】（1）解：DE＝CE+BC．
理由：∵△ABC≌△DAE，
∴AE＝BC，DE＝AC．
∵A，E，C三点在同一直线上，
∴AC＝AE+CE，
∴DE＝CE+BC；
（2）当△ADE满足∠AED＝90°时，DE∥BC，
证明：∵△ABC≌△DAE，∠AED＝90°，
∴∠C＝∠AED＝90°，∠DEC＝180°﹣∠AED＝90°，
∴∠C＝∠DEC．
∴DE∥BC，
即当△ADE满足∠AED＝90°时，DE∥BC．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
26．（2022秋•鼓楼区期中）已知：如图，△ABC≌△DCB，AC、DB相交于点E．求证：AE＝DE．
【分析】由△ABC≌△DCB，得出∠A＝∠D，AB＝DC，再利用对顶角∠AOB＝∠DOC，证得结论成立．
【解答】证明：∵△ABC≌△DCB，
∴∠A＝∠D，AB＝DC，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（AAS）．
∴AE＝DE．
【点评】此题考查三角形全等的判定与性质，注意边角关系的对应．
27．（2022秋•溧水区期中）如图所示，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABC≌△BAD．
求证：（1）OA＝OB；
（2）AB∥CD．
【分析】（1）要证OA＝OB，由等角对等边需证∠CAB＝∠DBA，由已知△ABC≌△BAD即可证．
（2）要证AB∥CD，根据平行线的性质需证∠CAB＝∠ACD，由已知和（1）可证∠OCD＝∠ODC，又因为
∠AOB＝∠COD，所以可证∠CAB＝∠ACD，即AB∥CD获证．
【解答】证明：（1）∵△ABC≌△BAD，
∴∠CAB＝∠DBA，
∴OA＝OB．
（2）∵△ABC≌△BAD，
∴AC＝BD，
又∵OA＝OB，
∴AC﹣OA＝BD﹣OB，
即：OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵∠AOB＝∠COD，∠CAB＝，∠ACD＝，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和等腰三角形的性质及平行线的性质．解答时，除必备的知识外，还应将条件和所求联系起来，即将所求的角与已知角通过全等及内角之间的关系联系起来．
28．（2022秋•靖江市月考）如图，△ABC≌△ADE，∠CAD＝10°，∠B＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数．
【分析】由△ABC≌△ADE，可得∠DAE＝∠BAC＝（∠EAB﹣∠CAD），根据三角形外角性质可得∠DFB＝∠FAB+∠B，因为∠FAB＝∠FAC+∠CAB，即可求得∠DFB的度数；根据三角形内角和定理可得∠DGB＝∠DFB﹣∠D，即可得∠DGB的度数．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC＝（∠EAB﹣∠CAD）＝×110°＝55°．
∴∠DFB＝∠FAB+∠B＝∠FAC+∠CAB+∠B＝10°+55°+25°＝90°
∠DGB＝∠DFB﹣∠D＝90°﹣25°＝65°．
综上所述：∠DFB＝90°，∠DGB＝65°．
【点评】本题主要考查三角形全等的性质，找到相应等量关系的角是解题的关键，做题时要结合图形进行思考．
一、单选题
1．（2022秋·江苏连云港·八年级校考阶段练习）下列结论中正确的有（ ）
①全等三角形对应边相等；②全等三角形对应角相等；③全等三角形周长相等；
④全等三角形面积相等．⑤全等三角形对应中线、对应高线、对应角平分线相等；
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】A
【分析】根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】解：①全等三角形对应边相等，此结论正确；
②全等三角形对应角相等，此结论正确；
③全等三角形周长相等，此结论正确；
④全等三角形面积相等，此结论正确；
⑤全等三角形对应中线、对应高线、对应角平分线相等，此结论正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等，全等三角形的周长相等，面积相等，解题的关键是牢记性质．
2．（2022秋·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，，点与，与分别是对应顶点，且测得，，则长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据全等三角形性质求出，求出CF，代入即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质的应用，关键是求出BC和CF的长，注意：全等三角形的对应边相等．
3．（2022秋·江苏常州·八年级校考阶段练习）已知图中的两个三角形全等，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】的对应角为，根据三角形的内角和计算出的度数即可得到的度数．
【详解】解：如图，
由三角形内角和定理得到，
图中的两个三角形全等，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内角和以及三角形全等的性质，解决本题的关键是找到的对应角．
4．（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质得出，，求出，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】解：，，
，，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质的应用，能正确运用全等三角形的性质进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
5．（2022秋·八年级单元测试）如图，已知，平分，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，再求出，然后利用全等三角形的性质求即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
6．（2022秋·八年级课时练习）小明学习了全等三角形后总结了以下结论：
①全等三角形的形状相同、大小相等；
②全等三角形的对应边相等、对应角相等；
③面积相等的两个三角形是全等图形；
④全等三角形的周长相等
其中正确的结论个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定及性质逐一判断即可．
【详解】解：①全等三角形的形状相同、大小相等；①正确，
②全等三角形的对应边相等、对应角相等；②正确，
③面积相等的两个三角形不一定是全等图形，故③错误，
④全等三角形的周长相等，④正确，
∴①②④正确，
故答案为：C．
【点睛】全等三角形的判定及性质，理解并掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
7．（2022秋·江苏无锡·八年级统考期末）如图，已知，且，则的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】D
【分析】先根据三角形内角和定理求出，再由全等三角形的性质即可得到．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟知全等三角形对应角相等是解题的关键．
8．（2023秋·江苏南通·八年级校联考期末）如图，已知，若，则的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
【答案】C
【分析】在中，根据三角形内角和定理求出的度数，再根据“全等三角形对应角相等”可得的度数.
【详解】中
（全等三角形对应角相等）
故选:C
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理和全等三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键.
9．（2022秋·江苏泰州·八年级校考阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．两个面积相等的图形，一定是全等图形 B．两个等边三角形是全等图形
C．两个全等图形的面积一定相等 D．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形
【答案】C
【分析】根据全等图形的判定和性质，对每个选项进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误；
B、两个等边三角形不一定是全等图形，故B错误；
C、两个全等图形的面积一定相等，正确；
D、若两个图形的周长相等，则它们不一定是全等形，故D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等图形的判定和性质，解题的关键是熟记全等图形的判定和性质进行判断．
10．（2022秋·八年级课时练习）如图，沿直角边所在的直线向右平移得到，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选择正确答案．
【详解】解：A、沿直角边所在的直线向右平移得到，则成立，故正确，不符合题意；
B、为直角三角形，则成立，故正确，不符合题意；
C、不能成立，故错误，符合题意；
D、为对应角，正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
二、填空题
11．（2022秋·江苏南京·八年级南京市第二十九中学校考期中）已知的周长为，若_______．
【答案】6
【分析】根据全等三角形的性质可得，即可求解．
【详解】解∶∵，
∴，
∵的周长为，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：6
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
12．（2022秋·江苏南京·八年级统考期中）已知三边的长分别为3，5，7，三边的长分别为3，7，，若这两个三角形全等，则 ______．
【答案】3
【分析】利用全等的性质列式计算即可．
【详解】解：∵与全等，
∴，解得：，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查三角形全等的性质，能够通过全等得到对应边相等并列式是解题关键．
13．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期中）已知，，则________．
【答案】
【分析】直接根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵
∴．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解答本题的关键．
14．（2022秋·江苏常州·八年级校考期中）如图，，则的度数为 _____．
【答案】/65度
【分析】先根据全等三角形，得到，然后根据外角定理得到的度数．
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题是全等三角形与三角形外角定理结合的题型，能够找到角的关系是解决本题的关键．
15．（2023秋·江苏南京·八年级统考期末）如图，，若，，，则的度数为______°．
【答案】
【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，然后根据全等的性质求出的度数，最后由角的和差即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
又，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
16．（2022秋·八年级单元测试）如图，在中，，，，D是坐标平面上一点，若以A，B，D为顶点的三角形与全等，则点D的坐标是________．
【答案】D1（-1，3），D2（4，-1），D3（-1，-1）
【分析】若要，则D点可在AB的上方或下方，分别讨论即可．
【详解】如图，要和全等，且有一边为AB的三角形，
D点可为：D1（-1，3），D2（4，-1），D3（-1，-1）
故答案为：D1（-1，3），D2（4，-1），D3（-1，-1）．
【点睛】本题考查判定全等三角形的概念，注意不要遗漏可能的情况是解题关键．
17．（2020秋·江苏常州·八年级常州市第二十四中学校考期中）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为______厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．
【答案】或
【分析】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度．
【详解】解：设点P运动的时间为t秒，则，，
∵，
∴①当，时，，
此时，
解得，
∴，
此时，点Q的运动速度为厘米/秒；
②当，时，，
此时，，
解得，
∴点Q的运动速度为厘米/秒；
综上所述，点Q的运动速度为3厘米/秒或厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用．解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等．
18．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，中，．点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，当一个点到达终点时另一个点也停止运动，在某时刻，分别过P和Q作于E，于F．设运动时间为t秒，则当_______秒时，与全等．
【答案】1或
【分析】根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，求出即可．
【详解】解：分以下情况：①如图1，P在上，Q在上，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵与全等，
∴，
即，
；
②如图2，P在上，Q在上，
∵由①知：，
∴，
∴；
∵，
∴此种情况不符合题意；
③当P、Q都在上时，如图3，
，
；
④当Q到A点停止，P在上时，此时
，
则该情况不成立．
故答案为：1或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及一元一次方程的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等．
三、解答题
19．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图，，求的长．
【答案】6
【分析】根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等，对应角相等是解题的关键．
20．（2022秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，．点P在线段上以的速度由点A向点B匀速运动，同时，点Q在线段上由点B向点D匀速运动，设点Q的运动速度为 ．当与全等时，求x的值．
【答案】3或
【分析】与全等，则分两种情况：①，②，建立方程组求得答案即可．
【详解】解：∵，
∴为对应顶点，
①若， 则，
即，
解得：；
②若， 则，
，
解得：；
综上所述，当或时，与全等．
【点睛】本题主要考查了全等三角形性质，解题的关键是注意分类讨论思想进行求解．
21．（2022秋·江苏镇江·八年级校联考阶段练习）如图，，且，，，求和的度数．
【答案】，
【分析】由，可得，根据三角形外角性质可得，因为，即可求得的度数；根据三角形内角和定理可得，即可得的度数．
【详解】解：，
．
．
综上所述：，．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质对应角相等，三角形内角和，角度的转化是解决问题的关键．
22．（2021秋·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，和关于成轴对称，交于E，交于D，，求的度数．
【答案】
【分析】根据轴对称的性质得出，，再根据三角形的内角和定理得出，从而确定的度数．
【详解】∵和关于成轴对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
即
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查的是轴对称的性质、全等三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握三角形相关的知识是解题的关键．
23．（2022秋·八年级课时练习）我们已经认识了图形的轴对称、平移和旋转，这是图形的三种基本变换，图形经过这样的变换，虽然位置发生了改变，但图形的形状与大小都不发生变化，反映了图形之间的全等关系．这种运用动态变换研究图形之间的关系的方法，是一种重要而且有效的方法．同学们学完了这些知识后，王老师在黑板上给大家出示了这样的一道题目：
（1）如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．试说明AD＝BE；聪明的小亮很快就找到了解决该问题的方法：请你帮小亮把说理过程补充完整．
解：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，（等边三角形的性质）
∴∠ACD＝ （等式的性质）
∴△ACD绕点C按逆时针方向旋转 度，能够与 重合
∴△ACD≌ （旋转变换的性质）
∴AD＝BE（ ）；
（2）当同学们把这道题领会感悟后，王老师又在上题基础上追加了一问：试求∠AEB的度数．聪明的同学们你会解决吗？请写出你的求解过程．（此题不用写推理依据即可）．
【答案】（1）∠BCE，60，△BCE，△BCE，全等三角形的对应边相等；（2）60°
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠ACD＝∠BCE，然后根据旋转的性质可得△ACD≌△BCE，即可求证；
（2）根据等边三角形的性质可得∠CDE＝∠CED＝60°，从而∠ADC＝120°，再由全等三角形的性质，可得到∠BEC＝∠ADC＝120°，即可求解．
【详解】解：（1）∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，（等边三角形的性质）
∴∠ACD＝∠BCE，（等式的性质）
∴△ACD绕点C按逆时针方向旋转60度，能够与△BCE重合，
∴△ACD≌△BCE，（旋转变换的性质）
∴AD＝BE（全等三角形的对应边相等）；
（2）∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝60°，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝120°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠BEC＝∠ADC＝120°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°．
【点睛】本题主要考查了利用旋转判定三角形全等，全等三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，利用旋转判定三角形全等是解题的关键．
24．（2023秋·江苏镇江·八年级校联考期末）如图，已知，点E在上，与相交于点F．
(1)当，时，求线段AE的长；
(2)已知，，求与的度数．
【答案】(1)3
(2)，
【分析】(1)根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，即可得到答案；
(2)根据全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，计算即可求得．
【详解】（1）解：，，，
，，
；
（2）解：，，，
，，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
25．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图，已知，点，，，在同一条直线上．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)
(2)7
【分析】（1）根据三角形的外角的性质求出，然后再根据全等三角形的对应角相等即可解答；
（2）根据题意求出，再根据线段的和差即可解答．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）解∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
第02讲 全等三角形
1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素.
2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.
一、全等三角形
1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
2.三角形全等的符号：“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
3.三角形对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．
二、全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.
题型一：全等三角形概念
例1．（2021秋·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）能够完全重合的两个三角形叫做_______．
【答案】全等三角形
【变式1】（2022秋·江苏·八年级专题练习）把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做_________，重合的边叫做_________，重合的角叫做_________．记两个三角形全等时，通常把表示_________的字母写在对应位置上．
【答案】 对应顶点 对应边 对应角 对应顶点
【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，以及对应顶点、对应边、对应角的概念填空．
【详解】解：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上．
故答案为：对应顶点；对应边；对应角；对应顶点．
【点睛】此题主要考查了全等形及相关概念，属于基本概念题，是需要识记的内容．
【变式2】（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，，和，和是对应边．写出其他对应边及对应角．
【答案】其他对应边：和．对应角：和，和，和．
【分析】根据全等三角形的概念，写出相对应的边和角即可．
【详解】解：∵△ABC≌△CDA，
∴其他对应边：AC和CA．对应角：∠BAC和∠DCA，∠B和∠D，∠ACB和∠CAD．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的概念，解题的关键在于能够熟记概念．
例2．（2023秋·江苏淮安·八年级校考阶段练习）关于全等三角形，下列说法正确的是（ ）
A．大小相等的三角形是全等三角形
B．面积相等的三角形是全等三角形
C．三个角对应相等的三角形是全等三角形
D．两个三角形全等，它们的形状一定相同
【答案】D
【分析】根据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形，对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、大小相等的三角形，形状不一定相同，所以不一定完全重合，故该选项不符合题意；
B、面积相等的三角形，形状不一定相同，所以不一定完全重合，故该选项不符合题意；
C、三个角对应相等的三角形，边长不一定相等，所以不一定完全重合，故该选项不符合题意；
D、两个三角形全等，它们的形状一定相同，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的概念，熟记概念，要从形状和大小两个方面来考虑两个三角形是否完全重合是解题关键．
例3．（2021秋·江苏常州·八年级校考阶段练习）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线经过点E，交AD于F，∠ACB＝∠AED＝105°，∠CAD＝10°，∠B＝50°，则∠AFE＝_______°．
【答案】85
【分析】利用三角形内角和定理求出∠BAC＝25°，再根据三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：在△ABC中，∵∠B＝50°，∠ACB＝105°，
∴∠BAC＝25°，
∵∠CAD＝10°，∠B＝50°，
∴∠AFE＝∠BAD+∠B＝∠BAC+∠CAD+∠B＝25°+10°+50°＝85°，
故答案为：85．
【点睛】本题考查了全等三角形的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的关键．
例4．（2022秋·江苏泰州·八年级靖江市靖城中学校联考阶段练习）如图，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上的一点，连接BD，CD；如图2，已知AB=AC，D、E为∠BAC的角平分线上的两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上的三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第5个图形中有全等三角形的对数是_____．
【答案】15
【分析】根据图形得出当有1点D时，有1对全等三角形；当有2点D、E时，有3对全等三角形；当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n个点时，图中有 个全等三角形，进而即可求解．
【详解】解：当有1点D时，有1对全等三角形；
当有2点D、E时，有3对全等三角形；
当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；
当有4点时，有10个全等三角形；
…
当有n个点时，图中有个全等三角形．
∴第5个图形中有全等三角形的对数是：．
故答案为：15．
【点睛】本题考查了全等三角形的概念，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，但有一定的难度．
题型二：全等三角形性质
例5.如图，△ABD≌△EBC，AB=3cm，BC=6cm，
（1）求DE的长．
（2）若A、B、C在一条直线上，则DB与AC垂直吗？为什么？
【思路点拨】（1）根据全等三角形对应边相等可得BD=BC=6cm，BE=AB=3cm，然后根据DE=BD﹣BE代入数据进行计算即可得解；（2）DB⊥AC．根据全等三角形对应角相等可得∠ABD=∠EBC，又A、B、C在一条直线上，根据平角的定义得出∠ABD+∠EBC=180°，所以∠ABD=∠EBC=90°，由垂直的定义即可得到DB⊥AC．
【答案与解析】
解：（1）∵△ABD≌△EBC，∴BD=BC=6cm，BE=AB=3cm，∴DE=BD﹣BE=3cm；
（2）DB⊥AC．理由如下：∵△ABD≌△EBC，∴∠ABD=∠EBC，
又∵∠ABD+∠EBC=180°，∴∠ABD=∠EBC=90°，∴DB⊥AC．
【总结升华】本题主要考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．也考查了平角的定义与垂直的定义，熟记性质与定义是解题的关键．
【变式】下列命题中：（1）形状相同的两个三角形是全等形；（2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有（ ）
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
【答案】C；
提示：（1）形状相同、大小相等的两个三角形是全等形，而原说法没有指出大小相等这一点，故（1）错误；（2）在两个全等三角形中，对应角相等，对应边相等，而非相等的角是对应角，相等的边是对应边，故（2）错误；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，故（3）正确．综上可得只有（3）正确．故选C．
例6、 如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，
∠α的度数是_________.
【思路点拨】（1）由∠1，∠2，∠3之间的比例关系及利用三角形内角和可求出∠1，∠2，∠3的度数；（2）由全等三角形的性质求∠EBC，∠BCD的度数；（3）运用外角求∠α的度数.
【答案】∠α＝80°
【解析】∵∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，设∠1＝28，∠2＝5，∠3＝3，
∴28＋5＋3＝36＝180°，＝5°
即∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°
∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，
∴△ABE≌△ADC≌△ABC
∴∠2＝∠ABE，∠3＝∠ACD
∴∠α＝∠EBC＋∠BCD＝2∠2＋2∠3＝50°＋30°＝80°
【总结升华】此题涉及到了三角形内角和，外角和定理，并且要运用全等三角形对应角相等的性质来解决问题.见“比例”设未知数是比较常用的解题思路.
【变式】如图，在△ABC中，∠A:∠ABC:∠BCA ＝3:5:10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（ ）
A．1:2 B．1:3 C．2:3 D．1:4
【答案】D；
提示：设∠A＝3，∠ABC＝5，∠BCA＝10，则3＋5＋10＝18
＝180°，＝10°. 又因为△MNC≌△ABC，所以∠N＝∠ABC＝50°，CN＝CB，所以∠N＝∠CBN＝50°，
∠ACB＝∠MCN＝100°，∠BCN＝180°－50°－50°＝80°，所以∠BCM：∠BCN＝20°：80°＝1：4.
一．选择题（共10小题）
1．（2022秋•亭湖区期中）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据全等三角形的对应边相等推知BD＝AC＝7，然后根据线段的和差即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC≌△DCB，
∴BD＝AC＝7，
∵BE＝5，
∴DE＝BD﹣BE＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，仔细观察图形，根据已知条件找准对应边是解决本题的关键．
2．（北塘区期中）若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为20，AB＝5，BC＝8，则DF长为（ ）
A．5 B．8 C．5或8 D．7
【分析】根据三角形全等的性质可得DF＝AC，再利用已知条件可求得AC的长，可得出答案．
【解答】解：∵△ABC的周长为20，AB＝5，BC＝8，
∴AC＝7，
∵△ABC≌△DEF，
∴DF＝AC＝7，
故选：D．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
3．（常熟市校级期中）如图，△ABC≌△A′B′C，∠ACB＝90°，∠A′CB＝20°，则∠BCB′的度数为（ ）
A．20° B．40° C．70° D．90°
【分析】根据全等三角形对应角相等，∠ACB＝∠A′CB′，所以∠BCB′＝∠BCB′，再根据角的和差关系代入数据计算即可．
【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠ACB＝∠A′CB′，
∴∠BCB′＝∠A′CB′﹣∠A′CB＝70°．
故选：C．
【点评】本题主要考查全等三角形对应角相等的性质，对应角都减去∠A′CB得到两角相等是解决本题的关键，难度适中．
4．（2022秋•云龙区校级月考）如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，且测得BC＝5cm，BF＝7cm，则EC长为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【分析】根据全等三角形性质求出EF＝BC＝5cm，求出CF，代入EF﹣CF即可求出答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴EF＝BC＝5cm，
∵BF＝7cm，BC＝5cm，
∴CF＝7cm﹣5cm＝2cm，
∴EC＝EF﹣CF＝3cm，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，关键是求出BC和CF的长，注意：全等三角形的对应边相等．
5．（2022秋•涟水县期中）如图，△ABC≌△DEC，点B，C，D在同一条直线上，且CE＝1，CD＝3，则BD的长是（ ）
A．1.5 B．2 C．4 D．6
【分析】根据全等三角形的性质得出对应边相等，进而解答即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，CE＝1，CD＝3，
∴BC＝CE＝1，
∴BD＝BC+CD＝3+1＝4，
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质得出对应边相等解答．
6．（2022秋•灌南县校级月考）如图，△ABC≌△EFD，则下列说法错误的是（ ）
A．FC＝BD B．EF平行且等于AB
C．AC平行且等于DE D．CD＝ED
【分析】利用全等三角形的性质进行推理即可．
【解答】解：A、∵△ABC≌△EFD，
∴FD＝CB，
∴FD﹣CD＝BC﹣CD，
即FC＝BD，故此选项不合题意；
B、∵△ABC≌△EFD，
∴∠F＝∠B，EF＝AB，
∴EF∥AB，故此选项不合题意；
C、∵△ABC≌△EFD，
∴∠FDE＝∠BCA，
∴AC∥DE，AC＝DE，故此选项不合题意；
D、不能证明CD＝ED，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
7．（2021秋•仪征市期末）若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（ ）
A．30 B．27 C．35 D．40
【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应边相等进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF＝30，
故选：A．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应边是解题关键．
8．（2022秋•建邺区期末）如图，△ABC≌△AMN，点M在BC上，连接CN，下列结论：
①AM平分∠BMN
②∠CMN＝∠BAM
③∠MAC＝∠MNC
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【分析】根据全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角性质及角的和差求解即可．
【解答】解：∵△ABC≌△AMN，
∴AB＝AM，∠ABC＝∠AMN，
∴∠ABM＝∠AMB，
∴∠AMB＝∠AMN，
∴AM平分∠BMN，
故①正确，符合题意；
∵△ABC≅△AMN，
∴∠ABC＝∠AMN，
∵∠AMC＝∠AMN+∠NMC＝∠ABC+∠BAM，
∴∠CMN＝∠BAM，
故②正确，符合题意；
∵△ABC≅△AMN，
∴∠BAC＝∠MAN，AB＝AM，AC＝AN，∠ACB＝∠ANM，
∴∠BAM＝∠CAN，∠ACN＝∠ANC，∠ABM＝∠AMB，
∴∠ACN＝∠ANC＝∠ABM＝∠AMB，
∵∠AMB＝∠MAC+∠ACB，∠ANC＝∠ANM+∠MNC，
∴∠MAC＝∠MNC
故③正确，符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
9．（2022秋•滨海县期中）如图，△ABD≌△ACE，若AE＝3，AB＝6，则CD的长度为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．2
【分析】根据全等三角形的性质，可以得到AC和AD的长，然后根据CD＝AC﹣AD，代入数据计算即可．
【解答】解：∵△ABD≌△ACE，AE＝3，AB＝6，
∴AD＝AE＝3，AC＝AB＝6，
∴CD＝AC﹣AD＝6﹣3＝3，
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．（2022秋•海安市期末）已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．72° B．60° C．58° D．50°
【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角进而得出答案．
【解答】解：∵图中的两个三角形全等，
∴∠α＝50°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，正确找出对应角是解题关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2022秋•启东市期末）如图，已知△ABC≌△ADC，∠B＝30°，∠BAC＝23°，则∠ACD的度数为 127° ．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠BAC＝23°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝127°，
∵△ABC≌△ADC，
∴∠ACD＝∠ACB＝127°，
故答案为：127°．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
12．（2022秋•溧水区期末）已知△ABC≌△DEF，且△DEF的周长为12，若AB＝5，BC＝4，AC＝ 3 ．
【分析】根据全等三角形的周长相等求出△ABC的周长，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，△DEF的周长为12，
∴△ABC的周长为12，又AB＝5，BC＝4，
∴AC＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的周长相等，面积相等是解题的关键．
13．（2022秋•常州期末）如图，△ABC≌△EDF，则AC的长为 4 ．
【分析】利用全等三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【解答】解：∵△ABC≌△EDF，
∴BC＝DF＝3，
∵AC2+BC2＝AB2，AB＝5，
∴．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质及勾股定理，解决问题的关键是熟练掌握全等三角形的性质．
14．（2022秋•宜兴市月考）三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数等于 180° ．
【分析】直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出∠4+∠9+∠6＝180°，∠5+∠7+∠8＝180°，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：
由图形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7＝540°，
∵三个三角形全等，
∴∠4+∠9+∠6＝180°，
又∵∠5+∠7+∠8＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+180°+180°＝540°，
∴∠1+∠2+∠3的度数是180°．
故答案为：180°．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．
15．（2021秋•射阳县校级期末）如图，△ABC≌△DEF，BE＝4，AE＝1，则DE的长是 5 ．
【分析】先求出AB的长度，再根据全等三角形对应边相等解答即可．
【解答】解：∵BE＝4，AE＝1，
∴AB＝BE+AE＝4+1＝5，
∵△ABC≌△DEF，
∴DE＝AB＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，先求出DE的对应边AB的长度是解题的关键．
三．解答题（共13小题）
16．（2022秋•淮安区期中）如图，△ACF≌△ADE，AC＝11，AF＝5，求DF的长．
【分析】根据△ACF≌△ADE，AC＝11，AF＝5，可以得到AD的长，然后根据DF＝AD﹣AF，代入数据计算即可．
【解答】解：∵△ACF≌△ADE，
∴AE＝AF，AD＝AC，
∵AC＝11，AF＝5，
∴AD＝11，
∴DF＝AD﹣AF＝11﹣5＝6．
【点评】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17．（2022秋•扬州期中）如图，已知△ABF≌△CDE．
（1）若∠B＝45°，∠DCF＝25°，求∠EFC的度数；
（2）若BD＝10，EF＝5，求BF的长．
【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等，三角形的外角的性质计算；
（2）根据全等三角形的对应边相等计算．
【解答】解：（1）∵△ABF≌△CDE，∠B＝45°，
∴∠D＝∠B＝45°，
∵∠DCF＝25°，
∴∠EFC＝∠DCF+∠D＝70°；
（2）∵△ABF≌△CDE，
∴BF＝DE，
∴BF﹣EF＝DE﹣EF，
即BE＝DF，
∵BD＝10，EF＝5，
∴BE＝（10﹣5）÷2＝，
∴BF＝BE+EF＝．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键．
18．（2022秋•江都区月考）如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠A＝30°，∠CGF＝88°，求∠E的度数．
【分析】根据全等三角形的性质得到∠D＝∠A＝30°，∠E＝∠B，根据三角形的外角性质求出∠DCB，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝30°，
∴∠D＝∠A＝30°，∠E＝∠B，
∵∠CGF＝88°，
∴∠DCB＝∠CGF﹣∠D＝88°﹣30°＝58°，
∵CD平分∠BCA，
∴∠ACB＝2∠DCB＝116°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣116°＝34°，
∴∠E＝∠B＝34°．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
19．（2022秋•姜堰区月考）如图，△ABC≌△DBE，点A、D、C在同一条直线上，且∠A＝60°，∠C＝35°，求∠DBC的度数．
【分析】由△ABC≌△DBE，推出AB＝BD，推出∠A＝∠BDA＝60°，再根据∠BDA＝∠C+∠DBC，求出∠DBC即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DBE，
∴AB＝BD，
∴∠A＝∠BDA＝60°，
∵∠BDA＝∠C+∠DBC，∠C＝35°，
∴∠DBC＝60°﹣35°＝25°，
故∠DBC的度数为25°．
【点评】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．（2022秋•崇川区期中）如图，点A、D、C、B在同一条直线上，△ADF≌△BCE，∠B＝33°，∠F＝27°，BC＝5cm，CD＝2cm．求：
（1）∠1的度数．
（2）AC的长．
【分析】（1）根据全等三角形的性质及三角形外角性质求解即可；
（2）根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．
【解答】解：（1）∵△ADF≌△BCE，∠F＝27°，
∴∠E＝∠F＝27°，
∵∠1＝∠B+∠E，∠B＝33°，
∴∠1＝60°；
（2）∵△ADF≌△BCE，BC＝5cm，
∴AD＝BC＝5cm，
∵CD＝2cm，
∴AC＝AD+CD＝7cm．
【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
21．（2022秋•京口区校级月考）如图，已知△ABC≌△DEF，且∠A＝75°，∠B＝35°，ED＝10cm，求∠F的度数与AB的长．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据全等三角形的性质得出AB＝DE，∠F＝∠ACB，即可得出答案．
【解答】解：∵∠A＝75°，∠B＝35°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°，
∵△ABC≌△DEF，ED＝10cm，
∴∠F＝∠ACB＝70°，DE＝AB＝10（cm）．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定的应用，解此题的关键是掌握：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
22．（2022秋•东台市月考）如图所示，已知△ABD≌△CFD，AD⊥BC于D．
（1）求证：CE⊥AB；
（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．
【分析】（1）由△ABD≌△CFD，得出∠BAD＝∠DCF，再利用三角形内角和即可得出答案；
（2）根据全等三角形的性质得出AD＝DC，即可得出BD＝DF，进而解决问题．
【解答】（1）证明：∵△ABD≌△CFD，
∴∠BAD＝∠DCF，
又∵∠AFE＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CDF＝90°，
∴CE⊥AB；
（2）解：∵△ABD≌△CFD，
∴BD＝DF，
∵BC＝7，AD＝DC＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝2，
∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3．
【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟练应用全等三角形的性质是解决问题的关键．
23．（2022秋•邗江区期中）如图，△ABO≌△CDO，点E、F在线段AC上，且AF＝CE．试判断FB与ED的关系，并说明理由．
【分析】根据全等三角形的性质可得BO＝DO，AO＝CO，进一步可证△BOF≌△DOE（SAS），根据全等三角形的性质可得BF＝DE，∠BFO＝∠DEO，根据平行线的判定可得BF∥ED．
【解答】解：FB＝ED，FB∥ED，理由如下：
∵△ABO≌△CDO，
∴BO＝DO，AO＝CO，
∵AF＝CE，
∴OF＝OE，
在△BOF和△DOE中，
，
∴△BOF≌△DOE（SAS），
∴BF＝DE，∠BFO＝∠DEO，
∴BF∥ED，
∴FB＝ED，FB∥ED．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键．
24．（2022秋•句容市期末）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F．
（1）当DE＝8，BC＝5时，求线段AE的长；
（2）已知∠D＝35°，∠C＝60°，求∠DBC与∠AFD的度数．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到AB＝DE＝8，BE＝BC＝5，结合图形计算，得到答案；
（2）根据全等三角形的性质得到∠DBE＝∠C＝60°，∠A＝∠D＝35°，根据三角形内角和定理求出∠ABC，计算即可．
【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝8，BC＝5，
∴AB＝DE＝8，BE＝BC＝5，
∴AE＝AB＝BE＝8﹣5＝3；
（2）∵△ABC≌△DEB，∠D＝35°，∠C＝60°，
∴∠DBE＝∠C＝60°，∠A＝∠D＝35°，∠ABC＝∠DEB，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝85°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝85°﹣60°＝25°，
∵∠ABC＝85°，
∴∠DEB＝85°，
∴∠AED＝95°，
∴∠AFD＝∠A+∠AED＝35°+95°＝130°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
25．（2022秋•盐都区月考）如图，A，E，C三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．
（1）线段DE，CE，BC有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）请你猜想△ADE满足什么条件时，DE∥BC，并证明．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AE＝BC，DE＝AC，再求出答案即可；
（2）当∠AED＝90°时，DE∥BC，根据全等三角形的性质得出∠AED＝∠C，求出∠DEC＝∠C，再根据平行线的判定得出即可．即可．
【解答】（1）解：DE＝CE+BC．
理由：∵△ABC≌△DAE，
∴AE＝BC，DE＝AC．
∵A，E，C三点在同一直线上，
∴AC＝AE+CE，
∴DE＝CE+BC；
（2）当△ADE满足∠AED＝90°时，DE∥BC，
证明：∵△ABC≌△DAE，∠AED＝90°，
∴∠C＝∠AED＝90°，∠DEC＝180°﹣∠AED＝90°，
∴∠C＝∠DEC．
∴DE∥BC，
即当△ADE满足∠AED＝90°时，DE∥BC．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
26．（2022秋•鼓楼区期中）已知：如图，△ABC≌△DCB，AC、DB相交于点E．求证：AE＝DE．
【分析】由△ABC≌△DCB，得出∠A＝∠D，AB＝DC，再利用对顶角∠AOB＝∠DOC，证得结论成立．
【解答】证明：∵△ABC≌△DCB，
∴∠A＝∠D，AB＝DC，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（AAS）．
∴AE＝DE．
【点评】此题考查三角形全等的判定与性质，注意边角关系的对应．
27．（2022秋•溧水区期中）如图所示，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABC≌△BAD．
求证：（1）OA＝OB；
（2）AB∥CD．
【分析】（1）要证OA＝OB，由等角对等边需证∠CAB＝∠DBA，由已知△ABC≌△BAD即可证．
（2）要证AB∥CD，根据平行线的性质需证∠CAB＝∠ACD，由已知和（1）可证∠OCD＝∠ODC，又因为
∠AOB＝∠COD，所以可证∠CAB＝∠ACD，即AB∥CD获证．
【解答】证明：（1）∵△ABC≌△BAD，
∴∠CAB＝∠DBA，
∴OA＝OB．
（2）∵△ABC≌△BAD，
∴AC＝BD，
又∵OA＝OB，
∴AC﹣OA＝BD﹣OB，
即：OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵∠AOB＝∠COD，∠CAB＝，∠ACD＝，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和等腰三角形的性质及平行线的性质．解答时，除必备的知识外，还应将条件和所求联系起来，即将所求的角与已知角通过全等及内角之间的关系联系起来．
28．（2022秋•靖江市月考）如图，△ABC≌△ADE，∠CAD＝10°，∠B＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数．
【分析】由△ABC≌△ADE，可得∠DAE＝∠BAC＝（∠EAB﹣∠CAD），根据三角形外角性质可得∠DFB＝∠FAB+∠B，因为∠FAB＝∠FAC+∠CAB，即可求得∠DFB的度数；根据三角形内角和定理可得∠DGB＝∠DFB﹣∠D，即可得∠DGB的度数．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC＝（∠EAB﹣∠CAD）＝×110°＝55°．
∴∠DFB＝∠FAB+∠B＝∠FAC+∠CAB+∠B＝10°+55°+25°＝90°
∠DGB＝∠DFB﹣∠D＝90°﹣25°＝65°．
综上所述：∠DFB＝90°，∠DGB＝65°．
【点评】本题主要考查三角形全等的性质，找到相应等量关系的角是解题的关键，做题时要结合图形进行思考．
一、单选题
1．（2022秋·江苏连云港·八年级校考阶段练习）下列结论中正确的有（ ）
①全等三角形对应边相等；②全等三角形对应角相等；③全等三角形周长相等；
④全等三角形面积相等．⑤全等三角形对应中线、对应高线、对应角平分线相等；
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】A
【分析】根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】解：①全等三角形对应边相等，此结论正确；
②全等三角形对应角相等，此结论正确；
③全等三角形周长相等，此结论正确；
④全等三角形面积相等，此结论正确；
⑤全等三角形对应中线、对应高线、对应角平分线相等，此结论正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等，全等三角形的周长相等，面积相等，解题的关键是牢记性质．
2．（2022秋·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，，点与，与分别是对应顶点，且测得，，则长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据全等三角形性质求出，求出CF，代入即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质的应用，关键是求出BC和CF的长，注意：全等三角形的对应边相等．
3．（2022秋·江苏常州·八年级校考阶段练习）已知图中的两个三角形全等，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】的对应角为，根据三角形的内角和计算出的度数即可得到的度数．
【详解】解：如图，
由三角形内角和定理得到，
图中的两个三角形全等，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内角和以及三角形全等的性质，解决本题的关键是找到的对应角．
4．（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质得出，，求出，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】解：，，
，，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质的应用，能正确运用全等三角形的性质进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
5．（2022秋·八年级单元测试）如图，已知，平分，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，再求出，然后利用全等三角形的性质求即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
6．（2022秋·八年级课时练习）小明学习了全等三角形后总结了以下结论：
①全等三角形的形状相同、大小相等；
②全等三角形的对应边相等、对应角相等；
③面积相等的两个三角形是全等图形；
④全等三角形的周长相等
其中正确的结论个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定及性质逐一判断即可．
【详解】解：①全等三角形的形状相同、大小相等；①正确，
②全等三角形的对应边相等、对应角相等；②正确，
③面积相等的两个三角形不一定是全等图形，故③错误，
④全等三角形的周长相等，④正确，
∴①②④正确，
故答案为：C．
【点睛】全等三角形的判定及性质，理解并掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
7．（2022秋·江苏无锡·八年级统考期末）如图，已知，且，则的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】D
【分析】先根据三角形内角和定理求出，再由全等三角形的性质即可得到．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟知全等三角形对应角相等是解题的关键．
8．（2023秋·江苏南通·八年级校联考期末）如图，已知，若，则的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
【答案】C
【分析】在中，根据三角形内角和定理求出的度数，再根据“全等三角形对应角相等”可得的度数.
【详解】中
（全等三角形对应角相等）
故选:C
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理和全等三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键.
9．（2022秋·江苏泰州·八年级校考阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．两个面积相等的图形，一定是全等图形 B．两个等边三角形是全等图形
C．两个全等图形的面积一定相等 D．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形
【答案】C
【分析】根据全等图形的判定和性质，对每个选项进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误；
B、两个等边三角形不一定是全等图形，故B错误；
C、两个全等图形的面积一定相等，正确；
D、若两个图形的周长相等，则它们不一定是全等形，故D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等图形的判定和性质，解题的关键是熟记全等图形的判定和性质进行判断．
10．（2022秋·八年级课时练习）如图，沿直角边所在的直线向右平移得到，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选择正确答案．
【详解】解：A、沿直角边所在的直线向右平移得到，则成立，故正确，不符合题意；
B、为直角三角形，则成立，故正确，不符合题意；
C、不能成立，故错误，符合题意；
D、为对应角，正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
二、填空题
11．（2022秋·江苏南京·八年级南京市第二十九中学校考期中）已知的周长为，若_______．
【答案】6
【分析】根据全等三角形的性质可得，即可求解．
【详解】解∶∵，
∴，
∵的周长为，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：6
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
12．（2022秋·江苏南京·八年级统考期中）已知三边的长分别为3，5，7，三边的长分别为3，7，，若这两个三角形全等，则 ______．
【答案】3
【分析】利用全等的性质列式计算即可．
【详解】解：∵与全等，
∴，解得：，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查三角形全等的性质，能够通过全等得到对应边相等并列式是解题关键．
13．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期中）已知，，则________．
【答案】
【分析】直接根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵
∴．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解答本题的关键．
14．（2022秋·江苏常州·八年级校考期中）如图，，则的度数为 _____．
【答案】/65度
【分析】先根据全等三角形，得到，然后根据外角定理得到的度数．
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题是全等三角形与三角形外角定理结合的题型，能够找到角的关系是解决本题的关键．
15．（2023秋·江苏南京·八年级统考期末）如图，，若，，，则的度数为______°．
【答案】
【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，然后根据全等的性质求出的度数，最后由角的和差即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
又，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
16．（2022秋·八年级单元测试）如图，在中，，，，D是坐标平面上一点，若以A，B，D为顶点的三角形与全等，则点D的坐标是________．
【答案】D1（-1，3），D2（4，-1），D3（-1，-1）
【分析】若要，则D点可在AB的上方或下方，分别讨论即可．
【详解】如图，要和全等，且有一边为AB的三角形，
D点可为：D1（-1，3），D2（4，-1），D3（-1，-1）
故答案为：D1（-1，3），D2（4，-1），D3（-1，-1）．
【点睛】本题考查判定全等三角形的概念，注意不要遗漏可能的情况是解题关键．
17．（2020秋·江苏常州·八年级常州市第二十四中学校考期中）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为______厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．
【答案】或
【分析】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度．
【详解】解：设点P运动的时间为t秒，则，，
∵，
∴①当，时，，
此时，
解得，
∴，
此时，点Q的运动速度为厘米/秒；
②当，时，，
此时，，
解得，
∴点Q的运动速度为厘米/秒；
综上所述，点Q的运动速度为3厘米/秒或厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用．解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等．
18．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，中，．点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，当一个点到达终点时另一个点也停止运动，在某时刻，分别过P和Q作于E，于F．设运动时间为t秒，则当_______秒时，与全等．
【答案】1或
【分析】根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，求出即可．
【详解】解：分以下情况：①如图1，P在上，Q在上，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵与全等，
∴，
即，
；
②如图2，P在上，Q在上，
∵由①知：，
∴，
∴；
∵，
∴此种情况不符合题意；
③当P、Q都在上时，如图3，
，
；
④当Q到A点停止，P在上时，此时
，
则该情况不成立．
故答案为：1或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及一元一次方程的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等．
三、解答题
19．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图，，求的长．
【答案】6
【分析】根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等，对应角相等是解题的关键．
20．（2022秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，．点P在线段上以的速度由点A向点B匀速运动，同时，点Q在线段上由点B向点D匀速运动，设点Q的运动速度为 ．当与全等时，求x的值．
【答案】3或
【分析】与全等，则分两种情况：①，②，建立方程组求得答案即可．
【详解】解：∵，
∴为对应顶点，
①若， 则，
即，
解得：；
②若， 则，
，
解得：；
综上所述，当或时，与全等．
【点睛】本题主要考查了全等三角形性质，解题的关键是注意分类讨论思想进行求解．
21．（2022秋·江苏镇江·八年级校联考阶段练习）如图，，且，，，求和的度数．
【答案】，
【分析】由，可得，根据三角形外角性质可得，因为，即可求得的度数；根据三角形内角和定理可得，即可得的度数．
【详解】解：，
．
．
综上所述：，．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质对应角相等，三角形内角和，角度的转化是解决问题的关键．
22．（2021秋·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，和关于成轴对称，交于E，交于D，，求的度数．
【答案】
【分析】根据轴对称的性质得出，，再根据三角形的内角和定理得出，从而确定的度数．
【详解】∵和关于成轴对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
即
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查的是轴对称的性质、全等三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握三角形相关的知识是解题的关键．
23．（2022秋·八年级课时练习）我们已经认识了图形的轴对称、平移和旋转，这是图形的三种基本变换，图形经过这样的变换，虽然位置发生了改变，但图形的形状与大小都不发生变化，反映了图形之间的全等关系．这种运用动态变换研究图形之间的关系的方法，是一种重要而且有效的方法．同学们学完了这些知识后，王老师在黑板上给大家出示了这样的一道题目：
（1）如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．试说明AD＝BE；聪明的小亮很快就找到了解决该问题的方法：请你帮小亮把说理过程补充完整．
解：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，（等边三角形的性质）
∴∠ACD＝ （等式的性质）
∴△ACD绕点C按逆时针方向旋转 度，能够与 重合
∴△ACD≌ （旋转变换的性质）
∴AD＝BE（ ）；
（2）当同学们把这道题领会感悟后，王老师又在上题基础上追加了一问：试求∠AEB的度数．聪明的同学们你会解决吗？请写出你的求解过程．（此题不用写推理依据即可）．
【答案】（1）∠BCE，60，△BCE，△BCE，全等三角形的对应边相等；（2）60°
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠ACD＝∠BCE，然后根据旋转的性质可得△ACD≌△BCE，即可求证；
（2）根据等边三角形的性质可得∠CDE＝∠CED＝60°，从而∠ADC＝120°，再由全等三角形的性质，可得到∠BEC＝∠ADC＝120°，即可求解．
【详解】解：（1）∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，（等边三角形的性质）
∴∠ACD＝∠BCE，（等式的性质）
∴△ACD绕点C按逆时针方向旋转60度，能够与△BCE重合，
∴△ACD≌△BCE，（旋转变换的性质）
∴AD＝BE（全等三角形的对应边相等）；
（2）∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝60°，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝120°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠BEC＝∠ADC＝120°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°．
【点睛】本题主要考查了利用旋转判定三角形全等，全等三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，利用旋转判定三角形全等是解题的关键．
24．（2023秋·江苏镇江·八年级校联考期末）如图，已知，点E在上，与相交于点F．
(1)当，时，求线段AE的长；
(2)已知，，求与的度数．
【答案】(1)3
(2)，
【分析】(1)根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，即可得到答案；
(2)根据全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，计算即可求得．
【详解】（1）解：，，，
，，
；
（2）解：，，，
，，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
25．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图，已知，点，，，在同一条直线上．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)
(2)7
【分析】（1）根据三角形的外角的性质求出，然后再根据全等三角形的对应角相等即可解答；
（2）根据题意求出，再根据线段的和差即可解答．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）解∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
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