初中数学人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程优秀课后测评

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专题21.16 实际问题与一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解）

【知识点1】建立一元二次方程的模型解应用题的一般步骤
1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
2.解决应用题的一般步骤：
　　审：(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
　　设：(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
　　列：(根据题目中的等量关系，列出方程)；
　　解：(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验：（检验方程的解能否保证实际问题有意义）
　　 　答：(写出答案，切忌答非所问).
【知识点2】建立一元二次方程的模型解应用题的一般步骤
其主要考点类型有以下几种
1.增长率问题
　　列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降 低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题：
　　平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)
(2)降低率问题：
　　平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)
2.数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、
　　　 千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字
只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用
其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位
数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：
　　　　　 100c+10b+a.
　 (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.
　　　如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.
　　　几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.
　　　如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.
3.利润(销售)问题
　　利润(销售)问题中常用的等量关系：
　　利润=售价-进价(成本)
　　总利润=每件的利润×总件数　　
4.形积问题及几何图形问题
　　此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.

【考点一】增长率问题✭★握手问题✭★传播问题
【例1】据统计，目前某市基站的数量约万座，计划到2023年底，全市基站数是目前的4倍，到2025年底，全市基站数最将达到万座．
(1) 计划到2023年底，全市基站的数量是多少万座？
(2) 求2023年底到2025年底，全市基站数量的年平均增长率．
【答案】(1) 计划到2023年底，全市5G基站的数量是6万座.；(2)2023年底到2025年底，全市5G基站数量的年平均增长率为
【分析】（1）按照条件计算即可；（2）设出未知数，按题目要求列出算式，得出结果检验．
（1）解：（万座），
答：计划到2023年底，全市基站的数量是6万座.
（2）解：设2023年底到2025年底，全市基站数量的年平均增长率为x，
依题意，得，
解得（不符合题意，舍去），
答：2023年底到2025年底，全市5G基站数量的年平均增长率为；
【点拨】本题主要考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】春季是传染病多发季节．2023年3月，我国某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，求每轮每人传染的人数．
【答案】每轮每人传染的人数为7人
【分析】设每轮每人传染的人数为x人，则第一轮中有人被感染，第二轮中有人被感染，根据“开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感”，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
解：设每轮每人传染的人数为x人，则第一轮中有人被感染，第二轮中有人被感染，
根据题意得：，
即，
解得：， (不符合题意，舍去)．
答：每轮每人传染的人数为7人．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式2】为了陶冶情操开发智力丰富课余生活，市实验校成立了课外“象棋特长班”．开班仪式上，班内同学一一握手自我介绍(即每位同学都和班内其他同学握手)．老师对握手次数做了统计，全班共握手105次，问：该象棋班共有多少名学生？
【答案】这次参加开班仪式的有15人．
【分析】根据题意设这次参加开班仪式的同学有x人，则每人应握(x﹣1)次手，并列出一元二次方程，继而进行求解即可，注意负数根舍去.
解：设这次参加开班仪式的同学有x人，则每人应握(x﹣1)次手，由题意得：
x(x﹣1)=105，
即：x2﹣x﹣210=0，
解得：x1=15，x2=﹣14(不符合题意舍去)．
答：这次参加开班仪式的有15人．
【点拨】本题考查一元二次方程的实际应用，仔细审题理解题意，列方程进行分析求解.
【考点二】图形问题➽➼➻图形与面积（周长）✭★动态几何问题
【例2】如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．  
(1) 当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
(2) 羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．

【答案】(1)当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈；
(2)不能，理由见分析．
【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；
（2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解．
（1）解：设矩形的边，则边．
根据题意，得．
化简，得．
解得，．
当时，；
当时，．
答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈．
（2）解：不能，理由如下：
由题意，得．
化简，得．
∵，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到．
【点拨】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】如图，某小区矩形绿地的长宽分别为30m，20m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．若扩充后的矩形绿地面积为，求新的矩形绿地的长与宽．
  
【答案】长为，宽为
【分析】设绿地的长、宽增加的长度为，然后根据扩充后的矩形绿地面积为，列出方程求解即可．
解：设绿地的长、宽增加的长度为
由题意得，
解得，（不符合题意，舍去）
∴，
故新的矩形绿地的长为，宽为．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键．
【变式2】要建一个如图所示的面积为的长方形围栏，围栏总长，一边靠墙（墙长）．  
(1) 求围栏的一边的长；
(2) 能否围成面积为的长方形围栏？如果能，求出该长方形的长和宽、如果不能请说明理由．

【答案】(1)米；(2)不能，理由见分析
【分析】（1）设长为米，则长为米，根据题意列出关于的一元二次方程，解方程求出的值，然后由墙的长度得到的取值范围，由此即可得出结论；
（2）假设能围成，列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，从而得出假设不成立，由此即可得出结论．
（1）解：设长为米，则长为米，
∴，
解得： 或，
∵当时，
，故舍去；
∴围栏的宽为15米，长为：米；
即：米．
（2）根据题意，假设能围成，则
，
∴，
∴，
∴原方程无解．
故不能围成面积为的长方形围栏．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及解一元一次不等式组，解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于x的一元二次方程；（2）由根的判别式的正负得出方程解得情况．
【例3】如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，如果、分别是从同时出发，求经过几秒时，
(1) 的面积等于平方厘米？
(2) 五边形的面积最小？最小值是多少？

【答案】(1)2秒或4秒；(2)3秒时，五边形的面积最小，最小值是39平方厘米
【分析】（1）设运动时间为，则，，再由面积公式建立方程求解即可；
（2）由（1）可得：要使的面积有最大值，则要使取最大值，则此时，面积为9， 则此时五边形的面积最小，从而可得答案．
（1）解：设运动时间为，则，，
则，
解得：或．
∴经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米．
（2）由（1）可得：
∴要使的面积有最大值，则要使取最大值，则此时，面积为9，
则此时五边形的面积最小，最小值为．
【点拨】本题主要考查动点问题，一元二次方程的应用，配方法的应用，熟练的解一元二次方程是解本题的关键．
【举一反三】
【变式】如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动． 
(1) 若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？
(2) 若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？

【答案】(1)或；(2)4秒或6秒．
【分析】（1）过点P作于E，构造直角三角形，利用勾股定理即可求得；
（2）根据点P的三个位置进行分类讨论，表示出的底和高，代入面积公式即可求得；
（1）解：过点P作于E，
设x秒后，点P和点Q的距离是．
，
∴， ；
∴经过或，P、Q两点之间的距离是；
（2）解：连接．设经过后△PBQ的面积为．
①当时，，
∴，即，
解得；
②当时，，
则，
解得（舍去）；
③时，，
则，
解得（舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒，的面积为．
【点拨】本题考查了动点问题，相关知识点有：勾股定理求长度，解一元二次方程等知识点，分类讨论是本题的解题关键．
【考点三】数字问题✭★图表信息问题
【例4】阅读材料，回答下列问题：
反序数：
有这样一对数，一个数的数字排列完全颠倒过来变成另一个数，简单的说，就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数称为“反序数”，比如：的反序数是，的反序数是．
用方程知识解决问题：
若一个两位数，其十位上的数字比个位上的数字大3，这个两位数与其反序数之积为，求这个两位数．
【答案】
【分析】设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为，根据这个两位数与其反序数之积为，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为，
根据题意得：，
∴，即，
∴，
∴
解得或（舍去），
∴，
∴这个两位数为．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【举一反三】
【变式】解读诗词通过列方程算出周瑜去世时的年龄：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字小三，个位数字的平方等于他去世时的年龄．
【答案】周瑜去世时的年龄为岁
【分析】设周瑜去世时的年龄的个位数字为，则十位数字为根据题意建立方程求出其值即可．
解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为，则十位数字为，依题意得：
，
解得，，
当时，，（不合题意，舍去），
当时，（符合题意），
答：周瑜去世时的年龄为岁．
【点拨】本题是一道数字问题的应用题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，在解答中根据题意设未知数，列出正确的方程是解题的关键．
【例5】如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数．

(1) 若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）；
(2) 若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．
【答案】(1) ； (2) 9．
【分析】（1）设圈出的四个数中，最小的数为，根据日历上两个数之间的关系可得答案；
（2）根据最小数与最大数的乘积为105，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
（1）解：设圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为
故答案为：
（2）设四个数中，最小数为，根据题意，得.
解得（不符合题意负值舍去）
答：这个最小值为9.
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【举一反三】
【变式】某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费．
(1) 该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示）
(2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少．
月份
用电量/度
交电费总数/元
2月
80
25
3月
45
10
【答案】(1)x（90－x）元； (2)50度
【分析】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度元交电费，即可求解；
（2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，即可求解．
（1）解：∵规定用电x度，
∴用电90度超过了规定度数（90－x）度，
∵超过部分按每度元交电费，
∴超过部分应交的电费为x（90－x）元．
（2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得
x（80－x）＝25－10．
整理得x2－80x＋1500＝0．
解这个方程得x1＝30，x2＝50．
根据题意得：3月份用电45度只交电费10元，
∴电厂规定的x≥45，
∴x1＝30不合题意，舍去．
∴x＝50．
答：电厂规定的x度为50度．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
【考点四】商品经济问题
【例6】某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．
(1)求该公司销售A产品每次的增长率；
(2)若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？
【答案】(1) ； (2) 1万元
【分析】（1）设该公司销售产品每次的增长率为，根据2月份及4月份该公司产品的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每套产品需降价万元，则平均每月可售出套，根据总利润每套的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
（1）解：设该公司销售产品每次的增长率为，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该公司销售产品每次的增长率为．
（2）设每套产品需降价万元，则平均每月可售出套，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
答尽量减少库存，
．
答：每套产品需降价1万元．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】某商场将进货价为20元的日用商品以30元售出，平均每月能售出800个．调查表明：这种商品的售价每上涨1元，其销售量就将减少20个．为了实现平均每月12000元的销售利润，商场决定采取调控价格的措施，扩大销售量，减少库存，这种商品的售价应定为多少元？这时应进商品多少个？
【答案】售价为40元时进600个
【分析】设售价为x元，列出售价与利润之间的一元二次关系式，并解得的值，但是为了满足题中要求的扩大销售量，减少库存，要选取售价较低，销售量较高的方案．
解：设这种商品的售价为x元，依题意得
，
解得：，，
因需扩大销售量，减少库存，所以应舍去，
当时，．
答：售价为40元时进600个．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程在营销问题上的应用，解题的关键在于列出售价与利润之间的关系式，但是要注意，题意中的要求，为了扩大销售量，减少库存，所以在相同利润的情况下，应选取售价较低，销售量较高的方案．
【变式2】2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）
类别价格
A款钥匙扣
B款钥匙扣
进货价（元／件）
30
25
销售价（元／件）
45
37
(1) 网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数？
(2) 冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
【答案】(1)购进A款钥匙扣20件，购进B款钥匙扣件；(2)30元或34元
【分析】（1）设购进A款钥匙扣x件，购进B款钥匙扣件，根据等量关系：两款钥匙扣共花费850元，建立一元一次方程即可求解；
（2）设将B款钥匙扣销售价定为每件y元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元；由题意列出关于y的一元二次方程，解方程即可．
（1）解：设购进A款钥匙扣x件，购进B款钥匙扣件，
由题意得：，
解得：，
则（件）；
答：购进A款钥匙扣20件，购进B款钥匙扣件．
（2）解：设将B款钥匙扣销售价定为每件y元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
答：将B款钥匙扣销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元．
【点拨】本题是方程的综合，考查了一元一次方程与一元二次方程在实际中的应用，正确理解题意，找到等量关系并列出方程是钥匙的关键．
【考点五】工程问题✭★行程问题
【例7】问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？”
条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多；
（2）原计划每天修建的长度比实际少75米．
在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答．
【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米
【分析】选择（1）时，设原计划每天修建米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出结论；
选择（2）时，设原计划每天修建盲道米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验即可得出结论；选（1）或（2）
（1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米


经检验：是所列方程的解
答：原计划每天修建下水管道的长度为米．
（2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米

（舍）
经检验：是所列方程的解．
答：原计划每天修建下水管道的长度为米．
【点拨】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
【举一反三】
【变式】某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．
(1) 求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2) 通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值．
【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米；(2)的值为10
【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可；
（2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可．
（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，
根据题意得，
，
解得：，
则，
答：型设备每小时铺设的路面长度为90米；
（2）根据题意得，
，
整理得，，
解得：，（舍去），
∴的值为10．
【点拨】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程．
【例8】已知，一辆汽车在笔直的公路上刹车后，该车的速度米秒与时间秒之间满足一次函数关系，其图象如图所示；
  
(1) 求与之间的函数关系式；
(2) 已知汽车在该运动状态下，一段时间内向前滑行的距离等于这段时间内的平均速度乘以时间该运动状态下的平均速度，表示这段时间起始时刻的速度，表示这段时间结束时刻的速度．若该车刹车后秒内向前滑行了米，求的值．
【答案】(1)；(2)该车刹车后秒内向前滑行了米
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意得出，路程等于速度乘以时间，列出一元二次方程，解方程即可求解．
（1）解：将点，代入，
，
解得：，
∴与之间的函数关系式为；
（2）解：依题意，， ，，
则
依题意，，
即
解得：或（舍去）
答：该车刹车后秒内向前滑行了米．
【点拨】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，求得一次函数解析式是解题的关键．
【举一反三】
【变式】小明在平整的草地上练习带球跑，他将球沿直线踢出后随即跟着球的方向跑去，追上球后，又将球踢出……球在草地上滚动时，速度变化情况相同，小明速度达到6m/s后保持匀速运动．下图记录了小明的速度以及球的速度随时间的变化而变化的情况，小明在4s时第一次追上球．（提示：当速度均匀变化时，平均速度，距离）
(1) 当时，求关于t的函数关系式；
(2) 求图中a的值；
(3) 小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m/s，球运动方向不变，当小明带球跑完200m，写出小明踢球次数共有____次，并简要说明理由．
【答案】(1) ；(2)； (3)7，理由见分析
【分析】（1）设关于t的函数关系式为，根据经过点利用待定系数法即可得到答案；
（2）先求出球前4秒的平均速度，再求出小明前a秒的平均速度和a秒后速度为，利用小明在4s时第一次追上球可得方程，解方程即可得到答案；
（3）根据题意找到速度、时间、路程的变化规律，即可得到答案．
（1）解：设关于t的函数关系式为，把点代入得，
，
解得，
∴关于t的函数关系式为；
（2）解：对于球来说，，
小明前a秒的平均速度为，a秒后速度为，
由小明在4s时第一次追上球可得，，
解得，
即图中a的值为；
（3）小明第一次踢球已经带球跑了16米，还需要跑米，由（1）知，，假设每次踢球t从0开始计算，因为球在草地上滚动时，速度变化情况相同，则第二次踢球后变化规律为，
，，则，
，
第二次踢后，则，（舍去），，此时又经过了米，
，
第三次踢后，变化规律为，
，，则，
，
第三次追上，则，（舍去），，此时又经过了米，
，
又开始下一个循环，
故第四次踢球所需时间为，经过24米，
故第五次踢球所需时间为，经过48米，
故第六次踢球所需时间为，经过24米，
故第七次踢球所需时间为，经过48米，
∵，，
∴带球走过200米，在第七次踢球时实现，故小明小明踢球次数共有七次，
故答案为：7
【点拨】此题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用、一元一次方程的应用，读懂题意，准确计算是解题的关键．