初中数学人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程优秀复习练习题

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21.3 实际问题与一元二次方程应用 （B能力培优练）
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的60元降到42元，设该药品平均每次降价的百分率为，根据题意可列方程是　　
A． B． C． D．
【分析】根据某药品经过连续两次降价，销售单价由原来60元降到42元，平均每次降价的百分率为，可以列出相应的方程即可．
【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率为，
根据题意可列方程，
故选：．
2．目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有用户2万户，计划到2021年底全市用户数达到3.38万户，设全市用户数年平均增长率为，则值为　　
A． B． C． D．
【分析】设全市用户数年平均增长率为，根据该市2019年底及计划到2021年底全市用户数量，即可得出关于的一元二次方程，解方程取正值即可得到答案．
【解答】解：设全市用户数年平均增长率为，
依题意得：，
即，
解得：，（舍去），
所以增长率为，
故选：．
3．某手机厂商一月份生产手机20万台，计划二、三月份共生产手机45万台，设二、三月平均每月增长率为，根据题意列出方程为　　
A． B．
C． D．
【分析】考查增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率），如果设二、三月份每月的平均增长率为，根据“计划二、三月份共生产45万台”，即可列出方程．
【解答】解：设二、三月平均每月增长率为，根据题意列出方程为，
故选：．
4．受疫情影响，某景区2020年上半年游客人数比2019年下半年下降了，2020年下半年又比上半年下降了，随着国内疫情逐步得到控制，预计2021年上半年游客人数将比2019年下半年翻一番，设2021年上半年与2020年下半年相比游客人数的增长率为．则下列关系正确的是　　
A． B．
C． D．
【分析】设2021年上半年与2020年下半年相比游客人数的增长率为，根据“2021年上半年游客人数将比2019年下半年翻一番”，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设2021年上半年与2020年下半年相比游客人数的增长率为．则．
故选：．
5．某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克：销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，设销售单价为每千克元，月销售利润可以表示为　　
A．元 B．元
C．元 D．元
【分析】直接利用每千克利润销量总利润，进而得出关系式．
【解答】解：设销售单价为每千克元，则月销售利润．
故选：．
6．元旦来临前，某商场将一件原价为元的衬衫以一个给定的百分比提升价格，元旦那天商场又按照新的价格以相同的百分比降低了这件衬衫的价格，最终，衬衫的价格比原价降低了元，则这个给定的百分比为　　
A． B． C． D．
【分析】设这个给定的百分比为，根据“衬衫的价格比原价降低了元”列出方程求解即可．
【解答】解：设这个给定的百分比为，根据题意得，
，
解得，（舍去），
即这个给定的百分比为．
故选：．
7．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片，先折出、的中点、，再折出线段，然后通过沿线段折叠使落在线段上，得到点的新位置，并连接、，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程的一个正根，则这条线段是　　

A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
【分析】首先根据方程解出正根为，再判断这个数值和题目中的哪条线段接近．线段排除，其余三条线段可以通过设未知数找到等量关系．利用正方形的面积等于图中各个三角形的面积和，列等量关系．设，则，从而可以用表示等式．
【解答】解：设，则．
由题意可知：，是的中点，
，．
，
，
．
的解为：，
取正值为．
这条线段是线段．
故选：．

二．填空题（共7小题）
8．某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆）．设试验田垂直于墙的一边的长为，则所列方程为　　．

【分析】设当试验田垂直于墙的一边长为时，则另一边的长度为，根据花园的面积为，列出方程即可．
【解答】解：设当试验田垂直于墙的一边长为时，则另一边的长度为，
依题意得：，
故答案是：．
9．为响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国，今年6月份盈利24000元，8月份盈利34560元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为，根据题意，可列方程为　　．
【分析】设月平均增长率为，根据6月及8月的盈利，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设月平均增长率为，
根据题意得：．
故答案为：．
10．在研究：“任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半”时，小明发现：当已知矩形的长和宽分别为6和1时，存在一个矩形的周长和面积分别是矩形周长和面积的一半，那么矩形的长为　2　．
【分析】根据题意，可以先求出矩形的周长和面积，从而可以得到矩形的周长和面积，然后设矩形的长为，然后根据矩形的面积长宽，即可得到相应的方程，从而可以得到矩形的长．
【解答】解：由已知可得，
矩形的周长是，面积是，
则矩形的周长是7，面积是3，
设矩形的长为，则宽为，
则，
解得，，，
当时，，此时长大于宽，符合实际；
当时，，此时长小于宽，不符合实际；
由上可得，矩形的长为2，
故答案为：2．
11．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，则可列方程为　　．
【分析】根据题意可得等量关系：2017年的快递业务量增长率）年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，
由题意得：，
故答案是：．
12．如图，在宽为18米、长为24米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为整个矩形面积的，设道路的宽为米，则可列方程为　　．

【分析】设道路的宽为，利用“草坪的面积”作为相等关系可列方程．
【解答】解：设道路的宽为，根据题意得：．
故答案是：．
13．2019年12月6日，某市举行了2020年商品订货交流会，参加会议的每两家公司之间都签订了一份合同，所有参会公司共签订了28份合同，则共有　8　家公司参加了这次会议．
【分析】设共有家公司参加了这次会议，根据题意列出方程即可．
【解答】解：设共有家公司参加了这次会议，
根据题意，得
整理，得
解得，（不合题意，舍去）
答：共有8家公司参加了这次会议．
故答案是：8．
14．某企业年初受疫情影响，第一季度的销售额为400万元，由于我国控制疫情措施得力，该企业第二、三季度销售额连续增长，第三季度销售额达到了900万元，则二、三季度的平均增长率为　　．
【分析】一般用增长后的量增长前的量增长率），如果设人均年收入的平均增长率为，根据题意即可列出方程．
【解答】解：设平均增长率为，根据题意可列出方程为：．
解得：，
所以．
所以，（舍去）．
故．
即：这个增长率为，
故答案为：．
三．解答题（共5小题）
15．随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，某省2018年公共充电桩的数量为1万个，2020年公共充电桩的数量为2.89万个．
（1）求2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率；
（2）按照这样的增长速度，预计2021年该省将新增多少万个公共充电桩？
【分析】（1）设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为，根据该省2018年及2020年公共充电桩，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据该省2021年公共充电桩数量该省2020年公共充电桩数量增长率，即可求出结论．
【解答】解：（1）设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为．
（2）（万个）．
答：预计2021年该省将新增2.023万个公共充电桩．
16．随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的和．去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨．
（1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？
（2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了，漫灌试验田的面积减少了．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少，求的值．
（3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元，在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？
【分析】（1）设漫灌方式每亩用水吨，则，解得，可得结论；
（2）由“今年的灌溉用水量比去年减少”可列出等式，进而求出的值；
（3）分别计算去年因用水量减少所节省的水费和今年的两项投入之和，再进行比较即可．
【解答】解：（1）设漫灌方式每亩用水吨，则
，
解得，
漫灌用水：吨，
喷灌用水：吨，
滴灌用水：吨，
漫灌方式每亩用水100吨，漫灌试验田用水10000吨，喷灌试验田用水3000吨，滴灌试验田用水2000吨．
（2）由题意可得，，
解得（舍，或，
．
（3）节省水费：元，
维修投入：元，
新增设备：元，
，
节省水费大于两项投入之和．
17．根据下列问题，列出关于的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式
（1）有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字小2，三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20，求这个三位数．
（2）如果一个直角三角形的两条直角边长之和为，面积为，求它的两条直角边的长．
【分析】（1）个位上的数字是几，表示几个一，十位上的数字是几就表示几个十，百位上的数字是几就表示几个百；由此求解；
（2）设一边长为，然后表示出另一边，然后利用直角三角形的面积的计算方法列出方程即可．
【解答】解：（1）设十位数字为，则个位数字为，百位数字为，
根据题意得：，
化简为；
（2）设其中一条直角边的长为，则另一条直角边为，根据题意得：，
整理得：．
18．某学校为美化校园，准备在长35米，宽20米的长方形场地上，修建若干条宽度相同的道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与方案设计，现有3位同学各设计了一种方案，图纸分别如图1、图2和图3所示（阴影部分为草坪）．

请你根据这一问题，在每种方案中都只列出方程不解．
①甲方案设计图纸为图1，设计草坪的总面积为600平方米．
②乙方案设计图纸为图2，设计草坪的总面积为600平方米．
③丙方案设计图纸为图3，设计草坪的总面积为540平方米．
【分析】①设道路的宽为米．长应该为，宽应该为；那么根据草坪的面积为，即可得出方程．
②如果设路宽为，草坪的长应该为，宽应该为；那么根据草坪的面积为，即可得出方程．
③如果设路宽为，草坪的长应该为，宽应该为；那么根据草坪的面积为，即可得出方程．
【解答】解：①设道路的宽为米．依题意得：
；

②设道路的宽为米．依题意得：；

③设道路的宽为米．依题意得：．
19．已知：如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当、两点中有一点到达终点，则同时停止运动．
（1）如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的面积等于？
（2）如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的长度等于？
（3）的面积能否等于？请说明理由．

【分析】（1）经过秒钟，的面积等于，根据点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，表示出和的长可列方程求解；
（2）利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）令，根据三角形的面积公式列出方程，再根据得出原方程没有实数根，从而得出的面积不能等于．
【解答】解：（1）设经过秒以后，面积为此时，，，
由，得，
整理得：，
解得：或（舍；
答：1秒后的面积等于；

（2）设经过秒后，的长度等于，由，
即，
解得：（舍去）或3．
则3秒后，的长度为；

（3）假设经过秒后，的面积等于，即，，
整理得：，
由于，
则原方程没有实数根，所以的面积不能等于．