专题1.1 绝对值贯穿有理数经典题型（七大题型）-2023-2024学年七年级数学上册《重难点题型•高分突破》（浙教版）

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专题1.1 绝对值贯穿有理数经典题型（七大题型）
重难点题型归纳
【题型1 利用绝对值的性质化简或求值】
【题型2 根据绝对值的非负性求值】
【题型3 根据绝对值的定义判断正误】
【题型4 根据绝对值的意义求取值范围】
【题型5 绝对值中分类讨论问题】
【题型6 绝对值中的分类讨论之多绝对值问题】
【题型7 绝对值中最值问题】
满分必练
【题型1 利用绝对值的性质化简或求值】
【典例1】有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示．

（1）在数轴上表示﹣c，|b|．
（2）试把﹣c，b，0，a，|b|这五个数从小到大用“＜”连接起来；
（3）化简|a+b|﹣|a﹣c|﹣2|b+c|．


【变式1-1】有理数a、b、c在数轴上的位置如图．
（1）用“＞”或“＜”填空：c﹣b　　0，a+b　　0，c﹣a　　0；
（2）化简：|c﹣b|+3|a+b|﹣|c﹣a|．






【变式1-2】a、b、c三个数在数轴上位置如图所示，且|a|＝|b|
（1）求出a、b、c各数的绝对值；
（2）比较a，﹣a、﹣c的大小；
（3）化简|a+b|+|a﹣b|+|a+c|+|b﹣c|．


【题型2 根据绝对值的非负性求值】
【典例2】已知|a−|+|b+|+|c+|＝0，求a﹣|b|+（﹣c）的值．


【变式2-1】已知|x﹣3|+|y+2|＝0，求x，y，3x﹣y的值．


【变式2-2】已知|a﹣3|与|2b﹣4|互为相反数．
（1）求a与b的值；
（2）若|x|＝2a+4b，求x的相反数．



【变式2-3】请根据图示的对话解答下列问题．

（1）a＝　，b＝　　．
（2）已知|m﹣a|+|b+n|＝0，求mn的值．

【变式2-4】若a、b都是有理数，且|ab﹣2|+|a﹣1|＝0，求+++……+的值．



【题型3 根据绝对值的定义判断正误】、
【典例3】在实数a，b，c中，若a+b＝0，b﹣c＞c﹣a＞0，则下列结论：①|a|＞|b|，②a＞0，③b＜0，④c＜0，正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3-1】将符号语言“|a|＝a（a≥0）”转化为文字表达，正确的是（　　）
A．一个数的绝对值等于它本身
B．负数的绝对值等于它的相反数
C．非负数的绝对值等于它本身
D．0的绝对值等于0
【变式3-2】已知a、b、c的大致位置如图所示：化简|a+c|﹣|a+b|的结果是（　　）

A．2a+b+c B．b﹣c C．c﹣b D．2a﹣b﹣c
【变式3-3】下列说法中正确的是（　　）
A．两个负数中，绝对值大的数就大
B．两个数中，绝对值较小的数就小
C．0没有绝对值
D．绝对值相等的两个数不一定相等
【题型4 根据绝对值的意义求取值范围】
【典例4】若|5﹣x|＝x﹣5，则x的取值范围为（　　）
A．x＞5 B．x≥5 C．x＜5 D．x≤5
【变式4-1】如果|﹣2a|＝﹣2a，则a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B．a≥0 C．a≤0 D．a＜0
【变式4-2】计算|x﹣2|+x﹣2＝0，则x的取值范围是 　　．
【变式4-3】若不等式|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|≥a对一切数x都成立，则a的取值范围是　　 ．
【题型5 绝对值中分类讨论问题】
【典例5】计算：（abc≠0）＝　 　．
【变式5-1】若n＝，abc＞0，则n的值为 　　．
【变式5-2】若有理数a，b满足ab≠0，则的值为 　 　．
【变式5-3】若abcd≠0，则＝　 ．
【变式5-4】单项式a是一个正数，且，那么的值为 ．
【变式5-5】（1）已知a是非零有理数，试求的值；
（2）已知a，b是非零有理数，试求+的值；
（3）已知a，b，c是非零有理数，请直接写出++的值．


【变式5-6】已知a，b，c都不等于零，且++﹣的最大值是m，最小值为n，求的值．



【变式5-7】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”
【提出问题】三个有理数a、b、c满足abc＞0，求++的值．
【解决问题】
解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，
则：++＝++＝1+1+1＝3；②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a＞0，b＜0，c＜0，
则：++＝++＝1﹣1﹣1＝﹣1
所以：++的值为3或﹣1．
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求++的值；
（2）已知|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，求a+b的值．



【变式5-8】阅读下列材料完成相关问题：已知a，b、c是有理数
（1）当ab＞0，a+b＜0时，求的值；
（2）当abc≠0时，求的值；
（3）当a+b+c＝0，abc＜0，的值．

【题型6 绝对值中的分类讨论之多绝对值问题】
【典例6】（2022•河北模拟）（1）数轴上两点表示的有理数是a、b，求这两点之间的距离；
（2）是否存在有理数x，使|x+1|+|x﹣3|＝x？
（3）是否存在整数x，使|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|＝14？如果存在，求出所有的整数x；如果不存在，说明理由．




【变式6-1】（2022春•宝山区校级月考）已知|a﹣1|+|a﹣4|＝3，则a的取值范围为　 　．
【变式6-2】（2022秋•玉门市期末）在数轴上有四个互不相等的有理数a、b、c、d，若|a﹣b|+|b﹣c|＝c﹣a，设d在a、c之间，则|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|＝（　　）
A．d﹣b B．c﹣b C．d﹣c D．d﹣a
【题型7 绝对值中最值问题】
【典例7】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是　　；表示﹣2和1两点之间的距离是　　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．
（2）如果|x+1|＝2，那么x＝　　；
（3）若|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是　　，最小距离是　　．
（4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，则|a+3|+|a﹣5|＝　　．
（5）当a＝　 时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是　　．



【变式7-1】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　　；表示﹣3和2两点之间的距离是　　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝　　．
（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为　　；
（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是　　．
（4）当a＝　　时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是　　．

【变式7-2】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　　；表示﹣3和2两点之间的距离是　　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．
（2）如果|x+1|＝3，那么x＝　　；
（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是　　，最小距离是　　．
（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|＝　　．



【变式7-3】阅读下面材料并解决有关问题：
我们知道：|x|＝．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x＝﹣1和，x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．
从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况：
①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；
②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；
③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．综上讨论，原式＝．
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）化简代数式|x+2|+|x﹣4|．
（2）求|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值．