【暑假初高衔接】初三数学暑假预习-专题26《函数的奇偶性》讲学案

函数的奇偶性

一、函数的奇偶性概念及判断步骤

1． 函数奇偶性的概念

偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数.

奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数.

（1）奇偶性是整体性质；

（2）x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；

（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：，

   f(-x)=-f(x)的等价形式为：；

（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；

（5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0.

2. 奇偶函数的图象与性质

（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.

（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数.

3. 用定义判断函数奇偶性的步骤

（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；

（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；

（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性.

若=-，则是奇函数；

若=，则是偶函数；

若，则既不是奇函数，也不是偶函数；

若且=-，则既是奇函数，又是偶函数

二、判断函数奇偶性的常用方法

（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.

（2）验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立即可.

（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称.

（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.

（5）分段函数奇偶性的判断

判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.

三、关于函数奇偶性的常见结论

奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是减函数（增函数）.

例1：判断函数的奇偶性

判断下列函数的奇偶性：

(1) ；        (2) ；

(3) ；          (4) ；

【解答】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数.

【解析】(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；

 (2)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数 ；

(3)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；

(4) ，

∴f(x)为奇函数.

例2：函数奇偶性的应用

f(x)，g(x)均为奇函数，在上的最大值为5，则在（-）上的最小值为        ．

【解答】 -1

【解析】考虑到均为奇函数，联想到奇函数的定义，不妨寻求与的关系．

      ，

．

当时，，

而，

在上的最小值为-1．

例3：函数奇偶性的综合应用

已知是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，求函数的单调递增区间．

【解答】[0，1]和（―∞，―1]

【解析】  ∵是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，∴在（－∞，0]上是增函数．

设u=1―x2，则函数是函数与函数u=1―x2的复合函数．

∵当0≤x≤1时，u是减函数，且u≥0，而u≥0时，是减函数，根据复合函数的性质，可得是增函数．

∵当x≤－1时，u是增函数，且u≤0，而u≤0时，是增函数，根据复合函数的性质，可得是增函数．

同理可得当－1≤x≤0或x≥1时，是减函数．

∴所求的递增区间为[0，1]和（―∞，―1]．

巩固练习

一．选择题（共7小题）

1．已知函数f（x）的定义域为R，f（x+2）为偶函数，f（2x+1）为奇函数，则（　　）

A． B．f（﹣1）＝0 C．f（2）＝0 D．f（4）＝0

2．函数y＝f（2x﹣1）是R上的奇函数，函数y＝f（x）图像与函数y＝g（x）关于y＝﹣x对称，则g（x）+g（﹣x）＝（　　）

A．0 B．﹣1 C．2 D．1

3．已知函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x﹣1，则f（﹣2）＝（　　）

A．1 B． C．3 D．﹣3

4．下列函数既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的是（　　）

A． B．y＝﹣x3 C．y＝2﹣|x| D．

5．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x+2，则当x＜0时，f（x）＝（　　）

A．﹣x﹣2 B．﹣x+2 C．x﹣2 D．x+2

6．函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）是奇函数，f（x﹣1）是偶函数，则（　　）

A．f（x）是奇函数 B．f（x+3）是偶函数 

C．f（3）＝0 D．f（x）＝f（x+3）

7．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）＝﹣f（x），当x∈（0，1）时，f（x）＝2x，则（　　）

A． B． C． D．

二．多选题（共4小题）

（多选）8．下列函数中，为偶函数的是（　　）

A． B．f（x）＝x4 C． D．

（多选）9．函数，下列结论正确的有（　　）

A．f（x）+f（﹣x）＝6 

B．3＜f（x）＜4 

C．f（x）﹣3为偶函数 

D．f（x）的图象关于点（0，3）中心对称

（多选）10．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，则（　　）

A．f（x）的最小值为﹣1 

B．f（x）在（﹣2，0）上单调递减 

C．f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 

D．存在实数x满足f（x+2）+f（﹣x）＝0

（多选）11．已知函数为偶函数，则（　　）

A．a＝2 

B．f（x）在区间（0，+∞）上单调递增 

C．f（x）的最大值为0 

D．的解集为（﹣1，1）

三．填空题（共5小题）

12．若函数是偶函数，则f（1）＝　   　．

13．已知函数f（x）＝ax3﹣2bx2+x是定义在（2a+1，3﹣a）上的奇函数，则a+b＝　   　．

14．已知函数是奇函数，则实数a的值为 　   　．

15．已知函数为奇函数，则实数a＝　   　．

16．函数f（x）是R上的奇函数，且f（x）＝f（2﹣x），若f（1）＝6，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2022）＝　   　．

四．解答题（共7小题）

17．已知是定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）＝﹣x2+2x．

（1）求出函数f（x）的解析式并画出f（x）的简图（不必列表）；

（2）若函数在区间[a，a+1]上单调，求实数a的取值范围．

18．已知函数（x∈R，（m＞0）是奇函数．

（1）求m的值；

（2）用定义法证明：f（x）是R上的增函数．

19．已知函数y＝f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＜0时，．

（1）用单调性定义证明函数y＝f（x）在（﹣∞，0）上单调递增；

（2）求当x＞0时，函数f（x）的解析式．

20．已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若∃x＜0，f（x）≤mx﹣1，求m的取值范围．

21．设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）＝﹣f（x）．当x∈[0，2]时，f（x）＝2x﹣x2．

（1）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；

（2）计算f（0）+f（1）+f（2）+⋯+f（2020）的值．

22．已知函数．

（1）判断f（x）在区间（﹣∞，0）上的单调性，并用定义证明；

（2）判断f（x）的奇偶性，并求f（x）在区间[1，2]上的值域．

23．已知定义R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x+1．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）解关于x的不等式：f（ax2﹣2x）+f（2﹣ax）＞0（a∈R）．