1．2　集合间的基本关系

知识点一　子集、真子集、集合相等

1．子集、真子集、集合相等

2.Venn图

用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．

3．子集的性质

(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.

(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.

知识点二　空集

1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.

2．规定：空集是任何集合的子集．

题型一、子集、真子集

命题点1. 判断集合的子集（真子集）的个数

1．已知集合，则A的子集共有（       ）

A．3个 B．4个 C．8个 D．16个

【答案】C

【详解】由，得集合，所以集合A的子集有个，

故选： C

命题点2. 求集合的子集（真子集）

2．满足{1，2，3}的所有集合A是___________．

【答案】{1}或{1，2}或{1，3}

【详解】因为{1，2，3}，

所以集合A中至少有一个元素1，且为集合{1，2，3}的真子集，

所以集合A是{1}或{1，2}或{1，3}，

故答案为：{1}或{1，2}或{1，3}

题型二、包含关系

命题点1.判断两个集合的包含关系

1．集合，，则M、P之间的关系为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】因为，

，

所以，

故选：C

命题点2. 根据集合的包含关系求参数

2．已知集合，，若，则实数的取值范围是__.

【答案】

【详解】，且，

，解得，

故的取值范围是.

故答案为：.

题型三、相等关系

命题点1. 判断两个集合是否相等

1．下列集合中表示同一集合的是（       ）．

A．，

B．，

C．，

D．，

【答案】B

【详解】选项A，集合，为点集，而点与点为不同的点，故A错；选项C，集合为点集，集合为数集，故C错；选项D，集合为数集，集合为点集，故D错；选项B，集合，表示的都是“大于的实数”，为同一个集合．

故选：B

命题点2. 根据两个集合相等求参数

2．集合，则的值为（       ）

A．0 B．1 C．－1 D．±1

【答案】B

【详解】因为，且，

所以，即，

所以，，

又因为，所以，

所以，

故选B.

题型四、空集

1．判断正误

（1）空集没有子集．(        )

（2）空集是任何集合的真子集．(        )

（3）．(        )

【答案】     ×     ×     ×

【详解】

（1）空集是任何集合的子集，所以空集可以是本身的子集，故错误；

（2）空集是任何非空集合的真子集，故错误；

（3）根据集合与集合的关系故符号使用错误.

1．设集合，则集合的子集个数为________

【答案】16

【详解】，故A的子集个数为8，

故答案为：16

2．已知集合，且．

(1)求实数的值；

(2)写出集合A的所有子集．

【答案】(1)1

(2)，，，，，，，

【详解】(1)∵，

当时，，此时，由于集合中的元素不能重复，故舍去

当时，或，当时，符合要求；当时，，此时集合A中有两个0，故舍去，综上：

(2)由（1）知，，故A的所有子集为：，，，，，，，

3．设集合，，则（       ）

A．         B．         C．         D．

【答案】A

【详解】由且，即，而，

所以为的子集，则.

故选：A

4．设集合，集合，若，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由可得. 故选：D.

5．已知集合，，则集合的关系是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】，，发现，

故选：A．

6．集合，且，则实数m=________.

【答案】1或

【详解】因为，且，

所以，

由，得，解得或

故答案为：1或

7．下列集合：

①；②；③；④；⑤．表示空集的有_______

【答案】②④

【详解】，故为空集；为空集，而、、均不是空集.

故答案为：②④

1．判断正误．

（1）集合是用描述法表示的一个集合．(        )

（2）集合是有限集．(        )

（3）集合与集合表示同一个集合．(        )

【答案】     √     ×     √

【详解】

（1）根据集合的描述法表示的概念可知正确；

（2）由于，故该集合不是有限集，故错误；

（3），故集合，故正确.

2．已知集合，则的真子集共有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．7个

【答案】C

【详解】集合，所以集合的真子集有.

故选：C.

3．已知集合A={1，2，3，4，5}，集合B={1，2}，若集合C满足：B⫋C⊆A，则集合C的个数为（       ）

A．6个 B．7个 C．8个 D．9个

【答案】B

【详解】根据B⫋C⊆A，集合可写成如下形式：

所以满足条件的集合C的个数为7个，选项B正确.

故选：B.

4．集合，，则集合的真子集的个数为（       ）

A．8 B．6 C．7 D．15

【答案】C

【详解】，集合的真子集的个数为个.

故选：C.

5．已知集合，，若，则实数a＝（       ）

A．2 B．1 C．0 D．-1

【答案】B

【详解】对于集合N，因为，

所以N中有两个元素，且乘积为-2，

又因为，所以，

所以．即a＝1．

故选：B.

6．若是集合的真子集，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由“是集合的真子集”得

，即方程有实数解，

，解得或．

故选：D．

7．已知集合，，若，则实数组成的集合为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】因为，所以，解得，或，解得，

当时，，，，满足题意.

当时，，不满足集合的互异性.

当时，，，若，满足题意.

当时，，，若，满足题意.

故选：C.

8．已知集合，且，则可以是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】因为，又，所以任取，则，

所以可能为，A对，又 ，，∴ 不可能为，，，B，C，D错，

故选：A.

9．已知集合，，则（       ）

A．       B．        C．        D．

【答案】A

【详解】因为，，

当时，是奇数，是整数，所以．

故选：．

10．(多选)给出下列选项，其中正确的是（       ）

A． B． C． D．⫋

【答案】BCD

【详解】对于，不是的元素，故不正确；对于，是任何集合的子集，所以是的子集，故正确；对于，是的元素，故正确；对于，是任何非空集合的真子集，有一个元素，是非空集合，故正确.

故答案为：.

11．（多选）下面说法中，正确的为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【详解】方程中x的取值范围为R，所以，同理，所以A正确；

表示直线上点的集合，而，所以，所以B错误；

集合，都表示大于2的实数构成的集合，所以C正确；

由于集合的元素具有无序性，所以，所以D正确．

故选：ACD．

12．已知集合有两个子集，则m的值是__________．

【答案】0或4

【详解】当时，，满足题意

当时，由题意得，

综上，或

故答案为：0或4

13．集合满足⫋，则集合的个数有________个.

【答案】3

【详解】因为⫋，即⫋，所以，，，即集合的个数有3个.

故答案为：3.

14．已知，.若，则______.

【答案】

【详解】因为，所以解之得：

故答案为：

15．已知集合或，，若，则实数的取值范围_________．

【答案】或

【详解】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，

或

要使，只需或，解得或．

所以实数的取值范围或.

故答案为：或

16．已知集合，且，则实数m的取值范围是___________.

【答案】

【详解】分两种情况考虑：①若B不为空集，可得：，解得：，

，

且，解得：，

②若B为空集，符合题意，可得：，解得：.

综上，实数m的取值范围是.

故答案为：.

17．设集合A={}，B={x}，且AB，则实数k的取值范围是______________(写成集合形式).

【答案】

【详解】由知，集合B为A的非空子集或空集，

即或，解得或

故答案为：

18．若集合，则实数的取值范围是______.

【答案】

【详解】由题意，集合，

若时，集合，满足题意；

若时，要使得集合，

则满足，解得，

综上可得，实数的取值范围是.

故答案为：.

19．已知集合，，且N⊆M，求实数a的值.

【答案】0或或1.

【详解】集合

依题意N⊆M，则可分和两种情况.

当时，，符合题意；

当时，，∵N⊆M，或，解得或.

所以实数a的值为0或或1.

20．设集合，，且．

(1)求实数的取值范围；

(2)当时，求集合A的子集的个数．

【答案】(1){或}

(2)

【详解】(1)当即时，，符合题意；

当时，有，解得．

综上实数的取值范围是或；

(2)当时，，所以集合的子集个数为个．

21．已知集合.

（1）若集合A的子集只有一个，求实数a的取值范围；

（2）若集合A中有且只有一个元素，求实数a的值.

【答案】（1）；（2）0或1.

【详解】（1）因为集合A的子集只有一个，则，即方程无实数根，

于是得，即，解得，

所以实数a的取值范围为；

（2）因为集合A中有且只有一个元素，则方程只有一个实数根或者两个相等实根，

当时，集合满足题意，则，

当时，则，，集合满足题意，即，

所以实数a的值为0或1.

22．已知集合，，

（1）若A为空集，求实数a的取值范围；

（2）若B是A的真子集，求实数a的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【详解】（1）因是空集，则，解得，

所以实数a的取值范围是；

（2）且B是A的真子集，则，解得，

显然，a-1=0与2a+1=1不同时成立，于是得，

所以实数a的取值范围.