【暑假初高衔接】初三数学暑假预习-专题13《含参数的一元二次不等式》讲学案

含参数的一元二次不等式

 解含参数的一元二次不等式需要对字母的取值进行分类讨论，常用的分类方法有以下三种：

1. 按二次项系数的符号分类，即；

2. 按判别式△的符号分类，即△＞0，△＝0，△＜0；

3. 按方程的根、的大小分类，即，，.

例1：讨论二次项系数

解不等式：

【解答】见解析

【解析】，

解方程得，，

∴当时，解集为；

当时，不等式，解集为；

当时，解集为.

例2：谈论根的判别式

解不等式：

【解答】见解析

【解析】，

∴当，即时，解集为R，

当时，即时，解集为；

当或，即时，此时两根分别为，，

此时，∴不等式的解集为.

例3：讨论方程解的大小

解关于的不等式：

【解答】见解析

【解析】原不等式可转化为，即，

，

当时，不等式化为，

∵，∴不等式的解集为；

当时，不等式化为，即，∴不等式的解集为；

当时，不等式化为，

∵，∴不等式的解集为.

综上，原不等式的解集为当时，；当时，；当时，.

例4：由解集求参数

已知关于的不等式的解集为，求实数的值.

【解答】

【解析】原不等式可化为，

由题意得，解得，

∴.

巩固练习

一．选择题

1．关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意可知，函数的图像，如图所示，

若关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则，

即，解得，

所以实数的取值范围是，，

故选：．

2．对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集不可能是　　

A．或 B． C． D．

【解答】解：当，不等式的解集为或，故选项正确；

当时，不等式的解集为，故选项正确；

当时，不等式的解集为，故选项正确；

故选：．

3．已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：因为关于的一元二次不等式的解集为，

所以1和3为方程的两个根，

所以，，，

则，等价于，即，

故不等式的解集为．

故选：．

4．设0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数解恰有3个，则（　　）

A．﹣1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．3＜a＜6

【解答】C

【解析】关于x 的不等式（x﹣b）2＞（ax）2 即 （a2﹣1）x2+2bx﹣b2＜0，∵0＜b＜1+a，

[（a+1）x﹣b]•[（a﹣1）x+b]＜0 的解集中的整数恰有3个，∴a＞1，

∴不等式的解集为，所以解集里的整数是﹣2，﹣1，0 三个．

∴﹣3≤﹣＜﹣2，

∴2＜≤3，2a﹣2＜b≤3a﹣3，

∵b＜1+a，

∴2a﹣2＜1+a，

∴a＜3，

综上，1＜a＜3，

二．填空题

5．设关于x的不等式ax2+8（a+1）x+7a+16≥0，（a∈Z），只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为　     　．

【解答】﹣10

【解析】设y＝ax2+8（a+1）x+7a+16，其图象为抛物线．

对于任意一个给定的a值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足y≥0而整数解只有有限个，所以a＜0．

因为0为其中的一个解可以求得a≥，又a∈Z，所以a＝﹣2，﹣1，

则不等式为﹣2x2﹣8x+2≥0和﹣x2+9≥0，可分别求得和﹣3≤x≤3，

∵x为整数，∴x＝﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0和x＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3

∴全部不等式的整数解的和为﹣10

6．已知关于x的不等式ax2﹣ax+2＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是　      　．

【解答】0≤a＜8

【解析】①若a＝0，则原不等式等价为2＞0，此时不等式恒成立，所以a＝0．

②若a≠0，则要使不等式ax2﹣ax+2＞0恒成立，

则有，即，所以，解得 0＜a＜8．

综上满足不等式ax2﹣ax+2＞0在R上恒成立的实数a的取值范围0≤a＜8．

7．不等式x2﹣ax+3＜0存在正整数解，则a的取值范围为          　．

【解答】

【解析】由题意知，x∈N*，由x2﹣ax+3＜0，可得，

构造函数，其中x∈N*，则a＞f（x）min，

由双勾函数的单调性可知，函数f（x）在x＝1或x＝2处取得最小值，

因为f（1）＝4，f（2）＝，所以，函数f（x）的最小值为，所以，.

8．已知关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是 　　．

【解答】解：因为关于的一元二次不等式的解集为，

则一元二次不等式对于恒成立，

所以，解得，

所以实数的取值范围是．

故答案为：．

9．已知，，关于的一元二次不等式的解集为，则　　．

【解答】解：不等式的解集为，

所以对应方程的解是1和2，

由根与系数的关系知，，

解得，，

所以．

故答案为：．

10．已知关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的根为x1＝﹣2，x1＝4．则关于x的一元二次不等式x2+px+q＞0的解集为 　         　．

【答案】x＜﹣2或x＞4．

【分析】把不等式化为（x+2）（x﹣4）＞0，求出解集即可．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的根为x1＝﹣2，x1＝4，

∴不等式x2+px+q＞0可化为（x+2）（x﹣4）＞0．

解得x＜﹣2或x＞4，

∴关于x的一元二次不等式x2+px+q＞0的解集为x＜﹣2或x＞4．

故答案是：x＜﹣2或x＞4．

【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，该题利用了“十字相乘法”对所求不等式进行转化．

三．解答题

11．当取什么值时，一元二次不等式对切实数都成立？

【解答】解：由题意知，一元二次不等式，所以；

又时，应满足△，

解得；

所以时，一元二次不等式对一切实数都成立．

12．若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是

（1）求不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．

（2）已知二次不等式ax2+bx+c＜0的解集为，求关于x的不等式cx2﹣bx+a＞0的解集．

【解答】（1）（﹣3，）；（2）（﹣3，﹣2）

【解析】（1）因为等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，

所以和2是一元二次方程ax2+5x﹣2＝0的两根，

，解得a＝﹣2，

∴不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0可化为﹣2x2﹣5x+3＞0，即2x2+5x﹣3＜0，

∴（2x﹣1）（x﹣3）＜0，解得﹣3＜x＜，

所以不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集为（﹣3，）；

（2）由（1）知a＝﹣2，∴二次不等式﹣2x2+bx+c＜0的解集为，

∴和是一元二次方程﹣2x2+bx+c＝0的两根，

，

解得b＝，c＝，

所以不等式cx2﹣bx+a＞0可化为：，即x2+5x+6＜0，解得﹣3＜x＜﹣2．

所以关于x的不等式cx2﹣bx+a＞0的解集为（﹣3，﹣2）．

13．已知关于的一元二次不等式．

（1）若时，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集中恰有三个整数，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）若，则不等式为，即；

解得，

所以不等式的解集为．

（2）不等式，即为；

①当时，原不等式解集为，则解集中的三个整数分别为0、1，2，

此时；

②当时，原不等式解集为空集，不符合题意舍去；

③当时，原不等式解集为，则解集中的三个整数分别为4、5，6，

此时；

综上所述，实数的取值范围是，，．

14．若不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞3}，求关于x的不等式cx2+bx+a＞0的解集．

【解答】

【解析】∵不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞3}，

∴ax2+bx+c＝a（x+2）（x﹣3）＝ax2﹣ax﹣6a，且a＞0；

∴b＝﹣a，c＝﹣6a，

∴不等式cx2+bx+a＞0变形为﹣6ax2﹣ax+a＞0，

即6x2+x﹣1＜0，

解得；

∴不等式cx2+bx+a＞0的解集为．

15．已知不等式ax2+5x+b＞0的解集为{x|﹣1＜x＜6}，解不等式bx2+ax＜（b﹣ax）x．

【解答】{x|0＜x＜}

【解析】不等式ax2+5x+b＞0的解集为{x|﹣1＜x＜6}，

∴﹣1和6是方程ax2+5x+b＝0的实数根，

∴，

解a＝﹣1，b＝6，

∴不等式bx2+ax＜（b﹣ax）x化为

6x2﹣x＜（6+x）x，

即5x2﹣7x＜0，

解得0＜x＜，

∴不等式的解集为{x|0＜x＜}．

16．（1）若一元二次不等式的解集为，求实数的取值范围；

（2）当时，恒成立，求的取值范围．

【解答】解：（1）由一元二次不等式的解集为，

得恒成立且，

所以，

解得，

即实数的取值范围是．

（2）当时，不等式即为，当时不等式不成立；

当时，要使当时，恒成立，

则，设，图象开口向上，对称轴，

则△，解得，

即的取值范围是，．

17．若不等式的解集是．

（1）解不等式；

（2）若关于的一元二次不等式的解集为，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）由题知，和1是方程的两根，

所以，解得，

所以不等式为，即，

所以或，

故原不等式的解集为或．

（2）一元二次不等式可化为，

因为其解集为，

所以，解得，

所以实数的取值范围为，．