【暑假初高衔接】初三数学暑假预习(人教A版2019)-2.2《基本不等式》同步讲学案
展开2.2 基本不等式
知识点一 基本不等式
1.如果a>0,b>0,≤,当且仅当a=b时,等号成立.
其中叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数.
2.变形:ab≤2,a,b∈R,当且仅当a=b时,等号成立.
a+b≥2,a,b都是正数,当且仅当a=b时,等号成立.
知识点二 用基本不等式求最值
用基本不等式≤求最值应注意:一正二定三相等.
(1)a,b是正数;
(2)①如果ab等于定值P,那么当a=b时,和a+b有最小值2;
②如果a+b等于定值S,那么当a=b时,积ab有最大值S2.
(3)讨论等号成立的条件是否满足.
题型一、基本不等式比较大小
1.已知a,b>1且a≠b,下列各式中最大的是( )
A. B. C. D.
2.(多选)当a,时,下列不等关系不成立的是( )
A. B. C. D.
3.(多选)若,且,则在四个数中正确的是( )
A. B.
C. D.
题型二、基本不等式求和的最小值
1.(1)若,求的最小值,并求此时的值.
(2)若实数,求的最小值,并求此时的值.
(3)求函数的最小值.
(4)已知,求的最小值.
(5)已知,求函数的最大值.
2.已知,求的最小值.
题型三、基本不等式求积的最大值
1.(1)已知,且,求的最大值;
(2)已知,,且,求的最大值.
(3)已知,,且满足,求的最大值
2.(1)已知,求函数的值域;
(2)已知,求的最大值.
3.已知正数满足,求下列式子的最大值.
(1)
(2)
题型四、二次与二次(或一次)的商式的最值
1.(1)当时,求函数的最小值.
(2)当时,求函数的最小值.
(3)已知,求最小值.
2.若,求函数的最小值.
题型五、基本不等式“1”的妙用求最值
1.观察下面的解答过程:已知正实数a,b满足 ,求的最小值.
解:∵,
∴,
当且仅当,结合得,时等号成立,
∴的最小值为.
请类比以上方法,解决下面问题:
(1)已知正实数x,y满足,求 的最小值;
(2)已知正实数x,y满足 ,求的最小值.
2.(1)若正数满足,求的最小值.
(2)已知,且,求的最小值.
(3)已知且,求的最小值.
3.已知,,且,求的最小值.
题型六、条件等式求最值
1.求解下列问题:
(1)若,且,求的最小值;
(2)若,且,求的最小值.
2.设x>0,y>0.
(1)若x+2y=4 ,求的最大值;
(2)若x+2y=5 ,求的最小值;
(3)求的最小值.
3.已知正数a,b满足
(1)求ab的最大值;
(2)求的最小值.
4.已知正实数,满足,求的最小值.
题型七、基本不等式的恒成立问题
1.已知,.
(1)若,,不等式恒成立,求实数m的取值范围;
(2)若不等式恒成立,求实数m的最小值;
(3)若.且恒成立,求正实数a的最小值.
2.已知,,且.
(1)求的最小值;
(2)若恒成立,求的最大值.
题型八、对勾函数求最值
1.(1)已知,求的最大值,并求此时x的值;
(2)已知,求的最小值(提示:利用图像助解).
2.已知,则的最值为( )
A.最小值2 B.最大值2 C.最小值3 D.最大值3
3.(1)求函数在上的最小值;
(2)若函数在上的最小值为6,求的取值范围;
(3)若函数在上是减函数,求的取值范围.
4.求下列函数的最值:
(1)已知函数,求此函数的最大值
(2)已知,求的最小值.
题型九、有关基本不等式的应用题
1.某地政府为增加农民收人,根据当地地域特点,积极发展农产品加工业.经过市场调查,加工某农产品需投入固定成本3万元,每加工吨该农产品,需另投入成本万元,且已知加工后的该农产品每吨售价为10万元,且加工后的该农产品能全部销售完.
(1)求加工后该农产品的利润(万元)与加工量(吨)的函数关系式;
(2)求加工后的该农产品利润的最大值.
2.如图,某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形生态种植园.设生态种植园的长为,宽为.
(1)若生态种植园面积为,则为何值时,可使所用篱笆总长最小?
(2)若使用的篱笆总长度为,求的最小值.
3.运货卡车以千米/时的速度匀速行驶300千米,按交通法规限制(单位千米/时),假设汽车每小时耗油费用为元,司机的工资是每小时元.(不考虑其他因所素产生的费用)
(1)求这次行车总费用(元)关于(千米/时)的表达式;
(2)当为何值时,这次行车的总费用最低?求出最低费用的值.
题型十、证明不等式
1.证明:
(1);
(2).
2.已知.证明:;
3.已知正数,满足,证明:
1.若,,,则下列不等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
2.若,且,则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
3.若 ,且 ,试找出2,2ab中的最大者.
4.(1)当x>0时,求+4x的最小值;
(2)当x>1时,求2x+的最小值.
5.已知,求最大值.
6.(1)已知,求的最小值;
(2)已知,,求的最大值.
7.当x<时,求函数y=x+的最大值.
8.已知,且,求的最小值.
9.(1)已知,求的最大值.
(2)已知,求的最大值.
10.(1)若对成立,求a的取值范围;
(2)若x>-3,求函数最小值.
11.已知,,,求的最小值并求出此时a,b的值.
12.已知,且,求ab的最大值.
13.已知x,y都是正实数.
(1)求证:;
(2)若,求的最小值.
14.已知函数
(1)求函数的最小值;
(2)若不等式恒成立,求实数的取值范围.
15.已知.
(1)求的最小值;
(2)若恒成立,求实数m的取值范围.
16.如图,公园的管理员计划在一面墙的同侧,用彩带围成四个相同的长方形区域.若每个区域的面积为m,要使围成四个区域的彩带总长最小,则每个区域的长和宽分别是多少米?求彩带总长的最小值.
17.某商厦欲在春节期间对某新上市商品开展促销活动,经测算该商品的销售量为万件与促销费用万元满足.已知万件该商品的进价成本为万元,商品的销售价格定为元/件.
(1)将该商品的利润万元表示为促销费用万元的函数;
(2)促销费用投入多少万元时,商家的利润最大?最大利润为多少?
1.(多选)已知,则a,b满足( )
A. B. C. D.
2.(多选)设,则下列不等式中一定成立的是( )
A. B.
C. D.
3.(多选)若,则( )
A. B. C. D.
4.(多选)设a>0,b>0,则( )
A. B.
C. D.
5.(多选)已知,,且,则( )
A. B. C. D.
6.(多选)若a>b>0>c,则( )
A. B. C. D.
7.若正数,满足,求的最小值.
8.(1)求函数的最小值;
(2)解关于的不等式:.
9.(1)已知,求函数的值域;
(2)已知,,且,求:的最小值.
10.若,求的最小值;
11.已知,,且.
(1)求的最大值.
(2)若,求的最小值.
12.已知正数满足.
(1)求的最大值;
(2)求的最小值.
13.已知,求函数的最小值.
14.(1)已知,,,求的最小值,及此时x、y的值;
(2)已知,,,求的最小值,及此时x、y的值.
15.(1)比较与的大小.
(2)当,,且满足时,有恒成立,求的取值范围.
16.求下列函数的最值
(1)已知,求的最小值;
(2)已知0<x<1,求的最大值;
(3)已知,且, 求的最小值.
17.(1)设,,且,求的取值范围;
(2)设,若,求的最大值.
18.(1)已知,求函数的最小值;
(2)已知,且,求的最大值.
19.已知正数,,满足.
(1)求的最大值;
(2)证明:.
20.已知均为正数,且.
(1)求的最小值;
(2)证明:.
21.已知.求的最小值.
22.某厂家拟在2021年举行某产品的促销活动,经调查,该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位:万件)与年促销费用(单位:万元)满足( k 为常数),如果不举行促销活动,该产品的年销售量是1万件.已知2021年生产该产品的固定投入为8万,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).
(1)将2021年该产品的利润y(单位:万元)表示为年促销费用m的函数;
(2)该厂家2021年的促销费用为多少万元时,厂家的利润最大?
(3)若该厂家2021年的促销费用不高于2万元,则当促销费用为多少万元时,该厂家的利润最大?
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