【暑假初高衔接】初三数学暑假预习（人教A版2019）-2.1《等式性质与不等式性质》同步讲学案
展开知识点一 基本事实
两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a
∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
知识点三 等式的基本性质
(1)如果a＝b，那么b＝a.
(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c.
(4)如果a＝b，那么ac＝bc.
(5)如果a＝b，c≠0，那么eq \f(a,c)＝eq \f(b,c).
知识点四 不等式的性质
题型一、由已知条件判断所给不等式是否正确
1．如果，那么（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【详解】由已知可取，则
，A错，
，B错，
，，D错，
因为，所以
所以，故，C对，
故选：C.
题型二、由不等式的性质比较 数（式）大小
2．已知则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法判断
【答案】B
【详解】由题得.
故选：B
题型三、作差法比较代数式的大小
3．已知 ， ，则 _______ ．（填“>”或“<”）
【答案】<
【详解】因为，所以.
故答案为：<.
题型四、作商法比较代数式的大小
4．若，则、、、中最小的是__________.
【答案】
【详解】因为，所以，，
因为，，所以，
即
故答案为：
题型五、由不等式的性质证明不等式
5．（1）求证：.
（2）已知为任意实数，求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【详解】（1）因为，故，又，故
（2）因为
，故
即
题型六、利用不等式求值或取值范围
6．已知且满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设，可得，
解得，，
因为可得，
所以.
故选：C.
1．（多选）已知，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【详解】∵，
∴，，，
∴，A错误，B正确；
∴，C正确；
不等式两边同乘以得：，故D错误．
故选：BC．
2．比较大小：___________（填“”或“”）.
【答案】
【详解】因为，
，
，
所以，即，
故答案为：
3．已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】B
【详解】，
因为，所以，
又，所以，即.
故选：B
4．已知，试比较与的大小.
【答案】
【详解】，
，.
两数作商，
.
5．（1）已知实数求证：．
（2）已知为正实数，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【详解】（１）证明：
又，而
故即
（2）证明：由
相加得，所以，
因为，上式两边同时除以得：．
6．已知实数，，满足则的取值范围是________．（用区间表示）
【答案】
【详解】,
则解得，则，
又，
∴，
即，
故答案为：．
1．设、均为非零实数且，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】对于A，取，，则，A错误；
对于B，取，，则，B错误；
对于C，取，，则，C错误；
对于D，因，则，即，D正确．
故选：D
2．若，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．若，则D．若，则<
【答案】C
【详解】对于A，若，则，所以A错误，
对于B，若，则，所以B错误，
对于C，因为，所以由不等式的性质可得，所以C正确，
对于D，因为，所以，所以，即，所以D错误，
故选：C
3．设，，，则P、Q的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，，所以，
所以；
故选：A
4．下列结论正确的是（ ）
A．若ac>bc，则a>bB．，则a>b
C．若a
【详解】选项A：若c为负数，则a
选项D：因为a>b>0， 0
5．已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，，
所以，，
所以，
所以的取值范围是，
故选：D.
6．（多选）下列选项中正确的是（ ）
A．，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则的最小值是2
【答案】BCD
【详解】对于A，当时，由得，故A不正确；
对于B，若，则，所以有，故B正确；
对于C，因为，所以，所以，故C正确；
对于D，若，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是2，故D正确，
故选：BCD.
7．设，，，则，，的大小关系__________．
【答案】
【详解】因为，，
因为，所以，所以，
而，而，所以，所以．
故答案为：
8．设，则四个数，，，中最小的是__________．
【答案】
【详解】因为，所以，，
又，所以，
综上，最小.
故答案为
9．已知且，则的取值范围___________.
【答案】
【详解】由，由，相加得.
故答案为：.
10．已知，，则6x＋5y的取值范围为______．
【答案】
【详解】，即
故6x＋5y的取值范围为．
故答案为：
11．（1）用分析法证明：；
（2）已知a，b是实数，证明：．
【详解】（1）要证明，只需证明，
即证，即证，
即证，显然不等式成立，所以原不等式成立．
（2）
显然，当且仅当时取“=”，，当且仅当时取“=”，
则有，当且仅当时取“=”，
所以.依据
如果a>b⇔a－b>0.
如果a＝b⇔a－b＝0.
如果a
要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小
性质
别名
性质内容
注意
1
对称性
a>b⇔b
2
传递性
a>b，b>c⇒a>c
不可逆
3
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
可逆
4
可乘性
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b,c>0))⇒ac>bc
c的符号
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b,c<0))⇒ac
同向可加性
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b,c>d))⇒a＋c>b＋d
同向
6
同向同正可乘性
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd
同向
7
可乘方性
a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)
同正
【暑假初高衔接】初三数学暑假预习（人教A版2019）-3.3《幂函数》同步讲学案： 这是一份【暑假初高衔接】初三数学暑假预习（人教A版2019）-3.3《幂函数》同步讲学案，文件包含暑假初高衔接初三数学暑假预习人教A版2019-33《幂函数》同步讲学案解析版docx、暑假初高衔接初三数学暑假预习人教A版2019-33《幂函数》同步讲学案原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共34页， 欢迎下载使用。
【暑假初高衔接】初三数学暑假预习（人教A版2019）-3.2.2《奇偶性》同步讲学案： 这是一份【暑假初高衔接】初三数学暑假预习（人教A版2019）-3.2.2《奇偶性》同步讲学案，文件包含暑假初高衔接初三数学暑假预习人教A版2019-322《奇偶性》同步讲学案解析版docx、暑假初高衔接初三数学暑假预习人教A版2019-322《奇偶性》同步讲学案原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共38页， 欢迎下载使用。
【暑假初高衔接】初三数学暑假预习（人教A版2019）-3.1.1《函数的概念》同步讲学案： 这是一份【暑假初高衔接】初三数学暑假预习（人教A版2019）-3.1.1《函数的概念》同步讲学案，文件包含暑假初高衔接初三数学暑假预习人教A版2019-311《函数的概念》同步讲学案解析版docx、暑假初高衔接初三数学暑假预习人教A版2019-311《函数的概念》同步讲学案原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共26页， 欢迎下载使用。
