【暑假培优训练】2023年人教版数学七年级（七升八）暑假第06天：《实数》提升训练

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第06天：实数
1．（2021·山东济宁·七年级期末）已知表示取三个数中最小的那个数．例如：当时，，当时，则的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】本题分别计算的x值，找到满足条件的x值即可．
【详解】解：当时，，，不合题意；
当时，，当时，，不合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，，不合题意，
故选：C．
【点评】本题主要考查了实数大小比较，算术平方根及其最值问题，解决此题时，注意分类思想的运用．
2．（2020·浙江宁波·七年级期末）任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q在n的所有分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最优分解，并规定：F（n）＝．例如24可以分解成1×24，2×12，3×8，4×6这四种，这时就有F（24）＝＝．给出下列关于F（n）的说法：①F（6）＝；②F（16）＝1；③F（n2﹣n）＝1﹣；④若n是一个完全平方数，F（n）＝1．其中说法正确的个数是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】根据最优分解的定义，分别求出6、16、n2﹣n以及完全平方数n，然后对各小题求解即可作出判断．
【详解】解：①∵6＝1×6＝2×3，
∴F（6）＝，故本小题正确；
②∵16＝1×16＝2×8＝4×4，
∴F（16）＝＝1，故本小题正确；
③∵n2﹣n＝n（n﹣1），
∴F（n2﹣n）＝＝1﹣，故本小题正确；
④∵n是一个完全平方数，
∴n分解成两个完全相同的数时，差的绝对值最小，
∴F（n）＝1，故本小题正确．
综上所述，说法正确的个数是4，
故选：D．
【点评】本题考查了完全平方数，读懂题目信息，理解“最优分解”的定义是解题的关键．
3．（2021·辽宁·东北育才双语学校八年级期末）一个正数a的平方根是2x﹣3与5﹣x，则这个正数a的值是（　　）
A．25 B．49 C．64 D．81
【答案】B
【解析】根据一个正数的两个平方根互为相反数可得（2x﹣3）+（5﹣x）＝0，可求得x，再由平方根的定义即可解答．
【详解】解：由正数的两个平方根互为相反数可得
（2x﹣3）+（5﹣x）＝0，
解得x＝﹣2，
所以5﹣x＝5﹣（﹣2）＝7，
所以a＝72＝49．
故答案为B．
【点评】本题考查了平方根的性质,理解平方根与算术平方根的区别及联系是解答本题的关键．
4．（2020·浙江杭州·七年级期末）如图所示，将形状、大小完全相同的“”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“”的个数为，第2幅图形中“”的个数为，第3幅图形中“”的个数为，…，以此类推，则的值为（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据给定几幅图形中黑点数量的变化可找出其中的变化规律“（为正整数）”，进而可求出，将其代入中即可求得结论．
【详解】解：∵第一幅图中“”有个；
第二幅图中“”有个；
第三幅图中“”有个；

∴第幅图中“”有（为正整数）个
∴
∴当时






．
故选：C
【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律解决问题．
5．（2022·湖南·常德市第七中学八年级期末）下列各数3.14159，，0.131131113…（每相邻两个3之间依次多一个1），6%，， ，，中，无理数有（       ）个.
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】根据无限不循环小数是无理数即可判断无理数的个数．
【详解】解：3.14159是有限小数，属于有理数；
中，带根号的开不尽方，它是无理数；
0.131131113…（每相邻两个3之间依次多一个1）是无限不循环小数，它是无理数；
6% 是分数，属于有理数；
中带根号的开不尽方，它是无理数；
是分数，属于有理数；
中，是无限不循环小数，它属于无理数；
，它是整数，属于有理数．
综上所述，无理数有：，0.131131113…（每相邻两个3之间依次多一个1），，，共4个．
故选：B．
【点评】本题考查无理数的定义，解题的关键是正确理解无理数的定义．
6．（2022·江苏盐城·八年级期末）下列说法正确的是（       ）
A．4的算术平方根是2 B．0.16的平方根是0.4
C．0没有立方根 D．1的立方根是±1
【答案】A
【解析】根据平方根和立方根的定义判断即可．
【详解】∵4的算术平方根是2，
∴A正确，符合题意；
∵0.16的平方根是±0.4，
∴B错误，不符合题意；
∵0的立方根是0，
∴C错误，不符合题意；
∵1的立方根是1，
∴D错误，不符合题意；
故选A．
【点评】本题考查了平方根即如果一个数的平方等于a，称这个数为a的平方根，立方根如果一个数的立方等于a，称这个数为a的立方根，熟练掌握定义是解题的关键．
7．（2022·重庆·通惠中学七年级期末）若都是实数，且，的立方根是（          ）
A．27 B．-27 C．3 D．-3
【答案】C
【解析】首先根据算术平方根的非负性可以求出x的值，再将其代入已知等式即可求出y的值，从而求出x+3y的值，再对其开立方根即可求解．
【详解】∵，
∴，
解得：x=3，
将x=3代入原式，得到y=8，
∴x+3y=3+3×8=27，
∵27的立方根是3，
∴x+3y的立方根为3．
故选：C．
【点评】本题考查了算术平方根的非负性和立方根的定义，关键是从已知条件得到x的取值范围，然后得出x的值．
8．（2022·重庆·通惠中学七年级期末）下列命题正确的是（          ）
A．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有相交、垂直和平行
B．平方根是它本身的数只有0
C．-32的平方根是±3
D．的平方根是±5
【答案】B
【解析】根据命题、平方根、两条直线位置关系的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有相交和平行，即选项A不正确；
平方根是它本身的数只有0，即选项B正确；
∵，且没有平方根
∴选项C不正确；
∵，的平方根为
∴选项D不正确；
故选：B．
【点评】本题考查了平方根、命题、两条直线位置关系的知识；解题的关键是熟练掌握平方根、命题的性质，从而完成求解．
9．（2022·河南周口·八年级期末）若规定新运算，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．
【详解】解：．
故选：D．
【点评】本题考查了新定义运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
10．（2022·浙江丽水·七年级期末）若，则实数x、y、z之间的大小关系可能为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据各选项中x，y，z的大小关系分别计算已知等式的左边和右边，看是否相等即可判断．
【详解】解：A、当x＞y＞z时，|x﹣y|﹣|x﹣z|＝x﹣y﹣（x﹣z）＝z﹣y，|y﹣z|＝y﹣z，已知等式不成立，不符合题意；
B、当z＞y＞x时，|x﹣y|﹣|x﹣z|＝y﹣x﹣（z﹣x）＝y﹣z，|y﹣z|＝z﹣y，已知等式不成立，不符合题意；
C、当y＞x＞z时，|x﹣y|﹣|x﹣z|＝y﹣x﹣（x﹣z）＝y+z﹣2x，|y﹣z|＝y﹣z，已知等式不成立，不符合题意；
D、当x＞z＞y时，|x﹣y|﹣|x﹣z|＝x﹣y﹣（x﹣z）＝z﹣y，|y﹣z|＝z﹣y，已知等式成立，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是实数的大小和绝对值的意义，正确根据字母的大小关系将绝对值化去是解本题的关键．
11．（2022·浙江湖州·八年级期末）下列命题中是真命题的是（　　）
A．绝对值相等的两个数相等 B．两个无理数的和仍是无理数
C．同角的补角相等 D．有公共顶点且相等的两个角是对顶角
【答案】C
【解析】根据绝对值的概念、无理数的概念和实数的运算法则、补角的概念、对顶角的概念判断即可．
【详解】解：A、|2|=|2|，但2≠2，
故绝对值相等的两个数相等是假命题，不符合题意；
B、，
故两个无理数的和仍是无理数是假命题，不符合题意；
C、同角的补角相等是真命题，符合题意；
D、90°的角和它的邻补角有公共顶点且相等，它们不是对顶角，
故有公共顶点且相等的两个角是对顶角是假命题，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的相关的概念、性质、定理、常见的结论等知识．
12．（2022·江西景德镇·八年级期末）下列实数中是无理数是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【详解】解：，，，，
所以是无理数，其余的都是有理数，
即是无理数．
故选：B．
【点评】本题主要考查了无理数的定义，最简二次根式、立方根、零指数幂，理解相关运算法则是解答关键．
13．（2022·山东青岛·八年级期末）在给出的一组数0.010101…，，5，3.14，，中，无理数有（       ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．5个
【答案】B
【解析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：0.010101…是无限循环小数，属于有理数；
5是整数，属于有理数；
3.14是有限小数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
无理数有π，，共有2个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0），等有这样规律的数．
14．（2022·安徽宿州·八年级期末）下列命题中是真命题的是（       ）
A．相等的角是对顶角 B．无理数就是开方开不尽的数
C．同旁内角互补 D．数轴上的点与实数一一对应
【答案】D
【解析】根据命题、对顶角、无理数、同旁内角、数轴和实数的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，故选项A不正确；
无理数是无限不循环小数，开方开不尽的数是无理数，无理数不一定是开方开不尽的数，故选项B不正确；
两直线平行，同旁内角互补，故选项C不正确；
数轴上的点与实数一一对应，故选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了命题、对顶角、平行线、数轴和实数的知识；解题的关键是熟练掌握命题、实数、平行线的性质，从而完成求解．
15．（2022·江苏无锡·七年级期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+1；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n＝25时，运算过程如图．若，则第2022次“F运算”的结果是（　　）

A．16 B．5 C．4 D．1
【答案】C
【解析】按照F运算法则，对进行计算可以发现其中的规律，分析规律即可知第2022次“F运算”的结果.
【详解】解：由题意可知，当时，历次运算的结果依次是：
，，，，，，，，，
故，即从第七次开始1和4出现循环，偶数次为4，奇数次为1，
∴当，第2022次“F运算”的结果是4．
故选：C．
【点评】本题考查新定义下的实数运算，根据流程图和新运算法则发现运算结果之间的规律是解题的关键.
16．（2022·湖南湘潭·八年级期末）若记表示任意实数的整数部分例如：， ，则（其中“”“”依次相间）的值为___________
【答案】
【解析】按照整数是1，整数是2，…整数是44，确定算术平方根的个数，运用估算思想，列式，寻找规律计算．
【详解】解：∵即时，，此时n=1，2，3，
∴；
∵即时，，此时n=4，5，6，7，8，
∴；
∵即时，，此时n=9，10，11，12，13，14，15，
∴=；
由此发现如下规律，整数部分是1的算术平方根的整数和是1，且奇数为正整数，偶数位为负整数；整数部分是2的算术平方根的整数和是-2，整数部分是3的算术平方根的整数和是3，
∵，，
∴即时，，
∴=-44，
∴
=1-2+3-4+5-6+…+43-44
=(1+3+5+7+…+43)- (2+4+6+8+…+44)
=
=
= -22，
故答案为：-22．
【点评】本题考查了实数的新定义运算，解题的关键是正确运用估算思想，确定整数部分中的运算规律．
17．（2020·湖南株洲·九年级期末）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数——“纯数”．定义：对于自然数n，在计算n+(n+1)+(n+2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”，例如：32是“纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24＋25时，个位产生了进位．那么，小于100的自然数中，“纯数”的个数为___________个．
【答案】12
【解析】根据题意，连续的三个自然数各位数字是0，1，2，其他位的数字为0，1，2，3时不会产生进位，然后根据这个数是几位数进行分类讨论，找到所有合适的数．
【详解】解：当这个数是一位自然数时，只能是0，1，2，一共3个，
当这个数是两位自然数时，十位数字是1，2，3，个位数是0，1，2，一共9个，
∴小于100的自然数中，“纯数”共有12个．
故答案是：12．
【点评】本题考查归纳总结，解题的关键是根据题意理解“纯数”的定义，总结方法找出所有小于100的“纯数”．
18．（2020·浙江杭州·七年级期末）若我们规定表示不小于x的最小整数，例如，，则以下结论：①；②；③的最小值是0；④存在实数x使成立．其中正确的是______．（填写所有正确结论的序号）
【答案】③④
【解析】根据的定义逐个判断即可得．
【详解】①表示不小于的最小整数，则，结论错误
②，则，结论错误
③表示不小于x的最小整数，则，因此的最小值是0，结论正确
④若，则
此时，
因此，存在实数x使成立，结论正确
综上，正确的是③④
故答案为：③④．
【点评】本题考查了新定义下的实数运算，理解新定义是解题关键．
19．（2020·浙江杭州·七年级期末）如图所示，数轴上点A表示的数是-1，0是原点以AO为边作正方形AOBC，以A为圆心、AB线段长为半径画半圆交数轴于两点，则点表示的数是___________，点表示的数是___________．

【答案】     .     .
【解析】首先利用勾股定理计算出的长，再根据题意可得，然后根据数轴上个点的位置计算出表示的数即可.
【详解】解：点表示的数是,是原点，
，
，
以为圆心、长为半径画弧，
，
点表示的数是，
点表示的数是，
故答案为：；.
【点评】本题考查了数轴的性质，以及应用数形结合的方法来解决问题.
20．（2022·湖南永州·七年级期末）阅读材料：设，，如果，则，根据材料填空：已知，，且，则______．
【答案】6
【解析】根据阅读材料当时，，即可列出关于m的等式，解出m即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：．
故答案为：6．
【点评】本题考查新定义下的实数运算，读懂阅读材料，理解题意是解题关键．
21．（2020·福建厦门·八年级期末）在△PQN中，若∠P＝∠Q＋α（0°＜α≤25°），则称△PQN为“差角三角形”,且∠P是 ∠Q的“差角”.
（1）已知△ABC是等边三角形，判断△ABC是否为“差角三角形”，并说明理由；
（2）在△ABC中，∠C＝90°，50°≤∠B≤70°，判断△ABC是否为“差角三角形”，若是，请写出所有的“差角”并说明理由；若不是，请说明理由.
【答案】（1）不是，理由见详解；（2）是，当35°≤∠A≤40°时，△ABC为“差角三角形”， 且∠A是∠B的“差角”； 当50°≤∠B≤70°时，△ABC为“差角三角形”， 且∠B是∠C的“差角”.
【解析】(1)根据差角定义即可判断；
(2)根据∠B的度数范围求出∠A的度数范围，再分别讨论两个角之间是“差角”时的取值范围，如果符合取值范围即是“差角”，否则即不是.
【详解】（1）△ABC不是“差角三角形”，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=60，
∴∠A=∠B+30，
∵,
∴△ABC不是“差角三角形”；
(2)∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵50°≤∠B≤70°,
∴20°≤∠A≤40°,
①∠B是 ∠A的“差角”时，∠B＝∠A＋α，
∵，
∴1045，
不满足题意，舍去；
②∠A是∠B的“差角”时，∠A＝∠B＋α，
∵，
∴2560，
∵20°≤∠A≤40°,
∴25°≤∠A≤40°,
当∠A＝∠B时，∠A＝35°，
∴当35°≤∠A≤40°时，△ABC为“差角三角形”， 且∠A是∠B的“差角”.
③∠C是∠B的“差角”时，∠C＝∠B＋α，，
∴25，不满足题意，舍去；
④∠B是 ∠C的“差角”时，∠B＝∠C＋α，，
∴45
∴当50°≤∠B≤70°时，△ABC为“差角三角形”， 且∠B是∠C的“差角”.
⑤∠A是∠C的“差角”时，∠A＝∠C＋α，，
∴45，不满足题意，舍去；
⑥∠C是∠A的“差角”时，∠C=∠A＋α，,
∴10，不满足题意，舍去；
综上，当35°≤∠A≤40°时，△ABC为“差角三角形”， 且∠A是∠B的“差角”； 当50°≤∠B≤70°时，△ABC为“差角三角形”， 且∠B是∠C的“差角”.
【点评】此题考查新定义，正确理解题意，理解“差角”之间的关系是解题的关键，然后分情况讨论，不要漏掉某一种情况.
22．（2022·湖北随州·八年级期末）阅读以下材料：
指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化．对数的定义：一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
（，，，）；
设，，则，，
，由对数的定义得
又，
请解决以下问题：
(1)将指数式转化为对数式______；
(2)求证：（，，，）；
(3)拓展运用：计算______．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)2
【解析】（1）根据题意可以把指数式33=81写成对数式；
（2）先设logaM=m，logaN=n，根据对数的定义可表示为指数式为：M=am，N=an，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；
（3）根据公式：loga（M•N）=logaM+logaN和loga=logaM-logaN的逆用，将所求式子表示为：，计算可得结论．
(1)
解：（或）；
故答案为：（或）；
(2)
解：设，，则，，
∴，由对数的定义得，
又∵，
∴；
(3)
解：


．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．
23．（2022·重庆·九年级期末）在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数—“平等数”定义：对于自然数n，若的结果各数位数字都相等，则称这个自然数n为“平等数”．例如：2是“平等数”，因为；10是“平等数”，因为：20不是“平等数”，因为
(1)判断1和21是否是“平等数”？请说明理由：
(2)求出不大于100的“平等数”的个数，
【答案】(1)都是，理由见解析
(2)8
【解析】（1）根据题目中的新定义即可解答本题；
（2）根据“平等数”的定义可知，“平等数”是3的倍数，然后根据不大于100的“平等数”可以分一位数的、两位数的、三位数的“平等数”三种情况讨论，即可得出答案．
(1)
解：（1）1和21都是“平等数”．
理由：∵1＋2＋3＝6，
∴1是平等数；
∵21＋22＋23＝66，和的各数位数字相等，
∴21也是平等数．
(2)
设s＝n＋（n＋1）＋（n＋2）＝3（n＋1），即s为3的倍数，
且当0≤n≤100时，3≤s≤303．   
当s为一位数时，s可能为3、6、9，相应地n为0、1、2；
当s为两位数时，s可能为33、66、99，相应地n为10、21、32；
当s为三位数时，s可能为111、222，相应地n为36、73．
综上所述，不大于100的“平等数”的个数为3＋3＋2＝8个．
【点评】本题考查新定义、有理数的加法，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新定义解答．
24．（2022·全国·八年级期末）求式中x的值：
(1)x2﹣36＝0；
(2)（x﹣2）3＋29＝2
【答案】(1)x＝±6
(2)x＝﹣1
【解析】（1）先移项，再根据平方根的定义，开平方解得x的值．
（2）先移项，再根据立方根的定义，开立方解得x-2的值，最后求出x的值．
(1)
解：x2﹣36＝0，
x2＝36，
，
x＝±6；
(2)
解：（x﹣2）3+29＝2，
（x﹣2）3＝2﹣29，
（x﹣2）3＝﹣27，
x﹣2＝，
x﹣2＝﹣3，
x＝2﹣3，
x＝﹣1．
【点评】本题考查了立方根和平方根的定义，等式的性质，注意，一个数的平方根有两个，正确的计算是解题关键．
25．（2022·上海·七年级期末）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a＋2
(1)求a和x的值；
(2)求3x＋2a的平方根．
【答案】(1)a＝﹣1，x＝9
(2)±5
【解析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数即可求出a的值，再将a的值代入2a﹣1即可求出x的值；
（2）将（1）中的结果代入求解即可．
(1)
解：∵一个正数的两个平方根互为相反数，
∴2a﹣1+（﹣a+2）＝0，
解得a＝﹣1，
∴x＝（2a﹣1）2＝（﹣3）2＝9．
(2)
解：∵3x+2a＝3×9﹣2＝25，
又∵25的平方根为±5，
∴3x+2a的平方根为±5．
【点评】本题考查了平方根的知识，解题的关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数．
26．（2022·吉林延边·七年级期末）已知的平方根是±3，的立方根是-2．求：的立方根．
【答案】2
【解析】先利用平方根和立方根的性质可得到关于a、b的方程组，从而可求得a、b的值，然后代入求解即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
∴==8，
∵8的立方根是2，
∴的立方根是2．
【点评】本题主要考查的是立方根、平方根的性质，熟练掌握平方根、立方根的性质是解题的关键．
27．（2022·江苏盐城·八年级期末）因为，即，所以的整数部分为1，小数部分为．类比以上推理解答下列问题：
(1)求的整数部分和小数部分；
(2)若m是的整数部分，且，求x的值．
【答案】(1)的整数部分为3，小数部分为
(2)1或﹣3
【解析】（1）、用夹逼法根据无理数的估算即可求解；
（2）、根据无理数的估算求出m值，根据平方根的定义即可求解．
(1)
解：∵ ，
即，
∴的整数部分为3，小数部分为；
(2)
，
即： ，
，
，
∵m是的整数部分，
，
，
，
或者 ，
故x的值为：1或-3．
【点评】本题考查了无理数的估算，平方根，立方根，熟练掌握无理数的估算和平方根，立方根定义是解题的关键．
28．（2022·山东菏泽·八年级期末）交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，他们总结了一个经验公式：，其中表示车速（单位：千米时），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得米，，而该路段的限速为80千米时，肇事汽车当时的车速大约是多少？此车是否超速行驶？
【答案】96千米/时，此车超速行驶
【解析】此题只需把d=25米=0.025千米，f=1.44，代入，求得v的值后，再进一步和80千米比较，作出判断即可．
【详解】解：由题意知（千米/时）．
96千米/时>80千米/时，
答：肇事汽车当时的速度大约是96千米/时，此车超速行驶．
【点评】此题主要考查了算术平方根在实际中的应用，正确理解题意是解题的关键．