【暑假提升】浙教版数学八年级（八升九）暑假-专题第32讲《相似三角形 相似多边形》预习讲学案

第32讲 相似三角形 相似多边形 一、相似图形及比例线段 1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形. 要点： 　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等； 二、相似三角形 在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于” 三、相似多边形 相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似多边形的周长比等于相似比． （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方． 要点： 用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况： （1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形； （2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形； （3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形. 例1．若两个相似多边形的对应边之比为5:2，则它们的周长比是______，面积比是______． 【答案】     5:2     25:4 【解析】 【分析】 根据周长比、面积比与相似比的关系可以解得答案． 相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方． 两个相似多边形的对应边之比为5:2，则它们的周长比是5：2，面积比是25：4． 故答案为5：2；25：4． 【点睛】 本题考查相似比的性质，熟练掌握周长比、面积比与相似比的关系是解题关键． 例2．若两个相似三角形的相似比是，则这两个三角形对应中线的比是________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据相似多边形的性质，对应边之比相等可得． 相似三角形对应中线的比等于相似比，因而对应中线的比是2：3．故答案为. 【点睛】 本题考查相似三角形的性质，相似三角形对应中线的比等于相似比． 例3．如图所示的两个五边形相似，则_____，______，_______，______． 【答案】     3     4.5     4     6 【解析】 【分析】 根据相似多边形的性质，得到比例式，计算即可． 解：∵两个五边形相似， ∴，，，， 解得，a＝3，b＝4.5，c＝4，d＝6． 【点睛】 本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质：对应角相等；对应边成比例是解题的关键． 例4．已知，相似比为，，相似比为，则，其相似比为________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据相似三角形的性质可得，，故可得. 因为，相似比为，所以，因为，相似比为，所以，所以，即所求相似比为. 故答案为 【点睛】 考核知识点：相似三角形的性质.根据相似三角形性质和比例性质求解是关键. 例5．同一个圆的内接正方形与其外切正方形的周长比是________，面积比是________． 【答案】     1：     1：2 【解析】 【分析】 作出正方形的边心距，连接正方形的一个顶点和中心可得到一等腰直角三角形，利用勾股定理求出半径即可． 如图，作OI⊥CD于点I，OJ⊥GH于J，并连接OD. OG，设内接正方形ABCD的边长为a. ∵四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形， ∴∠C=90 º，∠ODI=∠OGJ=45 º，正方形ABCD∽正方形EFGH， ∴OI=DI=CI=，OJ=HJ=GJ， ∴OD=， ∴OJ=OD= ∴HG=2OJ=a ， ∴周长之比为：=a：a =1：， ∴面积比是1：2． 故答案为1：；1：2． 【点睛】 本题考查了正多边形和圆的知识，相似多边形的判定与性质，解题时利用了圆内接正方形与圆外接正方形的性质求解，关键是构造正确的等腰直角三角形求解． 例6．如图，已知，若AB=10，AC=8，AD=4，则AE的长是（     ） A．4 B．3.2 C．20 D．5 【答案】D 【解析】 【分析】 根据相似三角形对应边成比例直接建立等式求解即可． 由相似三角形的性质可得：， 则， 故选：D． 【点睛】 本题考查相似三角形的性质，熟记相似三角形对应边成比例是解题关键． 例7．如图，，且，则与的相似比为(            ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据两个相似三角形的相似比等于这两个相似三角形的对应边的比，所以对于这道题，与的相似比只要找到即可． ∵，∴， ∴与的相似比为.故选项B正确. 【点睛】 此题考查的是相似三角形的相似比的概念，利用相似比是相似三角形的对应边的比，结合已知条件找到两条对应边的长度是关键． 例8．如果，、分别对应、，且，那么下列等式一定成立的是（       ） A． B．的面积：的面积 C．的度数：的度数 D．的周长：的周长 【答案】D 【解析】 【分析】 相似三角形对应边的比等于相似比，面积之比等于相似比的平方,对应角相等. 根据相似三角形性质可得：A：BC和DE不是对应边，故错；B：面积比应该是，故错；C:对应角相等，故错；D：周长比等于相似比，故正确. 故选：D 【点睛】 考核知识点：相似三角形性质.理解基本性质是关键. 例9．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（   ） A．20° B．30° C．35° D．40° 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据全等三角形的性质得∠ACB＝∠A′CB′，两边减去∠A′CB即可得到∠ACA′＝∠BCB′＝30°． 解：∵△ACB≌△A′CB′， ∴∠ACB＝∠A′CB′， ∴∠ACB－∠A′CB＝∠A′CB′－∠A′CB， 即∠ACA′＝∠B′CB， 又∵∠B′CB＝30° ∴∠ACA′＝30°． 故选B． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的性质． 例10．下列结论不正确的是（       ） A．所有的矩形都相似 B．所有的正三角形都相似 C．所有的等腰直角三角形都相似 D．所有的正八边形都相似 【答案】A 【解析】 【分析】 根据相似图形的判定判断即可； 所有的矩形不一定都相似，故A错误，符合题意； 因为正三角形的每个角都等于满足两个角对应相等， 所有的正三角形都相似，故B正确； 因为等腰直角三角形的三个角分别为   满足两个角对应相等， 所有的等腰直角三角形都相似，故C正确； 因为正八边形的每个角都相等，每条边都相等， 所有的正八边形都相似，故D正确； 故选A． 【点睛】 本题主要考查了相似图形的判定，准确分析判断是解题的关键． 例11．一个四边形的各边之比为1∶2∶3∶4，和它相似的另一个四边形的最小边长为，则它的最大边长为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 设它的最大边长为，根据相似图形的性质求解即可得到答案 解：设它的最大边长为， ∵两个四边形相似， ∴， 解得， 即该四边形的最大边长为． 故选C． 【点睛】 本题考查了相似多边形的性质，牢记“相似多边形对应边的比相等”是解题的关键． 例12．两个相似多边形的一组对应边的长分别为，，那么它们的相似比为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据相似多边形的性质求解即可； 两个相似多边形一组对应边的长分别为，， ∴它们的相似比为：． 故选A． 【点睛】 本题主要考查了利用相似多边形的性质求相似比，准确计算是解题的关键． 例13．如图，如果五边形五边形，且对应边上的高之比为3：2，那么五边形和五边形的周长之比是（       ） A．2：3 B．3：2 C．6：4 D．9：4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据相似多边形的对应高之比等于相似比、周长比等于相似比计算即可． 解：∵五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2， ∴相似比为3：2， ∴五边形和五边形的周长之比是3：2， 故选：B． 【点睛】 本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应高之比等于相似比、周长比等于相似比是解题的关键． 例14．若，且与的相似比为m，与的相似比为n，则（.）： A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，可判定与的相似比为m，则与的相似比为其倒数，所以两者积为1. 解：∵与的相似比为m， ∴与的相似比为，即， ∴ 故答案为C. 【点睛】 此题主要考查相似三角形相似比的性质，熟练掌握，即可解题. 例15．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（       ） A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b 【答案】B 【解析】 【分析】 根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的判定，对应边成比例列式计算即可． 解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为， 要使小长方形与原长方形相似，只要满足即可， ∴． 故选：B． 【点睛】 本题考查了相似多边形的判定，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键． 例16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿BD折叠，点C恰好落在AB上的点 处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在D的延长线上的处.若△BED∽△ABC，则△BED与△ABC的相似比是__________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据△BED与△ABC相似和△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，求出∠A=∠DBA=∠DBC=30°，利用三角函数求出BD、AC的长，得到答案． ∵△BED∽△ABC， ∴∠DBA＝∠A，又∠DBA＝∠DBC， ∴∠A＝∠DBA＝∠DBC＝30°， 设BC为x，则AC＝x，BD＝x， ＝，即△BED与△ABC的相似比是， 故答案为． 一、单选题 1．下列命题中，不正确的是：（          ） A．两个全等三角形一定相似； B．两个等边三角形一定相似； C．两个直角三角形一定相似； D．两个正方形一定相似． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析解答即可． 解：、全等三角形是特殊的相似三角形，故正确； 、等边三角形的三个角均相等，可根据两角对应相等两三角形相似判定，故正确； 、若一个等腰直角三角形与一个一般直角三角形，则不能判定其相似，故不正确； 、由正方形的性质可判定其相似，故正确． 故选：C． 【点睛】 此题主要考查相似图形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键． 2．如果两个相似三角形的对应高之比是，那么它们的周长比是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据相似三角形对应高的比等于相似比，周长的比等于相似比解答． 解：∵对应高之比是1：2， ∴相似比=1：2， ∴对应周长之比是1：2． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查相似三角形的性质，周长的比等于相似比． 3．已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为，则另一个三角形的最小内角为（       ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】 根据相似三角形的性质、三角形的内角和定理可得出另一个三角形的三个内角度数，由此即可得． 由相似三角形的性质得：另一个三角形的两个内角分别为， 则另一个三角形的第三个内角为， 因此，另一个三角形的最小内角为， 故选：C． 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 4．已知与相似，且，那么下列结论中，一定成立的是（     ） A． B． C．相似比为 D．相似比为 【答案】D 【解析】 【分析】 根据相似三角形的性质对不同的对应角和对应边进行分类讨论． 解：∵B可以与E对应，也可以与F对应，∴∠B=∠E或∠B=∠F，A不一定成立； 同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，∴或 ，B不一定成立； 同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，∴相似比可能是，也可能是，C不一定成立； ∵∠A=∠D ，即∠A与∠D是对应角，∴它们的对边一定是对应比，即BC与EF是对应比， ∴相似比为，∴D一定成立， 故选D ．　　　 【点睛】 本题考查相似三角形的性质，注意相似三角形的性质是针对对应角和对应边而言的．　 5．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据相似三角形的性质判断即可． 解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2， ∴，A正确； ∴，B错误； ∴，C错误； ∴OA：OC＝3：2，D错误； 故选：A． 【点睛】 本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 6．如图，把一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线EF对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为（　　） A．2：1                                    B．3：1                                    C．：1                                    D．4：1 【答案】C 【解析】 【分析】 根据相似多边形对应边的比相等，设出原来矩形的长与宽，就可得到一个方程，解方程即可求得． 根据条件可知：矩形AEFB∽矩形ABCD， ∴， 设AD=x，AB=y，则AE=x．则，即：x2=y2． ∴． ∴x：y=：1． 即原矩形长与宽的比为：1． 故选C． 【点睛】 本题考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边，以及正确解方程是解决本题的关键． 7．如果五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，那么五边形ABCDE和五边形POGMN的面积之比是（       ） A．2：3 B．3：2 C．6：4 D．9：4 【答案】D 【解析】 【分析】 根据相似多边形的对应高之比等于相似比、面积比等于相似比的平方计算即可． ∵五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2， ∴相似比为3：2， ∴五边形ABCDE和五边形FGHIJ的面积比是9：4， 故选D． 【点睛】 本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应高之比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键． 8．如图，在平面直角坐标系中有一个四边形，现将四边形各顶点的横坐标和纵坐标都乘，得到四边形，则四边形的面积与四边形的面积之比为（ ） A．2:1 B．3:1 C．4:1 D．5:1 【答案】C 【解析】 【分析】 判断出四边形A1B1C1D1与四边形ABCD相似并求出相似比，再根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答． ∵四边形ABCD各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，得到四边形A1B1C1D1， ∴四边形A1B1C1D1∽四边形ABCD，相似比为2：1， ∴四边形A1B1C1D1的面积与四边形ABCD的面积之比为4：1． 故选C． 【点睛】 本题考查了相似多边形的性质，坐标与图形性质，熟记性质并判断出两个四边形相似是解题的关键． 9．如图，在平行四边形中，是延长线上一点，连接，交于点，交于点，那么图中相似三角形（不含全等三角形）共有（ ） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 【答案】B 【解析】 【分析】 根据相似三角形的判定定理进行解答即可． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠EBF=∠EAD，∠EFB=∠EDA， ∴△EFB∽△EAD； 同理可得，△FGC∽△DGA，△EBF∽△DCF，△GAE∽△GCD，△ADE∽△CDF． 故选B． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质等知识点，能运用相似三角形的判定定理进行证明是解此题的关键． 10．如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 先分别求出第一个正六角星形AFBDCE与第二个边长之比，再根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，找出规律即可解答． ∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分别是△ABC和△DEF各边中点， ∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1且相似比为2：1， ∵正六角星形AFBDCE的面积为1， ∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积为， 同理可得，第二个六角形的面积为：， 第三个六角形的面积为：， 第四个六角形的面积为：， 故选D． 【点睛】 本题考查的是相似多边形的性质及三角形中位线定理，解答此题的关键是熟知相似多边形面积的比等于相似比的平方． 二、填空题 11．相似三角形对应高的比为4:3，那么它们的对应中线的比为______． 【答案】4:3 【解析】 【分析】 根据相似三角形对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比都等于相似比解答即可． 解：相似三角形对应高的比为4:3，那么它们的对应中线的比为4:3． 故答案为：4:3． 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质，属于基础题型，熟知相似三角形对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键． 12．若两个相似多边形的对应边之比为5:2，则它们的周长比是______，面积比是______． 【答案】     5:2     25:4 【解析】 【分析】 根据周长比、面积比与相似比的关系可以解得答案． 相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方． 两个相似多边形的对应边之比为5:2，则它们的周长比是5：2，面积比是25：4． 故答案为5：2；25：4． 【点睛】 本题考查相似比的性质，熟练掌握周长比、面积比与相似比的关系是解题关键． 13．一个三角形三边长度之比为2：5：6，另一个与它相似的三角形最长边为24，则三角形的最短边为_________． 【答案】8 【解析】 【分析】 首先设与它相似的三角形的最短边的长为x，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程，解此方程即可求得答案． 解：设与它相似的三角形的最短边的长为x，则 ， ∴； ∴三角形的最短边为8． 故答案为：8． 【点睛】 此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用． 14．在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，又，则S△ADE：S四边形BCED=_____． 【答案】4:5 【解析】 【分析】 由已知条件可证得△ADE∽△ABC，则，再根据已知条件，得出，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可求解． 如图： ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵AD：DB＝2：1， ∴， ∴， ∵S△ADE＋S四边形DBCE＝S△ABC， ∴S△ADE：S四边形BCED=4:5. 故答案为：4:5． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，熟记相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 15．若四边形与四边形相似，与，与分别是对应边，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】 利用相似多边形对应边的比相等，即可找出结论． ∵四边形与四边形相似，与，与分别是对应边， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了相似多边形的性质，牢记“相似多边形对应边的比相等”是解题的关键． 16．如图，四边形和四边形相似，已知，，，，，，则______，______． 【答案】          【解析】 【分析】 根据相似多边形对应角相等，对应边成比例可得出答案. ∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似， ∴∠A1=∠A=120°，∠B1=∠B=85°，∠C1=∠C=75°， ∴∠D1=360°-∠A-∠B-∠C=80°， ，解得 故答案为80°，. 【点睛】 本题考查相似多边形的性质，找准对应角与对应边是关键. 17．如图，△ABC和△A1B1C1均在4×4的正方形网格图（每个小正方形的边长都为1）中，△ABC与△A1B1C1的顶点都在网格线的交点处，如果△ABC∽△A1B1C1，那么△ABC与△A1B1C1的相似比是_____. 【答案】：1 【解析】 【分析】 先利用勾股定理求出AC，那么AC：A′C′即是相似比． 由图可知：AC与A1C1是对应边，A1C1＝1， 再由勾股定理得：AC＝＝， ∴AC：A1C1＝：1， 即△ABC与△A1B1C1的相似比是：1， 故答案为：1. 18．如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=9，点E，G分别为边AB，AD上的点，若矩形AEFG与矩形ABCD相似，且相似比为，连接CF，则CF=_____． 【答案】5或． 【解析】 分析：若矩形AEFG与矩形ABCD相似，没确定哪两条边相似，所以分两种情况：        ①当AD与AG对应时，先根据相似比求AG和AE的长，利用线段的差求FM和CM的长，根据勾股定理求CF的长；        ②当AD与AE对应时，同理可得CF的长． 详解：延长GF交BC于M．∵四边形AEFG和ABCD是矩形，∴GF∥AE．∵AB⊥BC，∴GM⊥BC，分两种情况：        ①当AD与AG对应时．∵相似比为．∵AB=12，AD=BC=9，∴EF=AG=BM=6，GF=AE=8，∴FM=12﹣8=4，CM=9﹣6=3．在Rt△CMF中，由勾股定理得：CF==5． ②当AD与AE对应时．∵相似比为，∴AG=8，AE=6，∴FM=12﹣6=6，CM=9﹣8=1．在Rt△CMF中，由勾股定理得：CF==． 故答案为5或．         点睛：本题考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边，以及正确解方程是解决本题的关键． 19．如图，在的正方形方格中，有格点（我们把顶点在正方形的顶点上的三角形叫做格点三角形），则与相似但不全等的格点三角形共有________个． 【答案】20. 【解析】 【分析】 先运用勾股定理求出格点△ABC的三边，再根据三边对应成比例，两三角形相似，即可找出图中与△ABC相似但不全等的格点三角形. 解：∵△ABC的三边长：AB=1，BC=，AC=， 又∵在的正方形方格中，最大的线段长为， ∴可将三角形扩大倍，这样的三角形有16个；扩大2倍，这样的三角形有4个； 所以符合题意的三角形共有20个. 故答案为20. 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质和勾股定理，正确理解题意，准确运用三边对应成比例，两三角形相似的判定方法是解此题的关键. 三、解答题 20．如图，四边形相似于四边形，求，，的度数以及x，y，z的值． 【答案】，，，，， 【解析】 【分析】 根据相似形对应角相等，对应边成比例，列式计算即可． 解：∵四边形相似于四边形 ∴，，， ，∴，，，，， 又∵ ∴ 综上，，，，，，． 【点睛】 本题考查了四边形内角和，相似形的性质，熟练应用相似形的性质是解决本题的关键． 21．图中每组两个矩形相似吗？说说你的理由． 【答案】第（1）组的两个矩形相似；第（2）组的两个矩形不相以，证明见解析． 【解析】 【分析】 利用相似多边形的判定定理进行证明即可． 解：第（1）组的两个矩形相似； ， 第（1）组的两个矩形相似； ， 第（2）组的两个矩形不相似． 【点睛】 本题考查了相似多边形的判定定理，解题的关键是掌握相应的判定定理． 22．阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形． 请你解决下列问题： （1）当矩形的长和宽分别为，时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由． （2）边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）存在；理由见解析；（2）不存在，理由见解析． 【解析】 【分析】 （1）假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解． （2）正方形和其他的正方形是相似图形，周长比是2，面积比就应该是4，所以不存在“减半”正方形． 【解析】 解：（1）存在 假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为，，则， 由①，得：，③ 把③代入②，得， 解得，． 所以“减半”矩形长和宽分别为与． （2）不存在 因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是， 所以正方形不存在“减半”正方形． 【点睛】 本题考查反证法和相似图形的性质，关键知道相似图形的面积比，周长比的关系． 23．设四边形与四边形是相似的图形，且与、与、与是对应点，已知，，求四边形的周长． 【答案】38 【解析】 【分析】 四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形，则根据相似多边形对应边的比相等，就可求得A1B1C1D1的其它边的长，就可求得周长． 【解析】 解：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形， ∴， 又∵AB=12，BC=18，CD=18，AD=9，A1B1=8， ∴， ∴B1C1=12，C1D1=12，D1A1=6， ∴四边形A1B1C1D1的周长=8+12+12+6=38． 【点睛】 本题考查相似多边形的性质，相似多边形对应边之比相等． 24．如图，四边形和四边形相似，，，，，，． （1）求、的长度； （2）求、的大小； （3）若，求四边形和四边形的周长的比． 【答案】（1），；（2），；（3） 【解析】 （1）根据相似多边形对应边成比例列出比例式，代入数据即可求解； （2）根据相似多边形对应角相等和四边形内角和即可求解； （3）根据相似多边形的周长比等于对应边之比即可得出答案. 【解析】 （1）∵四边形∽四边形， ∴即，即． ∴，． （2）∵四边形∽四边形， ∴． ∵， ∴，即． （3）∵ ∴四边形和四边形的周长的比=． 【点睛】 本题考查相似多边形的性质，熟记对应边成比例，对应角相等，周长比等于相似比是解决本题的关键. 25．如图，An系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张都相似；②A1纸对裁后可以得到两张A2纸，A2纸对裁后可以得到两张A3纸，…，An纸对裁后可以得到两张An+1纸． （1）填空：A1纸面积是A2纸面积的几倍，A2纸周长是A4纸周长的几倍； （2）根据An系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比； （3）设A1纸张的重量为a克，试求出A8纸张的重量．（用含a的代数式表示） 【答案】（1）2，2；（2）该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比为：1；（3）A8纸张的重量是（）7a克． 【解析】 【分析】 （1）根据A1纸对裁后可以得到两张A2纸即可得出A1纸面积是A2纸面积2倍；设A2纸的长为a，宽为b，则A2纸周长=2（a+b），则A3纸的长是b，宽是， A4纸的长是， 宽是， A4纸的长周长=2（+）=a+b，由此可得出结论； （2）设A1纸的长和宽分别是m、n，则A2纸的长和宽分别为n，m，求出的值即可； （3）A1纸张的重量为a克，A2纸是A1纸面积的一半得出A2纸的重量，同理可得出A3纸的重量，找出规律即可得出结论． 【解析】 解：（1）∵A1纸对裁后可以得到两张A2纸， ∴A1纸面积是A2纸面积2倍； ∵设A2纸的长为a，宽为b，则A2纸周长=2（a+b），则A3纸的长是b，宽是，A4纸的长是，宽是，A4纸的长周长=2（+）=a+b， ∴A2纸周长是A4纸周长的2倍． 故答案为：2，2； （2）∵设A1纸的长和宽分别是m、n，则A2纸的长和宽分别为n，m， ∴=，即=，即该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比为：1； （3）∵A1纸张的重量为a克，A2纸是A1纸面积的一半， ∴A2纸的重量为a， 同理，A3纸的重量是a克， ∴A8纸张的重量是a克． 故答案为：（1）2，2；（2）该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比为：1；（3）A8纸张的重量是（）7a克． 【点睛】 本题考查相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应边成比例是解题的关键．