【暑假提升】2023年人教版数学八年级（八升九）暑假-专题2.4《二次函数y=ax^2+bx+c的图象与性质》预习讲学案

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❊2.4 y=ax2+bx+c的图像与性质
考点先知

知 识
考 点
将y=ax2+bx+c化为顶点式
1.将y=ax2+bx+c化为顶点式

y=ax2+bx+c的图像与性质
2.作y=ax2+bx+c的图像
3.求y=ax2+bx+c的对称轴
4.求y=ax2+bx+c的最值
5.二次函数的对称性
6.利用增减性比较大小
7.利用增减性求范围内的最值
题型精析

知识点一 将y=ax2+bx+c化为顶点式

步骤
内容
已知，将其化为顶点式，则：
第一步（提）

第二步（配）

第三步（整理1）

第三步（整理2）

题型一 将y=ax2+bx+c化为顶点式

例1

利用配方法求出下列抛物线的顶点坐标和对称轴．
（1）
（2）



（3）
【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线
(2)顶点坐标为，对称轴为直线
(3)顶点坐标为，对称轴为直线

【分析】利用配方法把对应的抛物线解析式化为顶点式即可得到答案．
【详解】（1）解：

，
∴函数的顶点坐标为，对称轴为直线；
（2）解：

，
∴函数的顶点坐标为，对称轴为直线；
（3）解：

，
∴函数的顶点坐标为，对称轴为直线．

例2

用配方法把抛物线化成的形式，并写出顶点坐标和对称轴．
【答案】，抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线
【分析】将抛物线解析式化为顶点式即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴
∴
∴，即，
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线．
变1
把二次函数用配方法化成的形式（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先提取二次项系数，再根据完全平方公式整理即可．
【详解】解：；
故选：A．
变2
通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（1）
（2）
【答案】(1)开口向上，顶点，对称轴为直线
(2)开口向上，顶点，对称轴为直线

【分析】（1）根据题意通过配方化为顶点式，即可写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）通过配方化为顶点式，即可写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标
【详解】（1）解：，，
∴开口向上，顶点，对称轴为直线；
（2）解：，，
∴开口向上，顶点，对称轴为直线．
知识点二 y=ax2+bx+c的图像与性质


内容
已知，将其化为顶点式为，则：
【性质1】函数的对称轴为______，顶点坐标为______，最值为______.
【性质2】函数的增减性与______和______有关.
【性质3】当a>0且时，函数递______，时，函数递______.
【性质4】当a<0且时，函数递______，时，函数递______.
【总结】1.二次函数中，a决定函数的_________，a、b共同决定函数的_________，c决定函数_________；
2.a、b共同决定函数的_________，并且满足“左同右异”.
题型二 y=ax2+bx+c的图像与性质

类型一 作二次函数的图像

【作图步骤】①第一步：将二次函数化为顶点式，得到顶点坐标；
②第二步：对称轴左右两边各取两个点；
③第三步：描点作图.
例1

已知抛物线．
（1）该抛物线的对称轴是_______，顶点坐标_______；
（2）选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象．

…





…

…





…

【答案】(1)，
(2)填表见解析，画图见详解
(3)

【分析】（1）根据抛物线的对称轴，代入对称轴的值即可求解顶点坐标；
（2）根据抛物线自变量的取值范围，适当选取自变量的值，计算函数值，并在平面直角坐标系中描点，连线即可；
【详解】（1）解：抛物线中，，
∴对称轴为，顶点坐标公式中横坐标为，
∴顶点坐标的纵坐标的值为，
∴顶点坐标为，
故答案为：，．
（2）解：抛物线中自变量的取值范围为全体实数，自变量适当如图所示（答案不唯一），

…





…

…





…
描点、连线如图所示，

例2

已知二次函数．

（1）用配方法求这个二次函数的顶点坐标；
（2）在所给的平面直角坐标系中（如图），画出这个二次函数的图像．
【答案】(1)顶点坐标
(2)见解析
【分析】（1）将函数解析式化为顶点式，即可得出答案；
（2）先求出几个特殊的点，然后描点连线即可；
【详解】（1）解：（1）
∴二次函数的顶点坐标；
（2）解：当时，，
当时，，
经过点，，
顶点坐标为：
图像如图所示：

变1
已知二次函数．

（1）用配方法将其化为的形式；
（2）该函数图象的对称轴为_______，顶点坐标为_______；
（3）在所给的平面直角坐标系中，画出该函数的图象（列表，描点、连线）．
【答案】(1)
(2)；
(3)见解析

【分析】（1）用配方法配方成顶点式即可；
（2）由（1）写出抛物线顶点坐标，对称轴方程；
（3）根据抛物线对称轴找出x，y的对应值，用列表、描点，连线即可．
【详解】（1）解：；
（2）∵，
∴顶点坐标为，对称轴直线为．
故答案为：；；
（3）列表：

画出函数的图象，如图所示：

变2
已知二次函数．

（1）求出抛物线的顶点坐标；
（2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象．
【答案】(1)；
(2)作图见解析．

【分析】（1）把二次函数化成顶点式即可；
（2）根据五点法作图即可求解．
【详解】（1）解：∵二次函数，
∴该抛物线的顶点坐标是；
（2）∵二次函数，
∴当时，，
当时，，当时，，
该函数的图象如图所示．

类型二 求二次函数的对称轴

【对称轴公式】二次函数的对称轴是________.
例1

求下列二次函数的对称轴：
（1）_______；（2）_______；
（3）_______；（4）_______.
变1
求下列二次函数的对称轴：
（1）_______；（2）_______；
（3）_______；（4）_______.

例2

已知a，b，c满足a+b=﹣c，4a+c=2b，则二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为（ ）
A．直线x=1
B．直线x=
C．直线x=
D．直线x=
【答案】D
【解答】解：∵a+b=﹣c，4a+c=2b，
∴4a+[﹣（a+b）]=2b，
∴a=b，
∴二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x=﹣=﹣=﹣，
故选：D．
变2
抛物线的对称轴是直线，则m=_______．
【答案】8
【分析】根据二次函数的对称轴公式可进行求解．
【详解】解：由抛物线的对称轴是直线，可知：，
∴；
故答案为8．
类型三 求二次函数的最值

求二次函数的最值的方法：
【方法一】配方法，将二次函数配成顶点式，即可得出最值；
【方法二】对称轴法，先求出对称轴，再将对称轴带入函数解析式.
例1

求函数的最值.
【方法一】配方法：

【方法二】对称轴法：
对称轴：
带入：
例2

求函数的最值.
【方法一】配方法：

【方法二】对称轴法：
对称轴：
带入：
变1
求函数的最值.
【方法一】配方法：

【方法二】对称轴法：
对称轴：
带入：
变2
求函数的最值.
【方法一】配方法：

【方法二】对称轴法：
对称轴：
带入：
类型四 二次函数的对称性

【二次函数的对称性】若二次函数上的两个点纵坐标相同，则这两个点关于对称轴对称.
【例如】若二次函数过点与（即纵坐标相同），则二次函数的对称轴为.
例1

若A（-1，7）、B（5，7）是抛物线y=ax2+bx+c上的两点，则该抛物线的对称轴是（　　）
A．直线x=1
B．直线x=2
C．直线x=3
D．直线x=4
【答案】
【解答】解：∵A（﹣1，7）、B（5，7）关于抛物线对称轴对称，
∴抛物线对称轴为直线x=2，
故选：B．
例2

下表列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x
…





0
…
y
…
4
0


0
a
…
其中，a的值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】A
【分析】根据表格可求出该抛物线的对称轴为，从而得出当时，y的值和当时，y的值相等，即得出a的值为4．
【详解】解：∵时，；时，，
∴该二次函数的对称轴为，
∴当时，y的值和当时，y的值相等．
∵当时，，
∴当时，，
∴a的值为4．
故选A．
变1
抛物线y=ax2+bx+c过和两点，那么该抛物线的对称轴是_______．
【答案】x=2
【解析】
【分析】
根据抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性即可求解.
【详解】
∵抛物线与x轴交于和两点
∴对称轴为x=2，
故答案为x=2.
变2
已知二次函数中x与y的部分对应值如表，则m的值为_______．
x


0
1
2
3
5
y


5
6
m
2


【答案】5
【分析】当时，或5，根据抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为，故和时，对应的函数值相等．
【详解】解：根据抛物线的对称性，观察表格可知，
抛物线的对称轴为，
∴和时，，即；
故答案为：5．
例3

已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表．则的值是_______．
x
…



0
…
y
…




…

【答案】
【分析】根据表格可求出该二次函数的对称轴为，然后求出关于的对称点坐标，即可求出的值．
【详解】解：由表格可知：与是关于对称轴对称的，
∴该二次函数的对称轴为，
设二次函数图象上的点为，，
由对称性可知：，
∴，
∴与关于对称，
由表格可知：时，，
令代入，
∴．
故答案为：．
例4

对于二次函数y=ax2+bx+c，令f（x）=ax2+bx+c，则f（x0）表示当自变量x=x0时的函数值．若f（5）=f（-3），且f（-2018）=2020，则f（2020）=（　　）
A．2020
B．2018
C．-2018
D．-2020
【答案】A
【分析】
根据f（5）=f（﹣3）求得函数对称轴，然后利用对称轴即可求解．
【详解】
∵f（5）=f（﹣3）
∴函数对称轴为直线，即直线
∴，解得
∴f（2020）=f（﹣2018）=2020
故选A．
例5

若抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个交点,且过点A(m-1，n)、B(m+3，n),则n=_______．
【答案】4
【分析】
根据点A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是，故设抛物线解析式为，直接将点A代入，即可求得n.
【详解】
解：∵抛物线y=x2＋bx＋c过点A(m－1,n)、B(m＋3,n),
∴对称轴是
又∵抛物线y=x2＋bx＋c与x轴只有一个交点
∴设抛物线解析式为，
把点A(m－1,n)代入，得：

故答案为：4

变3
二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…





0
1
2
m
…
y
…

0

4

4

n

…
（1）这个二次函数的顶点坐标为_______，解析式中的_______；
（2）表中的_______，_______．
【答案】(1)，
(2)，

【分析】（1）利用抛物线的对称性可判断顶点，再利用待定系数法求出a值即可；
（2）利用抛物线的对称性，得到对称点，可得结果；
【详解】（1）解：∵二次函数图像经过点，，，
∴二次函数的顶点坐标为，将坐标代入中，
得，解得：，
∴，
故答案为：，；
（2）∵抛物线对称轴为直线，
抛物线经过，，
∴，
∵抛物线经过，，
∴，
故答案为：3，0．
变4
二次函数经过，和，两点，则的值是（ ）
A．-4
B．-2
C．2
D．4
【答案】A
【分析】根据和可以确定函数的对称轴，再由对称轴的，即可求解．
【详解】解：抛物线经过，和，两点，
可知函数的对称轴，
，
；
，
将点代入函数解析式，可得；
故选：A．
变5
已知二次函数自变量与函数值之间满足下列数量关系．则代数式的值等于_______．















【答案】
【分析】由表格可得抛物线对称轴为直线，然后根据对称性可求时的值，进而求解．
【详解】解：由题可得抛物线经过点，，
抛物线对称轴为直线，
抛物线经过点，
时，
即．
故答案为：．
变6
二次函数（，a，b，c为常数）的部分对应值列表如下：
x
…
－1
0
1
2
…
y
…

c

c
…
则代数式的值为（        ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【分析】由表格的数据可以看出，和时y的值相同，所以可以判断出，点和点关于二次函数的对称轴对称，可求出对称轴；然后得到时的函数值等于时的函数值相同，即可求得的值．
【详解】解：∵和时y的值相同都是c，
∴点和点关于二次函数的对称轴对称，
∴对称轴为：,
∴时的函数值等于时的函数值相同，
∴，
∴
故选：C．
类型五 利用增减性比较大小

例1

，，三点都在二次函数的图像上，则的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由二次函数解析式可得函数对称轴和增减性，再根据离对称轴的远近的点的纵坐标的大小比较，即可得出的大小关系．
【详解】解：二次函数的图像开口向下，对称轴为，
∴关于对称轴的对称点为，
∵在对称轴左侧，随的增大而增大，
又∵，
∴．
故选：B．
例2

若点，，为二次函数的图像上的三点，则的大小关系是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】计算各点到对称轴的距离，根据抛物线开口向上，距离越大，函数值越大计算判断即可．
【详解】∵点，，为二次函数的图像上的三点，
∴对称轴为直线，
∴点到对称轴直线的距离，
点到对称轴直线的距离，
点到对称轴直线的距离，
∴，
∵二次函数开口向上，
∴函数值随距离的增大而增大，
∴，
故选B．
变1
若函数y＝x2-4x+m的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2＜2，则（　　）
A．y1＞y2
B．y1＜y2
C．y1=y2
D．y1，y2的大小不确定
【答案】A
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+m，
∴此函数的对称轴为：x＝﹣＝﹣＝2，
∵x1＜x2＜2，两点都在对称轴左侧，a＝1＞0，
∴对称轴左侧y随x的增大而减小，
∴y1＞y2．
故选：A．
变2
已知（-1，y1），（-2，y2），（-4，y3）是抛物线y=2x2+8x+m上的点，则（ ）
A．y1＜y2＜y3
B．y3＜y2＜y1
C．y3＜y1＜y2
D．y2＜y1＜y3
【答案】D
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∴（﹣1，y1）关于对称轴的对称点为（﹣3，y1）
∵a＝2＞0，
∴x＜﹣2时，y随x的增大而减小，
∵﹣4＜﹣3＜﹣2，
∴y2＜y1＜y3．
故选：D．
例3

已知二次函数（a为常数，且）的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（        ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先确定对称轴，根据把点A的对称点确定，转化为对称轴同侧的点，根据抛物线开口向上，对称轴的右侧y随x的增大而增大比较即可．
【详解】解：因为二次函数（为常数，且）的图象上有三点，，，
所以对称轴，
设点A的对称点为，
所以，
解得，
因为抛物线开口向上，
所以对称轴的右侧y随x的增大而增大，
因为，
所以．
故选D．
例4

在平面直角坐标系xOy中，已知点，，在抛物线上，若，则，，的大小关系为_______（用“<”表示）
【答案】
【分析】根据二次函数的图象与性质，将三点转化到对称轴的一侧，根据二次函数的性质进行比较大小即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴，
令关于直线对称的点坐标为，
则，
∴，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∴，
故答案为： ．
变3
已知，，是抛物线上的三点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出该抛物线的对称轴为直线，再由二次函数的增减性，即可求解．
【详解】解：，
∴该抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向上，
∵，
∴．
故选：A
例5

二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
0
1
2
3
…
y
…
1
m
n
1
…
下列判断正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据表格中数据，可以求出抛物线的对称轴，再根据对称性即可得到大小关系．
【详解】解：由表格可以得到：抛物线对称轴为，
∵
∴
故选C．
变4
点，，，，均在二次函数的图象上，则的大小关系是_______．
【答案】
【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性即可得出结论．
【详解】解：∵点在二次函数的图象上，
∴对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴时，y随x的增大而减小，
∵均在二次函数的图象上，
∴关于对称轴的对称点也在二次函数的图象上，
∴．
故答案为：．
变5
若二次函数的图象经过，，，四点，则，，的大小关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先根据二次函数的图象经过，求出对称轴，再根据函数图象判断即可．
【详解】解：∵二次函数的图象经过，，
二次函数对称轴为直线，
，
抛物线开口向上，
，
，，的大小关系为，
故选：B．
例6

在二次函数的图象上有，两点，若，则的取值范围是_______．
【答案】
【分析】根据题意易得二次函数的对称轴为直线，由，可知在对称轴的右侧，且满足，进而可知y随x的增大而减小，然后问题可求解．
【详解】解：由二次函数可知对称轴为直线，
∵点，在该二次函数的图象上，且在对称轴的右侧，
∴由可知当时，y随x的增大而减小，
∴；
故答案为．
变6
已知二次函数（m为常数），点，是该函数图象上的点，若，则m的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由二次函数解析式得出函数的对称轴及增减性，利用增减性进行求解．
【详解】解：∵二次函数，开口向上，对称轴为直线，
∵
∴点离对称轴较近，
∴
即
故选：B．
变7
二次函数（a为常数）的图象经过点、、．若，则a的取值范围为_______．
【答案】
【分析】根据题意可得抛物线的对称轴为直线，且开口向上，再由，可得点在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，且点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，即可求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
∵，
∴点在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，且点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，
∴，
解得：．
故答案为：
类型六 利用增减性求最值

例1

二次函数的最大值是_______，最小值是_______．
【答案】 5 1
【分析】先把解析式配成顶点式得到，由于，根据二次函数的性质得时，y的值最大；当时，y有最小值，然后分别计算对应的函数值．
【详解】解：，
当时，y有最小值1，
∵，
∴时，y的值最大，最大值为5；当时，y有最小值1，
故答案为：5；1．
例2

二次函数，当时，y的取值范围为_______．
【答案】/
【分析】先把函数化成顶点式 ，求出二次函数的最小值，再求出当和对应的y值，确定最大值，即可得出答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴当时，y有最小值，
当时，；
当时，；
∴当时，y的取值范围为，
故答案为：．
变1
已知抛物线，当时，则y的取值范围是_______．
【答案】
【分析】求出抛物线开口方向和对称轴，再根据函数的性质求出y的取值范围．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越小；
∵，
∴当时，函数取得最大值：，
当时，函数取得最小值：，
∴当时，y的取值范围为，
故答案为：．
变2
已知抛物线，当时，y的最小值为，则当时，y的最大值为（ ）
A．2
B．1
C．0
D．-1
【答案】A
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得a的值，然后即可得到当时，y的最大值．
【详解】解：∵抛物线，
∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线，当时，取得最大值为，
∵当时，y的最小值为，
∴时，，得，
∴，
∵，
∴时，取得最大值，此时，
故选：A．
知识点三 二次函数的平移


内容
平移方法
左“+”右“-”，上“+”下“-”.
【注意】左右平移只能用“x”加减.
题型三 二次函数的平移

例1

将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则此时抛物线的解析式是 _______．
【二次函数的平移】
第一步：将二次函数配成顶点式___________________；
第二步：利用左“+”右“-”，上“+”下“-”得出平移后的解析式：___________________.
【答案】
【分析】先把原抛物线解析式化为顶点式，再根据抛物线图象上加下减，左加右减的平移规律进行求解即可
【详解】解：∵，
∴将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则此时抛物线的解析式是，即，
故答案为：．
例2

通过平移的图象，可得到的图象，平移方法正确的是（ ）
A．向左移动1个单位，再向上移动3个单位
B．向右移动1个单位，再向上移动3个单位
C．向左移动1个单位，再向下移动3个单位
D．向右移动1个单位，再向下移动3个单位
【答案】B
【分析】根据平移前后两个抛物线的顶点坐标的变化来判定平移方法．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
抛物线的顶点坐标是，
则由二次函数的图象向右移动1个单位，向上移动3个单位，可得到的图象．
故选：B．
例3

将二次函数的图象向上平移3个单位，再向左平移2个单位后得到的图象的顶点坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据二次函数平移规律“上加下减，左加右减”可知平移后的函数关系式，再求出其顶点坐标即可；
【详解】
∵二次函数 向上平移3个单位长度，向左平移2个单位长度，
∴平移后的函数解析式为： ，
∴　平移后的二次函数的顶点坐标为：(0，4)，
故选：A．
变1
将抛物线向下平移一个单位长度，再向左平移一个单位长度，得到的抛物线的解析式为_______．
【二次函数的平移】
第一步：将二次函数配成顶点式___________________；
第二步：利用左“+”右“-”，上“+”下“-”得出平移后的解析式：___________________.
【答案】
【分析】先化为顶点式，然后根据“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式．
【详解】解：∵，
∴将抛物线向下平移一个单位长度，再向左平移一个单位长度得，
故答案为：．
变2
将抛物线先向左平移2个单位、再向下平移1个单位后，得到（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以先求原抛物线的顶点坐标，再根据平移的性质即可求出平移后的抛物线的顶点坐标，即可求出解析式．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为：，
∴抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得新抛物线的顶点坐标为：，
∴所得新抛物线的解析式为：．
故选：D．
变3
把抛物线经过平移得到，平移方法是（ ）
A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
【答案】A
【分析】
分别求出两个抛物线的顶点坐标，然后根据顶点的变化确定平移方法．
【详解】
∵y＝−2x2−4x−6＝−2（x＋1）2−4，
∴抛物线y＝−2x2−4x−6的顶点坐标为（−1，−4），
又∵y＝−2x2−1的顶点坐标为（0，−1），
∴平移方法为向右平移1个单位，再向上平移3个单位．
故选：A．
例4

将某抛物线向右平移1个单位，再向上平移4个单位后得到的表达式为，则原抛物线的表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据抛物线平移的规律解答即可．
【详解】解：∵将某抛物线向右平移1个单位，再向上平移4个单位后得到的表达式为，
∴抛物线向左平移1个单位，再向下平移4个单位即为原抛物线，
∴原抛物线的表达式为，
故选：B．
变4
某抛物线向右平移1个单位，再向上平移4个单位后得到的表达式为，则原抛物线的表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】原抛物线由新抛物线先向下平移4个单位，再向左平移1个单位，根据新抛物线的解析式，根据平移的性质即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：原抛物线由新抛物线先向下平移4个单位，再向左平移1个单位，
∵新抛物线的表达式为，
∴原抛物线的表达式为：，
化简后为：，
故选：B．
例5

将抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线，则b，c的值为（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】D
【分析】先将关系式化为顶点式，再根据平移规律解答即可．
【详解】解：二次函数的图象向上平移2个单位，再向左平移3个单位，
∴平移后解析式为：，
则，．
故选：D．
变5
将二次函数的图象向左平移m个单位后过点，则m的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】根据函数图象平移规则“左加右减，上加下减”得到平移后的函数解析式，再代入坐标求解即可．
【详解】解：将二次函数的图象向左平移m个单位后的函数解析式为，
∵平移后的图象经过点，，，
∴，解得或（舍去），
故选：B．

课后强化

1.将二次函数化成的形式，则变化后正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据配方法可把二次函数的一般式化为顶点式．
【详解】解：

，
故选：B．
2.二次函数的顶点坐标是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将二次函数一般式变形为顶点式即可求解．
【详解】解：，
∴顶点坐标是，
故选B．
3.拋物线的顶点坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】把抛物线解析式化为顶点式即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴该抛物线的顶点坐标为，故A正确．
故选：A．
4.已知抛物线．

（1）请用配方法将化为的形式，并直接写出对称轴；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中，画出的图象．
【答案】(1)；
(2)见解析
(3)或3

【分析】（1）利用配方法进行求解即可；
（2）画出二次函数的图象；
【详解】（1）



对称轴为：；
（2）当时，；
当时，或，
所以该图象经过点；

5.已知二次函数．

（1）用配方法将二次函数的表达式化为的形式；
（2）在平面坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）根据（2）中的图象，写出该二次函数的性质．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析

【分析】（1）利用配方法把一般式转化为顶点式；
（2）列表、描点、连线，画出图象即可；
（3）观察图象即可求解．
【详解】（1）解：

；
（2）解：列表：






0



3
0

0
3

描点、连线，画出图象为：

（3）解：函数性质：当时，函数随的增大而减小；
当时，函数随的增大而增大；
当时，函数取得最小值，最小值
6.关于抛物线y=x2+2x﹣2，下列说法错误的是（　　）
A．开口向上
B．顶点坐标为（1，-3）
C．函数的最小值是-3
D．对称轴为x=-1
【答案】B
【解答】解：∵y=x2+2x﹣2=（x+1）2﹣3中，a=1＞0，
∴抛物线开口向上，顶点坐标是（﹣1，﹣3），对称轴是直线x=﹣1，
∴函数有最小值是﹣3，
∴A、C、D说法正确；B说法错误．
故选：B．
7.若（2，5）（4，5）是抛物线上的两个点，则对称轴是（ ）
A．x=-
B．x=1
C．x=2
D．x=3
【答案】D
8.已知二次函数，当自变量x取两个不同的值x1，x2时，函数值相等，则当x取时的函数值为（ ）
A．-1
B．-2
C．2
D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质和二次函数图象具有对称性，可以求得x1+x2的值，从而可以求得相应的y的值．
【详解】
∵y=4x2+4x-1，当x分别取x1、x2两个不同的值时，函数值相等，
∴x1+x2=-1，
∴=,
∴当x取时，y=4×（）2+4×()-1=1-2-1=-2，
故选B．
9.二次函数的与的部分对应值如下表：

-1
0
1
2
3
4

m
2
1
2
5
10
则m的值为_______．
【答案】5
【分析】通过观察表格中对称的点可得函数对称轴以及顶点坐标，进而求解．
【详解】∵函数图像经过，，
∴抛物线对称轴为直线，
∴点和点关于对称轴对称，
∴．
故答案为：5．
10.二次函数（，，为常数，且）中的与的部分对应值如下表．下列结论错误的是（ ）

…
-1
0
1
2
3
…

…
0
3
4
3

…
A．a<0
B．
C．时，的值随的增大而增大
D．表中盖住的数是0
【答案】C
【分析】根据对称点坐标，确定抛物线的对称轴，再根据对称轴判定对称点，根据函数的增减性，判定抛物线的开口方向即可．
【详解】因为是对称点，
所以抛物线的对称轴是直线，
所以，
故B正确；
所以是抛物线的顶点，且为有最大值，
故抛物线开口向下，
所以，
故A正确；
因为
所以是对称点，
所以表中盖住的数是0，
故D正确；
因为，
所以对称轴的右侧，的值随的增大而减小，
故C错误．
故选C．
11.已知抛物线，若点，点，点在该函数图像上，用“”连接为_______．
【答案】
【分析】先求出C关于对称轴的对称点，再根据二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，则当时，y随x的增大而减小，即可得出答案．
【详解】解：设关于对称轴的对称点为，
∵抛物线图象的开口向上，对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而减小．
∵，
∴．
故答案为：．
12.已知抛物线，点，是抛物线上两点，若，则，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．无法比较
【答案】B
【分析】先求出抛物线的对称轴为直线，得出，得出抛物线开口向下，则抛物线上的点距离对称轴越近，对应的函数值越大，最后求出结果即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，对应的函数值越大，
∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，
又∵，
∴点到对称轴的距离近．
∴，
故选：B．
13.若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过A(m,n)、B(0,y1)、C(3-m,n)、D(, y2)、E(2,y3)，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1< y2< y3
B．y1 < y3< y2
C．y3< y2< y1
D．y2< y3< y1
【答案】D
【分析】
由点A（m，n）、C（3−m，n）的对称性，可求函数的对称轴为x＝，再由B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离，即可判断y2< y3< y1；
解答：解：∵经过A（m，n）、C（3−m，n），
∴二次函数的对称轴x＝，
∵B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近，
∵|a|＞0，
∴y2< y3< y1；
故选D．
14.已知二次函数．当时，，且二次函数图象经过两点．则的大小关系为（　　）
A．m=n
B．
C．
D．无法判断
【答案】B
【分析】先求出抛物线的对称轴为直线，然后根据当时，得出，得到抛物线开口向下，通过比较点到直线的距离的大小确定的大小．
【详解】解：二次函数，
对称轴为直线，
当时，，
，    
，
抛物线开口向下，
点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离小，
，
故选：B．
15.已知二次函数的图象经过点，则当时，y的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先将点代入求出该二次函数的表达式，再根据其开口方向，对称性和增减性，分析在时的最大值和最小值即可．
【详解】解：将点代入得：，
解得：，
∴该二次函数的表达式为：，
∴该函数的对称轴为直线，
∵，
∴该二次函数图象开口向上，离对称轴越远函数值越大，
∵，
∴再之间，当时，函数有最大值，
当时，函数有最小值，
∴当时，y的取值范围是．
故选：B．
16.已知二次函数，当时，的取值范围是_______．
【答案】
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线开口方向及顶点坐标求解．
【详解】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
将代入得，
当时，的取值范围是，
故答案为：．
17.通过平移的图象，可得到的图象，下列平移方法正确的是（ ）
A．向左移动2个单位，向上移动3个单位
B．向右移动2个单位，向上移动3个单位
C．向左移动2个单位，向下移动3个单位
D．向右移动2个单位，向下移动3个单位
【答案】C
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，
而平移后抛物线的顶点坐标为
∴平移方法为向左平移2个单位，再向下平移3个单位．
故选：C．
18.将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，直接得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的抛物线对应的函数表达式为：，即．
故选：D．
19.将二次函数的图象向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到的抛物线的表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：∵，
将二次函数的图象向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到的抛物线的表达式为
，
即，
故选：C．
20.将抛物线沿轴的正方向平移2个单位后能与抛物线重合，则抛物线的表达式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将抛物线沿轴的正方向平移2个单位后能与抛物线重合，可转化为将沿轴的负方向平移2个单位后可得，然后根据平移规律直接求解即可．
【详解】由题可知，将沿轴的负方向平移2个单位后可得，
故选：C．
21.已知二次函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线的顶点恰好落在原抛物线图象上，则a的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出平移后的抛物线，进而求出顶点坐标，待入原解析式，进行求解即可．
【详解】解：，
由题意，得，新的抛物线的解析式为：，
∴新抛物线的顶点坐标为，
∵所得新抛物线的顶点恰好落在原抛物线图象上，
∴，
∴；
故选D．