【暑假提升】2023年人教版数学八年级（八升九）暑假-专题2.7《二次函数的图像问题》预习讲学案

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❊2.7 二次函数的图像问题
考点先知

知 识
考 点
二次函数的图像特征
1.二次函数的图像及其特征
2.根据图像判断结论正误
题型精析

知识点一 二次函数的图像及其特征

二次函数的图像及其特征
对于函数，
a决定开口方向
a>0，开口向______；a<0，开口向______.
a、b共同决定对称轴
左同右异.
c决定与y轴的交点
与y轴交点坐标为______.
Δ决定与x轴的交点
Δ>0，______交点；Δ=0，______交点；Δ<0，______交点.
知识点二 特殊的二次函数的特征

特殊的二次函数的特征

顶点在原点，对称轴为y轴.

顶点在y轴，对称轴为y轴.
题型一 二次函数的图像及其特征

例1

根据二次函数的图像，填空：


a____0；b____0；c____0；Δ____0；____0
a____0；b____0；c____0；Δ____0；____0

变1
根据二次函数的图像，填空：


a____0；b____0；c____0；Δ____0；____0
a____0；b____0；c____0；Δ____0；____0
例2

二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c在坐标系中的大致图象是（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据二次函数的图象开口向下可知a＜0，根据对称轴x=﹣＜0，可得b＜0，再由函数图象经过原点可知c=0，进而得到一次函数y=bx+c在坐标系中的大致图象．
【详解】∵二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x=﹣＜0，
∴b＜0，
∵函数图象经过原点，
∴c=0，
∴一次函数y=bx+c在坐标系中的大致图象是经过原点且从左往右下降的直线，
故选D．
例3

已知一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据已知一次函数图像得到a，b的符号以及，据此判断二次函数图像即可．
【详解】解：根据的图像可知：，，
且图像经过，
∴，，即，
∴二次函数图像中，开口向下，
对称轴为直线，
∴可判断二次函数图像经过，
∴符合要求的图像为C，
故选C．
变2
若二次函数的图像如图所示，则一次函数在坐标系内的大致图像为（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的图象可以判断、、的符号，从而可以确定一次函数的图象经过的象限，即可求解．
【详解】解：由二次函数的图象可得，开口向上，对称轴在轴的右侧，
∴，
∴一次函数的图象经过第二、三、四象限，
故选：A．
变3
已知一次函数（a为常数）的图象如图所示，则函数的图象是（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据一次函数的图象可得，则二次函数的图象开口朝上，与轴的交点的纵坐标为，对称轴，以此即可判断．
【详解】解：由一次函数为常数）的图象可知，
二次函数的图象开口朝上，故选项不符合题意；
二次函数的图象与轴的交点的纵坐标为，
二次函数的图象交于轴正半轴，故选项不符合题意；
二次函数的图象的对称轴，
抛物线的对称轴在轴的正半轴，故选项不符合题意，选项符合题意．
故选：C．
例4

一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致．
【详解】解：．由抛物线开口方向可知，，由直线与轴交点可知，，故本选项不符合题意；
B．由抛物线开口方向可知，，由直线与轴交点可知，，故本选项不符合题意；
C．由抛物线开口方向可知，，由直线与轴交点可知，，故本选项符合题意；
D．由抛物线开口方向可知，，由直线与轴交点可知，，故本选项不符合题意．
故选：C．
例5

一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据一次函数和二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、由直线可知，，由抛物线可知：，故
，符合题意；
B、由直线可知，，由抛物线可知：，故，不符合题意；
C、由直线可知，，由抛物线可知：，不符合题意；
D、由直线可知，，由抛物线可知：，故
，不符合题意；
故选A．
例6

二次函数和一次函数（，都是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据二次函数和一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、由一次函数的图象可知：，当时，抛物线的开口向上，与轴交于负半轴，且一次函数与二次函数的图象交于点，对称轴为直线，选项正确，符合题意；
B、由一次函数的图象可知：，当时，抛物线的开口向上，选项错误，不符合题意；
C、由一次函数的图象可知：，当时，抛物线的开口向上，与轴交于正半轴，选项错误，不符合题意；
D、由一次函数的图象可知：，当时，抛物线的开口向上，与轴交于负半轴，且一次函数与二次函数的图象交于点，对称轴为直线，选项错误，不符合题意；
故选A．
变4
在同一坐标中，一次函数与二次函数的图像可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由二次函数得抛物线开口向上， 根据一次函数，得直线与y轴的正半轴相交，交点为， 根据A、C图像可知，抛物线交y轴于负半轴得，即可得．
【详解】解：由二次函数得抛物线开口向上，
根据一次函数，得直线与y轴的正半轴相交，交点为，
根据A、C图像可知，抛物线交y轴于负半轴，
∴，
故选：A．
变5
在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx+2b与y=-ax+b的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题思路】根据y＝﹣ax+b的图象判断a、b与0的大小关系，进一步确定函数y＝ax2+bx+2b的图象即可作出判断．
【解答过程】解：A、一次函数的图象经过一、二、四象限，则﹣a＜0，即a＞0，b＞0，所以函数y＝ax2+bx+2b的图象开口向上，对称轴x＜0，与y轴的交点位于直线的上方，由ax2+bx+2b＝﹣ax+b整理得ax2+（a+b）x+b＝0，由于△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2≥0，则两图象有交点，
故A错误；
B、一次函数的图象经过一、二、四象限，则﹣a＜0，即a＞0，b＜0，所以函数y＝ax2+bx+2b开口向上，对称轴x＞0，
故B错误；
C、一次函数的图象经过一、二、三象限，则﹣a＞0，即a＜0，b＞0，所以函数y＝ax2+bx+2b开口向下，对称轴x＞0，
故C错误；
D、一次函数的图象经过二、三，四象限，则﹣a＜0，即a＞0，b＜0，所以函数y＝ax2+bx+2b开口向上，对称轴x＞0，
故D正确；
故选：D．
变6
已知二次函数和一次函数，则这两个函数在同一个平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用二次函数和一次函数图象的性质“二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．”逐项判断即可．
【详解】A．图象中二次函数，，一次函数，，故A不符合题意．
B．图象中二次函数，，又对称轴在轴右侧，则，得出，矛盾，故B不符合题意．
C．图象中二次函数，，一次函数，，故C符合题意．
D．图象中二次函数，，又对称轴在轴右侧，则，得出，矛盾，故D不符合题意．
故选：C．
知识点三 根据图像判断结论正误

题型二 根据图像判断结论正误

二次函数的图像及其特征
对于函数，






二次函数的顶点坐标

例1

对称轴为直线的抛物线（a、b、c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数），其中正确结论的个数是（ ）
  
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
【答案】A
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】①由图象可知：，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴，故②正确；
③当时，，故③错误；
④当时，，
∴，故④正确；
⑤当时，为最小值，
当时，，
∴，
整理得：，故⑤正确．
综上，正确的有②④⑤共三个，
故选：A．
例2

抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①且；②；③；④．其中错误的选项是（ ）

A．①③
B．①③④
C．②④
D．②③④
【答案】A
【分析】根据二次函数的性质可得，，，可判断结论①；由处的函数值可判断结论②；由处函数值可判断结论③；由处函数值和可判断结论④；
【详解】解：二次函数开口向下，则，
二次函数对称轴为，则，，，
时，则，
且，故①错误；
由对称性可得二次函数与轴的另一交点为，
由函数图象可得时，
，故②正确；
由函数图象可得时，
，
代入得：，故③错误；
时，
，
代入得：，
，故④正确；
综上所述②④正确，①③错误
故选： A．
例3

如图，已知二次函数的图像如图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：①；②；③；④（m为任意实数）．其中正确结论的有（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】D
【分析】由抛物线开口向下得到，结合对称轴可得，由抛物线与y轴的交点可得，进而可判断①；根据当时，，即，当时，，即，两式相乘可判断②；根据当时，，可判断③；根据二次函数的最值问题得到时，y有最大值可判断④．
【详解】∵抛物线开口向下，
∴．
∵抛物线的对称轴为直线，
∴．
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴，
∴，故①正确；
∵当时，，即，
当时，，即，
∴，
∴，故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴与时函数值相等，
∴当时，，即，故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴时，y有最大值，
∴，
∴，故④正确．
故选：D．
变1
已知二次函数的图象的一部分如图所示，其中对称轴为：，下列结论：①；②；③；④；上述结论中正确结论的个数为（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】由抛物线开口向下，可得；结合抛物线的对称轴为直线，可得，；由抛物线与y轴的交点在x轴的上方，可得，可判断①不符合题意；由图象的对称性可得函数与x轴的另一个交点在与之间，可得，可判断②符合题意；③符合题意；由时，y有最大值，可得当时，，可判断④符合题意．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，；
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴，
∴，所以①不符合题意；
由图象的对称性可得函数与x轴的另一个交点在与之间，
∴，
∴，
∴，所以②符合题意；
∴，所以③符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴时，y有最大值，
∴当时，，
∴，所以④符合题意．
故选：C．
变2
二次函数的图像如图所示，它的对称轴为直线，则下列结论：①；②当时，；③；④（为任意实数）；其中正确结论的个数是（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】A
【分析】根据二次函数图像的性质，对称轴的性质即可求解．
【详解】解：根据图示可知，在二次函数中，，，对称轴，
∴，
∴结论①中，，故结论①错误；
结论②，根据题意得，当时，二次函数中，；当时，，
∵对称轴为，
∴当与时，的值相等，且，故结论②错误；
结论③，当时，，
∵，
∴，即，则，
∴，
∴，故结论③错误；
结论④，
∵对称轴为，
∴当时，，是函数的最小值，
∴（为任意实数），
∴（为任意实数），故结论④正确，
综上所述，正确的有④，个，
故选：．
变3
如图，抛物线）的对称轴是直线，y并与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中：①；②；③；④若m为任意实数，则，正确的个数是（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点可得，，的符号及与的关系，从而判断①，由及对称轴可得点坐标，从而判断②③，由时取最小值可判断④．
【详解】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，①错误．
设抛物线对称轴与轴交点为，则，

，
，即点坐标为，
时，，
，②错误．
，
，
，③正确．
时取最小值，
，即，④正确．
故选：B．
例4

如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于两点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1．下列四个结论：①abc＜0；②2a﹣c＞0；③a+2b+4c＞0；④，正确的个数是（　　）

A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）
③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
【解答】解：①∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴的右侧，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
②∵图象与x轴交于两点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1，
∴＜﹣＜，
∴1＜﹣＜，
当﹣＜时，b＞﹣3a，
∵当x＝2时，y＝4a+2b+c＝0，
∴b＝﹣2a﹣c，
∴﹣2a﹣c＞﹣3a，
∴2a﹣c＞0，故②正确；
③当x＝时，y的值为a+b+c，
给a+b+c乘以4，即可化为a+2b+4c，
∵抛物线的对称轴在1＜﹣＜，
∴x＝关于对称轴对称点的横坐标在和之间，
由图象可知在和2之间y为负值，2和之间y为正值，
∴a+2b+4c与0的关系不能确定，
故③错误；
④∵﹣，
∴2a+b＜0，
∴（2a+b）2＞0，
4a2+b2+4ab＞0，
4a2+b2＞﹣4ab，
∵a＞0，b＜0，
∴ab＜0，
∴，
即，
故④正确．
故选：C．
例5

已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，，下列结论中：①；② ；③若t为任意实数，则有；④当此抛物线经过点时，方程的两根为，可求得，正确结论的序号为（ ）
A．① ② ③
B．② ③
C．③ ④
D．② ③ ④
【答案】B
【分析】利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，利用抛物线与轴的交点位置得到，则可对①进行判断；
利用时得到，把代入得到，然后利用可对②进行判断；
利用二次函数当时有最小值可对③进行判断；
由于二次函数与直线的一个交点为，，利用对称性得到二次函数与直线的另一个交点为，，从而得到，，则可对④进行判断．
【详解】如图所示

①抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，
即，
，
抛物线与轴的交点在轴下方，
，
，所以①不符题意；
②时，，
，
而，
，
，
，所以②不符合题意；
③时，有最小值，
为任意实数），
即，所以③符合题意；
④图象经过点，时，方程的两根为，，
二次函数与直线的一个交点为，，
抛物线的对称轴为直线，
二次函数与直线的另一个交点为，，
即，，
，所以④不符题意．
故选：B．
变4
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①b＜2a；②a+2c﹣b＞0；③b＞a＞c；④b2+2ac＜3ab．其中正确结论的个数是（　　）

A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】根据抛物线的图象，对称轴的位置，利用二次函数的性质一一判断即可．
【解答】解：由图象可知，a＞0，b＞0，c＞0，
∵﹣＞﹣1，
∴b＜2a，故①正确，
如图易知A（﹣1，0），B（﹣1，a﹣b+c），C（0，c），
当AB＝OC时，﹣（a﹣b+c）＝c，可得a+2c﹣b＝0，
当AB＞OC时，﹣（a﹣b+c）＞c，可得a+2c﹣b＜0，
当AB＜OC时，﹣（a﹣b+c）＜c，可得a+2c﹣b＞0，
故②错误，
∵﹣＜﹣，
∴b＞a，
设x1＞x2
∵﹣＜x1＜0，﹣2＜x2＜﹣1，
∴x1•x2＜1，
∴＜1，
∴a＞c，
∴b＞a＞c，故③正确，
∵b2﹣4ac＞0，
∴2ac＜b2，
∵b＜2a，
∴＜3ab，
∴b2＝b2+b2＞b2+2ac，
b2+2ac＜b2＜3ab，
∴b2+2ac＜3ab．故④正确．
故选：C．

变5
如图，抛物线与x轴交于点，顶点坐标为，与y轴的交点在和两点之间（不包含端点）．下列结论中：①；②；③；④一元二次方程的两个根分别为，．正确的个数有（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】根据图像判断出， ，利用对称轴判断出即可判断出①错误；根据两根之积得出，再结合即可得出结论；根据条件得到当时，有，可得即可求解；把化为即可求解．
【详解】解：由函数图像可知，， ，
∵，
∴，
∴：故①错误，
∵抛物线与x轴交于点，顶点坐标为，
∴抛物线与x轴的令一交点为，
∴，
∴
∵．
∴．
∴，故②正确；
∵顶点坐标为，
∴其对称轴．即．
∵抛物线与x轴交于点，
∴，即，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在和两点之间，
∴．
∵顶点坐标为，即当时，有，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．故③正确；
∵一元二次方程可化为，
又∵．∴可有，
解方程，得，，故④正确；
故选：C．
课后强化

1.如图，二次函数的图象开口向下，且经过第二象限的点P．若点P的横坐标为，则一次函数的图象大致如（ ）
  
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限即可．
【详解】解：由二次函数的图象可知，
，，
当时，，
∴的图象在第二、三、四象限，
故选：D．
2.在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题可先由一次函数图象与二次函数的图象分别求出对应的a，b的范围，再相比较看是否一致即可．
【详解】A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项正确；
B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，矛盾，故本选项错误；
C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，矛盾，故本选项错误；
D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，矛盾，故本选项错误．
故选：A．
3.二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先分析二次函数的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数的图像恒过定点，即可得出正确选项．
【详解】二次函数的对称轴为，一次函数的图像恒过定点，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为，只有A选项符合题意．
故选A．
4.二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据二次函数及一次函数的图象和性质进行判断即可．
【详解】解：选项A、B中，由二次函数的图象知，，，
∴，则一次函数的图象经过第二、三、四象限，
故选项A、B都不符合题意；
选项C、D中，由二次函数的图象知，，，
∴，则一次函数的图象经过第一、三、四象限，
故选项C符合题意；选项D不符合题意；
故选：C．
5.函数和在同一坐标系中的图象大致是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用二次函数和一次函数图象的性质逐项判断即可．
【详解】A．图象中二次函数，一次函数，故A符合题意．
B．图象中二次函数，一次函数，故B不符合题意．
C．图象中二次函数，一次函数，故C不符合题意．
D．图象中二次函数，一次函数，故D不符合题意．
故选：A．
6.已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（　　）

A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】①由抛物线的开口方向可以判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，根据对称轴确定的符号，即可判断的符号；
②根据对称轴，可以判断、的关系；
③当时，，可以判断；
④当时，，不能判断．
【详解】解：①由图象可知，，，
，
，则，故①正确；
② ，a＞0，
，
，故②正确；
③由图象可知：当时，，
，故③错误；
④时，，
，
，而，
不能证明，故④错误；
故选：B．
7.已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（的实数）；其中正确的结论有（ ）

A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
【答案】B
【分析】由抛物线的图象可判断、、的符号，可判断①；由和时对应的函数值可判断②、③；由对称轴可得分别代入，借助函数图象可判断④；可以比较当和时的函数值的大小可判断⑤，可求得答案．
【详解】解：图象开口向下，与轴的交点在轴的上方，
，，
对称轴为，
，
，
，故①错误；
当时，由图可知，
，
，故②正确；
抛物线与的一个交点在和0之间，
另一个交点在2和3之间，
当时，，
，故③正确；
，
，且，
，即，
，故④正确；
抛物线开口向下，
当时，有最大值，
，

，
，故⑤正确；
综上可知正确的有4个，
故选：B．
8.如图，二次函数的图象经过点且与x轴交点的横坐标分别为，，其中，，下列结论：①，②，③，④，⑤其中结论正确的有（ ）

A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
【答案】A
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，由图可知对称轴，当时，，当时，，当时，，进而对各个结论进行判断．
【详解】解：由抛物线的开口向下知，
与轴的交点为在轴的正半轴上，得，
∵对称轴为，，
∴，
∴，故②正确；
由图可知，当时，，
∴，故①正确；
由图可知，抛物线顶点的纵坐标大于2，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
由图可知，当时，，当时，，
∴，，
∴，
由，，得，即，
由，，得，
∴，故④正确；
，，
∴，
∴，
即，故⑤正确；
综上可知，正确的结论有5个．
故选A．
9.如图是二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1．对于下列说法：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的有_______（填序号）．

【答案】①②③④⑤
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，可判断①②；由时及抛物线的对称性可判断③⑤；由函数最大值大于0可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，即，②正确；
∴，①正确；
由图象可得时，，
∵抛物线对称轴为直线，
∴时，，③正确；
由图象可得函数最大值大于0，
∴，④正确；
抛物线开口向下，时，时，
可得当时，，⑤正确．
故答案为：①②③④⑤．