【暑假提升】2023年人教版数学八年级（八升九）暑假-专题2.8《一次、二次函数的交点》预习讲学案

❊2.8 一次、二次函数的交点

求函数与函数的交点坐标.

若函数与函数有两个交点，求m的取值范围.

求函数与函数的交点坐标.

若函数与函数有交点，求m的取值范围.

如图，抛物线与直线相交于点，，则关于的不等式的解集为________．

【答案】

【分析】根据、两点的横坐标和函数的图象得出不等式的解集即可．

【详解】抛物线与直线相交于点，，

关于的不等式的解集为，

故答案为：．

如图，直线与抛物线交于两点，则关于x的不等式的解集是________．

【答案】

【分析】根据题意得出当时，则，进而结合函数图象得出x的取值范围．

【详解】解：根据题意得出当时，则，

则从图象看，关于x的不等式的解集为，

故答案为：．

如图，一次函数与二次函数的图象相交于、两点，则关于的不等式的解集为________．

【答案】或

【分析】由求关于的不等式的解集，即求一次函数的图象在二次函数的图象下方时（包括交点），x的取值范围，再结合图象即可得解．

【详解】解：∵求关于的不等式的解集，即求一次函数的图象在二次函数的图象下方时（包括交点），x的取值范围，

又∵结合图象可知当和时，一次函数的图象在二次函数的图象下方，

∴关于的不等式的解集为或．

故答案为：或．

如图，直线与抛物线交于，两点，则关于x的不等式的解集是________．

【答案】

【分析】根据图象可得点A右侧与点B左侧抛物线在直线上方，进而求解．

【详解】解：整理不等式，可得，

∵直线与抛物线交于，两点，

∴的解集为，

故答案为：．

若函数与相较于M、N两点,点P是二次函数位于MN下方的一个动点，

则当面积最大时，求P点的坐标.

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A（-1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，-3）．

（1）求抛物线的函数表达式；[]

（2）在对称轴上找一点Q，使△AQC的周长最小，求点Q的坐标；[]

（3）在（2）的条件下，点P是抛物线上的一点，当△AQC和△AQP面积相等时，请求出所有点P的

坐标．

如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线与y轴交于点C（0，4），与x轴正半轴交于点D（4，0），设M是点C，D间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m.

（1）求抛物线的解析式；[]

（2）当m为何值时，△MAB面积S取得最大值？请说明理由.

在例1中，若点P在MN上方运动，且满足，求P点的坐标.

在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA=1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．

（1）求抛物线和一次函数的解析式；[]  []

（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标．

1.如图，二次函数与一次函数的图象相交于A，B两点，则不等式的解为________．

【答案】

【分析】根据图象可直接进行求解．

【详解】解：由图象可得：当时，则有；

故答案为．

2.如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（-1，0）及点B．

（1）求二次函数的表达式及点B的坐标．

（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．

【解题思路】（1）将点A（﹣1，0）代入解析式求出m，求出点C坐标，根据点B与点C关于y轴对称求点B坐标．

（2）根据图象交点坐标求解．

【解答过程】解：（1）将（﹣1，0）代入y＝（x+2）2+m得0＝1+m，

解得m＝﹣1，

∴y＝（x+2）2﹣1，

当x＝0时，y＝3，

∴点C坐标为（0，3），

∵点B与点C关于轴对称，对称轴为直线x＝﹣2，

∴点B坐标为（﹣4，3）．

（2）∵点A坐标为（﹣1，0），点B坐标（﹣4，3），

由图象可知，（x+2）2+m≥kx+b时，x≤﹣4或x≥﹣1．

3.如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

（1）求点，，的坐标；

（2）是抛物线上异于点的动点，若的面积与的面积相等，求点的坐标．

【分析】（1）令，求出点坐标，令，求出、点坐标；

（2）由题意可知点到轴的距离为3，由此求点坐标即可．

【解答】解：（1）令，则，

，

令，则，

解得或，

，；

（2），

，

的面积与的面积相等，

点到轴的距离为3，

点坐标为或，或，．

4.如图，已知抛物线与轴交于点，顶点为，与轴交于，两点在左侧）．

（1）求抛物线对应的二次函数表达式及点和的坐标；

（2）连接和．在轴下方的抛物线上是否存在点，使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据抛物线的顶点为，可把抛物线解析式设为，再把点代入解析式，求出即可得到抛物线解析式；再令，解方程即可求出，坐标；

（2）连接交轴与，设点坐标为，直线的解析时为，然后用待定系数法求出的解析式，再求出点坐标，从而求出，再根据，列出关于的方程，解方程求出的值即可．

【解答】解：（1）抛物线的顶点为，

设抛物线解析式为，

抛物线与轴交于点，

，

解得，

，

令，则，

解得，，

，；

（2）存在，理由：

连接交轴与，如图所示：

设点坐标为，直线的解析时为，

把，代入解析式得：

，

解得，

直线的解析时为，

令，则，

，，

，

若，则，

，

化简得：，

解得（舍去），，

．

5.如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点的坐标．

【分析】（1）先求出点，利用待定系数法可求解；

（2）过点作交于点，先求出点坐标，设点，则点，利用面积和差关系可求解；

【解答】解：（1）直线与轴交于点，

，

，

点，

抛物线经过点，，

，

，

抛物线的解析式为：；

（2）如图1，过点作交于点，

抛物线与轴的交点为、，

，

，，

点，

设点，则点，

，

四边形面积，

当时，四边形面积有最大值，

此时点；

6.如图所示，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，连结．

（1）求抛物线顶点的坐标；

（2）在直线上方的抛物线上有一点，使得四边形的面积最大，求点的坐标及四边形面积的最大值．

【分析】（1）化为顶点式求解即可；

（2）先求出的面积，然后判断出的面积最大时四边形面积最大，求出直线的解析式，设过点与轴平行的直线与相交于点，表示出，再表示出的面积，然后利用二次函数的最值问题求出点的横坐标以及的面积，最后求解即可；

【解答】解：（1），

抛物线顶点的坐标为；

（2）令，则，

解得，，

点，，

令，则，

点的坐标为，

，，

，

的面积最大时四边形面积最大．

设直线的解析式为，

则，

，

．

设过点与轴平行的直线交于点，

，，

则，

，

当时，的面积最大，最大值为，

此时，，

所以，当点时，四边形面积最大，最大值为．

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7.如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点、与相交于点，与轴交于点，连接．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在一点，使与的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．

【分析】（1）把三点坐标代入函数式，列式求得，，的值，即求出解析式；

（2）由等底等高的两个三角形的面积相等，可求点的坐标；

【解答】解：（1）把，，三点代入抛物线解析式得：

，解得：，

该抛物线的解析式为①；

（2）存在，理由：

由，

则顶点，对称轴为直线，

，

，，

，，

直线解析式为，

点，

如图，过点作，交抛物线于，此时与的面积相等，

由点、的坐标得，直线的表达式为：，

则直线的表达式为：②，

联立①②并整理得：，

解得：，

则点的坐标为，或，；

对于直线，设交轴于点，

令，

解得：，即点，

则，

取点使，过点作的平行线，如上图，则点，

则直线的表达式为：，

联立和得：，

则△，无解，

故在点的右侧不存在点，

综上，点的坐标为，或，；

8.如图，已知抛物线的图象经过点，与轴交于，两点，顶点坐标，连接交对称轴于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点是抛物线上的一个动点，位于直线的上方（点与，不重合），过作轴的平行线交于点；

①设点的横坐标为，当四边形是平行四边形时，求的值；[]

②在①的条件下，抛物线上是否存在点，使得的面积与的面积相等，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由顶点坐标，设顶点式为，利用待定系数法代值求解即可得到答案；

（2）①当时，则，得到点，根据待定系数法确定函数关系式得到解析式为，由，设点，则点，得，根据四边形是平行四边形，得到，利用两点之间距离公式列方程求解即可得到答案；②分两种情况：当点、点在直线的同侧时，如图所示，由四边形是平行四边形，得，，当点与点重合时，，求得点；

②当点与点在直线的异侧时，延长交轴于，在上截取，则，过点作的平行线交抛物线于点，如图所示，，设直线的解析式为，将代入得到直线的解析式为，点，从而有，由，，得到与的距离与与的距离相等，从而，根据直线的解析式为，联立方程组得，解得或，即可得到答案．

【解答】解：（1）顶点坐标，

设二次函数解析式，

把代入，解得，

抛物线解析式为；

（2）①当时，则，

，，

点，

点，

设直线的解析式为，

把，代入直线得，解得，

解析式为，

点，

点，

，

设点，则点，

，

四边形是平行四边形，

，

，解得（不合题意舍去），，

；

②当点、点在直线的同侧时，如图所示：

四边形是平行四边形，

，

，

当点与点重合时，，

点；

当点与点在直线的异侧时，延长交轴于，在上截取，则，过点作的平行线交抛物线于点，

如图所示：

，

设直线的解析式为，

将代入得到，解得，

直线的解析式为，

点，

，

，

，，

与的距离与与的距离相等，

，

，点，

直线的解析式为，

联立方程组得，解得或，

综上所述，满足题意的点，点，点．