2022-2023学年山东省滨州市惠民县高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省滨州市惠民县高二（下）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若的展开式中的系数为，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  某班级有名学生，期中考试数学成绩服从正态分布，已知，则数学成绩及格分以上的学生人数约为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，现要用四种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法数为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  已知随机变量的分布列如下所示，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  有件产品，其中件正品，件次品，现不放回从中取件产品，每次一件，则在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  为了发展学生的兴趣和个性特长，培养全面发展的人才某学校在不加重学生负担的前提下提供个性、全面的选修课程为了解学生对于选修课学生领导力的开发的选择意愿情况，对部分高二学生进行了抽样调查，制作出如图所示的两个等高条形图，根据条形图，下列结论正确的是(    )

 

A. 样本中不愿意选该门课的人数较多
B. 样本中男生人数多于女生人数
C. 样本中女生人数多于男生人数
D. 该等高条形图无法确定样本中男生人数是否多于女生人数

8.  已知，且，，则下列说法不正确的有(    )

A. ，
B.
C.
D. 中是最大值

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  某同学用搜集到的六组数据绘制了如下散点图，在这六个点中去掉点后重新进行回归分析，则下列说法正确的是(    )

A. 决定系数变小
B. 相关系数的绝对值越趋于
C. 残差平方和变小
D. 解释变量与预报变量相关性变弱

10.  有甲、乙、丙等名同学，则说法正确的是(    )

A. 人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为
B. 人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为
C. 名同学平均分成三组到、、工厂参观每个工厂都有人，则有种不同的安排方法
D. 名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有种

11.  已知，则下列结论成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

12.  有台车床加工同一型号的零件第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知第，，台车床的零件数分别占总数的，，，则下列选项正确的有(    )

A. 任取一个零件是第台生产出来的次品概率为
B. 任取一个零件是次品的概率为
C. 如果取到的零件是次品，则是第台车床加工的概率为
D. 如果取到的零件是次品，则是第台车床加工的概率为

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  ______ ．

14.  某单位为了了解办公楼用电量度与气温之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：由表中数据得到线性回归方程，当气温为时，预测用电量为______ ．

15.  一个口袋中装有大小相同的个白球和个红球，从中摸出两个球，若表示摸出白球的个数，则 ______ ．

16.  若，则 ______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解不等式．
若，求正整数．

18.  本小题分
已知的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于．
求展开式中所有二项式系数的和；
求展开式中的常数项．

19.  本小题分
用，，，，，这个数字可以组成多少个：
无重复数字的四位偶数？
无重复数字且个位数字不是的六位数？
无重复数字的六位数，若这些六位数按从小到大的顺序排成一列，则是该数列的第几项？

20.  本小题分
某社区对是否愿意参与年元旦文艺与体育活动进行调查，随机抽查男性居民，女性居民各人，参与调查的结果如下表：

依据小概率值的独立性检验，能否认为愿意参与文艺和体育活动与性别有关；
用分层抽样方法，在愿意参与的居民中抽取人，再从这人中随机抽取人，记抽到的男性居民人数为，求随机变量的分布列和数学期望．
附：，其中．

21.  本小题分
随着我国经济的发展，人民的生活质量日益提高，对商品的需求也日益增多商家销售商品，既满足顾客需要，又为商家创造效益，是一种相互依存的合作关系，为较好地达到这个目的，商家需要运用数学模型分析商品销售的规律并确定最优的销售价格某商店以每件元的价格购进一种小商品，经过一段时间的试销后，得到下表的统计数据：

由上表数据知，可用线性同归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；精确到
求关于的线性回归方程；
试问商家将每件售价定为多少元时，可使其获得最大日利润？结果保留整数
附：相关系数，线性回归方程的斜率和截距的最小
二乘法估计分别为，．
参考数据：，，，．

22.  本小题分
年月的体坛属于“冰上运动”，速滑世锦赛、短道速滑世锦赛、花滑世锦赛将在荷兰、韩国、日本相继举行中国队的“冰上飞将”们将在北京冬奥会后再度出击，向奖牌和金牌发起冲击据了解，甲、乙、丙三支队伍将会参加年月日日在首尔举行的短道速滑世锦赛米短道速滑男子米接力的角逐接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，其中．
甲、乙、丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；
若甲、乙、丙三队中恰有两对进入决赛的概率为，求的值；
在的条件下，设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：利用二项式展开式的系数为，得．
故选：．
直接利用二项展开式和组合数的应用求出结果．
本题考查的知识要点：二项展开式，组合数，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：考试数学成绩服从正态分布，
对称性可知，，
则，
则数学成绩及格分以上的学生人数约为．
故选：．
根据正态分布的对称性，求解即可．
本题考查正态分布的应用，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意，如图，设四个区域依次为，
分步进行分析：
对于区域，两两互相相邻，有种涂色方法，
区域，与区域、相邻，有种涂色方法，
则有种涂色方法，
故选：．
根据题意，分步讨论个区域的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，由的分布列，则有，解可得，
则．
故选：．
根据题意，由分布列的性质可得，解可得的值，进而计算的期望即可得答案．
本题考查离散型随机变量的期望，涉及分布列的性质，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，有件产品，其中件正品，件次品，在第一次取得次品的条件下，还有件次品，件正品，
则在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率．
故选：．
根据题意，分析可得在第一次取得次品的条件下，还有件次品，件正品，由古典概型公式计算可得答案．
本题考查条件概率性的计算，注意条件概率的计算公式，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：因，两边取对数得：，
令，则，
而，于是得，即，
所以．
故选：．
化简已知得，得，即得解．
本题考查了线性回归方程的应用，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：对于，由图乙可知，样本中男生，女生都大部分愿意选择该门课，
则样本中愿意选该门课的人数较多，A错误；
对于，由图甲可知，在愿意和不愿意的人中，都是男生占比较大，
所以可以确定，样本中男生人数多于女生人数，B正确，CD错误．
故选：．
根据等高条形图直接判断各个选项即可．
本题主要考查了统计图表的应用，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为，，所以，，
由，所以，，所以，，故选项A正确；
，选项B正确；
又，故选项C正确；
，是最大值，D错误．
故选：．
根据二项分布期望和方差公式建立方程求解即可判断、；利用根据二项分布概率公式即可计算判断、．
本题考查离散型随机变量的期望与方差，是中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，故去掉点后，回归效果更好，
决定系数越接近于，所拟合的回归方程越优，故去掉点后，变大，越趋于，A错误；
相关系数越趋于，拟合的回归方程越优，故去掉点后，故相关系数的绝对值越趋于，B正确；
残差平方和变小拟合效果越好，故C正确；
解释变量与预报变量相关性增强，D错误．
故选：．
从图中分析得到去掉点后，回归效果更好，再由决定系数，相关系数，残差平方和和相关性的概念和性质作出判断．
本题考查相关系数相关知识，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：人站成一排，甲、乙两人不相邻，先将除甲、乙外的人进行全排列，有种排法，
再将甲、乙两人插空，有种排法，则共有种不同的排法，A正确；
人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，可用倍缩法进行求解，即种不同的站法，B错误；
名同学平均分成三组到、、工厂参观每个工厂都有人，
则有种不同的安排方法，C正确；
名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则三组同学分为人一组，人一组和人一组，
先将除甲、乙、丙外的剩余人分为两组，有种分法，
再将三组同学和三个活动进行全排列，则有种安排方法，
故不同的分组方法有种方法，D错误．
故选：．
选项，利用插空法求解甲、乙两人不相邻的排法；
选项，利用倍缩法求解；
选项，先进行平均分组，再进行全排列，得到答案；
选项，先将除甲、乙、丙外的剩余人分为两组，再进行全排列，得到答案．
本题主要考查排列、组合及简单计数问题，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
展开式的通项为，
对选项A：令，可得，正确；
对选项B：，所以，正确；
对选项C：令，可得，错误；
对选项D：，两边同时求导，得，令，，正确．
故选：．
变换得到，令，可得A正确，，B正确，令，计算C错误，两边同时求导，令，得到D正确，得到答案．
本题考查二项式定理相关知识，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：：由题意任取一个零件是第台生产出来的次品概率为，正确；
：由题设，任取一个零件是次品的概率为，正确；
：由条件概率，取到的零件是次品，则是第台车床加工的概率为，正确；
：由条件概率，取到的零件是次品，则是第台车床加工的概率为，错误．
故选：．
利用乘法公式、互斥事件加法求概率判断、正误；应用条件概率公式求、描述中对应的概率，判断正误．
本题考查条件概率的计算，涉及概率的性质以及计算，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
则．
故答案为：．
根据已知条件，结合组合数、排列数公式，即可求解．
本题主要考查组合数和排列数公式，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
则，
即，
则回归直线方程．
当气温为时，用电量为，
故答案为：．
求出样本中心，代入求出，结合线性回归方程进行预测即可．
本题考查线性回归方程的应用，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意可知，服从超几何分布，
则．
故答案为：．
根据已知条件，结合超几何分布的期望公式，即可求解．
本题主要考查超几何分布的期望公式，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：表示个因式的乘积．
而为展开式中的系数，要得到含的项，
若只有一个因式取，则从其余的个因式中选个因式取，剩余的一个因式取；
若有个因式取，则从其余的个因式中选个因式取，剩余的个因式都取；
若个因式取，也可得到含的项．
故．
故答案为：．
由题意，利用乘方的几何意义，组合数公式，求得的值．
本题主要考查乘方的几何意义，组合数公式的应用，属于中档题．
 

17.【答案】解：，
，
，
即，
因为，，所以；






．
故，解得． 

【解析】根据排列数及排列数公式，计算即可；
根据组合数及组合数公式，计算即可．
本题考查组合数及组合数公式，属于基础题．
 

18.【答案】解：已知的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于，
则，
则，
又，
则，
则展开式中所有二项式系数的和为；
二项式展开式的通项公式为，
令，
即，
即展开式中的常数项为． 

【解析】由已知可得，求出的值，然后求展开式中所有二项式系数的和即可；
由二项式展开式的通项公式为，令，然后求解即可．
本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式的通项公式，属基础题．
 

19.【答案】解：若末位为，则可组成个无重复数字的四位偶数；
若末位不为，则可组成个无重复数字的四位偶数；
共可组成个无重复数字的四位偶数．
若首位为，则可组成个无重复数字且个位不为的六位数；
若首位不为，则可组成个无重复数字且个位不为的六位数；
共可组成个无重复数字且个位不为的六位数．
若首位数字为，则有个数字；
若首位数字为，第二位为，中的一个时，有个数字；
若首位数字为，第二位为，第三位为，中的一个时，有个数字；
则是该数列的第项． 

【解析】分为末位为和不为两种情况计算即可；
分为首位为和不为两种情况计算即可；
分别讨论首位数字为和首位数字为，第二位为，，的情况，计算出比小的数字个数，即可得到答案．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
 

20.【答案】解：由已知得列联表：

因为，
所以有的把握认为是否愿意参与文艺和体育活动与性别有关．
用分层抽样方法，在愿意参与的居民中抽取人，男性居民应抽取人，女性居民应抽取人，
再从这人中随机抽取人，记抽到的男性居民为，则的可能取值为，，，．
，，
，，
所以的分布列为：

所以． 

【解析】根据给定的数表，结合的计算公式，求出的观测值并与临界值表比对作答；
根据分层抽样原则可确定人中，男性居民和女性居民应抽取的人数，则可确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望公式可求得期望值．
本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．
 

21.【答案】解：，，，
，
接近，与的相关程度相当大，可以用线性回归模型拟合与的关系；
，，
，．
关于的线性回归方程为；
设商家的日利润为元，
则．
该二次函数的对称轴方程为，
当销售定价为元时，商家可获得最大日利润． 

【解析】由已知数据求解相关系数的值，由接近，可知与的相关程度相当大，可以用线性回归模型拟合与的关系；
求出与的值，可得关于的线性回归方程；
由题意写出利润函数，再由二次函数求最值．
本题考查相关系数与线性回归方程的求法，训练了利用二次函数求最值，是中档题．
 

22.【答案】解：甲队进入决赛的概率为，
乙队进入决赛的概率为，
丙队进入决赛的概率为，因为，
所以，显然乙队进入决赛的概率最大，所以乙进入决赛的可能性最大．
因为甲、乙、丙三队中恰有两对进入决赛的概率为，
所以有
解得，或，因为，所以．
由题意可知：甲、乙、丙三队进入决赛的概率分别为、、，
的可能取值为、、、，
，
，，
，
所以的分布列为：

【解析】根据概率乘法公式，结合配方法进行求解即可；
根据概率的加法公式和乘法公式进行求解即可；
根据概率的乘法公式进行求解即可．
本题考查相互独立事件的乘法公式，考查离散型随机变量的分布列，是中档题．