2022-2023学年山东省滨州市渤海综合高中高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省滨州市渤海综合高中高一（下）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省滨州市渤海综合高中高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. i2021的虚部为．(    )
A. 1 B. −1 C. i D. −i
2. 已知向量a=(2,4)，b=(−1,1)，则2a−b=(    )
A. (5,7) B. (5,9) C. (3,7) D. (3,9)
3. 袋中有大小相同，质地均匀的2个红球和3个黄球，从中无放回的先后取两个球，取到红球的概率为(    )
A. 110 B. 12 C. 710 D. 35
4. 下列说法中正确的是(    )
A. 棱柱的侧面可以是三角形 B. 棱柱的各条棱都相等
C. 所有几何体的表面都能展成平面图形 D. 正方体和长方体都是特殊的四棱柱
5. 已知i是虚数单位，若z=3+i1−2i，则z的共轭复数z−的虚部为(    )
A. −65 B. 1−7i5 C. −75 D. −75i
6. 已知球的体积为32π3，则它的半径为(    )
A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 4 2
7. 在△ABC中，已知BC=1，AC=2，∠C=60°，则AB等于(    )
A. 4 B. 3 C. 3 D. 2
8. 若棱长为1的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为(    )
A. π6 B. 4π3 C. 3π2 D. 3π
9. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的为(    )
A. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n
B. 若m⊥α，n⊥β，α//β，则m//n
C. 若m//n，n⊂α，α//β，则m//β
D. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）
10. 下列命题中正确的有(    )
A. 一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数
B. 数据6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的第85百分位数为5
C. 若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙
D. 为调查学生每天平均阅读时间，某中学从在校学生中，利用分层抽样的方法抽取初中生20人，高中生10人．经调查，这20名初中生每天平均阅读时间为60分钟，这10名高中生每天平均阅读时间为90分钟，那么被抽中的30名学生每天平均阅读时间为70分钟
11. 在△ABC中，若a=2，b=2 3，A=30°，则∠B=(    )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
12. 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为a，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF= 22a.则下列结论正确的是(    )
A. 当E与D1重合时，异面直线AE与BF所成的角为π3
B. 三棱锥B−AEF的体积为定值
C. EF在平面ABB1A1内的射影长为12a
D. 当E向D1运动时，二面角A−EF−B的平面角保持不变

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 某校选修轮滑课程的学生中，一年级有20人，二年级有30人，三年级有20人.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在一年级的学生中抽取了4人，则这个样本中共有______ 人.
14. 已知△ABC的内角∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且∠A=60°，b=1，c=4，则a+b+csinA+sinB+sinC=______．
15. 已知单位向量a，b的夹角为60°，a−kb与b垂直，则k= ______ ．
16. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F依次是A1D1和B1C1的中点，则异面直线AE与CF所成角的余弦值为______．


四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已如i为虚数单位，复数z=m(m−1)+(m2+2m−3)i．
(Ⅰ)当实数m取何值时，z是纯虚数；
(Ⅱ)若m=2，求|z1+i|的值．
18. (本小题12.0分)
若a=(3, 2)，b=(2,− 2)，求下列的值．
(1)a+b；
(2)a−b；
(3)a⋅b；
(4)|a|；
(5)|b|；
(6)cosθ．
19. (本小题12.0分)
本着健康、低碳的生活，租共享电动自行车出行的人越来越多，某共享电动自行车租车点的收费标准是起步价2元(20分钟及以内)，超过20分钟每10分钟收费1元(不足10分钟的部分按10分钟计算).现有甲、乙、丙三人来该租车点租车是相互独立的(各租一车一次)，设甲、乙、丙不超过20分钟还车的概率分别为12、14、14，20分钟以上且不超过30分钟还车的概率分别为14、14、12，三人租车时间都不会超过40分钟．
(1)求甲、乙、丙三人的租车费用完全相同的概率；
(2)求甲、乙、丙三人的租车费用和为11元的概率．
20. (本小题12.0分)
已知△ABC中，cosC=78，a=3.再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，条件①：b=2c；条件②：b+c=6.求：
(Ⅰ)b的值；
(Ⅱ)△ABC的面积．
21. (本小题12.0分)
如图，在三棱锥V−ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC= 2，O，M分别为AB，VA的中点．
(1)求证：VB//平面MOC；
(2)求证：平面MOC⊥平面VAB
(3)求三棱锥V−ABC的体积．

22. (本小题12.0分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB=2，∠BAD=60°．
(1)求证：AB//平面PCD；
(2)求证：直线BD⊥平面PAC；
(3)求直线PB与平面PAD所成角的正切值．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．
直接利用i4=1，化简i2021，再得到其虚部．
【解答】
解：i2021=(i4)505⋅i=i，∴i2021的虚部为1．
故选：A．
  
2.【答案】A 
【解析】
【分析】
直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案．
本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算，是基础题．
【解答】
解：由a=(2,4)，b=(−1,1)，得：
2a−b=2(2,4)−(−1,1)=(4,8)−(−1,1)=(5,7)．
故选：A．
  
3.【答案】C 
【解析】解：给2个红球编号为1，2，给3个黄球编号为3，4，5，
则从中无放回的先后取两个球的所有情况有：
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共20种，
取到红球的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)共14种，
所以所求概率为P=1420=710，
故选：C．
给2个红球编号为1，2，给3个黄球编号为3，4，5，从中无放回的先后取两个球，列出所有可能情况，再利用古典概型的概率公式求解．
本题主要考查了古典概型的概率公式，是基础题．

4.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题主要考查空间几何体的结构特征，属于基础题．
利用几何体的定义和特征逐一考查所给的说法是否正确即可．
【解答】
解：逐一考查所给的命题：
A.棱柱的侧面一定是平行四边形，不可能是三角形，选项A错误；
B.棱柱的各条侧棱都相等，不一定与底面的棱相等，选项B错误；
C.所有多面体的表面都能展成平面图形，旋转体的表面不一定能展开成平面图形，选项C错误；
D.正方体和长方体都是特殊的四棱柱，选项D正确．
故选：D．  
5.【答案】C 
【解析】解：z=3+i1−2i=(3+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=3−1+7i12+22=25+75i，
则z的共轭复数z−=25−75i，虚部为−75，
故选：C．
利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

6.【答案】A 
【解析】解：设球的半径为R，
由球的体积公式可得：43πR3=32π3，
即R=2．
故选：A．
设出球的半径，代入球的体积公式得答案．
本题考查球的体积公式的应用，是基础题．

7.【答案】C 
【解析】
【分析】
此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，是基础题．
由BC与AC的长，以及cosC的值，利用余弦定理即可求出AB的长．
【解答】
解：∵BC=1，AC=2，∠C=60°，
∴由余弦定理得：AB2=AC2+BC2−2AC⋅BCcosC，
即AB2=4+1−2×2×12=3，
解得：AB= 3．
故选：C．
  
8.【答案】C 
【解析】解：由几何体的空间结构特征可知，正方体的体对角线为球的直径，
设球的半径为R，则：(2R)2=12+12+12=3，
则R= 32，其体积：V=43πR3= 32π．
故选：C．
首先确定球的半径，然后求解其体积即可．
本题主要考查球与正方体的位置关系，属于基础题．

9.【答案】B 
【解析】解：若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n或m与n异面，故A错误；
若m⊥α，α//β，则m⊥β，又n⊥β，则m//n，故B正确；
若n⊂α，α//β，则n//β，又m//n，m//β或m⊂β，故C错误；
若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α//β或α与β相交，相交也不一定垂直，故D错误．
故选：B．
由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系ACD；由线面垂直的性质判断B．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．

10.【答案】BCD 
【解析】解：选项A，众数为3，中位数为3+32=3，两者相等，即A错误；
选项B，将数据按从小到大的顺序排列为1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，共10×85%=8.5，取第9个数据，为5，即B正确；
选项C，乙组数据的平均数为5+6+9+10+55=7，
所以方差为15[(5−7)2+(6−7)2+(9−7)2+(10−7)2+(5−7)2]=4.4<5，
所以这两组数据中较稳定的是乙，即C正确；
选项D，由20×60+10×9030=70，知被抽中的30名学生每天平均阅读时间为70分钟，即D正确．
故选：BCD．
选项A，根据众数和中位数的计算方法，得解；
选项B，根据百分位数的计算方法，得解；
选项C，先算乙组数据的平均数，再计算方差，即可；
选项D，根据平均数的计算方法，得解．
本题考查数据的分析，理解百分位数、平均数、中位数和众数的概念与计算方法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．

11.【答案】BC 
【解析】解：在△ABC中，a=2，b=2 3，A=30°，
利用正弦定理：asinA=bsinB，
整理得：sinB=b⋅sinAa=2 3×122= 32，
由于：b>a，可得30° 故B=60°，或120°．
故选：BC．
直接利用正弦定理和三角函数的值的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的值，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

12.【答案】BCD 
【解析】
【分析】
本题考查了棱锥的体积、投影和异面直线所成角，属于中档题．
根据三棱锥的底面积和高是否变化判断B，根据两半平面不变判断D，根据∠D1B1A1计算射影长判断C，在△BFC1中利用余弦定理计算夹角判断A．
【解答】
解：对于A：B1D1= 2a，故当E与D1重合时，F为B1D1的中点，
又AD1//BC1，故∠FBC1为异面直线AE与BF所成的角，
此时，C1F= 22a，BC1= 2a，BF= B1F2+BB12= 62a，
∴cos∠FBC1=BF2+BC12−C1F22BF⋅BC1=32a2+2a2−12a22× 62a× 2a= 32，
∴∠FBC1=π6，故A错误;
对于B：B到直线B1D1的距离不变，A到平面BEF的距离不变，
故三棱锥A−BEF的底面积和高均不发生变化，
故三棱锥A−BEF的体积不变，故B正确；
对于C：∵∠D1B1A1=45°，∴EF在平面ABB1A1内的射影长为 22a⋅cos45°=12a，故C正确；
对于D：∵二面角A−EF−B与二面角A−B1D1−B是同一个二面角，
故当E点运动时，二面角大小不变，故D正确．
故选BCD．
  
13.【答案】14 
【解析】解：不妨设这个样本中共有x人，
因为一年级有20人，二年级有30人，三年级有20人，
若在一年级的学生中抽取了4人，
此时420=x70，
解得x=14．
会答案为：14．
由题意，将该样本的人数设出，根据分层抽样的定义列出等式即可求解．
本题考查分层抽样的定义，考查了逻辑推理和运算能力．

14.【答案】2 393 
【解析】解：在△ABC中，由∠A=60°，b=1，c=4，
得a2=b2+c2−2bccosA=1+16−2×1×4×12=13，
则a= 13，
∴a+b+csinA+sinB+sinC=asinA= 13 32=2 393．
故答案为：2 393．
在△ABC中，由余弦定理求得a，再由正弦定理求解．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．

15.【答案】12 
【解析】解：∵两个单位向量a，b的夹角为60°，a−kb与b垂直，
∴(a−kb)⋅b=a⋅b−kb2
=1×1×cos60°−k×1=0，
解得k=12．
故答案为：12．
利用向量垂直、向量数量积公式直接求解．
本题考查实数值的求法，考查向量垂直、向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

16.【答案】35 
【解析】解：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，
∵E，F依次是A1D1和B1C1的中点，
∴BF//AE，∴∠BFC是异面直线AE与CF所成角(或所成角的补角)，
设正方体ABCD−A1B1C1D1中棱长为2，则BF=CF= 4+1= 5，
∴cos∠BFC=5+5−42× 5× 5=35．
∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为35．
故答案为：35．
推导出BF//AE，从而∠BFC是异面直线AE与CF所成角(或所成角的补角)，由此能求出异面直线AE与CF所成角的余弦值．
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

17.【答案】解：(Ⅰ)因为z=m(m−1)+(m2+2m−3)i为纯虚数，
所以m(m−1)=0且m2+2m−3≠0，
则m=0；
(Ⅱ)当m=2时，z=2+5i，
所以|z1+i|=|2+5i1+i|=|2+5i||1+i|= 29 2= 582． 
【解析】(Ⅰ)利用纯虚数的定义列出关于m的方程，求解即可；
(Ⅱ)求出z，然后利用复数模的运算性质求解即可．
本题考查了复数的运算以及复数基本概念的理解，复数模的运算性质的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．

18.【答案】解：(1)依题意，由a=(3, 2)，b=(2,− 2)，
可知a+b=(3+2, 2− 2)=(5,0)．
(2)依题意，由a=(3, 2)，b=(2,− 2)，
可知a−b=(3−2, 2−(− 2))=(1,2 2).
(3)依题意，由a=(3, 2)，b=(2,− 2)，
可知a⋅b=3×2+ 2×(− 2)=4．
(4)依题意，由a=(3, 2)，
可知|a|= 32+( 2)2= 11．
(5)依题意，由b=(2,− 2)，
可知|b|= 22+(− 2)2= 6．
(6)依题意，由a=(3, 2)，b=(2,− 2)，
可知cosθ=a⋅b|a|⋅|b|=4 11⋅ 6=2 6633． 
【解析】(1)根据两个向量加法的坐标运算即可得到a+b的结果；
(2)根据两个向量减法的坐标运算即可得到a−b的结果；
(3)根据向量数量积的坐标运算公式进行计算即可得到a⋅b的结果；
(4)根据向量的模的坐标运算公式进行计算即可得到|a|的结果；
(5)根据向量的模的坐标运算公式进行计算即可得到|b|的结果；
(6)根据两个向量的夹角公式进行计算即可得到cosθ的结果．
本题主要考查平面向量的坐标运算，以及数量积运算问题．考查了两个向量的坐标运算，数量积坐标运算公式，向量的模的计算公式，夹角公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．

19.【答案】解：(1)当租车时间不足20分钟，三人租车费用相同的概率为12×14×14=132，
当租车时间在20−30分钟，三人租车费用相同的概率为14×14×12=132，
当租车时间在30−40分钟，三人租车费用相同的概率为14×12×14=132，
所以三人租车费用相同的概率为332；
(2)甲、乙、丙三人的租车费用和为11元，则其中两人租车时间达到30−40分钟，另一人为20−30分钟，
若甲，乙租车30−40分钟，三人的租车费用和为11元的概率为14×12×12=116，
若甲，丙租车30−40分钟，三人的租车费用和为11元的概率为14×14×14=164，
若乙，丙租车30−40分钟，三人的租车费用和为11元的概率为12×14×14=132，
所以甲、乙、丙三人的租车费用和为11元的概率为116+164+132=764． 
【解析】(1)甲、乙、丙三人的租车费用完全相同有三种情况，不到20分钟，20−30分钟，30−40分钟；
(2)甲、乙、丙三人的租车费用和为11元，则其中两人租车时间达到30−40分钟，另一人为20−30分钟．
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属中档题．

20.【答案】解：选①：(Ⅰ)由余弦定理得：c2=b2+a2−2abcosC，
即c2=b2−214b+9，
又b=2c，
∴c2=4c2−212c+9，
整理得：2c2−7c+6=0，
解得：c=2或c=32，
∴b=4或b=3；
(Ⅱ)∵cosC=78且B∈(0,π)，
sinC= 1−cos2C= 158，
当c=2，b=4时，S=12absinC=12×3×4× 158=3 154；
当c=32，b=3时，S=12absinC=12×3×3× 158=9 1516．
选②：(Ⅰ)由余弦定理得：c2=b2+a2−2abcosC，
即c2=b2−214b+9，
又b+c=6，
∴(6−b)2=b2−214b+9，
整理得：274b=27，
∴b=4，c=2，
(Ⅱ)∵cosC=78且B∈(0,π)，
sinC= 1−cos2C= 158，
∴S=12absinC=12×3×4× 158=3 154． 
【解析】(Ⅰ)由余弦定理和选择的条件可解得b；(Ⅱ)由同角三角函数的基本关系求出sinC，再由面积公式即可求得．
本题考查利用正余弦定理解三角形，属于中档题．

21.【答案】(1)证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，
∴OM//VB，
∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，
∴VB//平面MOC；

(2)∵AC=BC，O为AB的中点，
∴OC⊥AB，
∵平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC=AB，OC⊂平面ABC，
∴OC⊥平面VAB，
∵OC⊂平面MOC，
∴平面MOC⊥平面VAB

(3)在等腰直角三角形ACB中，AC=BC= 2，
∴AB=2，OC=1，
∴等边△VAB面积S=12×2×2× 32= 3，
∵OC⊥平面VAB，
∴VC−VAB=13OC·S= 33，
∴VV−ABC=VC−VAB= 33． 
【解析】本题考查线面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查体积的计算．
(1)利用三角形的中位线得出OM//VB，利用线面平行的判定定理证明VB//平面MOC；
(2)证明：OC⊥平面VAB，即可证明平面MOC⊥平面VAB；
(3)利用等体积法求三棱锥V−ABC的体积．

22.【答案】解：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AB//CD，
因为AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，
所以AB//平面PCD．

(2)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD，又因为PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC．
(3)过B作BE⊥AD，连结PE，
因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE．
又因为BE⊥AD，PA∩AD=A，所以BE⊥平面PAD．
所以∠BPE是直线PB与平面PAD所成角，
在RT△BEP中，BE= 3,PE= PA2+AE2= 5，
所以tan∠BPE=BEPE= 3 5= 155．
所以∠BPE是直线BP与平面PAD所成角的正切值 155． 
【解析】(1)通过AB//CD即可证明AB//平面PCD；
(2)通过AC⊥BD和PA⊥BD即可证明直线BD⊥平面PAC；
(3)过B作BE⊥AD，连结PE，则∠BPE是直线PB与平面PAD所成角，进而可求所成角的正切值．
本题考查线面平行和线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查直观想象和逻辑推理的核心素养，属于中档题．