山东省滨州市惠民县2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

惠民县2022—2023学年度高二下学期

数学质量检测试题

2023.4

注意事项：

1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟．

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若的展开式中的系数为40，则（    ）

A. 2 B.  C. 4 D.

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用二项展开式和组合数公式求出结果．

【详解】的展开式的项为,

因为的展开式中的系数为40，

所以，解得.

故选:B．

2. 某班级有50名学生，期中考试数学成绩服从正态分布，已知，则数学成绩及格（90分以上）的学生人数约为（    ）

A. 30 B. 35 C. 40 D. 45

【答案】C

【解析】

【分析】根据正态分布的对称性，求解即可．

【详解】考试数学成绩服从正态分布，
对称性可知，，
则，
则数学成绩及格（90分以上）的学生人数约为．
故选:C．

3. 如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（    ）

A 72 B. 56 C. 48 D. 36

【答案】C

【解析】

【分析】先给四个区域标记，然后根据分步乘法计数原理求解出着色的方法数.

【详解】将四个区域标记为，如下图所示：

第一步涂：种涂法，

第二步涂：种涂法，

第三步涂：种涂法，

第四步涂：种涂法，

根据分步乘法计数原理可知，一共有种着色方法，

故选：.

4. 已知随机变量X的分布列如下所示，则（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】B

【解析】

【分析】先由概率和为1，列方程求出，然后利用期望公式求解即可

【详解】由题意得，解得，

所以，

故选：B

5. 有7件产品，其中4件正品，3件次品，现不放回的从中取2件产品，每次一件，则第二次取得正品的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用全概率公式和条件概率公式进行求解即可.

【详解】设“第次取得正品”，，

则，

所以

，

故选：A

6. 以模型去拟合一组数据时，设，将其变换后得到线性回归方程，则（    ）

A.  B.  C.  D. e

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意得到，再结合，求解即可.

【详解】因为，所以，

令，所以，即.

故选：C

7. 为了发展学生的兴趣和个性特长，培养全面发展的人才．某学校在不加重学生负担的前提下．提供个性、全面的选修课程．为了解学生对于选修课《学生领导力的开发》的选择意愿情况，对部分高二学生进行了抽样调查，制作出如图所示的两个等高条形图，根据条形图，下列结论正确的是（    ）

A. 样本中男生人数多于女生人数

B. 样本中不愿意选该门课的人数较多

C. 该等高条形图无法确定样本中男生人数是否多于女生人数

D. 该等高条形图无法确定样本中愿意人数是否多于不愿意人数

【答案】A

【解析】

【分析】根据等高条形图直接判断各个选项即可.

【详解】选项A，在甲图中，可以看到愿意选择和不愿意选择的人群中男生均大于，故样本中男生人数多于女生人数，A正确；

选项B，看乙图，男，女生中不愿意选择的比例均少于，所以不愿意选该门课的人数较少，B错误；

选项C，看甲图，可以看到愿意选择和不愿意选择的人群中男生均大于，故样本中男生人数多于女生人数，C错误；

选项D，看乙图，男，女生中不愿意选择的比例均少于，所以不愿意选该门课的人数较少，D错误.

故选：A.

8. 已知，且，，则下列说法不正确的有（    ）

A. ， B.

C.  D. 中是最大值

【答案】D

【解析】

【分析】根据二项分布期望和方差公式建立方程求解即可判断AB；利用根据二项分布概率公式即可计算判断CD．

【详解】因为，，

所以，，

由，所以，，所以，，故A正确；

，B正确；

又，故C正确；

，

令，

故当时，所以，

而当时，所以，

因此是最大值，D错误．

故选：D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 某同学用搜集到的六组数据绘制了如下散点图，在这六个点中去掉点后重新进行回归分析，则下列说法正确的是（    ）

A. 决定系数变小 B. 相关系数的绝对值越趋于1

C. 残差平方和变小 D. 解释变量与预报变量相关性变弱

【答案】BC

【解析】

【分析】从图中分析得到去掉点后，回归效果更好，再由决定系数，相关系数，残差平方和和相关性的概念和性质作出判断.

【详解】从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，故去掉点后，回归效果更好，

决定系数越接近于1，所拟合的回归方程越优，故去掉点后，变大，越趋于1，A错误；

相关系数越趋于1，拟合的回归方程越优，故去掉点后，故相关系数的绝对值越趋于1，B正确；

残差平方和变小拟合效果越好，故C正确；

解释变量与预报变量相关性增强，D错误.

故选：BC

10. 有甲、乙、丙等6名同学，则说法正确的是（    ）

A. 6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480

B. 6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为240

C. 6名同学平均分成三组到A、B、C工厂参观（每个工厂都有人），则有90种不同的安排方法

D. 6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有6种

【答案】ACD

【解析】

【分析】A选项，利用插空法求解甲、乙两人不相邻的排法；B选项，利用倍缩法求解；C选项，先进行平均分组，再进行全排列，得到答案；D选项，先将除甲、乙、丙外的剩余3人分组，再进行全排列，得到答案.

【详解】A选项，6人站成一排，甲、乙两人不相邻，先将除甲、乙外4人进行全排列，有种排法，

再将甲、乙两人插空，有种排法，则共有种不同的排法，A正确；

B选项，6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，可用倍缩法进行求解，即种不同的站法，B错误；

C选项，6名同学平均分成三组到A、B、C工厂参观（每个工厂都有人），则有种不同的安排方法，C正确；

D选项，6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，

若还有一位同学与他们一组，共有种分法；

若三组同学分为3人一组，2人一组和1人一组，

先将除甲、乙、丙外的剩余3人分为两组，有种分法；

共有种分组方法，D正确.

故选：ACD

11. 已知，则下列结论成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】变换得到，令，可得A正确，，B正确，令，计算C错误，两边同时求导，令，得到D正确，得到答案.

【详解】，

展开式的通项为，

对选项A：令，可得，正确；

对选项B：，所以，正确；

对选项C：令，可得，错误；

对选项D：，两边同时求导，得，令，，正确．

故选：ABD

12. 有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有（    ）

A. 任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.015

B. 任取一个零件是次品的概率为0.0525

C. 如果取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为

D. 如果取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用乘法公式、互斥事件加法求概率判断A、B正误；应用条件概率公式求C、D描述中对应的概率，判断正误.

【详解】A：由题意任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为，正确；

B：由题设，任取一个零件是次品的概率为，正确；

C：由条件概率，取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为，正确；

D：由条件概率，取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为，错误.

故选：ABC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. ______．

【答案】##1.4

【解析】

【分析】根据已知条件，结合组合数、排列数公式，即可求解．

详解】，,

则．
故答案为:．

14. 某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温x（）之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：由表中数据得到线性回归方程，当气温为时，预测用电量为______．

【答案】66度

【解析】

【分析】求出样本中心,，代入求出，结合线性回归方程进行预测即可．

【详解】，，

则，即，

则回归直线方程．

当气温为时，用电量为，

故答案为：66度．

15. 一个口袋中装有大小相同的3个白球和4个红球，从中摸出两个球，若X表示摸出白球的个数，则______．

【答案】

【解析】

【分析】求出X的可能取值及对应的概率，从而求出.

【详解】X的可能取值为，

则，，，

所以

故答案为：

16. 若，则______．

【答案】

【解析】

【分析】由组合数以及分类加法和分步乘法计数原理即可得解.

【详解】表示个因数的乘积.而为展开式中的系数，设这个因数中分别取、、这三项分别取个，所以，若要得到含的项，则由计数原理知的取值情况如下表：

由上表可知.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：解决问题的关键在于对上述详解中的正确分类，另外一点值得注意的是在分完类之后，每一类里面还要分步取、、这三项.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. （1）解不等式．

（2）若，求正整数n．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据排列数及排列数公式，计算即可；
（2）根据组合数及组合数公式，计算即可．

【详解】（1）由，可得，可得.
可得，

所以，即，

因为，，，

，，

所以；
（2）

，

故，解得.

18. 已知的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于56.

（1）求展开式中所有二项式系数的和；

（2）求展开式中的常数项.

【答案】（1）1024   

（2）180

【解析】

【分析】（1）根据前三项的二项式系数之和列出方程，求出，进而求出所有二项式系数的和；

（2）利用展开式的通项公式，令的次数为0，求出，得到答案.

【小问1详解】

前三项的二项式系数和为，

解得或-11（舍去），

中，展开式中所有二项式系数的和为；

【小问2详解】

的展开式通项公式为，

令得，故.

19. 用这个数字可以组成多少个：

（1）无重复数字的四位偶数？

（2）无重复数字且个位数字不是的六位数？

（3）无重复数字的六位数，若这些六位数按从小到大的顺序排成一列，则是该数列的第几项？

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）分为末位为和不为两种情况计算即可；

（2）分为首位为和不为两种情况计算即可；

（3）分别讨论首位数字为和首位数字为，第二位为的情况，计算出比小的数字个数即可得到结果.

【小问1详解】

若末位为，则可组成个无重复数字的四位偶数；

若末位不为，则可组成个无重复数字的四位偶数；

共可组成个无重复数字四位偶数.

【小问2详解】

若首位为，则可组成个无重复数字且个位不为的六位数；

若首位不为，则可组成个无重复数字且个位不为的六位数；

共可组成个无重复数字且个位不为的六位数.

【小问3详解】

若首位数字为，则有个数字；

若首位数字为，则第二位为中的一个时，有个数字；

若首位数字为，第二位为，第三位为中的一个时，有个数字；

则是该数列的第项.

20. 某社区对是否愿意参与2023年元旦文艺与体育活动进行调查，随机抽查男性居民，女性居民各35人，参与调查的结果如下表：

（1）从已知数据判断能否有95%的把握认为是否愿意参与文艺和体育活动与性别有关；

（2）用分层抽样方法，在愿意参与的居民中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记抽到的男性居民人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

附：，其中.

【答案】（1）有95%的把握认为是否愿意参与文艺和体育活动与性别有关   

（2）分布列见解析，

【解析】

【分析】（1）根据给定的数表，结合的计算公式，求出的观测值并与临界值表比对作答；

（2）根据分层抽样原则可确定8人中，男性居民和女性居民应抽取的人数，则可确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望公式可求得期望值.

【小问1详解】

由已知得列联表：

因为．

所以有95%的把握认为是否愿意参与文艺和体育活动与性别有关；

【小问2详解】

用分层抽样方法，在愿意参与的居民中抽取8人，男性居民应抽取3人，女性居民应抽取5人，

再从这8人中随机抽取3人，记抽到的男性居民为X，则X的可能取值为0，1，2，3．

，，，

，

所以X的分布列为：

所以．

21. 随着我国经济的发展，人民的生活质量日益提高，对商品的需求也日益增多.商家销售商品，既满足顾客需要，又为商家创造效益，是一种相互依存的合作关系.为较好地达到这个目的，商家需要运用数学模型分析商品销售的规律并确定最优的销售价格.某商店以每件2元的价格购进一种小商品，经过一段时间的试销后，得到下表的统计数据：

（1）由上表数据知，可用线性回归模型拟合y与的关系，请用相关系数加以说明；（精确到0.01）

（2）求关于的线性回归方程；

（3）试问商家将每件售价定为多少元时，可使其获得最大日利润?（结果保留整数）

附；相关系数，线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，.

参考数据：，，，.

【答案】（1）答案见解析   

（2）   

（3）6元

【解析】

【分析】（1）根据相关系数的公式和性质进行求解判断即可；

（2）根据题中所给公式和数据进行求解即可；

（3）根据二次函数的性质进行求解即可.

【小问1详解】

相关系数，

由于接近于1，

故与的线性相关程度相当大，

从而可以用线性回归模型拟合与的关系；

【小问2详解】

由表知，，，

又，

∴，

∴关于的线性回归方程为；

【小问3详解】

设商家的日利润为元，

则，

该二次函数的对称轴方程为，

∴当售价定为每件6元时，商家可获得最大日利润.

22. 2023年3月的体坛属于“冰上运动”，速滑世锦赛、短道速滑世锦赛、花滑世锦赛将在荷兰、韩国、日本相继举行．中国队的“冰上飞将”们将在北京冬奥会后再度出击，向奖牌和金牌发起冲击．据了解，甲、乙、丙三支队伍将会参加2023年3月10日~12日在首尔举行的短道速滑世锦赛5000米短道速滑男子5000米接力的角逐．接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛．已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和，其中．

（1）甲、乙、丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；

（2）若甲、乙、丙三队中恰有两对进入决赛的概率为，求p的值；

（3）在（2）的条件下，设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列・

【答案】（1）乙；    （2）；   

（3）分布列见解析.

【解析】

【分析】（1）根据概率乘法公式，结合配方法进行求解即可；

（2）根据概率的加法公式和乘法公式进行求解即可；

（3）根据概率的乘法公式进行求解即可.

【小问1详解】

甲队进入决赛的概率为，

乙队进入决赛的概率为，

丙队进入决赛的概率为，因为，

所以，显然乙队进入决赛的概率最大，所以乙进入决赛的可能性最大；

【小问2详解】

因为甲、乙、丙三队中恰有两对进入决赛的概率为，所以有，

解得，或，因为，所以；

【小问3详解】

由题意可知：甲、乙、丙三队进入决赛的概率分别为、、，

的可能取值为、、、，

，

，，

，

所以的分布列为：