2022-2023学年山东省潍坊市高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省潍坊市高二（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知函数f(x)=sinx+x²，则f′(x)=( )
A. csx+2xB. csx−2xC. −csx+2xD. −csx−2x
2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3+a11=6，则S13=( )
A. 18B. 21C. 39D. 42
3. 如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为13，记6次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则D(X)=( )
A. 23B. 43C. 2D. 4
4. 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)=2xf′(1)+lnx，则f′(1)=( )
A. −1B. 1C. −2D. 2
5. 某学校对高二学生是否喜欢阅读进行随机调查，调查的数据如表所示：
根据表中的数据，下列对该校高二学生的说法正确的是( )
A. 没有95%以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”
B. 有99%以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”
C. 在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“性别与是否喜欢阅读有关”
D. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与是否喜欢阅读有关”
6. 若(x−1x)n的展开式中，所有的二项式系数之和为64，则该展开式中的常数项为( )
A. 10B. 20C. −10D. −20
7. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，am+n=aman，则S5=( )
A. 64B. 62C. 32D. 30
8. 已知f(x)是定义在(−1,+∞)上的可导函数，且满足f(x)<−xf′(x)，则不等式f(x−1)≥(x+1)f(x2−1)的解集是( )
A. (−1,1 )B. [1,+∞)C. ( 0，1]D. ( 0，+∞)
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列说法正确的是( )
A. 相关系数r越小，说明两个变量之间的线性相关性越弱
B. 若P(B|A)=P(B)，且P(B)>0，则事件A，B相互独立
C. 回归直线 y =b x+â 恒过样本中心点(x,y)，且至少经过一个样本点
D. 残差平方和越小，线性回归模型的拟合效果越好
10. 已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则( )
A. f(x)有且仅有两个极值点
B. f(x)在区间(2,+∞)上单调递增
C. 若f(x)在区间(m,m+1)上单调递增，则m的取值范围为m≤−4或m≥3
D. f(x)可能有四个零点
11. 围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年的历史.在某次围棋比赛中，甲，乙两人进入决赛.决赛采用五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为p(0≤p≤1)，且每局比赛的胜负互不影响，记决赛中的比赛局数为X，则( )
A. 乙连胜三场的概率是(1−p)3
B. P( X=4)=3p3( 1−p)+3p( 1−p)3
C. P( X=5)=12p2( 1−p)2
D. P(X=5)的最大值是 38
12. 给定无穷数列{an}，若无穷数列{bn}满足：对任意n∈N+，都有|bn−an|≤1，则称{bn}与{an}“接近”，则( )
A. 设an=3×(12)n+1,bn=(−1)n+1，则数列{bn}与{an}接近
B. 设an=(12)n−1,bn=an+1+1，则数列{bn}与{an}接近
C. 设数列{an}的前四项为a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{bn}是一个与{an}接近的数列，记集合M={x|x=bi,i=1,2,3,4}，则M中元素的个数为3或4
D. 已知{an}是公差为d的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近，且在b2−b1，b3−b2，⋯，b201−b200中至少有100个为正数，则d>−2
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 要安排4位同学表演文艺节目的顺序，要求甲不能第一个出场，则不同的安排方法共有______ 种
.
14. 若函数f(x)=3x2+axex在x=0处取得极值，则a的值为___．
15. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：①从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于−2；②当n=5时，Sn取得最大值.则an= ______ .(写出一个即可
)
16. 将字母a，a，a，b，b，b，c，c，c放入3×3的表格中，每个格子各放一个字母．
①每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同的概率为______ ；
②若表格中一行字母完全相同的行数为ξ，则ξ的均值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知曲线f(x)=x3−ax+b在坐标原点处的切线方程为y=−3x．
(1)求实数a，b的值；
(2)求f(x)在[−2,3]上的值域．
18. (本小题12.0分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+2n．
(1)求证：数列{an}是等差数列；
(2)设bn=1anan+1，求数列{bn}的前n项和．
19. (本小题12.0分)
第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，条件概率就被广泛应用于ChatGPT中.某数学素养提升小组设计了如下问题进行探究：
现有完全相同的甲，乙两个箱子(如图)，其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球．
(1)求摸出的球是黑球的概率；
(2)若已知摸出的球是黑球，请用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大．
20. (本小题12.0分)
已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)已知数列{bn}满足b1=1,bn+1−bn=4n−1an，求bn．
21. (本小题12.0分)
从传统旅游热点重现人山人海场面，到新兴旅游城市异军突起；从“特种兵式旅游”出圈，到“味蕾游”兴起；从文博演艺一票难求，到国风国潮热度不减……2023年“五一”假期旅游市场传递出令人振奋的信息.这个“五一”假期，您在游玩时的满意度如何？您对景区在“吃住行游购娱”等方方面面有哪些评价和感受？为此，某市文旅局对市内各景区进行了游客满意度测评(满分100分)．
(1)本市一景区随机选取了100名游客的测评成绩作为样本并进行统计，得到如表频率分布表．
按照分层抽样的方法，先从样本测评成绩在[0,20)，[80,100]的游客中随机抽取5人，再从这5人中随机选取3人赠送纪念品，记这3人中成绩在[80,100]的人数为X，求X的分布列及期望；
(2)该市文旅局规定游客满意度测评成绩在80分及以上为“好评”，并分别统计了该市7个景区满意度测评的平均成绩x与“好评”率y，如表所示：
根据数据初步判断，可选用y=keλx(k⟩0)作为回归方程．
(ⅰ)求该回归方程；
(ⅱ)根据以上统计分析，可以认为本市各景区满意度测评平均成绩x～N(μ,400)，其中μ近似为样本平均数a，估计该市景区“好评”率不低于0.78的概率为多少？
参考公式与数据：
①若z=lny，则z−≈−0.64，i=17xizi−7x−z−i=1nxi2−7x−2≈0.02，ln0.15≈−1.9，ln5.2≈1.66．
②线性回归方程y =b x+a 中，b =i=1nxiyi−nx−y−i=1nxi2−nx−2，a =y−−b x−．
③若随机变量X～N(u,σ2)，则P(μ−σP(μ−2σP(μ−3σ22. (本小题12.0分)
已知函数.f(x)=2alnx−x2+a，a∈R．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)有两个零点x1，x2，且x1(3)证明：2ln(n+1)>12+13+14+⋯+1n+1,n∈N*．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为函数f(x)=sinx+x²，则f′(x)=csx+2x．
故选：A．
根据导数的运算法则运算即可．
本题考查导数的运算法则，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：a3+a11=6，
S13=13(a1+a13)2=13(a3+a11)2=39．
故选：C．
根据已知条件，结合等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，即可求解．
本题主要考查等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为13，则“不成功”的概率为23，
则完成6次独立重复试验，符合“二项分布”，
即X～B(6,13)，
D(X)=nP(1−P)=6×13×23=43．
故选：B．
本题为n重伯努利试验，符合二项分布，根据二项分布的方差公式可求出结果．
本题考查二项分布的概念，属于中档题．
4.【答案】A
【解析】解：f′(x)=2f′(1)+1x，
令x=1，得到f′(1)=2f′(1)+1，
解得：f′(1)=−1．
故选：A．
对函数f(x)的解析式求导，得到其导函数，把x=1代入导函数中，列出关于f′(1)的方程，进而得到f′(1)的值．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：由题意可得，K2=100×(30×10−40×20)270×30×50×50=10021≈4.762，
因为4.762>3.841，所以有95%以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故A错误；
因为4.762<6.632，所以没有99%以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故B错误；
因为4.762>3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故C错误，D正确．
故选：D．
计算K2，对照题目中的表格，逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由题意可得2n=64，求得n=6，
故(x−1x)n=(x−1x)6展开式的通项公式为Tr+1=C6r⋅(−1)r⋅x6−2r，
令6−2r=0，求得r=3，可得展开式的常数项为−C63=−20．
故选：D．
在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：am+n=aman，
令m=1，
则an+1=a1an=2an，
数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，
故S5=2(1−25)1−2=26−2=62．
故选：B．
根据已知条件，推得数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，再结合等比数列的前n项和公式，即可求解．
本题主要考查等比数列的前n项和公式，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：令g(x)=xf(x)(x>−1)，
函数f(x)是定义在(−1,+∞)上的可导函数，且满足f(x)<−xf′(x)，即f(x)+xf′(x)<0，
则①：当−2即g(x−1)≤g(x2−1)，
∴0>x−1≥x2−1>−1，
解得0②：当x−1≥0，即x≥1时，不等式f(x−1)≥(x+1)f(x2−1)可化为(x−1)f(x−1)≥(x2−1)f(x2−1)，
即g(x−1)≥g(x2−1)，
故0≤x−1≤x2−1，
解得x≥1；
综上，不等式f(x−1)≥(x+1)f(x2−1)的解集是(0,+∞)．
故选：D．
令g(x)=xf(x)(x>−1)，求导分析，当−11时，不等式f(x−1)≥(x+1)f(x2−1)可化为g(x−1)≥g(x2−1)，分别解之，取并可得答案．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了等价转化思想及推理运算能力，属于难题．
9.【答案】BD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，相关系数r的绝对值越小，说明两个变量之间的线性相关性越弱，A错误；
对于B，若P(B|A)=P(B)，且P(B)>0，即P(B|A)=P(AB)P(A)=P(B)，变形可得P(A)P(B)=P(AB)，则事件A，B相互独立，B正确；
对于C，回归直线 y =b x+â 恒过样本中心点(x,y)，但可以不过任一个样本点，C错误；
对于D，残差平方和越小，线性回归模型的拟合效果越好，D正确．
故选：BD．
根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查线性回归分析，涉及相关统计学的知识，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：由函数f(x)的导函数f′(x)的图象可知，
当x<−3或x>3时，f′(x)>0，f(x)在(−∞,−3)，(3,+∞)上单调递增；①
当−3当x=−3时，f(x)取得极大值，当x=3时，f(x)取得极小值，f(x)有且仅有两个极值点，故A正确；
由①知，若f(x)在区间(m,m+1)上单调递增，则m+1≤−3或m≥3，
解得m≤−4或m≥3，即m的取值范围为m≤−4或m≥3，故C正确；
因为f(x)在(−∞,−3)上单调递增，在(−3,3)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增，
所以当极大值f(−3)>0，且极小值f(3)<0时，f(x)最多可能有三个零点，故D错误．
故选：AC．
由函数f(x)的导函数f′(x)的图象可知f(x)在(−∞,−3)，(3,+∞)上单调递增，在(−3,3)上单调递减，利用导数与极值、单调性的关系可对四个选项逐一分析得到答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查识图能力与运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】BD
【解析】解：根据题意可得，“每局比赛甲获胜”的概率为P，“每局比赛乙获胜”的概率为1−P，
乙连胜3场的概率P=(1−P)3+P(1−P)3+P²(1−P)3=(1−P)3(1+P+P²)，A错；
则决赛中的比赛局数X取值为：3，4，5，
P(X=3)=P3+(1−P)3=3P²−3P+1，
P(X=4)=C32P2(1−p)P+C32(1−P)2P(1−P)=3p3( 1−p)+3p( 1−p)3，B对；
P(X=5)=C42P2(1−P)2P+C42P2(1−P)2(1−P)=6P3(1−P)+6(1−P)3P，C错；
P(X=5)=6P3(1−P)+6(1−P)3P=6P4−12P3+6P2=6(P²−P)²，当P=12时，有最大值38，D对．
故选：BD．
本题根据五局三胜制，比赛局数可能为3、4、5，根据离散型随机事件的性质特征，即可判断正误．
本题考查离散型随机变量的分布列及其特征，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：对于A，a2=3×(12)3=38，b2=(−1)3=−1，所以|b2−a2|=|38+1|=118>1，选项A错误；
对于B，bn=an+1+1=(12)n+1，|bn−an|=|(12)n+1−(12)n−1|−|1−(12)n|≤1，选项B正确；
对于C，|bn−an|≤1，所以an−1≤bn≤an+1，所以b1∈[0,2]，b2∈[1,3]，b3∈[3,5]，b4∈[7,9]，
所以可能b1，b2相等，b2，b3相等，但不能同时成立，b1，b2，b3与b4不相等，
所以M中元素的个数为3或4，选项C正确；
对于D，{an}是公差为d的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近，可得an=a1+(n−1)d，
①若d>0，取bn=an，|bn−an|=0≤1，bn+1−bn=an+1−an=d>0，
则b2−b1，b3−b2，…，b201−b200中有200个正数，符合题意；
②若d=0，取bn=a1−1n，则|bn−an|=|a1−1n−a1|=1n<1，n∈N*，可得bn+1−bn=1n−1n+1>0，
则b2−b1，b3−b2，…，b201−b200中有200个正数，符合题意；
③若−20，
则b2−b1，b3−b2，…，b201−b200中恰有100个正数，符合题意；
④若d≤−2，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近，即为an−1≤bn≤an+1，an+1−1≤bn+1≤an+1+1，
可得bn+1−bn≤an+1+1−(an−1)=2+d≤0，b2−b1，b3−b2，…，b201−b200中无正数，不符合题意．
综上所述：d的取值范围是(−2,+∞)，选项D正确．
故选：BCD．
根据数列{bn}与{an}“接近”的定义，再判断选项A、B是否正确；再验证选项C、D是否正确．
本题考查了新定义的数列应用问题，也考查了推理与判断能力，是难题．
13.【答案】18
【解析】解：先安排甲有3种方法，其余3个同学共有A33=6种，
则共有3×6=18种，
故答案为：18．
利用元素优先法进行计算即可．
本题主要考查简单的排列组合问题，利用元素优先法进行计算是解决本题的关键，是基础题．
14.【答案】0
【解析】
【分析】
本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用，属于基础题．
求出函数的导数，得到f′(0)=0，求出a的值即可．
【解答】
解：∵f(x)=3x2+axex，
∴f′(x)=−3x2+(6−a)x+aex，
若函数f(x)=3x2+axex在x=0处取得极值，
则f′(0)=a=0，
故答案为：0．
15.【答案】11−2n(答案不唯一)
【解析】解：an=11−2n，
满足公差为−2，满足从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于−2；
a5=1>0，a6=−1<0，
故当n=5时，Sn取得最大值．
故答案为：an=11−2n(答案不唯一)．
根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解．
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
16.【答案】1140 328
【解析】解：①当每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同时，第一列a，b，c三个字母全排列，有A33种方法，
第二列剩下的a，b，c三个字母的排列方法有A22种，第三列剩下的a，b，c三个字母的排列方法有1种，
所以共有A33A22×1=12×1=12种排列方法，六个字母在3×3的表格中进行排列，
共有A99A33A33A33=1680种排列方法，所以所求概率为121680=1140；
②由题意知，分数ξ的可能取值为0，1，3，
P(ξ=1)=C31C3l(A66A33A33−2)1680=27280,P(ξ=3)=A331680=1280，
P(ξ=0)=1−P(ξ=1)−P(ξ=3)=1−27280−1280=910，
所以所得分数ξ的均值为E(ξ)=0×910+1×27280+3×1280=30280=328．
故答案为：①1140；②328．
①运用排列中的倍缩法求出9个字母的排列数，当每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同时，分三列依次讨论9个字母的排列情况，进而求出概率；②行数可能取值为0，1，3，进而求出分数为1和3的概率，然后通过分布列的性质求出分数为0的概率，最后求出均值．
本题考查了离散型随机变量的期望计算，属于中档题．
17.【答案】解：(1)f′(x)=3x2−a，
由题意得．f′(0)=−3=−a，f(0)=0=b，
解得a=3，b=0；
(2)由(1)知 f(x)=x3−3x，f′(x)=3x2−3，
令f′(x)>0，即3x2−3>0，解得x<−1或x>1，
令f′(x)<0，即3x2−3<0，解得−1所以f(x)在(−2,−1)单调递增，(−1,1)单调递减，(1,3)单调递增，
则f(x)极小值=f(1)=−2，f(x)极大值=f(−1)=2．
又因为f(−2)=−2，f( 3)=18，
所以f(x)最大值=18，f(x)最小值=−2，
即f(x)在[−2,3]上的值域为[−2,18]．
【解析】(1)先对函数求导，结合导数的几何意义及已知切线方程可求a，b；
(2)结合导数与单调性及最值关系即可求解．
本题主要考查了导数的几何意义，导数与单调性及最值关系的应用，属于基础题．
18.【答案】(1)证明：当n=1时，a1=S1=3，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2+2n−(n−1)2−2(n−1)=2n+1，
当n=1时，满足上式，
所以an=2n+1，
当n≥2时，an−an−1=2n+1−2(n−1)−1=2，
所以数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列；
(2)解：由(1)知an=2n+1，
所以bn=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，
则数列{bn}前n项和为b1+b2+⋯+bn=12[(13−15)+(15−17)+⋯+(12n+1−12n+3)]=16−14n+6=n3(2n+3)．
【解析】(1)由题意可得an−an−1=2n+1−2(n−1)−1=2，即数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列；
(2)由(1)可得bn=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，然后累加求和即可．
本题考查了等差数列通项公式的求法及等差数列的定义，重点考查了裂项求和法，属基础题．
19.【答案】解：(1)记事件A表示“球取自甲箱”，事件A表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”，
则P(A)=P(A−)=12,P(B|A)=26=13,P(B|A−)=25，
由全概率公式得摸出的球是黑球的概率为：
P(B)=P(A)P(B|A)+P(A−)P(B|A−)
=12×13+12×25=1130．
(2)该球取自乙箱的可能性更大．
已知摸出的球是黑球，由条件概率得该球是取自甲箱的概率为：
P(A|B)=P(A)P(B|A)P(B)=12×131130=511，
已知摸出的球是黑球，由条件概率得该球取自乙箱的概率为：
P(A−|B)=P(A−)P(B|A−)P(B)=12×251130=611，
因为P(A|B)所以该球取自乙箱的可能性更大．
【解析】(1)记事件A表示“球取自甲箱”，事件A表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”，则P(A)=P(A−)=12,P(B|A)=26=13,P(B|A−)=25，由全概率公式能求出摸出的球是黑球的概率．
(2)利用条件概率分别求出该球是取自甲箱的概率和该球取自乙箱的概率，由此得到该球取自乙箱的可能性更大．
本题考查概率的运算，考查条件概率、全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20.【答案】解：(1)∵a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项，
∴a3+a4+a5=28a3+a5=2(a4+2)，即a3+a5=20a4=8,8(q+1q)=20，解得q=2或q=12，
∵q>1，∴q=2，
∴an=a4⋅2n−4=2n−1；
(2)由(1)得an=2n−1，则bn+1−bn=(4n−1)12n−1，
∴b2−b1=3×(12)0，b3−b2=7×(12)1，…，bn−bn−1=(4n−5)(12)n−2，
将以上各式相加得(b2−b1)+(b3−b2)+⋯+(bn−1−bn−2)+(bn−bn−1)
=3×(12)0+7×(12)1+⋯+(4n−9)(12)n−3+(4n−5)(12)n−2，
即bn−b1=3×(12)0+7×(12)1+⋯+(4n−9)(12)n−3+(4n−5)(12)n−2，
设M=3×(12)0+7×(12)1+⋯+(4n−9)(12)n−3+(4n−5)(12)n−2,n≥2，
12M=3×12+7×(12)2+⋯+(4n−9)(12)n−2+(4n−5)(12)n−1，
∴12M=3+4×12+4×(12)2+⋯+4×(12)n−2−(4n−5)(12)n−1
=3+4×12(1−12n−2)1−12−(4n−5)(12)n−1，
整理得 M=14−(4n+3)(12)n−2，
又 b1=1，则bn=15−(4n+3)(12)n−2．
【解析】(1)由题意得 a3+a4+a5=28a3+a5=2(a4+2)，即a3+a5=20a4=8,8(q+1q)=20，求出q，利用等比数列的通项公式，即可得出答案；
(2)由(1)得an=2n−1，则bn+1−bn=(4n−1)12n−1，利用累加法和错位相减法，即可得出答案．
本题考查等比数列的通项公式和错位相减法，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)按照分层抽样的方法，测评成绩在[0,20)的游客有2人，[80,100]的游客有3人，则X的取值范围是{1,2,3}，
P(X=1)=C31C22C53=0.3,P(X=2)=C32C21C53=0.6,P(X=3)=C33C20C53=0.1，
X分布列为；

E( X)=1×0.3+2×0.6+3×0.1=1.8．
(2)(i)对 y=keλx两边取对数得lny=lnk+λx，令z=lny，则z=λx+lnk，
根据所给公式可得 λ=i=17xizi−7x⋅zi=17xi2−7x2≈0.02，
又∵x−=32+41+54+68+74+80+927=63,z−≈−0.64，
∴lnk=−0.64−0.02×63=−1.9，即k≈0.15，
∴该回归方程为：y=；
(ii)由(i)及参考数据可得 μ≈x−=63，σ=20，
由y≥0.78即≥0.78可得 x≥≈83，
又μ+σ=83，P(μ−σ由正态分布的性质得：
P(x≥83)=P(x≤43)=1−0.6832=0.1585，
估计该市景区“好评”率不低于0.78 的概率为0.1585．
【解析】本题根据离散型随机变量的特征，求出X的分布列和期望，再根据一元线性回归方程即可估算出该市景区“好评”率不低于0.78的概率．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，及一元线性回归方程模型，属于中档题．
22.【答案】解：(1)∵f(x)=2alnx−x2+a的定义域为(0,+∞)，
∴f′(x)=2ax−2x=−2x2+2ax，
当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0,+∞)上单调递减；
当a>0时，令f′(x)=0，又因为x>0，可解得x= a，
当x∈(0, a]时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈( a,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
(2)证明：因为函数f(x)有两个零点，由(1)知a>0，
f′(x)=2ax−2x，
所以曲线y=f(x)在(x₁,0)和(x₂,0)处的切线分别是：
l1：y=(2ax1−2x1)(x−x1)，l2：y=(2ax2−2x2)(x−x2)，
联立两条切线得x0=x1+x2ax1x2+1，
要证x0小于x1和x1的等差中项，即证2x01，
由题意得2alnx1−x12+a=02alnx2−x22+a=0⇒a=x12−x222(lnx1−lnx2)，
即证 12(x1x2−x2x1)lnx1x2>1．
令t=x1x2<1，即证lnt>12(t−1t)(0令h(t)=lnt−12(t−1t)，
h′(t)=−(t−1)22t2<0，所以h(t)在(0,1)单调递减，所以h(t)>h(1)=0，
所以lnt>12(t−1t)(0综上：x0小于x1和x2的等差中项；
(3)证明：由(1)知当a=1时，f(x)最大值=f(1)=0，
所以f(x)≤0，即2lnx≤x²−1，
即当n∈N*时，2ln(nn+1)<(nn+1)2−1，
2ln(n−1n)<(n−1n)2−1，
……
2ln(12)<(12)2−1，
上述不等式相加得：2ln(1n+1)<(nn+1)2+(n−1n)2+...+(12)2−n
=1−1n+1+1−1n+⋯+1−12−n
=−(1n+1+1n+⋯+12)，
即2ln(n+1)>12+13+14+⋯+1n+1．
【解析】(1)求得f′(x)=2ax−2x=−2x2+2ax，分a≤0与a>0讨论，可得函数f(x)的单调性；
(2)依题意，可求得曲线y=f(x)在(x1,0)和(x2,0)处的切线方程，联立两条切线得x0=x1+x2ax1x2+1，利用分析法，要证x0小于x1和x2的等差中项，即证2x01，进一步分析，即证 12(x1x2−x2x1)lnx1x2>1.通过换元，令t=x1x2<1，即证lnt>12(t−1t)(0(3)由(1)知2lnx≤x2−1，即当n∈N*时，2ln(nn+1)<(nn+1)2−1，2ln(n−1n)<(n−1n)2−1，……，2ln(12)<(12)2−1，累加后再利用放缩法即可证得结论成立．
本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查逻辑推理能力与运算能力，属于难题．
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总计
男学生
30
20
50
女学生
40
10
50
总计
70
30
100
P(x²≥k)
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
k
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
成绩
[0,20)
[20,40)
[40,60)
[60,80)
[80,100]
频率
0.1
0.1
0.3
0.35
0.15
x
32
41
54
68
74
80
92
y
0.28
0.34
0.44
0.58
0.66
0.74
0.94