山东省滨州市惠民县2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

惠民县2022-2023学年度高一下学期

数学质量检测试题

2023.4

注意事项：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若是纯虚数，则（    ）

A.  B. 1 C.  D. 9

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的除法运算化简，根据纯虚数的概念即可求得答案.

【详解】由于，

故由是纯虚数可得且，

故，

故选：B

2. 下列说法正确的是（    ）

A. 单位向量都相等

B. 若，则

C. 若，则

D. 若，则

【答案】C

【解析】

【分析】利用向量的相关性质逐项判断即可.

【详解】对于A，单位向量的模长都相等，但方向不一定相同，所以选项A错误；

对于B，若，说明两个向量的模长相等，但方向不一定相同或相反，所以两向量不一定共线，所以选项B错误；

对于C，向量的相等条件为方向相同且模长相等，所以，则，所以选项C正确；

对于D，此时若，但两向量的方向不同，满足，但与选项D题干矛盾，所以选项D错误.

故选：C.

3. 体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重约为（参考数据：取重力加速度大小为，）（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设两只胳膊的拉力分别为，结合，即可求解.

【详解】设两只胳膊的拉力分别为，且，

则，

所以学生体重.

故选：A.

4. 如图正方形边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是多少？（    ）

A. 4 B. 8 C. 12 D. 16

【答案】D

【解析】

【分析】根据直观图和原图的关系求得正确答案.

【详解】在直观图中，，

所以在原图中，如下图所示，

，，

所以原图形的周长是.

故选：D

5. 已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（    ）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】结合复数的四则运算和共轭复数的定义即可求解.

【详解】因为复数满足，设，则，

所以，解得，

所以，所以，

所以的虚部为.

故选：C.

6. 已知向量，不共线，且，，若与共线，则实数的值为（    ）

A. 2 B.  C. 2或 D. 或

【答案】C

【解析】

【分析】利用两个向量共线的性质列方程可求得实数的值．

【详解】向量，不共线，且，，与共线，

所以存实数，使得，

所以，

求得实数或．

故选：C．

7. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖､三角攒尖､四角攒尖､六角攒尖等，多见于亭闷式建筑.如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为，则该正四棱锥的底面积与侧面积的比为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由侧面为等边三角形，结合面积公式求解即可.

【详解】设底面棱长为，

因为正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，所以侧面为等边三角形，

则该正四棱锥的底面积与侧面积的比为.

故选：B

8. 如图，长方体中，，，为的中点，为底面上一点，若直线与平面没有交点，则面积的最小值为（）

A  B.  C.  D. 1

【答案】A

【解析】

【分析】确定平面，取中点，证明平面平面，确定在上运动，当时面积最小，计算得到答案.

【详解】直线与平面没有交点，所以平面，

取中点，连接，

因为，所以四边形是平行四边形，

所以，平面，平面，故 平面；

同理可得平面，，平面，

故平面平面，

故在上运动，当时，最小，最小值为，

此时的面积最小，求得.

故选：A

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知为复数，设，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中O为坐标原点，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】根据复数的几何意义、共轭复数、复数的乘法运算可以表示出，，三点的坐标，通过向量的模长、向量的平行和垂直知识进而可以判断.

【详解】设，，

，，

，，

对于A，，故选项A正确；

对于B， ，，故选项B正确；

对于C，，

当时，，故选项C错误；

对于D， ，

可以为零，也可以不为零，所以不一定平行于，故选项D错误.

故选:AB.

10. 已知，则下列结论正确的有（    ）

A.  B. 与方向相同的单位向量是 C.  D. 与平行

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据给定的条件，利用向量的数量积、向量夹角，向量共线的坐标表示判断A，C，D；求出与方向相同的单位向量的坐标判断B作答.

【详解】因，则，A正确；

与方向相同的单位向量是，B正确；

，而，所以，C正确；

因，则与不平行，D不正确.

故选：ABC

11. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C.  D. 的面积为

【答案】BC

【解析】

【分析】由题设得，应用正弦定理及边角关系确定不为钝角，进而确定，应用余弦定理求及，最后由面积公式求的面积，即可判断各项正误.

【详解】由题设，则，即，故，

所以不为钝角，否则、都为钝角，则，

又，即，

整理得，故，

，且为三角形内角，则，

综上，的面积，

故A、D错误，B、C正确.

故选：BC

12. 如图是一个圆锥和一个圆柱的组合体，圆锥的底面和圆柱的上底面完全重合且圆锥的高度是圆柱高度的一半，若该组合体外接球的半径为2，则（    ）

A. 圆锥的底面半径为1

B. 圆柱的体积是外接球体积的四分之三

C. 该组合体的外接球表面积与圆柱底面面积的比值为

D. 圆锥的侧面积是圆柱侧面积的一半

【答案】CD

【解析】

【分析】设圆锥的顶点为，圆柱上下底面的圆心分别为，，的中点为，设圆锥的高为，圆柱的高为，圆柱的上下底面圆半径为，由题意可得，解出和的值，进而结合圆柱、圆锥和球体的面积和体积公式求解各选项即可.

【详解】如图，设圆锥的顶点为，圆柱上下底面的圆心分别为，，的中点为，

由题意，设圆锥的高为，圆柱的高为，圆柱的上下底面圆半径为，

则，解得，，故A错误；

圆柱的体积为，

外接球体积为，

则，故B错误；

圆柱底面面积为，

外接球表面积，

则，故C正确；

圆锥的母线长为，

所以圆锥的侧面积为，

圆柱侧面积为，

所以圆锥的侧面积是圆柱侧面积的一半，故D正确.

故选：CD.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 定义：，两个向量的叉乘的模.若点､，为坐标原点，则______.

【答案】1

【解析】

【分析】依题意首先求出、根据，求出，再根据所给定义计算可得；

【详解】因为、，所以、，

所以，，，所以，

因为，所以，

所以

故答案为：

14. 若是虚数单位，则______.

【答案】

【解析】

【分析】根据错位相减法求数列的和，结合虚数单位i的性质以及复数的除法进行化简，即可得答案.

【详解】由虚数单位i性质可知，，

由题意可设，

则，

两式相减得：

，

故，

故答案为：

15. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标表示为______.

【答案】

【解析】

【分析】利用投影向量求解公式进行求解.

【详解】向量在向量上的投影向量为.

故答案为：

16. 如图所示的六面体由两个棱长为a的正四面体，组合而成，记正四面体的内切球为球，正四面体的内切球为球，则______；若在该六面体内放置一个球O，则球O的体积的最大值是______．

【答案】    ①. ##    ②.

【解析】

【分析】第一空，取的中点D，连接，设点M在平面内的射影为N，知N为的中心，求出正四面体的高，利用等体积法即可求得正四面体的内切球半径，根据对称性可得答案；第二空，六面体内放置一个球O，当球O的体积最大时，球O与该六面体的六个面都相切，由此根据对称性确定球心位置，求得其半径，即可求得答案.

【详解】如图，取的中点D，连接，设点M在平面内的射影为N，连接，

由四面体是正四面体，知N为的中心，且N在线段AD上,,

由正四面体的棱长为a，可得，，．

设球半径为r，由等体积法可，

得，

根据六面体的对称性可知正四面体的内切球和正四面体的内切球与面相切于N点，

可得．

当球O的体积最大时，球O与该六面体的六个面都相切，

此时，由对称性可知球心O即的中心N，连接，,

过点O作于点E，由于,

平面,

故平面,而平面,所以,

又平面,

故平面,

则OE为球O的半径．，

即，得，即此时球O的半径为，

所以球O的体积的最大值为 ．

故答案为：.

【点睛】方法点睛：在正四面体中要注意以下几个重要结论：（1）棱长为a的正四面体，其每个面的三角形的高为，正四面体的高为，外接球的半径为，内切球的半径为；（2）求棱锥内切球的半径，可以根据球心到各个面的距离相等以及棱锥的等体积法列式得出．

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 如图，四边形ABCD中，已知.

（1）用，表示；

（2）若，，用，表示.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据向量的加法运算求解出的表示；

（2）根据以及已知条件可将表示为与的线性组合.

【详解】（1）因为，

所以；

（2）因为，

所以.

18. 当实数取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件：

（1）与原点重合；

（2）位于直线上；

（3）位于第一象限或者第三象限.

【答案】（1）   

（2）或   

（3）或.

【解析】

【分析】（1）（2）（3）根据复数的几何意义，结合表示的点所处位置，列出相应的方程或不等式，即可求得答案.

【小问1详解】

由题意得复数z满足时，表示的点与原点重合,

解得.

【小问2详解】

当时，表示复数的点位于直线上，

解得或.

【小问3详解】

方法一：由题意可得或，

解，得或，解，解集为，

故或.

方法二：由题意得或.

19. 如图，在圆柱中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异于、的点．

（1）求证：平面；

（2）若，，，求圆柱的侧面积．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）由圆柱的性质可得底面，即可得出，再由直线与平面垂直的判定得出结论；

（2）由已知解直角三角形求出圆柱的底面半径及母线长，即可求出答案.

【小问1详解】

证明：底面，且底面，

，

又，且，平面，

平面；

【小问2详解】

在中，，，

，

又在中，，

．

圆柱的底面半径为，母线长为4，

圆柱的侧面积为．

20. 某同学为了估算教学楼的高度，在教学楼的附近找到一座高为的建筑物，在它们之间的地面上取点使、、三点共线，在点处测得建筑物楼顶以及教学楼楼顶的仰角分别是和，在楼顶处测得教学楼楼顶的仰角为，则此同学估算该教学楼的高度是多少？

【答案】

【解析】

【分析】在中，求得，再在中，利用正弦定理求得的长，进而在直角中，即可求得的长，得到答案.

【详解】解：如图所示，在中，，

所以，

根据题意，可得，

在中，由正弦定理得，

可得，

在直角中，.

所以估算此教学楼的高度是.

21. 如图,在四棱锥中,底面是菱形,,三角形为正三角形,且侧面底面.分别为线段,的中点.

（1）求证:平面;

（2）在棱上是否存在点,使平面平面,请说明理由.

【答案】（1）证明见解析   

（2）存，理由见解析

【解析】

【分析】（1）构造三角形的中位线得到线线平行,进而得到线面平行;

（2）在棱上存在点,为的中点时,平面⊥平面,先猜后证,先证线面垂直,由线面推出面面垂直.

【小问1详解】

连接交于点,连接,

因为四边形是菱形,

所以点为的中点.

又因为为的中点,

所以.

又因为平面平面,

所以平面.

  小问2详解】

在棱上存在点为的中点时,平面平面.

证明:连接.

因为为正三角形,为的中点,

所以,

又因为平面平面,平面平面平面.

所以平面,又平面,

所以,

因为是菱形,为的中点,

所以是正三角形,,

因为,

所以,

因为,平面,平面,

所以平面,又平面,

所以.

因为分别为的中点,

所以,

所以,

因为是菱形,,

所以是正三角形.

又因为为的中点,

所以,

因为,平面,平面,

所以平面,

因为平面,

所以平面平面.

22. 在锐角三角形中，角，的对边分别是，，，若已知，且.

（1）求角的值；

（2）求三角形的面积的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理、两角和的正弦公式、同角三角函数的基本关系式化简已知条件，由此求得的值.

（2）利用余弦定理化简已知条件，结合正弦定理求得的取值范围，进而求得三角形的面积的取值范围.

【小问1详解】

因为，

由正弦定理得，

因为，所以，

所以，

即

所以，因为，所以.

【小问2详解】

因为所以，

所以由余弦定理的，所以，

所以，

又由正弦定理可得，

所以.

所以，

因为三角形是锐角三角形，所以，解得，

所以

所以，

所以