新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第5章 章末检测试卷(五) (含解析)

章末检测试卷(五)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1．若扇形的面积为16 cm2，圆心角为2 rad，则该扇形的弧长为(　　)

A．4 cm  B．8 cm  C．12 cm  D．16 cm

答案　B

解析　S＝αr2＝r2＝16，∴r＝4，l＝αr＝2×4＝8，故选B.

2．sin 40°sin 50°－cos 40°cos 50°等于(　　)

A．0  B．1  C．－1  D．－cos 10°

答案　A

解析　sin 40°sin 50°－cos 40°cos 50°＝－cos(40°＋50°)＝0.

3．已知角θ终边经过点(3，－4)，则等于(　　)

A.  B．－  C.  D．－

答案　C

解析　由三角函数的定义可得tan θ＝－，

因此，＝＝－＝.

4．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝对称的是(　　)

A．y＝sin   B．y＝sin

C．y＝sin   D．y＝sin

答案　A

解析　∵最小正周期为π，∴ω＝2，

又图象关于直线x＝对称，

∴f ＝±1，故只有A符合．

5.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)

A.，k∈Z

B.，k∈Z

C.，k∈Z

D.，k∈Z

答案　A

解析　易得周期T满足T＝－＝π，故T＝π.且图中最高点横坐标x＝－T＝－×π＝.故一个单调递减区间为＝.又函数周期为T＝π.故单调递减区间为，k∈Z.

6．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<，则f(x)的最大值为(　　)

A．1  B．2  C.＋1  D.＋2

答案　B

解析　因为f(x)＝cos x

＝cos x＋sin x＝2sin，0≤x<，

所以当x＝时，f(x)取得最大值2.

7．若把函数y＝f(x)的图象沿x轴向左平移个单位长度，沿y轴向下平移1个单位长度，然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y＝sin x的图象，则y＝f(x)的解析式为(　　)

A．y＝sin＋1   B．y＝sin＋1

C．y＝sin－1   D．y＝sin－1

答案　B

解析　把函数y＝sin x图象上每个点的横坐标缩短到原来的(纵坐标保持不变)，得到y＝

sin 2x，沿y轴向上平移1个单位长度，得到y＝sin 2x＋1，图象沿x轴向右平移个单位长度，得到函数y＝sin＋1＝sin＋1.

8．若0<α<<β<π，且cos β＝－，sin(α＋β)＝，则sin α的值是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　由题设<β<π，cos β＝－⇒sin β＝，又0<α<<β<π⇒<α＋β<，则cos(α＋β)

＝－＝－，所以sin α＝sin[(α＋β)－β]

＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝×＋×＝.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9．给出下列函数：①y＝cos|2x|；②y＝|cos x|；③y＝cos；④y＝tan.其中最小正周期为π的有(　　)

A．①  B．②  C．③  D．④

答案　ABC

解析　①中，y＝cos|2x|＝cos 2x，其最小正周期为π；②中，知y＝|cos x|是y＝cos x将x轴下方的部分向上翻折得到的，故周期减半，即y＝|cos x|的最小正周期为π；③中，y＝cos的最小正周期T＝＝π；

④中，y＝tan的最小正周期T＝.

10．已知函数f(x)＝2sin＋1，则下列说法正确的是(　　)

A．函数f(x)的图象关于点对称

B．函数f(x)图象的一条对称轴是x＝－

C．若x∈，则函数f(x)的最小值为＋1

D．若0<x1<x2<π，则f(x1)<f(x2)

答案　BC

解析　A项，令2x－＝kπ(k∈Z)知函数f(x)关于点(k∈Z)对称，所以A不成立；

B项，令2x－＝＋kπ(k∈Z)知函数f(x)关于x＝＋(k∈Z)对称，所以B成立；

C项，若x∈，2x－∈，

则函数f(x)的最小值为＋1，C成立；

D项，由于当0<x1<x2<π，f(x)不具有单调性，所以D不成立．

11．若cos 2θ＋cos θ＝0，则sin 2θ＋sin θ等于(　　)

A．0   B.

C．－   D.

答案　ABC

解析　由cos 2θ＋cos θ＝0得2cos2θ－1＋cos θ＝0，

所以cos θ＝－1或.

当cos θ＝－1时，有sin θ＝0；

当cos θ＝时，有sin θ＝±.

于是sin 2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或或－.

12．对于函数f(x)＝下列说法中不正确的是(　　)

A．该函数的值域是[－1,1]

B．当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值1

C．当且仅当x＝2kπ－(k∈Z)时，函数取得最小值－1

D．当且仅当2kπ＋π<x<2kπ＋(k∈Z)时，f(x)<0

答案　ABC

解析　画出函数f(x)的图象如图所示，由图象容易看出：该函数的值域是；当且仅当x＝2kπ＋或x＝2kπ，k∈Z时，函数取得最大值1；当且仅当x＝2kπ＋，k∈Z时，函数取得最小值－；当且仅当2kπ＋π<x<2kπ＋，k∈Z时，f(x)<0，可知A，B，C不正确．

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知cos(45°＋α)＝，则cos(135°－α)＝________.

答案　－

解析　cos(135°－α)＝cos[180°－(45°＋α)]

＝－cos(45°＋α)＝－.

14．若tan α＝，则tan＝________，tan 2α＝________.(本题第一空2分，第二空3分)

答案　　

解析　由题意知tan＝＝＝，tan 2α＝＝＝.

15．设函数f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a，已知当x∈时，f(x)的最小值为－2，则a＝________.

答案　－2

解析　f(x)＝1＋cos 2x＋sin 2x＋a

＝2sin＋a＋1.

∵x∈，∴2x＋∈.

∴sin∈，

∴f(x)min＝2×＋a＋1＝a.∴a＝－2.

16．函数f(x)＝cos(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象向左平移φ个单位长度，所得图象关于原点对称，则φ的值为________．

答案　

解析　∵函数f(x)＝cos(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，

∴ω＝＝2，即f(x)＝cos(x∈R)，

将y＝f(x)的图象向左平移φ个单位长度，

所得函数为g(x)＝cos

＝cos，

又所得图象关于原点对称，

∴2φ＋＝kπ＋，k∈Z，

即φ＝＋，k∈Z，又0<φ<，

∴φ＝.

四、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)已知<α<π，sin α＝.

(1)求的值；

(2)求cos 2α＋sin的值．

解　(1)∵<α<π，且sin α＝，∴cos α＝－，

∴tan α＝－.

＝

＝＝.

(2)cos 2α＋sin＝1－2sin2α＋cos α＝1－2×－＝－.

18．(12分)已知函数f(x)＝.

(1)求f(x)的定义域及最小正周期；

(2)求f(x)的单调递减区间．

解　(1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z)，

故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．

因为f(x)＝

＝2cos x(sin x－cos x)

＝sin 2x－cos 2x－1

＝sin－1，

所以f(x)的最小正周期T＝＝π.

(2)函数y＝sin x的单调递减区间为

(k∈Z)．

由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，

得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，

所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．

19．(12分)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象过点P，且图象上与点P最近的一个最低点是Q.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若f ＝，且α为第三象限的角，求sin α＋cos α的值．

解　(1)根据题意可知，A＝2，＝－＝，

∴T＝＝π，解得ω＝2.

又f ＝0，∴sin＝0，而|φ|<，

∴φ＝－.

∴f(x)＝2sin.

(2)由f ＝可得，2sin 2α＝，即sin 2α＝.

∵α为第三象限的角，∴sin α＋cos α

＝－＝－＝－.

20．(12分)求证：sin3αsin 3α＋cos3αcos 3α＝cos32α.

证明　左边＝sin2αsin αsin 3α＋cos2αcos αcos 3α

＝sin αsin 3α＋cos αcos 3α

＝(sin αsin 3α＋cos αcos 3α)＋cos 2α(－sin αsin 3α＋cos αcos 3α)

＝cos(α－3α)＋cos 2αcos(3α＋α)

＝cos 2α＋cos 2αcos 4α

＝cos 2α(1＋cos 4α)

＝cos 2α·2cos22α＝cos32α＝右边．

21．(12分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.

(1)求ω和φ的值；

(2)若f ＝，求cos的值．

解　(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，

所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.

又因为f(x)的图象关于直线x＝对称，

所以2·＋φ＝kπ＋，k∈Z，

由－≤φ<，得k＝0，

所以φ＝－＝－.

(2)由(1)得f ＝sin＝，

所以sin＝.

由<α<得0<α－<，

所以cos＝

＝＝.

因此cos＝sin α

＝sin

＝sincos ＋cossin 

＝×＋×＝.

22．(12分)如图，将一块圆心角为120°，半径为20 cm的扇形铁片裁成一块矩形，有两种裁法，让矩形一边在扇形的半径OA上(如图①)或让矩形一边与弦AB平行(如图②)，请问哪种裁法得到的矩形的最大面积最大？请求出这个最大值．

解　对于题干图①，MN＝20sin θ，ON＝20cos θ，

所以S1＝ON·MN＝400sin θcos θ＝200sin 2θ.

所以当sin 2θ＝1，即θ＝45°时，S1max＝200 cm2.

对于题干图②，MQ＝40sin(60°－α)，

MN＝20cos(60°－α)－＝sin α，

所以S2＝.

因为0°<α<60°，

所以－60°<2α－60°<60°.

所以当cos(2α－60°)＝1，即2α－60°＝0，

即α＝30°时，S2max＝ cm2.

因为>200，

所以用图②这种裁法得到的矩形的最大面积最大，为 cm2.