新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第1章 §1.3 第2课时 补集(含解析)

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第2课时　补　集
学习目标　1.了解全集的含义及其符号表示.2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集.3.会用Venn图、数轴进行集合的运算．

知识点　全集与补集
1．全集
(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)记法：全集通常记作U.
思考　全集一定是实数集R吗？
答案　不一定．全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.
2．补集
自然语言
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA
符号语言
∁UA＝{x|x∈U且x∉A}
图形语言


思考　∁UA包含哪三层意思？
答案　①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是由U中所有不属于A的元素构成的集合．

1．全集一定含有任何元素．(　×　)
2．集合∁RA＝∁QA.(　×　)
3．一个集合的补集一定含有元素．(　×　)
4．存在x0∈U，x0∉A，且x0∉∁UA.(　×　)
5．设全集U＝R，A＝，则∁UA＝.(　×　)

一、补集的运算
例1　(1)设集合U＝R，M＝{x|x>2或x<－2}，则∁UM等于(　　)
A．{x|－2≤x≤2} B．{x|－2 C．{x|x<－2或x>2} D．{x|x≤－2或x≥2}
答案　A
解析　如图，在数轴上表示出集合M，
可知∁UM＝{x|－2≤x≤2}．

(2)设U＝{x∈Z|－5≤x<－2或2 答案　{－5，－4,3,4}　{－5，－4,5}
解析　方法一　在集合U中，∵x∈Z，
则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，
∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．
又∵A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，
∴∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}．
方法二　可用Venn图表示．

则∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}．
(学生)
反思感悟　求补集的方法
(1)列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合．
(2)由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成集合．
跟踪训练1　(1)已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3 答案　{x|x＝－3或x>4}
解析　借助数轴得∁UA＝{x|x＝－3或x>4}．
(2)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝________．
答案　{2,3,5,7}
解析　方法一　(定义法)：因为A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁UB＝{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}．
方法二　(Venn图法)：满足题意的Venn图，如图所示．

由图可知B＝{2,3,5,7}．
二、交、并、补集的综合运算
例2　已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2 解　如图所示．

∵A＝{x|－2 U＝{x|x≤4}，
∴∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
∁UB＝{x|x<－3或2 A∪B＝{x|－3≤x<3}．
故A∩B＝{x|－2 (∁UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，
A∩(∁UB)＝{x|2 ∁U(A∪B)＝{x|x<－3或3≤x≤4}，
(∁UA)∩(∁UB)＝{x|x<－3或3≤x≤4}，
∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或2 (∁UA)∪(∁UB)＝{x|x≤－2或2 反思感悟　解决集合交、并、补运算的技巧
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错．
(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．
跟踪训练2　已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{4，7,8}，求A∩B，A∪B，(∁UA)∩
(∁UB)，A∩(∁UB)，(∁UA)∪B.
解　方法一　(直接法)：由已知易求得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，∁UA＝{1,2,6,7,8}，
∁UB＝{1,2,3,5,6}，∴(∁UA)∩(∁UB)＝{1,2,6}，A∩(∁UB)＝{3,5}，(∁UA)∪B＝{1,2,4,6,7,8}．
方法二　(Venn图法)：画出Venn图，如图所示，

可得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，
(∁UA)∩(∁UB)＝{1,2,6}，A∩(∁UB)＝{3,5}，
(∁UA)∪B＝{1,2,4,6,7,8}．
三、与补集有关的参数值的求解
例3　已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤－2或x≥3}，B＝{x|2m＋1 解　因为A＝{x|x≤－2或x≥3}，
所以∁UA＝{x|－2 因为(∁UA)∩B＝B，所以B⊆(∁UA)．
当B＝∅时，即2m＋1≥m＋7，
所以m≥6，满足(∁UA)∩B＝B.
当B≠∅时，由无解．
故m的取值范围是{m|m≥6}．
延伸探究
1．若把本例的条件“(∁UA)∩B＝B”改为“(∁UA)∪B＝B”，则实数m的取值范围为________．
答案　
解析　因为(∁UA)∪B＝B，所以(∁UA)⊆B，
所以解得－4≤m≤－，
故实数m的取值范围为.
2．若将本例的条件“(∁UA)∩B＝B”改为“(∁UA)∩B＝∅”，则实数m的取值范围为________．
答案　{m|m≤－9或m≥1}
解析　当B＝∅时，m≥6.
当B≠∅时，m<6时，m＋7≤－2或2m＋1≥3，解得m≤－9或1≤m<6.
故实数m的取值范围为{m|m≤－9或m≥1}．
(学生)
反思感悟　利用补集求参数应注意两点
(1)与集合的交、并、补运算有关的参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形．
(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．
跟踪训练3　已知集合A＝{x|x0}．若A∩(∁RB)＝∅，求实数a的取值范围．
解　∵B＝{x|x<－1或x>0}，
∴∁RB＝{x|－1≤x≤0}，
要使A∩(∁RB)＝∅，结合数轴分析(如图)，
可得a≤－1.

即实数a的取值范围是{a|a≤－1}．

1．已知全集U＝{0,1,2}，且∁UA＝{2}，则A等于(　　)
A．{0} B．{1} C．∅ D．{0,1}
答案　D
解析　∵U＝{0,1,2}，∁UA＝{2}，∴A＝{0,1}．
2．设U＝R，A＝{x|－1 A．{x|x≤－1或x>0} B．{x|－1≤x<0}
C．{x|x<－1或x≥0} D．{x|x≤－1或x≥0}
答案　A
解析　因为U＝R，A＝{x|－1 所以∁UA＝{x|x≤－1或x>0}．
3．已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁RA)∩B等于(　　)
A．{－2，－1} B．{－2}
C．{－1,0,1} D．{0,1}
答案　A
解析　因为集合A＝{x|x>－1}，
所以∁RA＝{x|x≤－1}，
则(∁RA)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．
4．已知集合A＝{3,4，m}，集合B＝{3,4}，若∁AB＝{5}，则实数m＝________.
答案　5
解析　∵∁AB＝{5}，∴5∈A，且5∉B.∴m＝5.
5．设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2 答案　{x|x≤2或x≥10}　{x|2 解析　把全集R和集合A，B在数轴上表示如图：

由图知，A∪B＝{x|2 ∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．
∵∁RA＝{x|x<3或x≥7}，
∴(∁RA)∩B＝{x|2
1．知识清单：
(1)全集和补集的概念及运算．
(2)并、交、补集的综合运算．
(3)与补集有关的参数值的求解．
2．方法归纳：正难则反的补集思想、数形结合．
3．常见误区：求补集时忽视全集，运算时易忽视端点的取舍．


1．设全集U＝{x|x≥0}，集合P＝{1}，则∁UP等于(　　)
A．{x|0≤x<1或x>1} B．{x|x<1}
C．{x|x<1或x>1} D．{x|x>1}
答案　A
解析　因为U＝{x|x≥0}，P＝{1}，
所以∁UP＝{x|x≥0且x≠1}＝{x|0≤x<1或x>1}．
2．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4}，B＝{6,7}，则(∁UB)∩A等于(　　)
A．{1,6} B．{1,7}
C．{3,4} D．{3,4,5}
答案　C
解析　∵U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4}，B＝{6,7}，
∴∁UB＝{1,2,3,4,5}，∴(∁UB)∩A＝{3,4}．
3．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩(∁RB)等于(　　)
A．{x|x>1} B．{x|x≥1}
C．{x|1 答案　D
解析　由A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}可知∁RB＝{x|x≥1}．∴A∩(∁RB)＝{x|1≤x≤2}．
4.设全集U为实数集R，M＝{x|x>2或x<－2}，N＝{x|x≥3或x<1}都是全集U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是(　　)

A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}
C．{x|1 答案　A
解析　阴影部分表示的集合为N∩(∁UM)＝{x|－2≤x<1}．
5．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　A＝{1,2}，B＝{2,4}，所以A∪B＝{1,2,4}，
则∁U(A∪B)＝{3,5}，共有2个元素．
6．设全集U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(∁UB)＝________.
答案　{x|0 解析　∵U＝R，B＝{x|x>1}，∴∁UB＝{x|x≤1}．
又∵A＝{x|x>0}，
∴A∩(∁UB)＝{x|x>0}∩{x|x≤1}＝{x|0 7．设全集U＝R，集合A＝{x|0 答案　4
解析　∵U＝R，A＝{x|0 ∴∁UA＝{x|x≤0或x≥9}，
又∵B＝{x∈Z|－4 ∴(∁UA)∩B＝{x∈Z|－4 8．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x 答案　2
解析　∵A＝{x|1≤x ∴A∪(∁UA)＝U＝{x|1≤x≤5}，且A∩(∁UA)＝∅，
∴a＝2.
9．设U＝R，已知集合A＝{x|－5 (1)A∩B；(2)A∪B；(3)A∪(∁UB)；(4)B∩(∁UA)．
解　(1)如图①.A∩B＝{x|0≤x<5}．
(2)如图①.A∪B＝{x|－5
(3)如图②.∁UB＝{x|x<0或x≥7}，
∴A∪(∁UB)＝{x|x<5或x≥7}．

(4)如图③.∁UA＝{x|x≤－5或x≥5}，
∴B∩(∁UA)＝{x|5≤x<7}．

10．设全集U＝R，M＝{x|3a 解　∁UP＝{x|x<－2或x>1}，
∵M∁UP，∴分M＝∅，M≠∅两种情况讨论．
(1)M≠∅时，如图可得或
∴a≤－或≤a<5.

(2)M＝∅时，应有3a≥2a＋5⇒a≥5.
综上可知，a≤－或a≥.

11．定义差集A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－(A－B)可表示下列图中阴影部分的为(　　)

答案　A
解析　如图所示，A－B表示图中阴影部分，

故C－(A－B)所含元素属于C，但不属于图中阴影部分．
12．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k A．k<0或k>3 B．2 C．0 答案　C
解析　∵A＝{x|x≤1或x≥3}，∴∁UA＝{x|1 13．设全集U是实数集R，M＝{x|x<－2或x>2}，N＝{x|1≤x≤3}．如图所示，则阴影部分所表示的集合为________．

答案　{x|－2≤x<1}
解析　由题意知M∪N＝{x|x<－2或x≥1}，
阴影部分所表示的集合为∁U(M∪N)＝{x|－2≤x<1}．
14．设全集U＝R，集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，且(∁UA)∪B＝R，则实数a的取值范围是________．
答案　{a|a≤1}
解析　因为A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，
所以∁UA＝{x|x≤1}，由(∁UA)∪B＝R，可知a≤1.

15．设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”：X*Y＝∁U(X∩Y)．对于任意集合X，Y，Z，则(X*Y)*Z等于(　　)
A．(X∪Y)∩∁UZ B．(X∩Y)∪∁UZ
C．(∁UX∪∁UY)∩Z D．(∁UX∩∁UY)∪Z
答案　B
解析　依题意得X*Y＝∁U(X∩Y)，
(X*Y)*Z＝∁U[(X*Y)∩Z]＝∁U[∁U(X∩Y)∩Z]
＝{∁U[∁U(X∩Y)]}∪(∁UZ)＝(X∩Y)∪(∁UZ)．
16．某校向50名学生调查对A，B事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是这50名学生的，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的多1人．你能说出对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人吗？
解　已知赞成A的人数为50×＝30，赞成B的人数为30＋3＝33，记50名学生组成的集合为U，赞成A的学生全体为集合A，赞成B的学生全体为集合B.
设对A，B都赞成的学生人数为x，
则对A，B都不赞成的学生人数为＋1，
赞成A而不赞成B的人数为30－x，
赞成B而不赞成A的人数为33－x.用Venn图表示如图所示．

依题意(30－x)＋(33－x)＋x＋＝50，解得x＝21.
故对A，B都赞成的学生有21人，都不赞成的有8人．