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    新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第1章 §1.3 第1课时 并集与交集(含解析)

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    这是一份新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第1章 §1.3 第1课时 并集与交集(含解析),共10页。

    §1.3 集合的基本运算
    第1课时 并集与交集
    学习目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义.会求两个简单集合的并集和交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.

    知识点一 并集

    思考 并集定义中“x∈A或x∈B”包含三种情况,你知道有哪三种情况吗?
    答案 “x∈A或x∈B”这一条件,包括下列三种情况:x∈A,但x∉B;x∈B,但x∉A;x∈A,且x∈B.因此,A∪B是由所有至少属于A,B两者之一的元素组成的集合.可用图表示.

    知识点二 交集

    思考 在交集的定义中“x∈A且x∈B”与“x∈(A∩B)”是等价的吗?
    答案 “x∈A且x∈B”与“x∈(A∩B)”是等价的,即由既属于A,又属于B的元素组成的集合为A∩B.

    1.已知表示集合M={-1,0,1}和P={0,1,2,3}关系的Venn图如图所示,则阴影部分表示的集合是________.

    答案 {0,1}
    解析 由题中Venn图得,阴影部分表示的集合是M∩P,
    因为M={-1,0,1},P={0,1,2,3},
    所以M∩P={-1,0,1}∩{0,1,2,3}={0,1}.
    2.设集合M={0,1,2},N={1,2,3},则M∩N=________,M∪N=________.
    答案 {1,2} {0,1,2,3}
    解析 ∵M={0,1,2},N={1,2,3},
    ∴M∩N={1,2},M∪N={0,1,2,3}.
    3.已知集合A={x|x>0},B={x|1≤x≤2},则A∪B=________.
    答案 {x|x>0}
    解析 A∪B={x|x>0}∪{x|1≤x≤2}={x|x>0}.
    4.已知集合A={x|1 答案 {x|1 解析 因为A={x|1 所以A∩B={x|1
    一、并集的运算
    例1 (1)设集合A={-1,0,-2},B={x|x2-x-6=0},则A∪B等于(  )
    A.{-2} B.{-2,3}
    C.{-1,0,-2} D.{-1,0,-2,3}
    答案 D
    解析 因为A={-1,0,-2},B={x|x2-x-6=0}={-2,3},
    所以A∪B={-1,0,-2,3}.
    (2)若集合A={x|x>-1},B={x|-2 A.{x|x>-2} B.{x|x>-1}
    C.{x|-2 答案 A
    解析 在数轴上表示出集合A与B,如图所示,故A∪B={x|x>-2}.

    (学生)
    反思感悟 并集的运算技巧
    (1)若集合中元素个数有限,则直接根据并集的定义求解,但要注意集合中元素的互异性.
    (2)若集合中元素个数无限,可借助数轴,利用数轴分析法求解,但要注意是否去掉端点值.
    跟踪训练1 已知集合M={0,1,3},N={x|x=3a,a∈M},则M∪N等于(  )
    A.{0} B.{0,3}
    C.{1,3,9} D.{0,1,3,9}
    答案 D
    解析 易知N={0,3,9},故M∪N={0,1,3,9}.
    二、交集的运算
    例2 (1)已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B等于(  )
    A.{1} B.{4}
    C.{1,3} D.{1,4}
    答案 D
    解析 因为集合B中,x∈A,
    所以当x=1时,y=3-2=1;
    当x=2时,y=3×2-2=4;当x=3时,y=3×3-2=7;
    当x=4时,y=3×4-2=10.即B={1,4,7,10}.
    又因为A={1,2,3,4},所以A∩B={1,4}.
    (2)设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B等于(  )
    A.{x|0≤x≤2} B.{x|1≤x≤2}
    C.{x|0≤x≤4} D.{x|1≤x≤4}
    答案 A
    解析 在数轴上表示出集合A与B,如图所示.

    则由交集的定义,知A∩B={x|0≤x≤2}.
    (学生)
    反思感悟 交集运算的注意点
    (1)求集合交集的运算类似于并集的运算,其方法为①定义法,②数形结合法.
    (2)若A,B是无限连续的数集,多利用数轴来求解.但要注意,利用数轴表示不等式时,含有端点的值用实点表示,不含有端点的值用空心点表示.
    跟踪训练2 若A={x∈N|1≤x≤10},B={x∈R|x2+x-6=0},则图中阴影部分表示的集合为(  )

    A.{2} B.{3}
    C.{-3,2} D.{-2,3}
    答案 A
    解析 易知A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={-3,2},图中阴影部分表示的集合为A∩B={2}.
    三、并集、交集性质的应用
    例3 已知集合A={x|-3 解 ∵A∪B=A,∴B⊆A,∴分B=∅和B≠∅两种情况讨论.
    ①当B=∅时,k+1>2k-1,∴k<2.
    ②当B≠∅,则根据题意如图所示:

    根据数轴可得解得2≤k≤.
    综合①②可得k的取值范围是.
    (教师)
    延伸探究
    把本例中的条件“A∪B=A”换为“A∩B=A”,求k的取值范围.
    解 ∵A∩B=A,∴A⊆B.
    又∵A={x|-3 可知B≠∅.
    由数轴(如图所示)可知解得k∈∅,

    即当A∩B=A时,k的取值范围为∅.
    (学生)
    反思感悟 利用集合交集、并集的性质解题的技巧
    (1)在进行集合运算时,若条件中出现A∩B=A或A∪B=B,应转化为A⊆B,然后用集合间的关系解决问题,并注意A=∅的情况.
    (2)集合运算常用的性质:
    ①A∪B=B⇔A⊆B;②A∩B=A⇔A⊆B;③A∩B=A∪B⇔A=B.
    跟踪训练3 (1)A={x|x≤-1或x≥3},B={x|a A.3≤a<4 B.-1 C.a≤-1 D.a<-1
    答案 C
    解析 利用数轴,若A∪B=R,则a≤-1.

    (2)设集合M={x|-2 答案 {t|t≤2}
    解析 由M∩N=N,得N⊆M.
    故当N=∅,即2t+1≤2-t,t≤时,M∩N=N成立;
    当N≠∅时,由图得解得 综上可知,所求实数t的取值范围为{t|t≤2}.


    含字母的集合运算忽视空集或检验
    典例 (1)已知M={2,a2-3a+5,5},N={1,a2-6a+10,3},M∩N={2,3},则a的值是(  )
    A.1或2 B.2或4 C.2 D.1
    答案 C
    解析 ∵M∩N={2,3},∴a2-3a+5=3,
    ∴a=1或2.
    当a=1时,N={1,5,3},M={2,3,5},不合题意;
    当a=2时,N={1,2,3},M={2,3,5},符合题意.
    (2)已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-2x+a-1=0},若A∩B=B,则a的取值范围为________.
    答案 {a|a≥2}
    解析 由题意,得A={1,2}.∵A∩B=B,∴B⊆A,
    ∴当B=∅时,(-2)2-4(a-1)<0,解得a>2;
    当1∈B时,1-2+a-1=0,解得a=2,且此时B={1},符合题意;
    当2∈B时,4-4+a-1=0,解得a=1,此时B={0,2},不合题意.
    综上所述,a的取值范围是{a|a≥2}.
    [素养提升] (1)经过数学运算和逻辑推理后,要代入原集合进行检验,这一点极易被忽视.
    (2)在本例(2)中,A∩B=B⇔B⊆A,B可能为空集,极易被忽视.

    1.(多选)满足{1}∪B={1,2}的集合B可能等于(  )
    A.{2} B.{1}
    C.{1,2} D.{1,2,3}
    答案 AC
    解析 ∵{1}∪B={1,2},∴B可能为{2}或{1,2}.
    2.若集合M={-1,0,1,2},N={x|x(x-1)=0},则M∩N等于(  )
    A.{-1,0,1,2} B.{0,1,2}
    C.{-1,0,1} D.{0,1}
    答案 D
    解析 N={0,1},M∩N={0,1}.
    3.已知集合M={a,0},N=,如果M∩N≠∅,则a等于(  )
    A.1 B.2 C.1或2 D.
    答案 C
    解析 ∵N=={1,2},
    又∵M={a,0},M∩N≠∅,∴a=1或a=2.
    4.已知集合M={-1,0,1},N={0,1,2},则M∪N=________.
    答案 {-1,0,1,2}
    解析 M∪N表示属于M或属于N的元素构成的集合,故M∪N={-1,0,1,2}.
    5.若集合A={x|-1 答案 R {x|4≤x<5}
    解析 借助数轴可知A∪B=R,A∩B={x|4≤x<5}.


    1.知识清单:
    (1)并集、交集的概念及运算.
    (2)并集、交集运算的性质.
    (3)求参数值或范围.
    2.方法归纳:数形结合、分类讨论.
    3.常见误区:由交集、并集的关系求解参数时漏掉对集合为空集的讨论.


    1.已知集合M={-1,0,1},P={0,1,2,3},则图中阴影部分所表示的集合是(  )

    A.{0,1} B.{0}
    C.{-1,2,3} D.{-1,0,1,2,3}
    答案 D
    解析 由Venn图,可知阴影部分所表示的集合是M∪P.
    因为M={-1,0,1},P={0,1,2,3},
    故M∪P={-1,0,1,2,3}.
    2.已知集合A={x∈R|x≤5},B={x∈R|x>1},那么A∩B等于(  )
    A.{1,2,3,4,5} B.{2,3,4,5}
    C.{2,3,4} D.{x∈R|1 答案 D
    解析 ∵A={x∈R|x≤5},B={x∈R|x>1},
    ∴A∩B={x∈R|1 3.设S,T是两个非空集合,且它们互不包含,那么S∪(S∩T)等于(  )
    A.S∩T B.S C.∅ D.T
    答案 B
    解析 ∵(S∩T)⊆S,∴S∪(S∩T)=S.
    4.(多选)A∩B=A,B∪C=C,则A,B,C之间的关系必有(  )
    A.A⊆C B.A⊆B
    C.A=C D.以上都不对
    答案 AB
    解析 A∩B=A⇒A⊆B,B∪C=C⇒B⊆C,∴A⊆C.
    5.集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为(  )
    A.0 B.1 C.2 D.4
    答案 D
    解析 ∵A∪B={0,1,2,a,a2},又A∪B={0,1,2,4,16},∴{a,a2}={4,16},∴a=4.
    6.若集合A={-1,2,3,4},B={1,2,3,5},则A∩B=________.
    答案 {2,3}
    解析 因为A={-1,2,3,4},B={1,2,3,5},所以A∩B={2,3}.
    7.设S={x|2x+1>0},T={x|3x-5<0},则S∩T=________.
    答案 
    解析 ∵S={x|2x+1>0}=,T={x|3x-5<0}=,
    ∴S∩T=.
    8.已知集合A={x|x≤1},B={x|x≥a},且A∪B=R,则实数a的取值范围是________.
    答案 {a|a≤1}
    解析  因为A∪B=R,画出数轴(图略)可知表示实数a的点必须与表示1的点重合或在表示1的点的左边,所以a≤1.
    9.已知集合A={x|x≥3},B={x|1≤x≤7},C={x|x≥a-1}.
    (1)求A∩B,A∪B;
    (2)若C∪A=A,求实数a的取值范围.
    解 (1)A∩B={x|x≥3}∩{x|1≤x≤7}={x|3≤x≤7},A∪B={x|x≥3}∪{x|1≤x≤7}={x|x≥1}.
    (2)因为C∪A=A,所以C⊆A,所以a-1≥3,即a≥4.
    故实数a的取值范围为{a|a≥4}.
    10.设A={x|x2+ax+12=0},B={x|x2+3x+2b=0},A∩B={2},C={2,-3}.
    (1)求a,b的值及A,B;
    (2)求(A∪B)∩C.
    解 (1)∵A∩B={2},∴4+2a+12=0,4+6+2b=0,
    即a=-8,b=-5,
    ∴A={x|x2-8x+12=0}={2,6},
    B={x|x2+3x-10=0}={2,-5}.
    (2)由(1)知A∪B={-5,2,6},C={2,-3},
    ∴(A∪B)∩C={2}.

    11.设集合S={x|x>5或x<-1},T={x|a A.-3 C.a≤-3或a≥-1 D.a<-3或a>-1
    答案 A
    解析  ∵S∪T=R,∴∴-3 12.设A,B是非空集合,定义A*B={x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)},已知A={x|0≤x≤3},B={y|y≥1},则A*B等于(  )
    A.{x|1≤x<3} B.{x|1≤x≤3}
    C.{x|0≤x<1或x>3} D.{x|0≤x≤1或x≥3}
    答案 C
    解析 由题意知A∪B={x|x≥0},A∩B={x|1≤x≤3},
    ∴A*B={x|0≤x<1或x>3}.
    13.已知集合A={3,2a},B={a,b}.若A∩B={2},则A∪B=________.
    答案 {1,2,3}
    解析 因为A∩B={2},所以2a=2,
    所以a=1,b=2,故A∪B={1,2,3}.
    14.已知集合A={-2,3,4,6},集合B={3,a,a2},若B⊆A,则实数a=________;若A∩B={3,4},则实数a=________.
    答案 -2 2或4
    解析 ∵集合A={-2,3,4,6},
    集合B={3,a,a2},B⊆A,∴a=-2.
    ∵A∩B={3,4},∴a=4或a2=4,∴a=±2或4.
    当a=-2时,B={3,-2,4},不合题意;
    当a=2或4时,B={3,2,4}或{3,4,16},符合题意,
    ∴实数a=2或4.

    15.某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________.
    答案 12
    解析 设所求人数为x,则只喜爱乒乓球运动的人数为10-(15-x)=x-5,故15+x-5=30-8,解得x=12.
    16.已知集合A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},是否存在a使A,B同时满足下列三个条件:
    (1)A≠B;
    (2)A∪B=B;
    (3)∅(A∩B).
    若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
    解 假设存在a使得A,B满足条件,
    由题意得B={2,3}.
    ∵A∪B=B,∴A⊆B,即A=B或AB.
    由条件(1)A≠B,可知AB.
    又∵∅(A∩B),∴A≠∅,即A={2}或{3}.
    当A={2}时,代入得a2-2a-15=0,即a=-3或a=5.
    经检验a=-3时,A={2,-5},与A={2}矛盾,舍去;
    a=5时,A={2,3},与A={2}矛盾,舍去.
    当A={3}时,代入得a2-3a-10=0.即a=5或a=-2.
    经检验a=-2时,A={3,-5},与A={3}矛盾,舍去;
    a=5时,A={2,3},与A={3}矛盾,舍去.
    综上所述,不存在实数a使得A,B满足条件.
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