2024年新高考数学一轮复习 第四章 第六节 第二课时 正、余弦定理的综合应用

课时跟踪检测(三十二) 正、余弦定理的综合应用

1．(2023·吕梁模拟)在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足＝.

(1)求角A；

(2)若a＝2，求三角形ABC面积的最大值．

解：(1)由＝，

结合正弦定理＝，得＝＝，

所以tan A＝，又因为A∈(0，π)，所以A＝.(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，

得4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc.

即bc≤4(当且仅当b＝c＝2时，等号成立)，

所以S△ABC＝bcsin A≤×4×＝，

即当b＝c＝2时，三角形ABC面积的最大值为.

2.(2023·聊城模拟)如图，在四边形ABCD中，BD<AD，sincos＝.

(1)求∠A；

(2)若AB＝，AD＝3，CD＝1，∠C＝2∠CBD，求四边形ABCD的面积．

解：(1)因为＋＝，

所以sin＝cos，

所以sincos＝，

可化为sin2＝，

由二倍角公式可得cos＝，

因为BD<AD，所以∠A∈，

所以∈，

所以－2∠A＝，解得∠A＝.

(2)在△ABD中，AB＝，AD＝3, ∠A＝，

由余弦定理得

BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠A，

即BD2＝3＋9－2××3×＝3，所以BD＝.

在△BCD中，由正弦定理得＝＝，所以sin∠C＝sin∠CBD.

又因为∠C＝2∠CBD，所以cos∠CBD＝.

又因为∠CBD∈(0，π)，所以∠CBD＝，

从而∠C＝2∠CBD＝，所以∠BDC＝.

因此四边形ABCD的面积S＝AB·AD·sin∠A＋BD·CD＝××3×＋××1＝.

3．(2023·宣城模拟)已知△ABC的三边分别为a，b，c，其所对的角分别为A，B，C，且三边满足＋＝1，已知△ABC的外接圆的面积为3π.

(1)求角B的大小；

(2)求△ABC周长的取值范围．

解：(1)由＋＝1，可知c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，化简得ac＝a2＋c2－b2，

由余弦定理可得cos B＝，

又B∈(0，π)，所以B＝.

(2)因为πR2＝3π，解得R＝，由(1)知B＝.

由＝＝2R＝2，解得b＝3，由余弦定理得ac＝a2＋c2－9＝(a＋c)2－2ac－9，

由基本不等式可得(a＋c)2－9＝3ac≤(a＋c)2，

解得a＋c≤6，当且仅当a＝c＝3时取等号，

又根据两边之和大于第三边可得a＋c>3，即3<a＋c≤6.

又因为b＝3，所以6<a＋b＋c≤9.

即△ABC周长的取值范围为(6,9]．

4.(2023·山东胜利一中模拟)在①AB＝2，②∠ADB＝135°，③∠BAD＝∠C这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，使得问题成立，并求BD的长和△ABC的面积．如图，在△ABC中，D为BC边上一点，AD⊥AC，AD＝1，sin∠BAC＝，________，求BD的长和△ABC的面积．

解：选条件①，sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝，

所以sin∠BAD＝＝.

在△ABD中，由余弦定理，

得BD＝＝.

在△ABD中，由正弦定理，得＝，即＝，

所以sin∠ADB＝.

所以sin∠ADC＝，cos∠ADC＝，

所以tan∠ADC＝，所以AC＝.

所以△ABC的面积为×2××＝.

选条件②，sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝，

所以sin∠BAD＝＝，

所以sin B＝sin(∠BAD＋135°)＝×＋×＝.

在△ABD中，由正弦定理，得＝＝，

得AB＝，BD＝.

因为∠ADB＝135°，所以∠ADC＝45°，所以AC＝1，

所以△ABC的面积为××1×＝1.

选条件③，sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos ∠BAD＝.

所以sin∠BAD＝＝.

因为∠BAD＝∠C，所以sin C＝，

在Rt△ACD中，可得cos∠ADC＝，

所以cos∠ADB＝－，sin∠ADB＝.

所以sin B＝sin(∠BAD＋∠ADB)＝×＋×＝.

在△ABD中，由正弦定理，得＝＝，得AB＝，BD＝.

因为sin C＝，所以cos C＝，

所以tan C＝，所以AC＝2.

所以△ABC的面积为××2×＝.

5．(2023·沈阳模拟)在①2asin B－bcos C－ccos B＝0，②sin2A－sin2B＋sin2C－sin Asin C＝0，③sin Asin C－sin B－cos Acos C＝0三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．

已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c满足________(填写序号即可)．

(1)求B；

(2)若a＝1，求b＋c的取值范围．

解：(1)选①，因为2asin B－bcos C－ccos B＝0，

所以2sin Asin B－sin Bcos C－sin Ccos B＝0，

即2sin Asin B＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A，

又sin A≠0，所以sin B＝，因为B∈，所以B＝.

选②，因为sin2A－sin2B＋sin2C－sin Asin C＝0，

所以a2－b2＋c2－ac＝0，

即b2＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－2accos B，

所以cos B＝，因为B∈，所以B＝.

选③，因为sin Asin C－sin B－cosAcos C＝0，

所以sin Asin C－cos Acos C＝sin B，

即sin B＝－cos(A＋C)＝cos B，

所以tan B＝，因为B∈，所以B＝.

(2)由正弦定理＝＝，

得b＝＝，

c＝＝＝＋，

则b＋c＝＋＝＋＝＋，

由锐角△ABC得

得<A<，则<<，

所以tan∈，从而∈(1，)，

所以b＋c的取值范围为.

6．(2023·苏州模拟)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且满足asin2＝bsin A.

(1)求角B的大小；

(2)若△ABC为锐角三角形，且b＝4，求△ABC周长l的取值范围．

解：(1)∵asin2＝bsin A，

∴2rsin A·＝·2rsin B·sin A，

∴1－cos B＝sin B，即cos B＋sin B＝1，

∴＝1，

∴sin＝，

由0<B<π，∴<B＋<，

∴B＋＝，∴B＝.

(2)由正弦定理知＝＝＝＝，

∴a＝sin A，c＝sin C，

∴a＋c＝sin A＋sin C＝sin A＋sin(A＋B)

＝sin A＋sin(A＋)

＝sin A＋sin Acos＋cos Asin

＝4sin A＋4cos A＝8sin.

由于△ABC为锐角三角形，

∴

∴<A<，∴<A＋<，

∴当A＋＝时，(a＋c)max＝8，

当A＋＝或时，(a＋c)min＝4，

∴4<a＋c≤8，

∴4＋4<a＋b＋c≤4＋8＝12.

∴△ABC周长l的取值范围是(4＋4,12]．