2024年新高考数学一轮复习 第五章 第二节 平面向量基本定理及坐标表示

课时跟踪检测(三十五) 平面向量基本定理及坐标表示

1．(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是(　 )

A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)

B．e1＝(0,2)，e2＝

C．e1＝(3,5)，e2＝(5,3)

D．e1＝(1,3)，e2＝(－2，－6)

解析：选BC　∵0×(－2)＝0×1，∴e1与e2共线，

∴A错误；∵0×0≠2×，∴e1与e2不共线，

∴B正确；∵3×3≠5×5，∴e1与e2不共线，

∴C正确；∵1×(－6)＝3×(－2)，

∴e1与e2共线，∴D错误；故选B、C.

2．(2023·咸阳模拟)已知向量a＝(2,3)，b＝(3，－1)，c＝(－2,2)，若(a－kb)∥c，则k＝(　 )

A．3  B．－3

C.  D．－

解析：选C　a－kb＝(2－3k,3＋k)，故由(a－kb)∥c，得(2－3k)×2＝(3＋k)×(－2)⇒k＝.

3．已知点A(3，－2)，B(－5，－1)，且＝，则点P的坐标为(　 )

A.  B．(－8,1)

C.  D．(8，－1)

解析：选A　点A(3，－2)，B(－5，－1)，且＝，设点P的坐标为(x，y)，

则(x－3，y＋2)＝(－8,1)＝，

所以x－3＝－4，y＋2＝，解得x＝－1，y＝－，故点P的坐标为，故选A.

4．(2023·西安模拟)已知向量＝(4，－4)，＝(－3，m)，＝(－1，m)，若A，C，D三点共线，则m＝(　 )

A．2  B．

C．－2－  D．－2＋

解析：选A　因为＝(4，－4)，＝(－3，m)，所以＝＋＝(1，m－4)，

因为A，C，D三点共线，所以＝λ⇒⇒故选A.

5.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝(　 )

A．1  B．2 

C．3  D．4

解析：选D　以向量a 和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，

则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，

∴a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)，

因为c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，所以(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，则

解得∴＝＝4.

6．向量a＝(1,3)，b＝(3x－1，x＋1)，c＝(5,7)，若(a＋b)∥(a＋c)，且c＝ma＋nb，则m＋n的值为(　 )

A．2  B．

C．3  D．

解析：选C　由题意，得a＋b＝(3x，x＋4)，a＋c＝(6,10)，因为(a＋b)∥(a＋c)，所以30x＝6x＋24，解得x＝1，则c＝ma＋nb＝(m,3m)＋(2n,2n)＝(m＋2n,3m＋2n)＝(5,7)，即解得故m＋n＝3.

7．(2023·济南模拟)在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝(　 )

A.＋  B．＋

C.＋  D．＋

解析：选B　取AD中点N，连接MN，∵＝－2，∴AB∥CD，|AB|＝2|CD|，又M是BC中点，∴MN∥AB，且|MN|＝(|AB|＋|CD|)＝|AB|，

∴＝＋＝＋.

8．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点．若DC＝3DF，设＝a，＝b，则＝(　 )

A.a＋b  B．a＋b

C.a＋b  D．a＋b

解析：选B　如图所示，由题意得＝＝(－)＝(－)，＝－＝＋.则＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.故选B.

9．已知向量＝(3,1)，＝(－1,3)，＝m－n(m>0，n>0)，若m＋n＝1，则||的最小值为(　 )

A.  B．  C.  D．

解析：选C　设＝(x，y)．∵＝(3,1)，＝(－1,3)，＝m－n，∴

∴||＝＝≥ ＝ ＝，当且仅当m＝n时取等号，此时||取得最小值，故选C.

10．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则等于(　 )

A.  B．  C．3  D．2

解析：选A　如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为(1,0)，C点的坐标为(0,2)，因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，m)(m≠0)．＝(m，m)＝λ＋μ＝λ(1,0)＋μ(0,2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝m，所以＝.

11．在△ABC中，点D满足＝＋，直线AD与BC交于点E，则的值为(　 )

A.  B．  C.  D．

解析：选C　设＝λ＝＋，

则＝－＝λ－＝＋－＝＋，

＝－，且，共线，则＝k，即＋＝k(－)，

所以所以＝1－，解得λ＝，

此时＝－，所以＝，故＝.

12.(多选)如图，B是AC的中点，＝2，P是平边四边形BCDE内(含边界)的一点，且＝x＋y(x，y∈R)，则下列结论正确的是(　 )

A．当x＝0时，y∈[2,3]

B．当P是线段CE的中点时，x＝－，y＝

C．若x＋y为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段

D．当P在C点时，x＝1，y＝2

解析：选BC　当＝y时，点P在线段BE上，故1≤y≤3，故A错误；当P是线段CE的中点时，＝＋＝3＋(＋)＝3＋(－2＋)＝3＋(－2＋－)＝－O＋，故B正确；当x＋y为定值1时，A，B，P三点共线，又P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，故P的轨迹是一条线段，故C正确；因为＝(＋)，所以＝2－，则＝－＋2，所以x＝－1，y＝2，故D错误．

13．写出一个与向量a＝(2,1)共线的向量b＝________.

解析：与向量a＝(2,1)共线的向量为λa＝λ(2,1)．取λ＝2，可得出一个与向量a＝(2,1)共线的向量为b＝(4,2)(答案不唯一，满足λa(λ∈R)即可)．

答案：(4,2)(答案不唯一)

14.如图所示，在△OAB中，C是AB中点，设＝a，＝b，则＝________.(请用a，b表示)

解析：因为C是AB中点，所以＝＋＝＋，

又因为＝－，所以＝＋(－)＝＋，即＝(a＋b)．

答案：(a＋b)

15.如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，且BD＝DC，AE＝2EC，若＝x＋y，则x＋y＝________.

解析：因为BD＝DC，AE＝2EC，

则＝＋＝－＝(－)

－＝－＋，

所以x＝－，y＝，则x＋y＝－.

答案：－

16．已知向量a＝，b＝(cos α，1)，α∈，且a∥b，则sin 2α＝______________.

解析：因为向量a＝，b＝(cos α，1)，且a∥b，所以cos αtan α＝，得sin α＝，因为α∈，所以cos α＝－＝－＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.

答案：－