高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第二章 平面向量及其应用本章综合与测试同步练习题

第二章　平面向量及其应用

专题强化练5　正、余弦定理的综合应用

一、选择题

1.()在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且b2+c2=a2+bc,若sin B·sin C=sin2A,则△ABC的形状是(　　)

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等边三角形 D.等腰直角三角形

2.(2020宁夏银川一中高三二模,)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin C=,bcos A+acos B=2,则△ABC的外接圆面积为(　　)

A.3π B.6π C.9π D.12π

3.(2020河北承德高三上学期期末,)设△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c,已知b+acos C=0,sin A=2sin(A+C),则=(　　)

A. B.

C. D.

4.(多选)(2020山东济南高三一模,)在△ABC中,根据下列条件解三角形,其中有两解的是(　　)

A.b=10,A=45°,C=70°

B.b=45,c=48,B=60°

C.a=14,b=16,A=45°

D.a=7,b=5,A=80°

二、填空题

5.(2020河北承德高三上学期第一次质检,)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为,b-c=2,cos A=-,sin A=,则a的值为　　　　. 

6.()在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,角B为锐角,且8sin Asin C=sin2B,则的取值范围为　　　　. 

7.(2020湖北华中师范大学第一附属中学高三上学期期中,)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c=1,△ABC的面积为,则△ABC面积的最大值为　　　　. 

三、解答题

8.(2020广东肇庆高中毕业班第三次统一检测,)在△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,sin C=2sin B.

(1)求;

(2)若AD=AC=1,求BC的长.

9.(2020辽宁葫芦岛六校协作体高三上学期期中,)已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,a(sin A+4sin B)=8sin A.

(1)若b=1,A=,求sin B;

(2)已知C=,当△ABC的面积取得最大值时,求△ABC的周长.

答案全解全析

专题强化练5　正、余弦定理的

综合应用

1.C 2.C 3.A 4.BC 

一、选择题

1.C　∵b2+c2=a2+bc,即b2+c2-a2=bc,

∴cos A=(b^2+c^2 "-" a^2)/2bc=bc/2bc=1/2,

∵0<A<π,

∴A=π/3.

∵sin Bsin C=sin2A,

∴由正弦定理得bc=a2,

∴b2+c2-2bc=0,

即b=c,

∴△ABC为等边三角形.

2.C　∵bcos A+acos B=2,

∴b×(b^2+c^2 "-" a^2)/2bc+a×(a^2+c^2 "-" b^2)/2ac=2,解得c=2,

设三角形ABC的外接圆的半径为R,

则2R=c/sinC=2/(1/3)=6,可得R=3,

∴△ABC的外接圆面积S=πR2=9π.

3.A　∵sin A=2sin(A+C)=2sin B,∴a=2b.

∵b+acos C=0,∴b+a•(a^2+b^2 "-" c^2)/2ab=0,

∴a2+3b2-c2=0,∴c2=a2+3b2=7b2,

则c=√7b,∴bc/a^2 =(√7 b^2)/(4b^2 )=√7/4.

4.BC　选项A,因为A=45°,C=70°,所以B=65°,三角形的三个角是确定的值,故只有一解;

选项B,由正弦定理可知b/sinB=c/sinC,即sin B<sin C<1,所以角C有两解;

选项C,由正弦定理可知b/sinB=a/sinA,即sin A<sin B<1,所以角B有两解;

选项D,由正弦定理可知b/sinB=a/sinA,即sin A>sin B,所以角B仅有一解.

故选BC.

二、填空题

5.答案　2√6

解析　因为sin A=√15/4,

△ABC的面积为√15,

所以S△ABC=1/2bcsin A=√15/8bc=√15,

故bc=8,

又a2=b2+c2-2bccos A,

所以a2=(b-c)2+2bc-2bccos A=4+16+4=24,因此a=2√6.

6.答案　 √5/2,√6/2

解析　设(a+c)/b=t(t>1),则a+c=tb,

由8sin Asin C=sin2B,得8ac=b2.

所以cos B=(a^2+c^2 "-" b^2)/2ac=("(" a+c")" ^2 "-" 2ac"-" b^2)/2ac=(t^2 b^2 "-"  1/4 b^2 "-" b^2)/(1/4 b^2 )=4t2-5,

由角B为锐角得0<cos B<1,

所以0<4t2-5<1,

所以√5/2<t<√6/2,即√5/2<(a+c)/b<√6/2.

7.答案　(√2+1)/4

解析　△ABC的面积S=1/2absin C=(a^2+b^2 "-" 1)/4①,又cos C=(a^2+b^2 "-" 1)/2ab②,

所以由①②得sin C=cos C,

由于C∈(0,π),所以C=π/4.

故cos C=(a^2+b^2 "-" 1)/2ab=√2/2,化简得√2ab=a2+b2-1,故√2ab=a2+b2-1≥2ab-1(当且仅当a=b时,等号成立),化简得ab≤(2+√2)/2.

所以△ABC的面积S=1/2absin C≤1/2×(2+√2)/2×√2/2=(√2+1)/4.

三、解答题

8.解析　(1)在△ABD中,由正弦定理可得AD/sinB=BD/(sin∠BAD),

在△ACD中,AD/sinC=CD/(sin∠CAD),

因为sin C=2sin B,∠BAD=∠CAD,

所以BD/CD=2.

(2)因为sin C=2sin B,所以由正弦定理得AB=2AC=2,

设DC=x,则BD=2x,

则cos∠BAD=(AB^2+AD^2 "-" BD^2)/(2AB"•" AD)=(5"-" 4x^2)/4,

cos∠CAD=(AC^2+AD^2 "-" CD^2)/(2AC"•" AD)=(2"-" x^2)/2.

因为∠BAD=∠CAD,

所以(5"-" 4x^2)/4=(2"-" x^2)/2,解得x=√2/2(负值舍去),

所以BC=3x=(3√2)/2.

9.解析　(1)由a(sin A+4sin B)=8sin A,得a(a+4b)=8a,即a+4b=8.

因为b=1,所以a=4.

由4/(sin π/6)=1/sinB,得sin B=1/8.

(2)因为a+4b=8≥2√4ab=4√ab,

所以ab≤4,当且仅当a=4,b=1时,等号成立.

因为△ABC的面积S=1/2absin C≤1/2×4×sin π/3=√3.

所以当a=4,b=1时,△ABC的面积取得最大值,

此时c2=42+12-2×4×1×cos π/3=13,解得c=√13,

所以△ABC的周长为5+√13.