微专题正、余弦定理的综合应用学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

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这是一份微专题正、余弦定理的综合应用学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共31页。

微专题：正、余弦定理的综合应用
【考点梳理】
1. 常用定理
(1)三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π，进而有＝－等式子.
(2)射影定理：在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB，b＝acosC＋ccosA，c＝acosB＋bcosA.
(3)角平分线定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例. 即若AD为∠A的角平分线，则有比例关系：＝.
2. 重要关系
(1)等价关系：A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA (2)三角函数关系：sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC. sin＝cos；cos＝sin.
(3)等差关系：若三角形三内角A，B，C成等差数列，则B＝，A＋C＝；若三角形三边a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c⇔2sinB＝sinA＋sinC.

【题型归纳】

题型一：正、余弦定理判定三角形形状
1．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（       ）
A．若，则为锐角三角形
B．若为锐角三角形，则
C．若，则为等腰三角形
D．若，则是等腰直角三角形
2．在中，角的对边分别为，，则的形状是（       ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形
3．若△ABC的三个内角满足，则△ABC是（       ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形

题型二：正余弦定理与三角函数性质的结合应用
4．设的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，，且B为钝角．的取值范围（       ）
A． B． C． D．
5．设锐角的内角所对的边分别为，若，，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
6．在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若ccosA+acosC=2，AC边上的高为，则∠ABC的最大值为（       ）
A． B． C． D．

题型三：证明三角形中的恒等式或不等式
7．在中，，，，，则下列关系不成立的是（       ）
A． B． C． D．
8．的三边分别为a,b,c,若是锐角三角形,则（       ）
A． B． C． D．
9．下列四个命题：
函数的最大值为1；
“，”的否定是“”；
若为锐角三角形，则有；
“”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件．
其中错误的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4

【双基达标】
10．在△中，若满足，则该三角形的形状为（       ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
11．在中，若，，则形状为（       ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
12．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（       ）
A．C为直角的直角三角形 B．C为钝角的钝角三角形
C．B为直角的直角三角形 D．A为锐角的三角形
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则△ABC是（       ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
14．在中，若，则的形状是（       ）．
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
15．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状是（       ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
16．已知双曲线：与直线交于，两点，点为上一动点，记直线，的斜率分别为，，的左､右焦点分别为，.若，且的焦点到渐近线的距离为1，则（       ）
A．
B．的离心率为
C．若，则的面积为2
D．若的面积为，则为钝角三角形
17．已知的内角，，所对的边分别为，满足，则的形状一定是（       ）
A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
18．在中，角、、所对的边分别为、、若，则的形状是（     ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．不确定
19．在△ABC中，“”是“△ABC是锐角三角形”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
20．在中，，则的形状是（       ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
21．在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，则该三角形的形状是（       ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
22．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（       ）
A．等腰非等边三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
23．在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，则是（       ）
A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
24．在中，若，则是（       ）三角形
A．等腰 B．直角 C．等边 D．等腰或直角
25．在中，，则的形状为（       ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形

【高分突破】
一、单选题
26．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的形状是（       ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
27．已知的内角的对边分别为，，则一定为（       ）
A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
28．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则△ABC的形状为（       ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
29．已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（       ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
30．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且acosA＝bcosB，则
A．△ABC为等腰三角形 B．△ABC为等腰三角形或直角三角形
C．△ABC为等腰直角三角形 D．△ABC为直角三角形
31．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC（       ）
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形
32．在中，角所对的边分别是，且，则的形状为（       ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
33．已知的三边a､b､c满足：，则此三角形是（       ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
34．已知在中，，则的形状为（       ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
二、多选题
35．在中，若，下列结论中正确的有（       ）
A． B．是钝角三角形
C．的最大内角是最小内角的倍 D．若，则外接圆的半径为
36．在中，如下判断正确的是（       ）
A．若，则为等腰三角形 B．若，则
C．若为锐角三角形，则 D．若，则
37．已知，，分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是（       ）
A．若，则是锐角三角形
B．若，则是等腰三角形
C．若，则是等腰三角形
D．若，则是等边三角形
38．在中，若，则下列说法正确的是（       ）
A．为钝角 B． C． D．
三、填空题
39．设锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是___.
40．已知的三个内角A，B，C所对的边分别为则下列条件能推导出一定为锐角三角形的是___________.
①
②
③
④
41．如图，某小区有一块扇形OPQ空地，现打算在上选取一点C，按如图方式规划一块矩形ABCD土地用于建造文化景观．已知扇形OPQ的半径为6米，圆心角为60°，则矩形ABCD土地的面积（单位：平方米）的最大值是______．

42．在中，若，则是__________．
43．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为__________．
44．在中，，则该三角形的形状是___________.
四、解答题
45．已知函数中，角的对边分别为，且．
（1）求的单调递减区间；
（2）若，求三角形中的值．
46．如图所示，经过村庄B有两条夹角为的公路BA和BC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂F，分别在两条公路边上建两个仓库D和E（异于村庄B），设计要求（单位：千米）.

(1)若，求的值（保留根号）；
(2)若设，当为何值时，工厂产生的噪音对村庄B的居民影响最小（即工厂F与村庄B的距离最远），并求其最远距离.（精确到0.1，取）
47．已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
(1)判断的形状；
(2)若，，求周长的取值范围．
48．设函数，其中向量，．
（1）求函数的最小正周期与单调递减区间；
（2）在中，、、分别是角、、的对边，已知，，的面积为，判断的形状，并说明理由．
49．在锐角中，角的对边分别为，已知．
(1)求证：．
(2)若，求的取值范围．

参考答案
1．B
【解析】
【分析】
利用余弦定理、诱导公式、三角函数、三角恒等变换的知识进行判断.
【详解】
对于A，若，则，则B为锐角，
不能判定为锐角三角形，故A错误；
对于B，若为锐角三角形，则，且，
所以，故B正确；
对于C，若，则，所以，
所以或，即或，不一定是等腰三角形，故C错误；
对于D，若，则，即，即，
因为A，B是三角形的内角，所以A-B=0，即A=B. 是等腰三角形，故D错误.
故选：B.
2．D
【解析】
【分析】
根据已知条件及正弦定理的边角化，再利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，结合三角函数特殊值对应特殊角及角的范围即可求解.
【详解】
由及正弦定理，得,
在中，，所以,
所以，即，于是有，
因为所以
所以,即，
所以的形状是等腰三角形.
故选：D.
3．B
【解析】
【分析】
令，再利用余弦定理得解.
【详解】
解：由正弦定理可得，令，则为最长的边，故角最大，
由余弦定理可得，所以角为直角.
故是直角三角形．
故选：B．
4．A
【解析】
【分析】
由正弦定理的边化角公式化简得出，，，最后由结合正弦函数的性质得出的取值范围.
【详解】
由以及正弦定理得，所以
即，又B为钝角，所以，故

于是
，因为，所以
由此，即的取值范围是
故选：A
5．D
【解析】
【分析】
由给定条件结合正弦定理边化角，求出角C，再利用正弦定理借助三角函数恒等变换即可作答.
【详解】
中，由正弦定理得：,
整理变形得：，
而，则，，于是得，
则，令，于是有，因为锐角三角形，即，
由正弦定理得，

，
而，则有，即，
所以的取值范围为.
故选：D
6．B
【解析】
【分析】
由余弦定理可求得，再由等面积关系可得，利用余弦定理结合基本不等式得出，即可求得，再结合的范围即可得出结论.
【详解】
，
由余弦定理可得，整理可得，
又AC边上的高为，所以，即，
，当且仅当取等号，
，即，即，
，，则，
，故∠ABC的最大值为.
故选：B.
【点睛】
关键点睛：本题考查余弦定理的应用，解题的关键是等面积关系得，由基本不等式得.
7．D
【解析】
【分析】
在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义对各个选项进行变形，判断即可．
【详解】
解：对于A，，则，故A成立；
对于B，因为，所以，故B成立；
对于C，，则，故C成立；
对于D，，则，故D不成立.
故选：D.
8．B
【解析】
根据是锐角三角形,令,然后逐项判断排除即可.
【详解】
解:是锐角三角形,可令,,A错误;
,C错误;
,D错误;
,B正确.
故选:B
【点睛】
本题考查三角形内角和定理,以及三角形内角的正余弦值之间的关系,可用排除法得出正确选项.
9．A
【解析】
【分析】
由正弦的二倍角公式和正弦函数的值域判断;写出全称命题的否定判断;由锐角三角形的定义和正弦函数的单调性,结合诱导公式可判断;由二次函数的图象和性质,结合充分必要条件的定义可判断.
【详解】
解：由,得的最大值为,故错误;
“,”的否定是“”,故正确;
为锐角三角形,,则，
在上是增函数,,同理可得，,,故正确;
,函数的零点是,0,结合二次函数的对称轴,
可得函数在区间内单调递增;
若函数在区间内单调递增,结合二次函数的对称轴,可得,
,
“”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件,故正确．
其中错误的个数是1.
故选:A.
【点睛】
本题考查命题的真假判断,考查含有一个量词的命题的否定,考查三角函数的图象和性质,以及充分必要条件的判断,是中档题．
10．D
【解析】
【分析】
运用正弦定理进行边角互化，运用诱导公式进行化简，然后判断出三角形形状.
【详解】
由正弦定理可得，
所以，
所以，
所以，
所以或，
因为，，
所以或，
所以或，
所以是直角三角形或等腰三角形，
故选：D
11．C
【解析】
【分析】
首先利用正弦定理化边为角求出的值，再结合，以及三角形的内角和即可求出，进而可得正确选项.
【详解】
由正弦定理知：，，
则可化为：.
因为
所以，
所以，可得或，
又因为，
所以
所以，，，
所以为等边三角形.
故选：C.
12．C
【解析】
【分析】
由余弦定理将转化为，化简得到，结合勾股定理知△ABC为直角三角形.
【详解】
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴B为直角.
故选：C.
【点睛】
本题考查了余弦定理；利用余弦定理将角化边，化简确定三角形三边关系.
13．A
【解析】
【分析】
用降幂公式变形后利用余弦定理得边的关系，从而判断出三角形形状．
【详解】
在△ABC中，因为，所以，所以cos A＝.
由余弦定理，知，所以b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形.
故选：A．
14．A
【解析】
【分析】
根据正弦定理和题设条件，化简得到，进而得到，即可求解.
【详解】
因为，
由正弦定理，可得，
又由，所以，
因为，可得，所以，
又因为，所以，所以为直角三角形.
故选：A.
15．D
【解析】
【分析】
利用余弦定理计算可得；
【详解】
解：．
把代入余弦定理求得，即，因此，从而，
为等边三角形．
故选：．
16．D
【解析】
【分析】
设点A(x1，y1)，B(-x1，-y1)，P(x0，y0)，利用点差法求解直线的斜率，得到a、b关系，
通过点到直线的距离求解c，求出a，b，即可推出离心率，判断A，B的正误；
设P在双曲线的右支上，记则，利用，转化求解三角形的面积，判断C；
设P(x0，y0)，通过三角形的面积求解P的坐标，结合双曲线的定义以及余弦定理，判断三角形的形状，判断D.
【详解】
设点A(x1，y1)，B(-x1，-y1)，P(x0，y0)
则，且，两式相减得，
所以，因为，所以，
故双曲线C的渐近线方程
因为焦点(c，0)到渐近线的距离为1，
所以，，所以，，离心率为，故A，B错误．
对于C，不妨设P在右支上, 记则
因为 , 所以
解得或 (舍去）, 所以的面积为
，故C不正确；
对于D，设P(x0，y0)，因为，所以，
将带入C：，得，即
由于对称性，不妨取P得坐标为(，2)，则，

因为
所以∠PF2F1为钝角，所以PF1F2为钝角三角形，故D正确
故选：D
17．D
【解析】
【分析】
利用余弦定理将化为，然后化简可得答案.
【详解】
，
由余弦定理可得，则，
则，所以为直角三角形.
故选：D
18．C
【解析】
【分析】
根据给定条件切化弦，再利用正弦定理、余弦定理角化边即可计算判断作答.
【详解】
在中，原等式化为：，由正弦定理得，，
即，由余弦定理得：，整理得，
则有，于是有或，是等腰三角形或直角三角形，
所以的形状是等腰三角形或直角三角形.
故选：C
19．B
【解析】
【分析】
由不能得到是锐角三角形，但是锐角三角形,则，根据必要不充分条件的定义，即可求解.
【详解】
由正弦定理可知，，
不能得到是锐角三角形,但是锐角三角形,则.
故“”是“是锐角三角形”的必要不充分条件，
故选:B．
20．D
【解析】
【分析】
在中，，由余弦定理知，，两式相加，利用基本不等式及正弦函数的有界性即可判断出该的形状．
【详解】
在中，，
又由余弦定理知，，
两式相加得：，
（当且仅当时取“” ，又，
（当且仅当时成立），为的内角，
，，又，
的形状为等边△．
故选：．
21．C
【解析】
【分析】
利用余弦定理可得，再结合条件利用正弦定理及余弦定理可得，即得.
【详解】
∵a2＋b2－c2＝ab，
∴，又，
∴，
由2cosAsinB＝sinC，得
∴，即，又，
故三角形为等边三角形.
故选：C
22．B
【解析】
【分析】
由条件可得，由正弦定理结合三角形中有，利用正弦的和角公式可得，从而可得出答案.
【详解】
由，可得，所以，
所以.
在中，，故，
因为，所以，因为，所以，
故为直角三角形.
故选：B
23．A
【解析】
【分析】
由结合余弦定理可求得，由结合正弦定理可求得，从而可判断出三角形的形状
【详解】
由，得，
所以由余弦定理得，
因为，
所以，
因为，
所以由正弦定理得，
因为，所以，
因为，所以，
所以,
所以为等腰直角三角形，
故选：A
24．D
【解析】
【分析】
利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式计算可得；
【详解】
解：因为，由正弦定理可得，
即，即，所以或，
即或，所以为等腰三角形或直角三角形；
故选：D
25．B
【解析】
【分析】
利用给定条件结合对数运算可得，再利用正弦定理角化边即可判断得解.
【详解】
因，则有，
即有，于是得，
在中，由正弦定理得：，
所以是直角三角形.
故选：B
26．C
【解析】
【分析】
根据给定条件可得，由此判断三角形形状得解.
【详解】
因，则有，即，可得，此时，有，
所以是等边三角形.
故选：C
27．A
【解析】
【分析】
利用正弦定理角化边，即可得出答案.
【详解】
由结合正弦定理得，
,从而.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用正弦定理判断三角函数的形状，属于基础题.熟记正弦定理是解本题的基础.
28．C
【解析】
【分析】
根据正弦定理边化角可得，利用两角和公式进行化简计算即可.
【详解】
由正弦定理得：，，
，三角形内角和等于180°，，
故选：C.
29．A
【解析】
【分析】
利用余弦定理将角化为边整理，即可得三角形的边之间的关系，从而可得此三角形的形状.
【详解】
由余弦定理，可得
，
整理，得，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以或或，故三角形为等腰三角形.
故选：A
30．B
【解析】
【分析】
首先利用余弦定理角化边，然后确定△ABC的形状即可.
【详解】
由及余弦定理得，
整理得，或，
为等腰三角形或直角三角形.
本题选择B选项.
【点睛】
判断三角形的形状有两种方法，一是把角化为边后进行判断，另一种方法是把边化为角后再进行判断.
31．C
【解析】
【分析】
由余弦定理确定角的范围，从而判断出三角形形状．
【详解】
由得－cos C>0，所以cos C<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形.
故选：C．
32．A
【解析】
【分析】
首先利用正弦定理边化角公式得到，即可得到答案.
【详解】
因为，所以，
即，
整理得到，
因为，，所以，
即，，为等腰三角形.
故选：A
33．A
【解析】
【分析】
将变成，然后根据取值范围分析即可
【详解】
因为,所以
两边同除以,得
因为,所以.所以
即
所以为锐角,又为最大角,所以此三角形是锐角三角形
故选：A
34．C
【解析】
【分析】
先判断出最大角，通过余弦定理判断即可.
【详解】
由正弦定理可得，则C为最大角，设，
因为，所以C为钝角，故为钝角三角形．
故选：C.
35．ACD
【解析】
【分析】
先根据题意求出，，,结合正弦定理可得A，D的正误, 结合余弦定理可得B，C的正误.
【详解】
由题意,设,
解得;
所以,
所以A 正确;
由以上可知最大,

所以为锐角,
所以B错误;
由以上可知最小,
,
,
即,
因为为锐角,为锐角,所以
所以C正确;
因为，所以,
设外接圆的半径为,则由正弦定理可得
所以
所以D正确.
故选: ACD.
36．BCD
【解析】
【分析】
选项A. 由题意可得或，从而可判断；选项B. 若,则，由正弦定理可判断；选项C. 若为锐角三角形，则，即所以，由正弦函数的单调性可判断；选项D. 在中,若，由正弦定理可得，从而可判断.
【详解】
选项A. 在中, 若,则或
所以或，所以为等腰或直角三角形. 故A 不正确.
选项B. 在中, 若,则，
由正弦定理可得,即，故B正确.
选项C. 若为锐角三角形，则
所以，所以 ,故C正确.
选项D. 在中,若，由正弦定理可得，
即，所以，故D正确.
故选：BCD
37．ACD
【解析】
【分析】
由两角和的正切公式结合诱导公式以及，，为的内角可判断A；由正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式可判断B；由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式可判断C；利用正弦定理化边为角结合同角三角函数基本关系可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
对于A，因为，所以，
所以，
因为，，为的内角，所以，，都是锐角，所以是锐角三角形，故选项A正确；
对于B：由及正弦定理，可得，
即，所以或，所以或，
所以是等腰三角形或直角三角形，故选项B错；
对于C：由及正弦定理化边为角，
可知，即，
因为，为的内角，所以，所以是等腰三角形，故选项C正确；
对于D：由和正弦定理化边为角，易知，所以，因为，，为的内角，所以，所以是等边三角形，故选项D正确；
故选：ACD.
38．BC
【解析】
【分析】
选项A，转化，结合题干条件，可得，故可判断；
选项B，，可得，可判断；
选项C，转化，代入，可判断；
选项D，，结合均值不等式和，可判断
【详解】

为锐角，故选项A不正确；
又，化简得，故选项B正确；

将代入得：

故选项C正确；

当且仅当时等号成立
，故选项D不正确
故选：BC
【点睛】
本题考查了解三角形综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
39．
【解析】
【分析】
根据已知条件，利用正弦定理将目标式由边化为角的函数关系，再求的取值范围，根据函数值域即可求得结果.
【详解】
因为，则，，
又，
故由正弦定理可得：

又为锐角三角形，故可得，
解得，则，故，
即.
故答案为：.
40．②④
【解析】
【分析】
利用三角函数关系式的恒等变换，正弦定理，余弦定理逐个分析判断即可
【详解】
对于①，若，则余弦定理可得，得角为锐角，而不能得到其它两个角为锐角，所以不一定是锐角三角形，所以①错误，
对于②，由，得，所以由正弦定理得，设，则可知是最大的角，由余弦定理得，所以角为锐角，所以一定是锐角三角形，所以②正确，
对于③，因为，所以，所以，由正弦定理得，所以为直角，所以为直角三角形，所以③错误，
对于④，因为，所以，所以，
因为，所以，所以均为锐角，所以一定是锐角三角形，所以④正确，
故答案为：②④
41．
【解析】
【分析】
设，，求出，在中，求出，然后表示出矩形面积，然后利用两角和与差的正弦公式，二倍角公式，化函数为一个角的一个三角函数形式，最后由正弦函数性质得最大值．
【详解】
，
设，，则，
中，，由正弦定理，
，所以，

，
所以，即时，取得最大值．
故答案为：．

42．直角三角形
【解析】
【分析】
根据正弦定理边化角以及两角和的余弦公式变形可得答案.
【详解】
因为，
所以，
所以，
因为，，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，则.
所以为直角三角形.
故答案为：为直角三角形.
43．锐角三角形
【解析】
【分析】
设增加同样的长度为，原三边长为,则，，则新的三角形三边长可表示出来,可知为最大边,其对应角最大，进而利用余弦定理求得余弦值大于0判断出最大角为锐角，得三角形为锐角三角形.
【详解】
设增加同样的长度为,原三边长为,且,，
则新的三角形的三边长为,可知为最大边,其对应角最大，
而,
由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正,则最大角为锐角,
所以新的三角形为锐角三角形.
故答案为:锐角三角形.
【点睛】
本题主要考查了余弦定理的应用，考查了学生转化和化归的思想.
44．直角三角形
【解析】
【分析】
首先结合正弦定理进行角化边，然后结合余弦定理角化边，进而整理以后因式分解即可得出结果.
【详解】
因为，结合正弦定理得：，
由余弦定理得，
所以，
即，
所以，
，
，
，
因为，所以，即，所以是直角三角形.
故答案为：直角三角形.
45．（1）；（2）.
【解析】
（1）利用降幂公式进行化简，得到，然后利用整体法求解的单调递减区间；
（2）先利用，求出，利用得出与的关系，再利用得出与或的关系.
【详解】
解(1)依题
又故的单调递减区间为
(2)由题意知，又，故，
依题意，
在三角形中，由余弦定理

故.
【点睛】
（1）分析三角函数的性质时，要灵活运用三角恒等变换公式将原函数解析式化为的形式，然后分析其单调区间、对称性、周期性、最值等问题；
（2）当已知一角及任意两边的关系求解三角形中边长的比例关系时，要注意运用正弦定理、余弦定理进行求解.
46．(1)
(2)，千米
【解析】
【分析】
（1）若，得到，在等边中，得到，分别在直角中，求得，再在直角中，求得的长；
（2）若，在中，利用正弦定理求得，在中，利用余弦定理求得，进而求得最大值，即可求解.
(1)
解：若，又由，所以此时，
又因为为边长为3的等边三角形，所以，
在直角中，因为，所以，
在直角中，可得.
(2)
解：若，在中，，所以，
在中，，其中，
所以

，
即，
当且仅当时，即时，取得最大值27，
此时（千米），
所以当时，工厂产生的噪音对村庄B的居民影响最小，
此时工厂距离村庄B的最远距离约为5.2千米.
47．(1)直角三角形或等腰三角形
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出，可得出或，可得出或，即可得出结论；
（2）分析可得，且，利用诱导公式以及辅助角公式可得出周长，利用正弦型函数的基本性质可求得取值范围.
(1)
为等腰三角形或直角三角形，证明如下：
由及正弦定理得，，
即，
即，
整理得，所以，
故或，
又、、为的内角，所以或，
因此为等腰三角形或直角三角形．
(2)
由（1）及知为直角三角形且不是等腰三角形，
且，故，且，
周长，
因为，故，
得，所以，
所以周长的取值范围为．
48．（1）最小正周期是，单调递减区间是；（2）直角三角形，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）由数量积坐标运算求得，并由二倍角公式、两角和的正弦公式化函数为一个角一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得最小正周期和减区间；
（2）先求得角，由面积公式求得，再由余弦定理求得，可判断三角形形状．
【详解】
（1），
所以最小正周期是，
，解得，
减区间是；
（2）由（1），，
因为，所以，所以，，
，，
，，，
是直角三角形．
49．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意和正弦定理及两角和的正弦公式，化简得到，即可求解；
（2）根据是锐角三角形，求得，由正弦定理化简得到，进而求得的取值范围.
(1)
解：因为，由正弦定理得，
因为=，
所以，则或，
即或（舍去），故.
(2)
解：因为是锐角三角形，所以，解得，
所以，
由正弦定理可得：，则，
所以.