人教版九年级上册24.1.4 圆周角教案

24.1 圆的有关性质

24.1.4 圆周角

一、教学目标

【知识与技能】

理解圆周角的概念.探索圆周角与同弧所对的圆心角之间的关系，并会用圆周角定理及推论进行有关计算和证明.

【过程与方法】

经历探索圆周角定理的过程，初步体会分类讨论的数学思想，渗透解决不确定的探索型问题的思想和方法，提高学生的发散思维能力.

【情感态度与价值观】

通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验.

二、课型

新授课

三、课时

1课时

四、教学重难点

【教学重点】 

圆周角定理及其推论的探究与应用.

【教学难点】 

圆周角定理的证明中由一般到特殊的数学思想方法以及圆周角定理及推论的应用.

五、课前准备 

课件、图片、直尺等.

六、教学过程

（一）导入新课

教师问：什么叫圆心角？指出图中的圆心角？（出示课件2）

学生答：顶点在圆心的角叫圆心角,∠BOC.

教师问：如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点?

学生答：∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B、C两点.

（二）探索新知

探究一  圆周角的概念

顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.（出示课件4）

教师强调：两个条件必须同时具备，缺一不可.

出示课件5：练一练：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.

学生观察，思考后口答：⑴是；⑵不是，顶点不在圆上；⑶不是，边AC没有和圆相交；⑷不是，顶点不在圆上；⑸是；⑹是.

探究二  圆周角定理及其推论

教师问：如图，连接BO、CO，得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.

学生测量后猜想：

出示课件7-10：分圆心O在∠BAC的一边上；圆心O在∠BAC的内部；圆心O在∠BAC的外部三种情况进行证明.

⑴圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）.

师生共同解答.

证明：∵OA=OC，∴∠A=∠C，而∠BOC=∠A+∠C，

∴∠BAC=∠C=∠BOC.

⑵圆心O在∠BAC的内部.

教师提示：此题的证明方法与（1）不同，但可以转化成（1）的基本图形进行证明，证明过程请学生们讨论完成.

证明：连接AO并延长交⊙O于D.

⑶圆心O在∠BAC的外部.

教师提示：（3）的证明方法与（1）不同，但可以转化成（1）的基本图形进行证明，证明过程请学生们讨论完成.

证明：连接AO并延长交⊙O于点D.

教师归纳总结：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（出示课件11）

教师问：如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A,D是上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由.（出示课件12）

学生答：相等.

证明：在⊙O中，∵

∴∠BAC=∠BDC.

教师问：如图，若∠A与∠B相等吗？（出示课件13）

学生答：相等.

证明：连接OC，OE，OD，OF，

∵

教师问：反过来，若∠A=∠B，那么成立吗？

学生答：成立.

教师问：若CD是直径，你能求出∠A的度数吗？

学生答：90°.

师生共同总结：圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.（出示课件14）

出示课件15：试一试：

如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35º.

(1)∠BOC=      º，理由是                                  ；

(2)∠BDC=    º，理由是                             .

学生思考后口答：⑴70；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

⑵35；同弧所对的圆周角相等

出示课件16：如图，线段AB是☉O的直径，点C是 ☉O上的任意一点（除点A、B外），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角？

学生独立思考后，师生共同解答.

解：∵OA=OB=OC，

∴△AOC、△BOC都是等腰三角形.

∴ ∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB.

又∵ ∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°.

∴ ∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°.

教师归纳：圆周角和直径的关系（出示课件17）

半圆或直径所对的圆周角是直角，

90°的圆周角所对的弦是直径.

出示课件18：例1 如图，AB是☉O的直径，∠A=80°.求∠ABC的大小.

学生思考后师生共同解答.

解：∵AB是☉O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB

=180°-90°-80°=10°.

巩固练习：（出示课件19）

如图，AB是⊙O的直径，∠A＝10°，则∠ABC＝______．

学生口答：80°.

出示课件20：例2 如图，分别求出图中∠x的大小.

学生观察思考后师生共同解答.

解：(1)∵同弧所对圆周角相等，∴∠x=60°.

(2)连接BF，

∵同弧所对圆周角相等，

∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°.

∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.

巩固练习：（出示课件21）

如图,正方形ABCD的顶点都在☉O上,P是弧DC上的一点,则∠BPC=_____.

学生思考后独立解答：连接BD,则BD是直径,

∴△BCD是等腰直角三角形,

∴∠BDC=45°,

∴∠BPC=∠BDC=45°.

出示课件22,23：例3 如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.

（1）求DC的长；

（2）若∠ADC的平分线交⊙O于B,求AB、BC的长．

学生自主思考后师生共同解答.

解：(1)∵AC是直径，

∴∠ADC=90°.

在Rt△ADC中，

(2)∵AC是直径,

∴∠ABC=90°.

∵BD平分∠ADC,

∴∠ADB=∠CDB.

又∵∠ACB=∠ADB,∠BAC=∠BDC.

∴∠BAC=∠ACB,

∴AB=BC.

在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，

教师强调：解题妙招：在圆周角问题中，若题干中出现“直径”这个条件，则找直径所对的圆周角，通过构造直角三角形来解决.

巩固练习：（出示课件24）

如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为(　　)

A．30°  B．45°  C．60°  D．75°

学生自主解答：C.

探究三  圆内接四边形

教师出示定义：如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.（出示课件25）

出示课件26：如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.

教师问：∠A与∠C, ∠B与∠D之间有什么关系？

学生猜想：∠A+∠C=180º，∠B+∠D=180º.

教师问：如何证明你的猜想呢？

学生思考后，师生共同解答.（出示课件27）

证明：连接OD,OD,

∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，

∴∠A＋∠C＝180°，

同理∠B＋∠D＝180°.

教师归纳总结：推论：圆内接四边形的对角互补.

教师问：图中∠A与∠DCE的大小有何关系？（出示课件28）

学生交流后口答：∵弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，

∴∠A＋∠C＝180°，

同理∠B＋∠D＝180°，

∵∠BCD＋∠DCE＝180°.

∴∠A＝∠DCE.

教师归纳总结：推论：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.（出示课件29）

出示课件30：如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.求证：∠FGD＝∠ADC.

学生自主思考后师生共同解答.

证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，   

∴∠FGD＝∠ACD.

又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，  

∴AB垂直平分CD，

∴AC＝AD，

∴∠ADC＝∠ACD，

∴∠FGD＝∠ADC.

巩固练习：（出示课件31）

如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是(　　)

A．120°     B．100°   C．80°      D．60°

学生自主思考后独立解答：A.

（三）课堂练习（出示课件32-27）

1.如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（　　）

A．25°     B．27.5° C．30°     D．35°

2.如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是（      ）

A．50° B．60° C．80° D．100°

3.判断.

（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等（       ）

（2）相等的弦所对的圆周角也相等（      ）

（3）同弦所对的圆周角相等（      ）

4.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°,则∠AOB=       ．

5.如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（       ）   

A.30°    B.40°      C.50°        D.60°

6.如图，四边形ABCD内接于⊙O,如∠BOD=130°则∠BCD的度数是（        ）

A.115°       B.130°       C.65°        D.  50°

7.如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.

求证：∠ACB=2∠BAC.

8.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”，当船位于安全区域时，∠α与“危险角”有怎样的大小关系？

参考答案：

1.D

2.D解析：圆上取一点A，连接AB，AD，

∵点A、B、C、D在⊙O上，∠BCD=130°，  

∴∠BAD=50°，

∴∠BOD=100°.

3.⑴√⑵×⑶×

4.166°

5.A

6.C

7.证明：∵∠AOB=2∠BOC，

∴∠ACB=2∠BAC.

8.解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即⊙O外） ，与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”.

（四）课堂小结

通过这堂课的学习，你掌握了哪些知识点?

（五）课前预习

预习下节课（24.2.1）的相关内容.

七、课后作业

配套练习册内容

八、板书设计：

九、教学反思：

1.这节课首先是类比圆心角得出圆周角的概念.在探索圆周角与圆心角关系过程中，要求学生学会分类讨论，以及转化的数学思想解决问题，同时也培养了学生勇于探索的精神.其次，本节课还学习了圆内接四边形定义及圆内接四边形的性质，通过例题和习题训练，可以使学生在解答问题时灵活运用前面的一些基础知识，从中获取成功的经验，建立学习的自信心.

2.圆周角定理的证明分了三种情况探讨，这里蕴含着重要的数学思想——分类思想，教材中多处闪烁着分类思想的光环:三角形分类、方程的分类等，故教学过程中要整理相互交融的知识结构，加强分类思想的渗透.