《简单几何体的再认识(2)》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】

第六章  立体几何初步

6.6 简单几何体的再认识(2)

1.掌握台体的体积公式，会利用它们求有关空间图形的体积．

2.了解球的结构和性质、球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积．

3.会求简单组合体的体积及表面积．

教学重点：台体的体积公式、球的表面积和体积公式．

教学难点：简单组合体的表面积和体积的计算．

一、新课导入

情境：生活中常见的水桶多数是圆台，如果我们知道水桶上、下底面的半径分别是，，你能计算出这个水桶的容积吗？

要计算水桶的容积，本质上是计算它对应的圆台的体积．那么如何计算台体的体积呢？

设计意图：通过学生们熟悉的圆柱体进行导入，给出“曲面转化为平面”的思想在此类问题中的妙用，引导学生后面对锥体、台体侧面展开上的应用．

二、新知探究

问题1：圆台可以看成是由圆锥被平行于底面的平面所截形成的，类比用两个圆锥的侧面积之差计算圆台的侧面积，如何计算圆台的体积呢？

答案：可以用两个圆锥的体积相减，得到圆台的体积．

追问1：如图，设圆台上、下底面的半径分别是，，圆台的高，你能尝试推导一下圆台的体积公式吗？

答案：由相似的性质，不难得出：，

祖暅原理可得锥的体积之差1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111∴，

；；

．

说明：圆台的体积公式同样适用于棱台，在此我们不做证明，有兴趣的同学可以自己尝试推导．

追问2：将柱体、台体、椎体的体积公式归纳起来思考，有什么发现？

答：当台体的上底面扩大到与下底面全等时，即,，台体公式转化成了柱体公式；当台的上底面缩小到一个点时，即，台的体积公式转化为锥的体积公式.

想一想：前面我们学习了柱、锥、台体的表面积及体积的计算公式，那么球的表面积和体积该如何计算呢？

为此，我们需要先来了解球的结构和性质：

问题2：用一个平面去截半径为的球，所得的截线是什么形状？

答：用一个平面去截半径为的球，若平面经过球心，则平面与球面的公共点显然都是共面的且到球心的距离都为，这说明过球心的平面截球面所得截线是以球心为圆心的圆．

当平面不经过球心时，如图，不妨设于点，记，对于平面与球面的任意一个公共点，都满足，所以．此时截线是以点为圆心、以为半径的圆．

我们称球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆．

与圆和直线相切类似，当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的切点．

追问：过球外一点作球的切线，这点和切点之间的线段长称为这点到球的切线长，过球外一点，可以作球的无数条切线．那么所有切线的切线长相等吗？所有切点组成什么图形？

答：如图，设过点的直线与球相切于点，则平面与球面的交线是球的大圆，由直线与圆相切的性质可得，所以=．

设点在上的垂足为，则长度恒定不变．

这说明，过球外一点的所有切线的切线长都相等．这些切点的集合是以点为圆心、为半径的圆，圆面及所有切线围成了一个圆锥．

问题3：一个底面半径和高都等于的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积与一个半径为的半球的体积有什么关系呢？

答：相等．理由如下：

用距圆柱下底面高为的平面分别截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为：，

右边的半球体被平面所截的截面为圆，可得圆的半径为：，故截面的面积为：，由祖暅原理知，上述两个几何体的体积相等．

即，．

所以，．

追问：如何在球的体积公式的基础上，推导球的表面积公式？

师生活动：小组互动，学生探讨，点名交流.

答：把球分成个小网格，连接球心和每个小网格的顶点，整个球体被分割成个小锥体．（这些小锥体的底面并不是真正的多边形，但只要这些小锥体的底面足够地小，就可以把它们近似地看成棱锥）

当n越大，每个小锥体的底面越平，就越近似于棱锥，其高越近似于球的半径．底面积，，，…的和趋近于球面积，所有这些小椎体的体积的和趋近于球的体积，因此，

，

所以，．

这说明，球的表面积是球的大圆面积的4倍．

设计意图：结合祖暅原理，推导球的体积和表面积公式，让学生体会极限的思想方法，培养学生的空间想象能力，发展直观想象的学科核心素养．

  三、应用举例

例1  已知一正四棱台的上底边长为，下底边长为，高为．求其体积．

解：．

所以正四棱台的体积为．

例2 如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌，如果冰激凌融化了，会溢出杯子吗？（假设冰激凌融化前后体积不变）

解：因为，

，

，所以冰激凌融化了，不会溢出杯子．

例3 一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为，瓶里所装的水深为，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到．求钢球的半径．

解：如图，设钢球的半径为，根据题意，得：

解得：．

所以钢球的半径为．

设计意图：通过例题，帮助学生巩固台体的体积、球的体积的计算公式，并掌握简单组合体的体积的计算方法．             

四、课堂练习

1．球的体积是，则此球的表面积是(　　)

A．12　　 　　B．16　　 　　C．　　　　D．

2．如图所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积之比是(　　)

A．3∶2　  B．2∶3        C．1∶2        D．1∶1

参考答案：

1.解：设球的半径为，则由已知得，解得．故球的表面积为：．故选B．

2.解：设球的半径为，则球的表面积为：．圆柱的侧面积为：．所以．故选．

五、课堂小结

设计意图：引导学生对本节课所学知识方法有一个全面的认识，培养学生的归纳总结能力，帮助学生深化对知识的理解与掌握，体会研究解决实际问题的思路、途径、方法，为进一步学习打下坚实基础．

六、布置作业

教材第244页练习第1、2题．