北师大版 (2019)必修 第二册4.1 直线与平面平行教学设计及反思

第六章  立体几何初步

6.4.1 直线与平面平行(2)

1.通过直观感知，操作确认，理解直线与平面平行的判定定理，会用文字语言、图形语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理；

2.会用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面位置关系，培养学生数学抽象、逻辑推理的能力.

教学重点：直线与平面平行的判定定理．

教学难点：直线与平面平行的判定定理的应用．

一、新课导入

思考：如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面内，把这块矩形木板绕AB转动，在转动的过程中，AB的对边CD与平面的位置关系是怎样的？

答案：当平面ABCD与平面相交时，CD∥平面；

当平面ABCD与平面重合时，CD⊂平面.

追问1：从定义上看，如何判断一条直线与一个平面平行？

回答：直线与平面无交点

从定义判断线面平行过于复杂，不太方便，那么有没有一种简单的、容易操作的方法来判定一条直线与一个平面平行呢？这就是我们今天要探索的内容.

设计意图：通过复习，巩固上一课时的知识，进而引出本次课的课题，有助于知识的迁移，为后面对比性质定理与判定定理做铺垫.

二、新知探究

问题1：如果一条直线平行于平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面平行吗？

答案：不一定.当直线在平面内时，也可能平行于平面内的无数条直线.例如，长方体ABCD-A′B′C′D′中，棱AB平行于长方体的底面ABCD内的无数条直线，但是AB在底面ABCD内.

追问1：A′B′与AB、底面ABCD的关系是？

答案：A′B′∥AB，A′B′∥平面ABCD．

追问2：观察长方体，你还能指出哪些直线与平面的平行关系？

答案：如A′D′∥平面ABCD，AA′∥平面DCC'D' (答案不唯一)．

设计意图：引导学生用“降维”的思想来思考问题，把要证线面平行转化为证线线平行，进一步感知直线与平面平行的本质内涵，辨析问题1使学生明确对数学结论的探究，表述要严谨，培养学生严谨的治学态度和良好的思维习惯．

问题2：如果平面外的直线平行于平面内的直线，这两条直线共面吗？此时，直线与平面平行吗？

答案：根据“两平行直线确定一个平面”可得，直线与直线共面；

假设直线与平面不平行，则由题意知，直线与平面相交，假设交点为，在平面内过P作直线，∵，∴，这与矛盾，故．

接下来我们从运动的角度来思考如何证明线面平行．

问题3：如图，直线b平面，直线b与平面的公共点在哪里？有多少个公共点？

答案：直线b上所有的点都是b与的公共点.此时公共点有无数多个．

追问1：向上平移b，使得b离开平面至a，此时直线a与平面有多少个公共点？

答案：没有公共点．

追问2：此时直线与平面是什么关系？

答案：．

思考：结合前面的讨论，大家能总结出如何判定直线与平面平行吗？

答案：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.

线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．

符号语言：若，la，则．

注意：此定理共三个条件，在应用时缺一不可，即：①一线面外，“”；②一线面内，“”；③两线平行，“a”．

作用：在空间中，常用此定理来由“线线平行”来证明“线面平行”，即“线线平行”是“线面平行”的充分条件．

此定理与线面平行的性质定理都体现了“直线与平面平行”与“直线与直线平行”互相转化的数学思想.在研究立体几何时，常常把空间问题转化为平面问题这一重要方法．

设计意图：让学生归纳出直线与平面平行的判定定理，并能用符号语言、图形语言准确表示，使学生明白要判定一条直线与一个平面平行只要在这个平面内找到一条直线与已知直线平行，即把证线面平行转化为证线线平行．

判断：下列命题是否正确？

（1）若直线与平面内的一条直线平行，则l；

（2）若直线平行于平面内的无数条直线，则l；

（3）若直线与平面相交，则内不存在直线与直线l平行；

（4）若，，则l;

（5）若，，则l；

（6）若直线与平面平行，则它与平面内的任何直线都平行.

答案：（1）错误.没有说明，条件不足，线面平行的判定定理不成立．

（2）错误.当时，也平行于平面内的无数条直线．

（3）正确.若直线与平面相交，则内的直线与直线相交或异面．

（4）错误.没有说明，条件不足，线面平行的判定定理不成立.也可能是．

（5）错误. l与a可能相交．

（6）错误.只有与共面的直线才与平行，否则异面．

     三、应用举例

例1  如图，在空间四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、AD、BC、CD的中点，试指出图中满足线面平行位置关系的所有情况，并说明理由．

解：∵点E、F分别是AB、AD的中点，∴EF∥BD．

又∵BD平面BCD，EF平面BCD，

∴EF∥平面BCD（线面平行的判定定理）．

类似地，GH∥平面ABD、EG∥平面ADC、FH∥平面ABC、BD∥平面EGHF．

总结：应用判定定理证明线面平行的步骤

上面的第一步“找”是关键，其常用方法有：①空间直线平行关系的传递性法；②三角形中位线法；③平行四边形法；④成比例线段法．

例2  如图，长方体ABCD-A′B′C′D′中，点E为DD′的中点，试判断BD′与平面AEC的位置关系，并说明理由.

解：BD′∥平面AEC，理由如下：

连接BD交AC于O点，则点O为BD的中点，连接EO

∵点E为DD′的中点，∴EO∥BD′

又∵EO平面AEC，BD′平面AEC，∴BD′∥平面AEC（线面平行的判定定理）

例3  如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E是PC的中点，在DE上任取一点F，过点F和AP作平面PAGF交平面BDE于FG，求证：AP∥GF.

解：连接AC交BD于点Q，连接EQ，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴Q为AC中点．

又∵E为PC的中点，∴QE是△PAC的中位线，∴PA∥EQ．

又∵AP平面BDE，平面APC平面BDE=QE，

∴AP∥平面BDE（线面平行的判定定理）．

又∵平面APFG平面BDE=FG，∴AP∥GF（线面平行的性质定理）．

设计意图：通过例题，熟悉线面平行的判定定理的解题思路，并提醒学生注意判定定理的注意事项．             

四、课堂练习

1.如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，E为AB的中点，F为CC′的中点.证明：EF∥平面AC′D．

2.已知四棱锥P-ABCD中，CD∥AB，取PA的中点M，BC的中点N，

求证：MN∥平面PDC.

参考答案：

1.取DC′中点G，连接FG、AG．

∵F为CC′的中点，∴GF是△DCC′的中位线．∴GF∥DC，GF=DC．

又∵DC∥AB，DC=AB，E为AB的中点，∴GF∥AE，GF=AE．     

∴四边形AEFG为平行四边形．∴EF∥AG．

又∵EF平面AC′D，AG平面AC′D，∴EF∥平面AC′D．

2．连接AN并延长，交DC的延长线于点E，连接PE，

∵CD∥AB，N为BC的中点，∴N为AE的中点．

∵M为PA的中点，∴MN是△APE的中位线．∴MN∥PE．

又∵MN平面PDC，PE平面PDC，∴MN∥平面PDC．

五、课堂小结

线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.

注意：此定理共三个条件，在应用时缺一不可，即：①一线面外，“”；②一线面内，“”；③两线平行，“”.

六、布置作业

教材第219页练习第1、2、3题．