数学第二章 平面向量及其应用4 平面向量基本定理及坐标表示4.2 平面向量及运算的坐标表示随堂练习题

课后素养落实(十八)　平面向量及运算的坐标表示

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量等于(　　)

A．(－7，－4)    B．(7，4)

C．(－1，4)    D．(1，4)

A　[＝(3，1)，＝(－4，－3)，＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4).]

2．已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，0)，那么向量3b－a的坐标是(　　)

A．(－4，2)    B．(－4，－2)

C．(4，2)    D．(4，－2)

D　[3b－a＝3(1，0)－(－1，2)＝(3，0)－(－1，2)＝(3＋1，0－2)＝(4，－2).]

3．已知a－b＝(1，2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于(　　)

A．(－2，－2)    B．(2，2)

C．(－2，2)    D．(2，－2)

[答案]　D

4．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，c＝(3，4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为(　　)

A．－2，1    B．1，－2    C．2，－1    D．－1，2

D　[由解得]

5．已知两点A(4，1)，B(7，－3)，则与同向的单位向量是(　　)

A．     B．

C．     D．

A　[∵A(4，1)，B(7，－3)，＝(3，－4)，∴与同向的单位向量为＝.]

二、填空题

6．已知A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，0)，D(x，y)，且＝2，则x＋y＝________．

　[∵＝(－2，0)－(－1，－2)＝(－1，2)，＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，又∵2＝，即(2x－4，2y－6)＝(－1，2)，

∴解得

∴x＋y＝.]

7．已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．

(3，3)　[法一：由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，

则＝－＝(4λ－4，4λ).

又＝－＝(－2，6)，由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，

所以＝＝(3，3)，所以点P的坐标为(3，3).

法二：设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4，4)，且与共线，

所以＝，即x＝y.

又＝(x－4，y)，＝(－2，6)，且与共线，

所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，

所以点P的坐标为(3，3).]

8．已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(－2，1)，(－1，3)，(3，4)，则顶点D的坐标为________．

(2，2)　[设顶点D的坐标为(x，y)，

∵＝(－1，3)－(－2，1)＝(1，2)，＝(3，4)－(x，y)＝(3－x，4－y)，

∴由＝，得(1，2)＝(3－x，4－y)，

即，解得

∴平行四边形ABCD顶点D的坐标为(2，2).]

三、解答题

9．已知点A(－1，2)，B(2，8)，且＝，＝－，求点C，D和的坐标．

[解]　设C(x1，y1)，D(x2，y2)，

由题意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3，6)，＝(－1－x2，2－y2)，＝(－3，－6).

∵＝，＝－，

∴(x1＋1，y1－2)＝(3，6)＝(1，2)，(－1－x2，2－y2)＝－(－3，－6)＝(1，2)，

则有和

解得和

∴C，D的坐标分别为(0，4)和(－2，0)，

∴＝(－2，－4).

10．已知A(1，1)、B(3，－1)、C(a，b).

(1)若A、B、C三点共线，求a、b的关系式；

(2)若＝2，求点C的坐标．

[解]　(1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，

∵A、B、C三点共线，∴∥，

∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.

(2)∵＝2，

∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)，

∴，解得，

∴点C的坐标为(5，－3).

11．已知向量a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(　　)

A．k＝1且c与d同向   B．k＝1且c与d反向

C．k＝－1且c与d同向  D．k＝－1且c与d反向

D　[c＝(k，1)，d＝(1，－1)，

由c∥d，得－k－1＝0，∴k＝－1，

∴c＝(－1，1)＝－d，

∴c与d反向．]

12．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为(　　)

A．(2，6)    B．(－2，6)

C．(2，－6)    D．(－2，－6)

D　[由题意知4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，

∴d＝－6a－4b＋4c＝－6(1，－3)－4(－2，4)＋4(－1，－2)

＝(－6＋8－4，18－16－8)＝(－2，－6).]

13．若α，β是一组基，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基α，β下的坐标．现已知向量a在基p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为________．

(0，2)　[∵a在基p，q下的坐标为(－2，2)，

∴a＝－2p＋2q＝－2(1，－1)＋2(2，1)＝(2，4).

令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，

∴解得

∴a在基m，n下的坐标为(0，2).]

14．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，则m＝________．

－1　[a＋b＝(1，m－1)，

∵(a＋b)∥c，∴1×2－(－1)·(m－1)＝0，∴m＝－1.]

15.如图，已知在△AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．

[解]　∵＝＝(0，5)＝，∴C.

∵＝＝(4，3)＝，∴D.

设M(x，y)，则＝(x，y－5).

∵＝＝，A，M，D三点共线，

∴设＝λ(λ∈R)，即(x，y－5)＝λ，

∴  ①

∵＝，＝，C，M，B三点共线，

∴设＝μ(μ∈R)，即＝μ，

∴  ②

联立①②，解得x＝，y＝2，故点M的坐标为.