北师大版 (2019)必修 第二册6.2 探究φ对y=sin(x+φ)的图象的影响教学设计
展开第一章 三角函数
1.6.3 探究A对y的图象的影响
1.结合实例,理解参数的意义;
2.掌握参数对y图象的影响;
3.会利用参数对函数图象的影响解决相关的问题.
重点:参数的变化对正弦函数图象的影响;由y=通过图象变换得到y的图象.
难点:参数的变化对y图象的影响.
一、新课导入
问题1:回忆学习过的内容,说出和分别对函数的图象的影响.
答案:在函数中,T是函数y=sinx的最小正周期.
函数y=sinx的图象是将函数y=图象上所有点的横坐标缩短到原来的(当>1时)或伸长(当0<<1时)到原来的(纵坐标不变)得到的.
函数y=中决定了=0时的函数值,称为初相,称为相位.
二、新知探究
问题2:在同一平面直角坐标系中,用“五点法”作出函数与的图象,从列表中变量的值以及画出的图象两方面进行观察分析,与图象之间有什么关系?
答案:五个关键点列表
0 | |||||
0 | 1 | 0 | -1 | 0 | |
0 | -4 | 0 | 4 | 0 | |
0 | 0 | 0 |
根据表中数据在同一个坐标系中分别画出与的图象并与图象比较,如图,
由图可以看出图象是图象纵坐标伸长为原来的4倍,横坐标不变得到.
的图象是图象纵坐标缩短为原来的倍,横坐标不变得到.
所以,的图象是图象纵坐标伸长或缩短为原来的倍,横坐标不变得到.
追问1:由函数y=的图象怎样得到y=的图象呢?
答案:对于一个值,函数y=图象上点的纵坐标等于函数y=的图象上点的纵坐标的2倍.这表明,函数y=图象可以看作是将函数y=的图象所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到的,如图
抽象概括:
答案:函数y的图象是将函数y的图象上的每个点的纵坐标伸长或缩短到原来的A倍(横坐标不变)得到的.决定了函数y的值域以及函数的最大值和最小值,通常称为振幅.
追问2:函数y的最大值和最小值以及值域是什么呢?
答案:函数y的最大值和最小值分别为和值域为.
问题3:函数y=与函数y=的图象有什么不同?
答案:函数y=的图象可以看作是将函数y=的图象所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到y=的图象,再把y=的图象上所有点向上平移1个单位长度即可得到函数y=的图象.
问题4:通过对参数和这三个参数的讨论,你能总结出探究函数y性质的一般步骤吗?
答案:第1步,确定周期;
第2步,在y=五个关键点(0,0), (,1) , (π,0), (,-1), (2π,0)的基础上确定该函数的五个关键点;
第3步,用光滑曲线顺次连接五个关键点,即可画出y在一个周期上的图象,再利用周期性把图象延拓到,就得到它在上的图象.
第4步,借助图象讨论性质.
实际上这也是讨论周期函数的一般方法和步骤.
追问:你能总结出函数y的性质吗?
⑴定义域为;
⑵值域:.
⑶奇偶性:当,时,是奇函数;当时,是偶函数;当,时,是非奇非偶函数.
⑷对称性:函数y的对称轴为直线,对称中心为,并且函数y的图象在对称轴处取得最大值或最小值,即若直线是函数图象的一条对称轴,则应有;若y的图象关于点 (,0)成中心对称,则应有.
⑸单调性:函数y单调区间的确定,基本思想是将看作一个整体,由,解出的范围,所得区间即为函数的增区间,由,解出的范围,所得区间即为函数的减区间.
⑹周期性:最小正周期.
三、应用举例
例1画出函数的图象并讨论其性质.
解:方法1:直接运用y的结果.先变形,,再用上面的一般方法来研究.
方法2:使用类似y的研究方法.
⑴周期
因为的周期是2π,所以,该函数的周期是4π.
⑵图象
刻画在的五个关键点(0,1), (,0), (π,), (,0), (2π,1)
由此得到刻画在的图象基本形状的五个关键点(0,1), (π,0), (2π,), (3π,0), (4π,1) .用光滑曲线顺次连接五个关键点,即可画出在一个周期上的图象,再利用周期性把图象延拓到,就得到它在上的图象.如图
⑶其他性质
设,则函数的单调增区间为,.
由,,得4,,
所以函数单调递增区间为,.
类似地,函数单调递减区间为,.
函数,取得最大值时的的集合是由,得,所以当时函数,取得最大值1.
类似地,当时函数,取得最大值1.
函数,,得值域为.
四、课堂练习
1. 为了得到y=的图象只需要将y=的图象上的每个点( )
A.横坐标伸长为原来的倍,纵坐标不变
B.横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变
C.纵坐标伸长为原来的倍,横坐标不变
D.纵坐标缩短为原来的倍,横坐标不变
2.函数y=的图象上各点向右平移个单位,再把横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标缩短为原来的一半,求得到的函数解析式.
3.求函数y=的单调区间.
参考答案:
1.解析:为了得到y=的图象只需要将y=的图象上的每个点纵坐标缩短为原来的倍,横坐标不变,答案选D.
2.解析:y=的图象上各点向右平移个单位,再把横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标缩短为原来的一半,得到的函数解析式是.
3.解析: 函数y=单调递增区间为,.
函数y=单调递减区间为,.
设,则函数的单调增区间为,.由,,得,,
所以函数y=单调递增区间为,.
类似地,函数y=单调递减区间为,.
四、课堂小结
1.函数y的图象是将函数y的图象上的每个点的纵坐标伸长或缩短到原来的A倍(横坐标不变)得到的.决定了函数y的值域以及函数的最大值和最小值,通常称为振幅.
2.探究函数y性质的一般步骤是:
第1步,确定周期;
第2步,在y=五个关键点(0,0), (,1) , (π,0), (,-1), (2π,0)的基础上确定该函数的五个关键点;
第3步,用光滑曲线顺次连接五个关键点,即可画出y在一个周期上的图象,再利用周期性把图象延拓到,就得到它在上的图象.
第4步,借助图象讨论性质.
五、布置作业
教材第49页练习A组题.
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