江苏 苏科版数学七年级下册第12章《证明》复习学案（附解析）
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知识点一、定义
定义：对名称或术语的含义进行描述或作出规定，就是给出它们的定义.
1. 定义是严密的，要避免使用一些含糊不清的词语，如“大概”“差不多”等；
2. 定义是几何推理的依据，既可以当性质用，也可以当判定用，是我们思考问题的出发点和目标.
知识点二、命题
1. 命题：判断一个事情的句子叫做命题.
命题的含义：①命题必须是一个完整的句子；②这个句子必须能对某件事情作出肯定或者否定的判断.
（1）命题通常是一个陈述句，包括肯定句和否定句，而疑问句和祈使句等都不是命题；
（2）判断一个语句是不是命题，不要与判断正误混淆，错误的判断也是一个命题.
2. 命题的组成：命题一般是由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.
3. 命题的表达形式
一般情况下，命题的条件是用“如果”，“若”等字样引出，命题的结论是用“那么”“则”等字样引出。若命题不具有“如果…那么…”的形式，则一般先将命题改写成“如果…那么…”的形式，再来确定命题的条件和结论.
PS：在改写命题时，不仅是在原命题中添上如果”和“那么”，还要使和结论改写后命题的实质不变，与改写前的命题的内容保持一致.
知识点三 定理与证明
1. 证明：根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明。
2 定理：经过证明的真命题称为定理注意定理一定是真命题，但真命题不一定是定理.
3. 证明与图形有关的命题，一般有以下步骤：
第一步：根据题意，画出图形；
第二步：根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证；
第三步：写出证明的过程
知识点四 互逆命题
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题是另一个命题的逆命题.
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题.
（1）对于条件与结论不是很明显的命题，可先改写成“如果那么…”的形式，然后将条件和结论互换位置从而得到原命题的逆命题；
（2）原命题的真假与逆命题的真假之间没有必然的联系，即原命题是真命题，其逆命题可能是真命题，也可能是假命题；原命题是假命题，其逆命题可能是真命题，也可能是假命题.
复 习 练 习
1.对于命题“如果a＝b，那么ac＝bc．”，它的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
2．命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
3．一个黑暗的房间里有3盏关着的电灯，每次都按下其中的2个开关，最后 将3盏电灯都开亮．（填“能”或“不能”）
4．写出“对顶角相等”的逆命题 ．
5．下列命题：①有两个角和一条边相等的两个三角形全等；②一个锐角和一条边相等的两个直角三角形全等；③两条边分别相等的两个直角三角形全等；④一条直角边和斜边分别相等的两个直角三角形全等；⑤两边分别相等且其中一组等边上的中线也相等的两个三角形全等，其中正确的命题有 （填序号）．
6．已知命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
（1）写出逆命题 ．
（2）逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出“图形”，写出“已知”，“求证”，再进行“证明”；如果是假命题，请举反例说明．
7．数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a＞2，那么a2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．如果|a|＝1，那么a＝1
C．全等三角形的对应角相等 D．如果x＞y，那么mx＞my
8．设，试判断的值是否是定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由
9．【问题探索】
已知线段与一点．试探索与、数量之间的关系．
探索该问题时，需要对线段与点的位置关系进行分类讨论：
（1）如图1，点在线段上时，有__________；
（2）如图2、3，点在线段（或线段）的延长线上时，有__________；
（3）如图4，点在线段所在直线外时，有__________，理由是____________________．
【方法迁移】
画，在的两边上分别取点、，在的内部取一点，连接、探索与、、之间的数量关系，并证明你的结论．
10.（1）读读做做：
平行线是平面几何中最基本、也是非常重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加恰当的平行线，往往能使证明顺畅、简洁．
请根据上述思想解决教材中的问题：
如图①，AB∥CD，则∠B+∠D ∠E（用“＞”、“＝”或“＜”填空）；
（2）倒过来想：
写出（1）中命题的逆命题，判断逆命题的真假并说明理由．
（3）灵活应用
如图②，已知AB∥CD，在∠ACD的平分线上取两个点M、N，使得∠AMN＝∠ANM，求证：∠CAM＝∠BAN．
11.在△ABC中，点D为边BC上一点，请回答下列问题：
（1）如图1，若∠DAC＝∠B，△ABC的角平分线CE交AD于点F，试说明∠AEF＝∠AFE；
（2）在（1）的条件下，如图2，△ABC的外角∠ACQ的角平分线CP交BA的延长线于点P，∠P与∠CFD有怎样的数量关系？为什么？
（3）如图3，点P在BA的延长线上，PD交AC于点F，且∠CFD＝∠B，PE平分∠BPD，过点C作CE⊥PE，垂足为E，交PD于点G，试说明CE平分∠ACB．
12.阅读材料，解决问题
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设但不满足结论就可以了．例如要判断命题“同位角相等”是假命题，可以结合图形举出如下反例：
如图，∠1和∠2是直线a、b被直线c所截而成的同位角，但它们一个是锐角，一个是钝角，明显不相等．
请你举出一个反例说明命题“相等的角是对顶角”是假命题（要求：画出相应的图形，并用文字语言或符号语言表述所举反例）．
13.在数学课本中，有这样一道题：
如图1，AB∥CD，试用不同的方法证明∠B+∠C＝∠BEC
（1）某同学写出了该命题的逆命题，请你帮他把逆命题的证明过程补充完整．
已知：如图1，∠B+∠C＝∠BEC
求证：AB∥CD
证明：如图2，过点E，作EF∥AB
∴∠B＝∠
∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知）
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换）
∴∠ ＝∠ （等式性质）
∴EF∥
∵EF∥AB
∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
（2）如图3，已知AB∥CD，在∠BCD的平分线上取两个点M、N，使得∠BMN＝∠BNM，求证：∠CBM＝∠ABN．
（3）如图4，已知AB∥CD，点E在BC的左侧，∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F．请直接写出∠E与∠F之间的等量关系．
苏科版数学七年级下册第12章《证明》复习（解析）
知识点一、定义
定义：对名称或术语的含义进行描述或作出规定，就是给出它们的定义.
1. 定义是严密的，要避免使用一些含糊不清的词语，如“大概”“差不多”等；
2. 定义是几何推理的依据，既可以当性质用，也可以当判定用，是我们思考问题的出发点和目标.
知识点二、命题
1. 命题：判断一个事情的句子叫做命题.
命题的含义：①命题必须是一个完整的句子；②这个句子必须能对某件事情作出肯定或者否定的判断.
（1）命题通常是一个陈述句，包括肯定句和否定句，而疑问句和祈使句等都不是命题；
（2）判断一个语句是不是命题，不要与判断正误混淆，错误的判断也是一个命题.
2. 命题的组成：命题一般是由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.
3. 命题的表达形式
一般情况下，命题的条件是用“如果”，“若”等字样引出，命题的结论是用“那么”“则”等字样引出。若命题不具有“如果…那么…”的形式，则一般先将命题改写成“如果…那么…”的形式，再来确定命题的条件和结论.
PS：在改写命题时，不仅是在原命题中添上如果”和“那么”，还要使和结论改写后命题的实质不变，与改写前的命题的内容保持一致.
知识点三 定理与证明
1. 证明：根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明。
2 定理：经过证明的真命题称为定理注意定理一定是真命题，但真命题不一定是定理.
3. 证明与图形有关的命题，一般有以下步骤：
第一步：根据题意，画出图形；
第二步：根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证；
第三步：写出证明的过程
知识点四 互逆命题
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题是另一个命题的逆命题.
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题.
（1）对于条件与结论不是很明显的命题，可先改写成“如果那么…”的形式，然后将条件和结论互换位置从而得到原命题的逆命题；
（2）原命题的真假与逆命题的真假之间没有必然的联系，即原命题是真命题，其逆命题可能是真命题，也可能是假命题；原命题是假命题，其逆命题可能是真命题，也可能是假命题.
复 习 练 习
1.对于命题“如果a＝b，那么ac＝bc．”，它的逆命题是 假 命题．（填“真”或“假”）
2．命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是 真 命题．（填“真”或“假”）
3．一个黑暗的房间里有3盏关着的电灯，每次都按下其中的2个开关，最后 不能 将3盏电灯都开亮．（填“能”或“不能”）
4．写出“对顶角相等”的逆命题 相等的角是对顶角 ．
5．下列命题：①有两个角和一条边相等的两个三角形全等；②一个锐角和一条边相等的两个直角三角形全等；③两条边分别相等的两个直角三角形全等；④一条直角边和斜边分别相等的两个直角三角形全等；⑤两边分别相等且其中一组等边上的中线也相等的两个三角形全等，其中正确的命题有 ④⑤ （填序号）．
【解答】解：①有两个角和一条边相等的两个三角形不一定全等，错误，不符合题意；
②一个锐角和一条边相等的两个直角三角形不一定全等，故错误，不符合题意；
③两条边分别相等的两个直角三角形全等，错误，不符合题意；
④一条直角边和斜边分别相等的两个直角三角形全等，正确，符合题意；
⑤两边分别相等且其中一组等边上的中线也相等的两个三角形全等，正确，符合题意，
正确的有④⑤，
6．已知命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
（1）写出逆命题 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 ．
（2）逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出“图形”，写出“已知”，“求证”，再进行“证明”；如果是假命题，请举反例说明．
【解答】解：（1）命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的逆命题是如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；
故答案为：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；
（2）是真命题，
已知，△ABC中，BD是AC边上的中线，BDAC，
求证：∠ABC＝90°，
证明：延长BD至E，使DE＝BD，连接AE，CE，
∵AD＝CD，BD＝DE，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∵BDBE，BDAC，
∴BE＝AC，
∴平行四边形ABCE是矩形，
∴∠ABC＝90°．
7．数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a＞2，那么a2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．如果|a|＝1，那么a＝1
C．全等三角形的对应角相等 D．如果x＞y，那么mx＞my
【答案】C
8．设，试判断的值是否是定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由
【答案】的值是定值，这个定值为0.
【分析】先把代数式用完全平方公式和平方差公式进行化简，再把，代入即可得到答案.
【详解】解：的值是定值.
=
=
=
且，所以，所以，
所以的值是定值，这个定值为0.
9．【问题探索】
已知线段与一点．试探索与、数量之间的关系．
探索该问题时，需要对线段与点的位置关系进行分类讨论：
（1）如图1，点在线段上时，有__________；
（2）如图2、3，点在线段（或线段）的延长线上时，有__________；
（3）如图4，点在线段所在直线外时，有__________，理由是____________________．
【方法迁移】
画，在的两边上分别取点、，在的内部取一点，连接、探索与、、之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）；（2）；（3），三角形第三边大于两边之差，小于两边之和；或，证明见解析
【详解】（1）由图可得故答案为：；
（2）由图可得AP-BP或BP-AP∴故答案为：；
（3）在△ABP中，
故答案为：；三角形第三边大于两边之差，小于两边之和
（4）如图5：
连接AP并延长至H
在△APB中，∠BPH=∠BAP+∠ABP，
在△APC中，∠CPH=∠CAP+∠ACP，
∵∠BPH+∠CPH=∠BPC，∠BAP+∠CAP=∠BAC
∴
当点P在线段BC上时，如图6：同理可得
或：∠BPC=180°，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°
∴
如图7：在四边形ACPB中，
综上，或．
10.（1）读读做做：
平行线是平面几何中最基本、也是非常重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加恰当的平行线，往往能使证明顺畅、简洁．
请根据上述思想解决教材中的问题：
如图①，AB∥CD，则∠B+∠D ＝ ∠E（用“＞”、“＝”或“＜”填空）；
（2）倒过来想：
写出（1）中命题的逆命题，判断逆命题的真假并说明理由．
（3）灵活应用
如图②，已知AB∥CD，在∠ACD的平分线上取两个点M、N，使得∠AMN＝∠ANM，求证：∠CAM＝∠BAN．
（1）解：过E作EF∥AB，如图①所示：
则EF∥AB∥CD，
∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，
∴∠B+∠D＝∠BEF+∠DEF，
即∠B+∠D＝∠BED；
故答案为：＝；
（2）解：逆命题为：若∠B+∠D＝∠BED，则AB∥CD；
该逆命题为真命题；理由如下：
过E作EF∥AB，如图①所示：
则∠B＝∠BEF，
∵∠B+∠D＝∠BED，∠BEF+∠DEF＝∠BED，
∴∠D＝∠BED﹣∠B，∠DEF＝∠BED﹣∠BEF，
∴∠D＝∠DEF，
∴EF∥CD，
∵EF∥AB，
∴AB∥CD；
（3）证明：过点N作NG∥AB，交AM于点G，如图②所示：
则NG∥AB∥CD，
∴∠BAN＝∠ANG，∠GNC＝∠NCD，
∵∠AMN是△ACM的一个外角，
∴∠AMN＝∠ACM+∠CAM，
又∵∠AMN＝∠ANM，∠ANM＝∠ANG+∠GNC，
∴∠ACM+∠CAM＝∠ANG+∠GNC，
∴∠ACM+∠CAM＝∠BAN+∠NCD，
∵CN平分∠ACD，
∴∠ACM＝∠NCD，
∴∠CAM＝∠BAN．
11.在△ABC中，点D为边BC上一点，请回答下列问题：
（1）如图1，若∠DAC＝∠B，△ABC的角平分线CE交AD于点F，试说明∠AEF＝∠AFE；
（2）在（1）的条件下，如图2，△ABC的外角∠ACQ的角平分线CP交BA的延长线于点P，∠P与∠CFD有怎样的数量关系？为什么？
（3）如图3，点P在BA的延长线上，PD交AC于点F，且∠CFD＝∠B，PE平分∠BPD，过点C作CE⊥PE，垂足为E，交PD于点G，试说明CE平分∠ACB．
解：（1）证明：
如图1中，∵∠AEF＝∠B+∠ECB，∠AFE＝∠FAC+∠ACE，
又∵∠B＝∠FAC，∠ECB＝∠ACE，
∴∠AEF＝∠AFE．
（2）∠P+∠CFD＝90°，理由如下：
如图2中，
∵∠ACE＝∠ACB，∠ACP＝∠ACQ，
∴∠ECP＝∠ACE+∠ACP＝（∠ACB+∠ACQ）＝90°，
∴∠P+∠AEC＝90°，
∵∠AEF＝∠AFE＝∠CFD，
∴∠P+∠CFD＝90°．
（3）证明：
如图3中，延长PE交BC于H，设PA交AC于K．
∵∠EKC＝∠KPF+∠PFA，∠EHC＝∠B+∠BPK，
又∵∠B＝∠CFD＝∠PFA，∠KPF＝∠BPH，
∴∠EKC＝∠EHC，
∵CE⊥KH，
∴∠CEK＝∠CEH＝90°，
∴∠EKC+∠ECK＝90°，∠EHC+∠ECH＝90°，
∴∠ECK＝∠ECH，
∴CE平分∠ACB．
12.阅读材料，解决问题
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设但不满足结论就可以了．例如要判断命题“同位角相等”是假命题，可以结合图形举出如下反例：
如图，∠1和∠2是直线a、b被直线c所截而成的同位角，但它们一个是锐角，一个是钝角，明显不相等．
请你举出一个反例说明命题“相等的角是对顶角”是假命题（要求：画出相应的图形，并用文字语言或符号语言表述所举反例）．
解：如图，∠1＝∠2，但是∠1与∠2不是对顶角．
故相等的角是对顶角是假命题．
13.在数学课本中，有这样一道题：
如图1，AB∥CD，试用不同的方法证明∠B+∠C＝∠BEC
（1）某同学写出了该命题的逆命题，请你帮他把逆命题的证明过程补充完整．
已知：如图1，∠B+∠C＝∠BEC
求证：AB∥CD
证明：如图2，过点E，作EF∥AB
∴∠B＝∠ BEF
∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知）
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换）
∴∠ C ＝∠ CEF （等式性质）
∴EF∥ CD
∵EF∥AB
∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
（2）如图3，已知AB∥CD，在∠BCD的平分线上取两个点M、N，使得∠BMN＝∠BNM，求证：∠CBM＝∠ABN．
（3）如图4，已知AB∥CD，点E在BC的左侧，∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F．请直接写出∠E与∠F之间的等量关系．
（1）证明：如图2，过点E，作EF∥AB，
∴∠B＝∠BEF，
∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知），
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换），
∴∠C＝∠CEF（等式性质），
∴EF∥CD，
∵EF∥AB，
∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）；
故答案为：BEF，C，CEF，CD；
（2）证明：过点N作NG∥AB，交BM于点G，如图3所示：
则NG∥AB∥CD，
∴∠ABN＝∠BNG，∠GNC＝∠NCD，
∵∠BMN是△BCM的一个外角，
∴∠BMN＝∠BCM+∠CBM，
又∵∠BMN＝∠BNM，∠BNM＝∠BNG+∠GNC，
∴∠BCM+∠CBM＝∠BNG+∠GNC，
∴∠BCM+∠CBM＝∠ABN+∠NCD，
∵CN平分∠BCD，
∴∠BCM＝∠NCD，
∴∠CBM＝∠ABN；
（3）解：∠BEC＝2∠BFC，
理由：如图4，分别过E，F作EG∥AB，FH∥AB，则EG∥CD，FH∥CD，
∴∠BEG＝∠ABE，∠CEG＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠BEG+∠CEG＝∠ABE+∠DCE，
同理可得∠BFC＝∠ABF+∠DCF，
∵∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F，
∴∠ABE＝2∠ABF，∠DCE＝2∠DCF，
∴∠BEC＝2（∠ABF+∠DCF）＝2∠BFC．
