高中人教B版 (2019)5.2.1 等差数列第1课时导学案

这是一份高中人教B版 (2019)5.2.1 等差数列第1课时导学案，共6页。

“春雨惊春清谷天，夏满芒夏署相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，这首二十四节气歌，记录了中国古代劳动人民在田间耕作长期经验的积累和智慧．“二十四节气”已经被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．我国古代天文学和数学著作《周牌算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．己知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则晷长为七尺五寸时，你知道对应的节气是什么吗？
[提示] 春分、秋分．
知识点1 等差数列的概念
一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的公差．
拓展：等差数列定义的理解
(1)“每一项与它的前一项之差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．
(2)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．
1．下列数列中不是等差数列的为( )
A．6，6，6，6，6 B．－2，－1，0，1，2
C．5，8，11，14D．0，1，3，6，10
D [A中给出的是常数列，是等差数列，公差为0；
B中给出的数列是等差数列，公差为1；
C中给出的数列是等差数列，公差为3；
D中给出的数列第2项减去第1项等于1，第3项减去第2项等于2，故此数列不是等差数列．]
知识点2 等差数列的通项公式及其推广
若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d．该式可推广为an＝am＋(n－m)d(其中n，m∈N＋)．
等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d是什么函数模型？
[提示] d≠0时，一次函数；d＝0时，常数函数．
拓展：等差数列与一次函数的异同点
2．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝________．
6－2n [∵a1＝4，d＝－2，
∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n．]
知识点3 等差数列的单调性
等差数列{an}中，若公差d>0，则数列{an}为递增数列；若公差d<0，则数列{an}为递减数列；若公差d＝0，则数列{an}为常数列，不增也不减．
3．已知点(1，5)，(2，3)是等差数列{an}图像上的两点，则数列{an}为( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列D．无法确定
B [等差数列{an}的图像所在直线的斜率k＝eq \f(5－3,1－2)＝－2<0，故数列{an}是递减数列．]
类型1 等差数列的判定
【例1】 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，在数列{bn}中，bn＝3an＋4，试判断{bn}是不是等差数列．
[思路点拨] 可以利用a1和d写出bn的通项公式．
[解] 由题意可知an＝a1＋(n－1)d(a1，d为常数)，则bn＝3an＋4＝3[a1＋(n－1)d]＋4＝3a1＋3(n－1)d＋4＝3dn＋3a1－3d＋4．
由于bn是关于n的一次函数(或常数函数，当d＝0时)，
故{bn}是等差数列．
判断数列{an}是否为等差数列，主要是利用等差数列的定义，即验证an＋1－an＝dn∈N＋是否成立.具体步骤为：
1作an＋1－an，并对上式进行变形；
2若an＋1－an是常数，则数列{an}是等差数列，否则数列{an}不是等差数列.
[跟进训练]
1．数列{an}的通项公式an＝4－3n，则此数列( )
A．是公差为4的等差数列
B．是公差为3的等差数列
C．是公差为－3的等差数列
D．是首项为4的等差数列
C [∵an＋1－an＝4－3(n＋1)－(4－3n)＝－3．
∴{an}是公差为－3的等差数列．]
2．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)，试证明数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等差数列．
[证明] ∵an＋1＝eq \f(2an,an＋2)，
∴eq \f(1,an＋1)＝eq \f(an＋2,2an)＝eq \f(1,an)＋eq \f(1,2)，
即eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝2，∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是首项为eq \f(1,2)，公差d＝2的等差数列．
类型2 等差数列的通项公式
1．若{an}是等差数列，试用am，an表示公差d，其中n≠m．
[提示] d＝eq \f(an－am,n－m)．
2．若数列{an}的通项公式an＝kn＋b，则该数列是等差数列吗？
[提示] 是．因为an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k，故{an}是等差数列．
【例2】 (对接教材P19例5)(1)在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an；
(2)已知数列{an}为等差数列，a3＝eq \f(5,4)，a7＝－eq \f(7,4)，求a15的值．
[思路点拨] 设出基本量a1，d．利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式an＝am＋(n－m)d求解．
[解] (1)法一：∵a4＝7，a10＝25，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋3d＝7，,a1＋9d＝25，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－2，,d＝3.))
∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，
∴通项公式an＝3n－5(n∈N＋)．
法二：∵a4＝7，a10＝25，
∴a10－a4＝6d＝18，
∴d＝3，
∴an＝a4＋(n－4)d＝3n－5(n∈N＋)．
(2)法一：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a3＝\f(5,4)，,a7＝－\f(7,4)，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋2d＝\f(5,4)，,a1＋6d＝－\f(7,4)，))
解得a1＝eq \f(11,4)，d＝－eq \f(3,4)．
∴a15＝a1＋(15－1)d
＝eq \f(11,4)＋14×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))＝－eq \f(31,4)．
法二：由a7＝a3＋(7－3)d，
即－eq \f(7,4)＝eq \f(5,4)＋4d，
解得d＝－eq \f(3,4)．
∴a15＝a3＋(15－3)d＝eq \f(5,4)＋12×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))＝－eq \f(31,4)．
1．应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋m－1d＝a，,a1＋n－1d＝b，))求出a1和d，从而确定通项公式．
2．若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其他项时，则运用an＝am＋(n－m)d较为简捷．
[跟进训练]
3．若x≠y，且两个数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各成等差数列，那么eq \f(a1－a2,b1－b2)等于________．
eq \f(4,3) [∵数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y均为等差数列，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－x＝3a2－a1，,y－x＝4b2－b1，))
∴eq \f(3a2－a1,4b2－b1)＝1，
即eq \f(a2－a1,b2－b1)＝eq \f(4,3)，
故eq \f(a1－a2,b1－b2)＝eq \f(4,3)．]
4．在等差数列{an}中，已知a4＝10，a14＝70，则an＝__________．
6n－14 [法一：设公差为d，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋3d＝10，,a1＋13d＝70，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－8，,d＝6，))所以an＝a1＋(n－1)d＝6n－14．
法二：设公差为d，则d＝eq \f(a14－a4,14－4)＝eq \f(60,10)＝6，
an＝a4＋(n－4)·d＝10＋6(n－4)＝6n－14．]
1．已知等差数列{an}中，an－an－1＝2(n≥2)，且a1＝1，则这个数列的通项公式为( )
A．an＝2n－1 B．an＝2n＋1
C．an＝n－1D．an＝n＋1
A [an＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1．]
2．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n(n∈N＋)，则它的公差d为( )
A．2 B．3 C．－2 D．－3
C [d＝an＋1－an＝3－2(n＋1)－(3－2n)＝－2，故选C．]
3．若数列{an}满足a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则当am＝－2 021时，m的值是 ( )
A．679 B．680 C．681 D．690
C [∵a1＝19，an＋1－an＝－3(n∈N*)，∴{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n．∴当am＝－2 021时，m＝681．]
4．在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝________．
18 [公差d＝eq \f(a3－a2,3－2)＝eq \f(4－2,3－2)＝2，
∴a10＝a2＋8d＝2＋8×2＝18．]
5．{an}是首项a1＝2，公差d＝3的等差数列，若an＝2 021，则n＝________．
674 [∵a1＝2，d＝3，
∴an＝2＋(n－1)×3＝3n－1．
由3n－1＝2 021得n＝674．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．判断一个数列是不是等差数列的常用方法有哪些？
[提示] 判断一个数列是不是等差数列的常用方法有：
(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列；
(2)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列．
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．
2．求等差数列通项公式的一般思路是什么？
[提示] 方程思想：设出基本量a1与d，利用条件构建方程组，求出a1与d，即可写出数列的通项公式．
事实上，已知等差数列中的两项时，可利用an＝am＋(n－m)d求出公差d，这样就可绕过求首项a1，直接写出等差数列的通项公式．
注意：对于等差数列的通项公式，最终结果一般写成关于n的一次函数的形式，不必保留a1＋(n－1)d的形式．
学 习 任 务
核 心 素 养
1．理解等差数列的概念．(难点)
2．掌握等差数列的通项公式及运用．(重点、难点)
3．掌握等差数列的判定方法．(重点)
1．借助等差数列概念的学习，培养数学抽象的素养．
2．通过等差数列通项公式的求解与运用，提高数学运算的素养．
等差数列
一次函数
不同点
解析式
an＝a1＋(n－1)d，n∈N＋
f(x)＝kx＋b(k≠0)，x∈R
公差、斜率
公差d＝eq \f(an－am,n－m)，n≠m
斜率k＝eq \f(fx2－fx1,x2－x1)，x1≠x2
定义域
N＋
R
图像
位于同一直线上的一系列孤立的点
一条直线
相同点
等差数列的通项公式(d≠0)与一次函数的解析式都是关于自变量的一次式