数学2.5 直线与圆、圆与圆的位置获奖ppt课件
展开前面我们运用直线的方程、圆的方程,研究了直线与圆的位置关系. 现在我们类比上述研究方法,运用圆的方程,通过定量计算研究圆与圆的位置关系. 我们知道,两个圆之间存在以下三种位置关系:
几何方法判断圆与圆的位置关系: 设两圆的圆心距为 d,两圆的半径分别为 r1,r2 (r1 ≠ r2),则 (1)当 d >r1+r2 时,圆 C1 与圆 C2 外离; (2)当 d=r1+r2 时,圆 C1 与圆 C2 外切; (3)当 |r1-r2|<d<r1+r2 时,圆 C1与圆 C2 相交; (4)当 d =|r1-r2| 时,圆 C1 与圆 C2 内切; (5)当 d <|r1-r2| 时,圆 C1 与圆 C2 内含.
圆与圆的位置关系有五种,分别为:外离、外切、相交、内切、内含.
已知两圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0, 1. 联立两圆的方程,消去 y 后得到一个关于 x 的一元二次方程, 2. 当判别式 Δ > 0 时,两圆相交,当 Δ=0 时,两圆外切或内切,当 Δ < 0 时,两圆外离或内含.
代数的方法判断两圆的位置关系:
【例】a 为何值时,两圆 C1:x2+y2-2ax+4y+a2-5=0 和 C2:x2+y2+2x-2ay+a2-3=0 (1)外切; (2)相交; (3)外离.
解:将两圆方程写成标准方程, C1:(x-a)2+(y+2)2=9,C2:(x+1)2+(y-a)2=4. ∴两圆的圆心和半径分别为 C1(a, -2),r1=3,C2(-1, a),r2=2.
设两圆的圆心距为 d,则 d 2=(a+1)2+(-2-a)2=2a2+6a+5. (1)当 d=5,即 2a2+6a+5=25 时,两圆外切,此时 a=-5或a=2.
(2)当 1< d <5,即 1< 2a2+6a+5 < 25 时,两圆相交,此时-5 < a <-2 或-1< a <2.
(3)当d > 5,即 2a2+6a+5 > 25 时,两圆外离,此时a > 2 或a <-5.
(1)两圆相交时,公共弦所在的直线方程 若圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 与圆 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 相交,则两圆公共弦所在直线的方程为 (D1-D2) x+(E1-E2)y+F1-F2=0. (2)公共弦长的求法 ①代数法:将两圆的方程联立,解出交点坐标,利用两点间的距离公式求出弦长. ②几何法:求出公共弦所在直线的方程,利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形,根据勾股定理求解.
【例】已知两圆 x2+y2-2x+10y-24=0 和 x2+y2+2x+2y-8=0. (1)判断两圆的位置关系; (2)求公共弦所在的直线方程; (3)求公共弦的长度.
解:(1)将两圆方程配方化为标准方程,C1:(x-1)2+(y+5)2=50,C2:(x+1)2+(y+1)2=10,
∴r1-r2<|C1C2|
解:(3)方法一:由(2)知圆 C1 的圆心 (1, -5) 到
方法二:设两圆相交于点A,B,则A,B两点满足方程组
直线 x-2y+4=0 的距离
【例】已知以C (4, -3)为圆心的圆与圆 O:x2+y2=1 相切,则圆C 的方程是__________________________________________.
解:设圆C 的半径为 r,
(x-4)2+(y+3)2=16 或 (x-4)2+(y+3)2=36
当圆 C 与圆 O 外切时,r+1=5,r=4,当圆 C 与圆 O 内切时,r-1=5,r=6,∴圆的方程为 (x-4)2+(y+3)2=16 或 (x-4)2+(y+3)2=36.
【例】已知两圆 x2+y2-2x-6y-1=0 和 x2+y2-10x-12y+m=0.求:① m 取何值时两圆外切.
解:两圆的标准方程分别为(x-1)2+(y-3)2=11, (x-5)2+(y-6)2=61-m.圆心分别为 C1 (1, 3),C2 (5, 6).
【例】已知两圆 x2+y2-2x-6y-1=0 和 x2+y2-10x-12y+m=0.求:② m 取何值时两圆内切,此时公切线方程是什么?
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