【广东专用】2023年中考数学易错题汇编——03 一次函数（原卷版+解析版）

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2． 函数图像与性质、点的特征
3． 一次函数与不等式、函数应用等
4． 函数综合
01 一次函数定义、正比例函数定义，了解定义、考虑全面。
1．（2022秋•禅城区校级月考）下列函数中，是正比例函数的是
A．B．C．D．
【分析】根据正比例函数的的定义解答即可．
【解析】、是正比例函数，故此选项符合题意；
、是反比例函数，故此选项不符合题意；
、是一次函数，但不是正比例函数，故此选项不符合题意；
、是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：．

1．（2022春•沧州期末）若关于的函数是一次函数，则的值为 ．
【分析】形如，、是常数）的函数，叫做一次函数．直接利用一次函数的定义，即可得出的值．
【解析】关于的函数是一次函数，
，，
解得：．
故答案为：．
2．（2022秋•宝安区校级期中）已知函数是关于的一次函数，则的值是 ．
【分析】根据一次函数的定义求解．
【解析】函数是关于的一次函数，
且，
解得：，
故答案为：．
02 一次函数图象与系数的关系：解题过程要细致分析。
1．（2022春•鞍山期末）一次函数的图象可能是
A．B．
C．D．
【分析】根据、的符号来求确定一次函数的图象所经过的象限．
【解析】，
一次函数的图象经过第二、四象限．
又时，
一次函数的图象与轴交于正半轴．
综上所述，该一次函数图象经过第一、二、四象限．
故选：．
1．（2022•辽宁）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线和直线，下列结论正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据一次函数与的图象位置，可得，，，，然后逐一判断即可解答．
【解析】一次函数的图象过一、二、三象限，
，，
一次函数的图象过一、三、四象限，
，，
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
故选：．
2．（2022春•浚县期末）已知点在第一象限，则直线经过的象限为
A．一、二、三象限B．一、三、四象限C．二、三、四象限D．一、二、四象限
【分析】由点在第一象限，可得出，的正负，然后即可确定一次函数的图象经过的象限．
【解析】点在第一象限，
，，即，
直线经过的象限为一，三，四象限．
故选：．

03 一次函数图象上点的坐标特征：不同象限中横纵坐标的问题要考虑好。
1．（2022•南海区二模）如图，直线分别与轴、轴交于点和点，点，分别为线段，的中点，点为上一动点，当值最小时，点的坐标为
A．B．C．D．
【分析】根据一次函数解析式求出点、的坐标，再由中点坐标公式求出点、的坐标，根据对称的性质找出点的坐标，结合点、的坐标求出直线的解析式，令即可求出的值，从而得出点的坐标．
【解析】作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，最小值为，如图．
令中，则，
点的坐标为；
令中，则，解得：，
点的坐标为．
点、分别为线段、的中点，
点，点．
点和点关于轴对称，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
直线过点，，
，解得：，
直线的解析式为．
令，则，解得：，
点的坐标为．
故选：．
1．（2021•清远二模）若一次函数的图象经过点，则 7 ．
【分析】把点代入即可求解．
【解析】把点代入，
得：．
故答案为：7．
2．（2022•苏州模拟）已知点，都在直线上，则，大小关系是
A．B．C．D．不能比较
【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据两点横坐标的大小即可得出结论．
【解析】，
随的增大而减小．
，
．
故选：．
04 一次函数图象与几何变换、一次函数与不等式
1.（2022春•越秀区期末）将函数的图象向上平移2个单位，所得的函数图象的解析式为 ．
【分析】根据一次函数图象平移时“上加、下减”的原则进行解答即可．
【解析】由“上加下减”的原则可知，
将函数的图象向上平移2个单位所得函数的解析式为．
故答案为：．

1.（2022春•颍州区校级月考）将正比例函数向下平移3个单位长度，得到一次函数，则 15 ．
【分析】根据“上加下减”的原则求解即可求得平移后直线解析式，易得、的值，代入求值即可．
【解析】将正比例函数的图象向下平移3个单位长度，所得的函数解析式为．
则：，．
所以．
故答案为：15．
2．如图，已知直线与相交于点，则关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是
A．B．
C．D．
【分析】根据图象和交点坐标得出关于的不等式的解集是，即可得出答案．
【解析】直线与相交于点，
根据图象可知：关于的不等式的解集是，
在数轴上表示为：
，
故选：．
3．如图，函数的图象过点，则不等式的解集是 ．
【分析】根据已知图象过点，根据图象的性质即可得出的的范围是，即可得出答案．
【解析】方法一把代入得：，
解得：，
，
解得：，
方法二：根据图象可知：的的范围是，
即不等式的解集是，
故答案为：．
05 两条直线相交或平行问题、一次函数的应用
1.如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与，轴交于，两点，正比例函数的图象与交于点．
（1）求的值及的解析式；
（2）求的值；
（3）一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出的值．
【分析】（1）先求得点的坐标，再运用待定系数法即可得到的解析式；
（2）过作于，于，则，，再根据，，可得，，进而得出的值；
（3）分三种情况：当经过点时，；当，平行时，；当，平行时，；故的值为或2或．
【解析】（1）把代入一次函数，可得
，
解得，
，
设的解析式为，则，
解得，
的解析式为；
（2）如图，过作于，于，则，，
，令，则；令，则，
，，
，，
；
（3）一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，
当经过点时，；
当，平行时，；
当，平行时，；
故的值为或2或．
1.（2022•威海一模）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知每瓶型消毒液比型贵2元，用56元购型消毒液与72元购型消毒液的瓶数相同．
（1）这两种消毒液的单价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且型消毒液的数量不少于型消毒液数量的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．
【分析】（1）根据每瓶型消毒液比型贵2元，用56元购型消毒液与72元购型消毒液的瓶数相同．可以列出相应的分式方程组，然后即可求出这两种消毒液的单价各是多少元；
（2）根据题意，可以写出费用和购买型消毒液数量的函数关系，然后根据型消毒液的数量不少于型消毒液数量的，可以得到型消毒液数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得最省钱的购买方案，计算出最少费用．
【解析】（1）设型消毒液的单价是元，型消毒液的单价是元，
得，
解得．
答：型消毒液的单价是7元；型消毒液的单价是9元．
（2）设购进型消毒液瓶，则购进型消毒液瓶，费用为元，
依题意可得：，
，
随的增大而减小．
型消毒液的数量不少于型消毒液数量的，
．
解得，
当时，取得最小值，此时，．
答：最省钱的购买方案是购进型消毒液67瓶，购进型消毒液23瓶；最低费用为676元．
2．（2022•吴兴区一模）某学校社团在进行项目化学习时，根据古代的沙漏模型（图制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子秤上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该实验小组从函数角度进行了如下实验探究：
实验观察：实验小组通过观察，每两小时记录一次电子秤读数，得到下表．
探索发现：（1）建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示漏沙时间，纵坐标表示精密电子秤的读数，描出以表中的数据为坐标的各点．
（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出函数表达式，如果不在同一条直线上，请说明理由．
结论应用：应用上述发现的规律估算：
（3）若漏沙时间为9小时，精密电子秤的读数为多少？
（4）若本次实验开始记录的时间是上午，当精密电子秤的读数为72克时是几点钟？
【分析】【探索发现】（1）在平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点即可；
（2）观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，设这条直线所对应的函数表达式为，利用待定系数法即可求解；
【结论应用】应用上述发现的规律估算：
（3）利用前面求得的函数表达式求出时，的值即可得出精密电子称的读数；
（4）利用前面求得的函数表达式求出时，的值，由本次实验记录的开始时间是上午，即可求解．
【解析】【探索发现】（1）如图2，
（2）观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，
设这条直线所对应的函数表达式为，
则，，
解得：，
；
【结论应用】应用上述发现的规律估算：
（3）时，，
漏沙时间达到9小时时，精密电子称的读数为60厘米；
②时，，解得：，
漏沙时间为11小时，
本次实验记录的开始时间是上午，
当精密电子称的读数为72克时是下午6点半．
06 一次函数综合
1.如图，直线和轴、轴分别交于点、．若以线段为边作等边三角形，则点的坐标是 ，或 ．
【分析】求出、的坐标，得出、的值，求出、的度数，分为两种情况：画出图形，①求出轴，由的坐标和的值，根据等边三角形性质即可求出答案；②求出在轴上，且，根据的坐标即可求出的坐标．
【解析】，
当时，，
当时，，
，，，
即，，
在中，，由勾股定理得：，
，，
有两种情况：如图，当在上时，
是等边三角形，
，，
，
，
点的横坐标和的横坐标相等，是，纵坐标是2，
即，；
当在上时，
，
在轴上，
等边三角形，
，
，
，
，
即的坐标是；
故答案为：，或．
1． 如图，直线与轴、轴分别交于、两点，是轴上一点，坐标为，的面积为
（1）求点和点的坐标；
（2）当时，求点的坐标；
（3）求与的函数关系式．
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特点分别令求出的值；再令求出的值即可求出、两点的坐标；
（2）由两点间的距离公式可知，再根据即可求出的值；
（3）由（2）中得出的三角形的面积公式，再根据绝对值的性质即可求出、的关系式．
【解析】（1）当时，，
当时，，
点的坐标为，点的坐标为；（2分）
（2）由题意可知，，，
当时，，
解得或，
点的坐标为或；（5分）
（3），
，
．（8分）
2． 如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为，直线与轴交点坐标为，在轴上有一点，请过点作，交直线于点．
（1）请在所给的图中画出直线，并写出点的坐标；（坐标精确到整数）
（2）试求出直线解析式，并求出直线、直线与两坐标轴围成的四边形的面积．
【分析】（1）根据题意画出图形，根据点的横纵坐标的值即可得出点坐标；
（2）根据、两点的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，进而求出点坐标，连接，过作，，垂足分别为，，由直线、直线与两坐标轴围成的四边形的面积即可解答．
【解析】（1）作图，（2分）（没有直角号扣1分）
由图可知：点的坐标（3分）
（2）设直线解析式为，
直线过点和，得：（4分）
解得：，（6分）
直线解析式为，（7分）
设直线与轴交于点，则点的坐标，（8分）
连接，过作，，垂足分别为，，
则有，，，，（9分）
直线、直线与两坐标轴围成的四边形的面积
．（12分）
一．选择题（共7小题）
1．（2022秋•拱墅区期末）函数是一次函数，则的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】根据一次函数定义可得，再解不等式即可．
【解析】由题意得：，
解得：，
故选：．
2．（2022•泸县校级一模）已知函数，，是常数）是正比例函数，的值为
A．或0B．C．0D．
【分析】按正比例函数的定义解答，正比例函数的定义是形如是常数，的函数，叫做正比例函数．
【解答】解函数，，是常数）是正比例函数，
解得，，
，
．
故选：．
3．（2022•平邑县校级模拟）一次函数中，随的增大而减小，且，则该函数图象大致是
A．B．
C．D．
【分析】根据随的增大而减小可得，然后根据，判断的符号，则函数图象即可判断．
【解析】一次函数，随着的增大而减小，
，
又，
，
函数图象经过一、二、四象限．
故选：．
4．（2022•雁塔区校级四模）若正比例函数的图象经过不同象限的两点和，则一次函数的图象所经过的象限是
A．一、二、三B．二、三、四C．一、二、四D．一、三、四
【分析】利用正比例函数的性质结合两点在不同的象限，可得出，，再利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数的图象经过第二、三、四象限．
【解析】正比例函数的图象经过不同象限的两点和，
，，
一次函数的图象经过第二、三、四象限．
故选：．
5．（2022•铜仁市校级模拟）如图，矩形的顶点，坐标分别为，，若直线与矩形的边相交，则的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】结合矩形的顶点坐标和直线与直线平行的位置关系可知：当直线经过点时，有最小值；当直线经过点时，有最大值，即可求解．
【解析】结合图形可知，直线沿轴向上运动时，最先经过点，最后经过点，
当直线经过点时，有最小值；当直线经过点时，有最大值；
将代入中解得：；
将代入中解得：；
故若直线与矩形有交点，的取值范围为．
故选：．
6．（2022•碑林区校级三模）如图，平行四边形的边在一次函数的图象上，若点的坐标是，轴，则过顶点的正比例函数解析式为
A．B．C．D．
【分析】先求出点坐标，根据平行四边形的性质，易得的解析式，求出点坐标，再待定系数法求解析式即可．
【解析】当时，，
点，
四边形是平行四边形，
，，
设的解析式，
将点代入解析式，
得，
解得，
的解析式：，
，
点纵坐标为1，代入解析式，
得，
解得，
，
设的解析式：，
代入得，
解得，
的解析式：．
故选：．
7．（2022•海拉尔区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，线段上有一点，点的横坐标为，过点的直线与直线垂直，交轴于点，则不等式的所有负整数解的和是
A．B．C．D．
【分析】先求出点坐标，再根据，可得的解析式：，代入点坐标，可得的值，然后解不等式即可．
【解析】将点横坐标代入直线，
得，
，，
根据题意，得的解析式：，
代入点坐标，得，
解得，
的解析式：，
当时，得，
负整数解有，，
不等式的所有负整数解的和为，
故选：．
二．解答题（共5小题）
8．（2023•小店区校级一模）已知函数的图象经过点及点．
（1）求此一次函数解析式，并画图象；
（2）求函数图象与坐标轴围成的三角形的面积．
【分析】（1）先利用待定系数法求出函数的解析式，再画出图形即可；
（2）先令，求出的值，再令求出的值即可得出直线与两坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式求解即可．
【解析】（1）函数的图象经过点及点，
，
解得：，
一次函数解析式为；
画出函数的图象如图：
（2）此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积．
9．（2022•威县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象：经过点，且与正比例函数的图象交于点，与轴交于点
（1）求的值及直线的解析式：
（2）求的面积；
（3）设直线与直线、交于，两点，当，请直接写出的值．
【分析】（1）先将点代入正比例函数解析式，求出的值，再将点和点坐标代入一次函数解析式求解即可；
（2）先求出点的坐标，再计算的面积即可；
（3）先求出的面积，根据，分两种情况得关于的方程，即可求出的值．
【解析】（1）将点代入正比例函数，
得，
解得，
点坐标为，
将点，点代入一次函数，
得，
解得，
一次函数解析式为；
（2）一次函数解析式为，
当时，，
点的坐标为，
的面积为；
（3），
，
当时，，两点的坐标分别为和，
，
，
解得或0（舍去），
当时，，两点的坐标分别为和，
，
，
解得或（舍去），
的值为0或．
10．（2023•碑林区校级模拟）2022年底因疫情原因，我国很多城市的中小学启动网上授课模式，打印机的销量快速增长．淘宝上一家办公耗材专营店准备用不超过18万元的资金再购进，两种型号的打印机共200台，其中型打印机的进价为600元台，售价为780元台，型打印机的进价为1000元台，售价为1260元台．设购进型打印机台，销售这200台打印机的总利润为元．
（1）求与的函数关系式；
（2）求这家网店销售这200台打印机的最大利润．
【分析】（1）根据总利润，两种打印机利润之和列出函数解析式即可；
（2）求出自变量的取值范围，根据一次函数的性质求最值即可．
【解析】（1）根据题意得：，
与的函数关系式为；
（2）购进，两种型号的打印机的费用不超过18万元，
，
解得，
自变量的取值范围为，
由（1）知，，
，
随的增大而减小．
当时，最大，最大值为48000，
答：这家网店销售这200台打印机的最大利润为48000元．
11．（2023•碑林区校级一模）如图1，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上．小明从食堂吃完早餐，接着骑自行车去图书馆读书，然后以相同的速度原路返回家．如图2中反映了小明离家的距离与他所用时间之间的函数关系．
（1）小明家与图书馆的距离为 2000 ，小明骑自行车速度为 ；
（2）求小明从图书馆返回家的过程中，与的函数解析式；
（3）当小明离家的距离为时，求的值．
【分析】（1）根据图象中的数据，可以直接写出小明家与图书馆的距离，然后根据图象中的数据，即可计算出小明步行的速度；
（2）先求出小明从图书馆回到家用的时间，然后即可得到函数图象与轴的交点，再设出函数解析式，根据点和图象与轴的交点，即可计算出与的函数解析式；
（3）令（2）中的函数值等于1000，求出的值即可．
【解析】（1）由图象可得，
小明家与图书馆的距离为，小明步行的速度为：，
故答案为：2000，200；
（2）小明从图书馆回到家用的时间为：，
，
小明从图书馆返回家的过程中，设与的函数解析式为，
点，在该函数图象上，
．
解得．
即小明从图书馆返回家的过程中，与的函数解析式为；
（3）当时，
，
解得，
即当小明离家的距离为时，的值为41．
12．（2022•和平区校级三模）实践与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点坐标为．直线与直线相交于点，点的横坐标为1．
（1）求直线的解析式；
（2）若点是轴上一点，且的面积是面积的，求点的坐标；
（3）在轴右侧是否存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，再根据点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，利用三角形的面积公式结合的面积是面积的，可求出的长，进而可得出点的坐标；
（3）设点的坐标为，分为对角线、为对角线及为对角线三种情况，利用平行四边形的性质（对角线互相平分）可求出点的坐标．
【解析】（1）当时，，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
将，代入，得：，
解得：，
直线的解析式为．
（2）当时，，解得：，
点的坐标为．
，即，
，
点的坐标为或．
（3）设点的坐标为，分三种情况考虑（如图
①当为对角线时，，，，
，解得：，
点的坐标为；
②当为对角线时，，，，
，解得：，
点的坐标为（不合题意）；
③当为对角线时，，，，
，解得：，
点的坐标为．
综上所述：平面内存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或．
漏沙时间
0
2
4
6
8
电子秤读数（克
6
18
30
42
54