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【浙江专用】2023年中考数学易错题汇编——模拟卷03（宁波）（原卷版+解析版）
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这是一份【浙江专用】2023年中考数学易错题汇编——模拟卷03（宁波）（原卷版+解析版），文件包含模拟卷03宁波解析版docx、模拟卷03宁波原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
2023年浙江省宁波市中考数学模拟试卷
一、选择题：本大题有共10小题，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）在﹣8，﹣4，0，2这四个数中最小的数是（ ）
A．﹣8 B．﹣4 C．0 D．2
【分析】依据有理数大小比较的法则进行比较即可求解，需注意两个负数比较，绝对值大的反而小．
【解答】解：因为﹣8＜﹣4＜0＜2，
所以最小的数是﹣8，
故选：A．
2．（4分）浙江省“十四五规划”指出，到2035年，软件和信息技术服务业业务收入将突破12000亿元数12000亿用科学记数法表示为（ ）
A．12×1011 B．1.2×1011 C．1.2×1012 D．0.12×1013
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将数据“12000亿”用科学记数法可表示为12000×108＝1.2×1012．
故选：C．
3．（4分）如图是一个底面为正三角形的直三棱柱，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】主视图是从正面看所得到的图形即可，可根据正六棱柱的特点作答．
【解答】解：直三棱柱的主视图如图所示：．
故选：B．
4．（4分）若函数y＝mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m为（ ）
A．m＝0 B．m＝﹣1 C．m＝1 D．m＝0或m＝1
【分析】m＝0时，函数是一次函数，与x轴有一个交点；m≠0，则函数为二次函数．由抛物线与x轴只有一个交点，得到根的判别式的值等于0，且m不为0，即可求出m的值．
【解答】解：当m≠0时，
∵二次函数y＝mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，
∴Δ＝4﹣4m＝0，且m≠0，
解得：m＝1．
当m＝0时y＝2x+1与x轴只有一个交点，
综上所述，m＝0或m＝1，
故选：D．
5．（4分）袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，则m的值不可能是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．10
【分析】摸到红球的可能性最大，即白球的个数比红球的少．
【解答】解：袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，若摸到红球的可能性最大，则m的值不可能大于8．观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
6．（4分）在数轴上，点A所表示的实数为4，点B所表示的实数为b，⊙A的半径为2，要使点B在⊙A内时，实数b的取值范围是（ ）
A．b＞2 B．b＞6 C．b＜2或b＞6 D．2＜b＜6
【分析】首先确定AB的取值范围，然后根据点A所表示的实数写出a的取值范围，即可得到正确选项．
【解答】解：∵⊙A的半径为2，若点B在⊙A内，
∴AB＜2，
∵点A所表示的实数为4，
∴2＜b＜6，
故选：D．
7．（4分）下列图象中，函数y＝ax2﹣a（a≠0）与y＝ax+a的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】可先根据a的符号判断一次函数与二次函数的图象所经过的象限，然后作出选择．
【解答】解：当a＞0时，由二次函数y＝ax2﹣a可知开，口向上，顶点在y轴负半轴上，与x轴的交点为（﹣1，0），（1，0），
由一次函数y＝ax+a可知过一，二，三象限，交x轴于（﹣1，0）；
当a＜0时，由二次函数y＝ax2﹣a可知，开口向下，顶点在y轴正半轴上，与x轴的交点为（﹣1，0），（1，0），由一次函数y＝ax+a可知过二，三，四象限，交x轴于（﹣1，0）；
故选：C．
8．（4分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，将得到的两个△ACD和△BCD按图①、图②、图③三种方式放置，设三个图中阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，若S1＝S2，则S1与S3之间的关系是（ ）
A．S1＝1.5S3 B．S1＝2S3 C．S1＝3S3 D．S1＝3.5S3
【分析】分析题意，过点F作EF⊥BD，交BD于点E，是在各自图形中找到面积表达式，利用已知的等量关系，结合所给的图及直角三角形高线性质，找出S1与S3得关系，即可解决问题．
【解答】解：如图②所示，过点F作EF⊥BD，交BD于点E，
S1＝S△BCD﹣S△AC'D'
＝×BD×CD﹣×AD'×C'D'
＝×（BD﹣AD'）×CD，
S2＝C'D'×FE，
∵S1＝S2，
∴EF＝BD﹣AD'，
∵S3＝（BD﹣AD'）×D'K，
图②中，可知FC′＝FB＝FA，推出EF＝AD′，
所以AD′＝BD﹣AD′，
∴3AD′＝2BD′，
由图③KD′∥CD，可得KD′：CD＝BD′：BD＝3：1，
∵CD＝C′D′，
∴C'K＝2D'K，
C′K+D′K＝C′D′＝3D′K，
∴S1＝×（BD﹣AD'）×3D′K，
∴S1＝3S3．
故选：C．
9．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：
①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的为（ ）
A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置判断①，由a与b的关系及x＝﹣1时y＜0可判断②，将（a+c）2﹣b2化为（a+b+c）（a﹣b+c），根据x＝﹣1时y＞0，x＝1时y＜0可判断③，由x＝1时y取最小值可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1＞0，
∴b＝﹣2a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，①错误．
∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＞0，
∴②正确．
∵（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c），且a+b+c＜0，a﹣b+c＞0，
∴（a+c）2﹣b2＜0，③正确．
∵x＝1时，y＝a+b+c为最小值，
∴a+b≤m（am+b），④正确．
故选：B．
10．（4分）如图，O是▱ABCD对角线AC上一点，过O作EF∥AD交AB于点E，交CD于点F，GH∥AB交AD于点G，交BC于点H，连结GE，GF，HE，HF，若已知下列图形的面积，不能求出▱ABCD面积的是（ ）
A．四边形EHFG
B．△AEG和△CHF
C．四边形EBHO和四边形GOFD
D．△AEO和四边形GOFD
【分析】A、根据平行四边形的对角线平分平行四边形的面积可作判断；
B、先根据等式的性质证明S▱BEOH＝S▱GOFD，再由同底边的平行四边形的面积的比是对应高的比可作判断；
C、四边形EBHO的面积和四边形GOFD的面积相等，已知四边形EBHO和四边形GOFD的面积，不能求出▱ABCD面积；
D、同选项B同理可作判断．
【解答】解：A、在▱ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，
∵EF∥AD，GH∥AB，
∴AD∥EF∥BC，AB∥GH∥CD，
∴四边形AEOG，BEOH，CFOH，DFOG都是平行四边形，
∴S△EOG＝S▱AEOG，S△EOH＝S▱BEOH，S△FOH＝S▱OHCF，S△FOG＝S▱OGDF，
∴四边形EHFG的面积＝×▱ABCD的面积，
∴已知四边形EHFG的面积，可求出▱ABCD的面积，
故A不符合题意；
B、∵S△ABC﹣S△AEO﹣S△CHO＝S△ACD﹣S△AOG﹣S△CFO，
∴S▱BEOH＝S▱GOFD，
∵＝，
∴S▱BEOH＝S▱OGDF＝＝2，
∴已知△AEG和△CHF的面积，可求出▱ABCD的面积，
故B不符合题意；
C、已知四边形EBHO和四边形GOFD的面积，不能求出▱ABCD面积，
故C符合题意；
D、∵＝，
∴＝，
∴S▱OHCF＝S2▱OGDF•，
∴已知△AEO和四边形GOFD的面积，能求出▱ABCD面积；
故D不符合题意；
故选：C．
二、填空题：本大题有6个小题，满分30分，每小题5分。
11．（5分）﹣43的绝对值是 43 ．
【分析】负数的绝对值是它的相反数，由此即可得到答案．
【解答】解：﹣43的绝对值是|﹣43|＝43．
故答案为：43．
12．（5分）分解因式：5x2﹣20＝ 5（x+2）（x﹣2） ．
【分析】先提取公因式5，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：5x2﹣20，
＝5（x2﹣4），
＝5（x+2）（x﹣2）．
故答案为：5（x+2）（x﹣2）．
13．（5分）若x﹣y＝5，xy＝﹣2，则x2+y2的值为 21 ．
【分析】利用完全平方公式，可得x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，然后进行计算即可解答．
【解答】解：∵x﹣y＝5，xy＝﹣2，
∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy
＝52+2×（﹣2）
＝25﹣4
＝21，
故答案为：21．
14．（5分）如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E．B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】首先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出BC，AC的长，利用S△ABC﹣S扇形BOE＝图中阴影部分的面积求出即可．
【解答】解：连接BD，BE，BO，EO，
∵B，E是半圆弧的三等分点，
∴∠EOA＝∠EOB＝∠BOD＝60°，
∴∠BAC＝∠EBA＝30°，
∴BE∥AD，
∵的长为，
∴＝，
解得：R＝2，
∴AB＝ADcos30°＝2，
∴BC＝AB＝，
∴AC＝＝＝3，
∴S△ABC＝×BC×AC＝××3＝，
∵△BOE和△ABE同底等高，
∴△BOE和△ABE面积相等，
∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S扇形BOE＝﹣＝﹣．
故答案为：．
15．（5分）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点A（x．y），我们把点B（）称为点A的“关爱点”．如图，▱CODE的顶点C在x轴的负半轴上，点D，E在第二象限，点E的纵坐标为2，反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象与OD交于点A．若点B是点A的“关爱点“，且点B在∠ODE的边上，则OB的长为 ．
【分析】设A（m，﹣），则B（，﹣m），当B点在ED上时，由﹣m＝2，可求B（﹣，2），则OB＝；当B点在OD上时，OA的解析式为y＝﹣x，由•（﹣）＝﹣m，可求B（﹣，2）（舍）．
【解答】解：设A（m，﹣），
∵点B是点A的“关爱点“，
∴B（，﹣m），
当B点在ED上时，﹣m＝2，
解得m＝﹣，
∴B（﹣，2），
∴OB＝；
当B点在OD上时，
设OA的解析式为y＝kx，
∴mk＝﹣，
解得k＝﹣，
∴y＝﹣x，
∴•（﹣）＝﹣m，
解得m＝±，
∴m＜0，
∴m＝﹣，
∴B（﹣，2）（舍）；
综上所述：OB的长为，
故答案为：．
16．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点E、F分别是边AB，BC边上的点（E、F不与端点重合），且EF∥AC．将△BEF沿直线EF折叠，点B的对应点为点M，延长EM交AC于点G，若以M、G、F为顶点的三角形与△BEF相似，求BF的长 或 ．
【分析】连接并延长BM，BM交EF于点I，BM的延长线交AC于点H，根据轴对称的性质得EF垂直平分BM，∠GMF＝∠EMF＝∠EBF＝90°，MF＝BF，由EF∥AC得∠BIF＝∠MIF＝∠BHC＝90°，所以BH⊥AC，由∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，得AC＝＝10，则×10BH＝×6×8＝S△ABC，求得BH＝，再分两种情况讨论，一是△MGF∽△BEF，且∠MFG＝∠BFE，可推导出MH＝BF，MI＝BI＝BF，则3×BF＝，得BF＝；二是△GMF∽△BEF，且∠MGF＝∠BFE，可推导出MH＝BF，则2×BF+BF＝，得BF＝．
【解答】解：连接并延长BM，BM交EF于点I，BM的延长线交AC于点H，
∵将△BEF沿直线EF折叠，点B的对应点为点M，
∴EF垂直平分BM，∠GMF＝∠EMF＝∠EBF＝90°，MF＝BF，
∵EF∥AC，
∴∠BIF＝∠MIF＝∠BHC＝90°，
∴BH⊥AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝＝10，
∴×10BH＝×6×8＝S△ABC，
∴BH＝，
当△MGF∽△BEF，且∠MFG＝∠BFE时，如图1，
∵△BEF≌△MEF，
∴△MGF∽△MEF，
∴＝＝1，
∴GM＝EM＝EB，
∵∠BFE＝∠C，
∴GM＝EB＝BF•tan∠BFE＝BF•tanC＝BF×＝BF，
∵∠GMH＝90°﹣∠FMI＝∠MFE＝∠BFE＝∠C，
∴MH＝GM•cos∠GMH＝GM•cosC＝BF×＝BF×＝BF，
∵MI＝BI＝BF•sin∠BFE＝BF•sinC＝BF×＝BF，
∴3×BF＝，
∴BF＝；
当△GMF∽△BEF，且∠MGF＝∠BFE时，如图2，
∵＝tan∠MGF＝tan∠BFE＝tanC＝，
∴GM＝MF＝BF，
∴MH＝GM•cos∠GMH＝GM•cosC＝BF×＝BF，
∴2×BF+BF＝，
∴BF＝，
综上所述，BF的长为或，
故答案为：或．
三、解答题：共8小题，满分80分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。
17．（8分）（1）计算：．
（2）解方程组；．
【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂的法则以及特殊角的锐角三角函数值计算即可；
（2）根据方程组中方程的特点，采用加减消元法解答即可．
【解答】解：（1）
＝1﹣4﹣1﹣
＝﹣4﹣
＝﹣；
（2），
①×2得，8x+2y＝10③，
③+②得，9x＝11，
解得x＝，
把x＝代入②得，，
解得y＝，
所以方程组的解为．
18．（8分）如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点和点P都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上．
（1）将△ABC平移，使点P落在平移后的三角形内部，在图甲中画出示意图；
（2）以点C为旋转中心，将△ABC旋转，使点P落在旋转后的三角形内部，在图乙中画出示意图．
【分析】（1）根据网格结构，把△ABC向右平移或向右、向上平移后可使点P为三角形的内部的三个格点中的任意一个；
（2）把△ABC绕点C顺时针旋转90°即可使点P在三角形内部．
【解答】解：（1）平移后的三角形如图所示；
（2）如图所示，旋转后的三角形如图所示．
19．（8分）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）根据每件的销售利润×每天的销售量＝425，解一元二次方程即可；
（3）利用销售该消毒用品每天的销售利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设每天的销售量y（件）与每件售价x（元）函数关系式为：y＝kx+b，
由题意可知：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣5x+150；
（2）（﹣5x+150）（x﹣8）＝425，
解得：x1＝13，x2＝25（舍去），
∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；
（3）w＝y（x﹣8），
＝（﹣5x+150）（x﹣8），
w＝﹣5x2+190x﹣1200，
＝﹣5（x﹣19）2+605，
∵8≤x≤15，且x为整数，
当x＜19时，w随x的增大而增大，
∴当x＝15时，w有最大值，最大值为525．
答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
20．（10分）为弘扬中华传统文化，草根一中准备开展“传统手工技艺”学习实践活动．校学生会在全校范围内随机地对本校一些学生进行了“我最想学习的传统手工技艺”问卷调查（问卷共设有五个选项：“A一剪纸”、“B一木版画雕刻”、“C一陶艺创作”、“D一皮影制作”、“E一其他手工技艺”，参加问卷调查的这些学生，每人都只选了其中的一个选项），将所有的调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全上面的条形统计图；
（2）求扇形E的圆心角度数；
（3）该校共有3600名学生，请你估计该校学生“最想学习的传统手工技艺”为“A一剪纸”的人数．
【分析】（1）用选C的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数乘以选D的人数所占的百分比得到选D的人数，然后补全条形统计图；
（2）用360°乘以样本中选E的人数所占的百分比得到扇形E的圆心角度数；
（3）用3600乘以样本中选A的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）调查的总人数为：90÷30%＝300（人），
所以选D的人数为300×25%＝75（人），
补全条形统计图为：
（2）扇形E的圆心角度数为360°×＝18°；
（3）3600×＝792（人），
估计该校学生“最想学习的传统手工技艺”为“A一剪纸”的人数为792人．
21．（10分）如图，为了测量平静的河面的宽度，即EP的长，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆AB，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即PM＝PN，两岸均高出水平面0.75米，即DE＝FP＝0.75米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，求河宽EP是多少米？
【分析】延长AB交EP的反向延长线于点H，由△ABD∽△AHO求得OH，再由△AHO∽△NPO求得OP，便可解决问题，
【解答】解：延长AB交EP的反向延长线于点H，
则四边形BDEH是矩形，
∴BH＝DE＝0.75，BD∥EH，
∴AH＝AB+BH＝AB+DE＝1.6+0.75＝2.35，
∵BD∥OH，
∴△ABD∽△AHO，
∴＝，
∴＝，
∴HO＝4.7，
∵PM＝PN，MF＝4.5米，FP＝0.75米，
∴PN＝MF+FP＝5.25米，
∵AH⊥EP，PN⊥EP，
∴AH∥PN，
∴△AHO∽△NPO，
∴＝，
∴＝，
∴PO＝10.5，
∴PE＝PO+OE＝10.5+（4.7﹣3.2）＝12，
答：河宽EP是12米．
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上任意两点．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）若x1＝m﹣3，x2＝m+2，比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）若对于﹣3≤x1＜4，x2＝4，都有y1≤y2，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．
（2）分别将x1＝m﹣3，x2＝m+2代入解析式求解．
（3）求出点（4，y2）关于对称轴对称点为（2m﹣4，y2），根据抛物线开口向上及y1≤y2求解．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，
∴抛物线顶点坐标为（m，﹣1）．
（2）将x＝m﹣3代入y＝（x﹣m）2﹣1得y＝32﹣1＝8，
将x＝m+2代入y＝（x﹣m）2﹣1得y＝22﹣1＝3，
∵8＞3
∴y1＞y2．
（3）∵抛物线对称轴为直线x＝m，
∴点（4，y2）关于对称轴对称点为（2m﹣4，y2），
∵抛物线开口向上，y1≤y2，
∴2m﹣4≤x1＜4，
∴2m﹣4≤﹣3，
解得m≤．
23．（12分）如图，正方形ABCD，E、F分别是边AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N．
（1）求证：AF＝DE，AF⊥DE．
（2）求AM：MN：NF的值．
【分析】（1）根据SAS证明△ADE≌△BAF，即可得AF＝DE，∠ADE＝∠BAF，故∠ADE+∠AED＝∠BAF+∠AED＝90°，AF⊥DE；
（2）设正方形ABCD的边长为2x，则AE＝BF＝x，由勾股定理和面积法可得AM＝＝x，证明△NAD∽△NFB，可得NF＝AF＝x，即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AB＝DA，∠ABC＝∠BAD＝90°，
∵E、F为边AB、BC的中点，
∴BF＝AE，
在△ADE与△BAF中，
，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴AF＝DE，∠ADE＝∠BAF，
∴∠ADE+∠AED＝∠BAF+∠AED＝90°，
∴∠AME＝90°，
∴AF⊥DE；
（2）解：设正方形ABCD的边长为2x，则AE＝BF＝x，
在Rt△ADE中，DE＝＝x，
由（1）知DE＝AF，
∴AF＝x，
∵2S△ADE＝AE•AD＝DE•AM，
∴AM＝＝x，
∵AD∥BC，
∴∠ADN＝∠NBF，∠NAD＝∠NFB，
∴△NAD∽△NFB，
∴＝＝2，
∴AN＝2FN，
∴NF＝AF＝x，
∴MN＝AF﹣AM﹣NF＝，
∴AM：MN：NF＝x：x：x＝6：4：5．
24．（14分）新知学习：若一条线段把一个平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条线段叫做该平面图形的二分线．
解决问题：
（1）①三角形的中线、高线、角平分线中，一定是三角形的二分线的是 三角形的中线 ；
②如图1，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，DC上，连接EF，与AD交于点G．若S△AEG＝S△DGF，则EF 是 （填“是”或“不是”）△ABC的一条二分线．
（2）如图2，四边形ABCD中，CD平行于AB，点G是AD的中点，射线CG交射线BA于点E，取EB的中点F，连接CF．求证：CF是四边形ABCD的二分线．
（3）如图3，在△ABC中，AB＝CB＝CE＝7，∠A＝∠C，∠CBE＝∠CEB，D，E分别是线段BC，AC上的点，且∠BED＝∠A，EF是四边形ABDE的一条二分线，求DF的长．
【分析】（1）①由平面图形的二分线定义可求解；
②由面积的和差关系可得S△BEF＝S△ABD＝S△ABC，可得EF是△ABC的一条二分线；
（2）根据EB的中点F，所以S△CBF＝S△CEF，由AB∥DC，G是AD的中点，证明△CDG≌△EAG，所以S四边形AFCD＝S△CEF，所以S四边形AFCD＝S△CBF，可得CF是四边形ABCD的二分线；
（3）延长CB使BH＝CD，连接EH，通过全等三角形的判定可得S△BEH＝S△DEC＝S△ABE，可得S△HED＝S四边形ABDE，即可得DF＝DH＝．
【解答】解：（1）∵三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；
∴三角形的中线是三角形的二分线，
故答案为三角形的中线
②∵AD是BC边上的中线
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，
∵S△AEG＝S△DGF，
∴S四边形BDGE+S△AEG＝S四边形BDGE+S△DGF，
∴S△BEF＝S△ABD＝S△ABC，
∴EF是△ABC的一条二分线
故答案为：是
（2）∵EB的中点F，
∴S△CBF＝S△CEF，
∵AB∥DC，
∴∠E＝∠DCG，
∵G是AD的中点，
∴DG＝AG，
在△CDG和△EAG中，
∴△CDG≌△EAG（AAS），
∴S△AEG＝S△DCG，
∴S四边形AFCD＝S△CEF，
∴S四边形AFCD＝S△CBF，
∴CF是四边形ABCD的二分线．
（3）如图，延长CB使BH＝CD，连接EH，
AB＝CB＝CE＝7，∠A＝∠C，∠CBE＝∠CEB，D，E分别是线段BC，AC上的点，且∠BED＝∠A，
∵BC＝7
∴BD+CD＝7
∴BD+BH＝7＝HD
∵∠BED＝∠A，∠BED+∠DEC＝∠A+∠ABE
∴∠ABE＝∠CED，且AB＝CE＝7，∠A＝∠C
∴△ABE≌△CED（ASA）
∴AE＝CD，BE＝DE，∠AEB＝∠EDC，S△ABE＝S△EDC，
∴AE＝BH，
∵∠CBE＝∠CEB
∴∠AEB＝∠EBH
∴∠EBH＝∠EDC，且BE＝DE，BH＝CD
∴△BEH≌△DEC（SAS）、
∴S△BEH＝S△DEC，
∴S△BEH＝S△DEC＝S△ABE，
∴S△HED＝S四边形ABDE，
∵EF是四边形ABDE的一条二分线，
∴S△DEF＝S四边形ABDE＝S△HED，
∴DF＝DH＝
2023年浙江省宁波市中考数学模拟试卷
一、选择题：本大题有共10小题，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）在﹣8，﹣4，0，2这四个数中最小的数是（ ）
A．﹣8 B．﹣4 C．0 D．2
【分析】依据有理数大小比较的法则进行比较即可求解，需注意两个负数比较，绝对值大的反而小．
【解答】解：因为﹣8＜﹣4＜0＜2，
所以最小的数是﹣8，
故选：A．
2．（4分）浙江省“十四五规划”指出，到2035年，软件和信息技术服务业业务收入将突破12000亿元数12000亿用科学记数法表示为（ ）
A．12×1011 B．1.2×1011 C．1.2×1012 D．0.12×1013
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将数据“12000亿”用科学记数法可表示为12000×108＝1.2×1012．
故选：C．
3．（4分）如图是一个底面为正三角形的直三棱柱，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】主视图是从正面看所得到的图形即可，可根据正六棱柱的特点作答．
【解答】解：直三棱柱的主视图如图所示：．
故选：B．
4．（4分）若函数y＝mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m为（ ）
A．m＝0 B．m＝﹣1 C．m＝1 D．m＝0或m＝1
【分析】m＝0时，函数是一次函数，与x轴有一个交点；m≠0，则函数为二次函数．由抛物线与x轴只有一个交点，得到根的判别式的值等于0，且m不为0，即可求出m的值．
【解答】解：当m≠0时，
∵二次函数y＝mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，
∴Δ＝4﹣4m＝0，且m≠0，
解得：m＝1．
当m＝0时y＝2x+1与x轴只有一个交点，
综上所述，m＝0或m＝1，
故选：D．
5．（4分）袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，则m的值不可能是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．10
【分析】摸到红球的可能性最大，即白球的个数比红球的少．
【解答】解：袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，若摸到红球的可能性最大，则m的值不可能大于8．观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
6．（4分）在数轴上，点A所表示的实数为4，点B所表示的实数为b，⊙A的半径为2，要使点B在⊙A内时，实数b的取值范围是（ ）
A．b＞2 B．b＞6 C．b＜2或b＞6 D．2＜b＜6
【分析】首先确定AB的取值范围，然后根据点A所表示的实数写出a的取值范围，即可得到正确选项．
【解答】解：∵⊙A的半径为2，若点B在⊙A内，
∴AB＜2，
∵点A所表示的实数为4，
∴2＜b＜6，
故选：D．
7．（4分）下列图象中，函数y＝ax2﹣a（a≠0）与y＝ax+a的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】可先根据a的符号判断一次函数与二次函数的图象所经过的象限，然后作出选择．
【解答】解：当a＞0时，由二次函数y＝ax2﹣a可知开，口向上，顶点在y轴负半轴上，与x轴的交点为（﹣1，0），（1，0），
由一次函数y＝ax+a可知过一，二，三象限，交x轴于（﹣1，0）；
当a＜0时，由二次函数y＝ax2﹣a可知，开口向下，顶点在y轴正半轴上，与x轴的交点为（﹣1，0），（1，0），由一次函数y＝ax+a可知过二，三，四象限，交x轴于（﹣1，0）；
故选：C．
8．（4分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，将得到的两个△ACD和△BCD按图①、图②、图③三种方式放置，设三个图中阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，若S1＝S2，则S1与S3之间的关系是（ ）
A．S1＝1.5S3 B．S1＝2S3 C．S1＝3S3 D．S1＝3.5S3
【分析】分析题意，过点F作EF⊥BD，交BD于点E，是在各自图形中找到面积表达式，利用已知的等量关系，结合所给的图及直角三角形高线性质，找出S1与S3得关系，即可解决问题．
【解答】解：如图②所示，过点F作EF⊥BD，交BD于点E，
S1＝S△BCD﹣S△AC'D'
＝×BD×CD﹣×AD'×C'D'
＝×（BD﹣AD'）×CD，
S2＝C'D'×FE，
∵S1＝S2，
∴EF＝BD﹣AD'，
∵S3＝（BD﹣AD'）×D'K，
图②中，可知FC′＝FB＝FA，推出EF＝AD′，
所以AD′＝BD﹣AD′，
∴3AD′＝2BD′，
由图③KD′∥CD，可得KD′：CD＝BD′：BD＝3：1，
∵CD＝C′D′，
∴C'K＝2D'K，
C′K+D′K＝C′D′＝3D′K，
∴S1＝×（BD﹣AD'）×3D′K，
∴S1＝3S3．
故选：C．
9．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：
①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的为（ ）
A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置判断①，由a与b的关系及x＝﹣1时y＜0可判断②，将（a+c）2﹣b2化为（a+b+c）（a﹣b+c），根据x＝﹣1时y＞0，x＝1时y＜0可判断③，由x＝1时y取最小值可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1＞0，
∴b＝﹣2a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，①错误．
∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＞0，
∴②正确．
∵（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c），且a+b+c＜0，a﹣b+c＞0，
∴（a+c）2﹣b2＜0，③正确．
∵x＝1时，y＝a+b+c为最小值，
∴a+b≤m（am+b），④正确．
故选：B．
10．（4分）如图，O是▱ABCD对角线AC上一点，过O作EF∥AD交AB于点E，交CD于点F，GH∥AB交AD于点G，交BC于点H，连结GE，GF，HE，HF，若已知下列图形的面积，不能求出▱ABCD面积的是（ ）
A．四边形EHFG
B．△AEG和△CHF
C．四边形EBHO和四边形GOFD
D．△AEO和四边形GOFD
【分析】A、根据平行四边形的对角线平分平行四边形的面积可作判断；
B、先根据等式的性质证明S▱BEOH＝S▱GOFD，再由同底边的平行四边形的面积的比是对应高的比可作判断；
C、四边形EBHO的面积和四边形GOFD的面积相等，已知四边形EBHO和四边形GOFD的面积，不能求出▱ABCD面积；
D、同选项B同理可作判断．
【解答】解：A、在▱ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，
∵EF∥AD，GH∥AB，
∴AD∥EF∥BC，AB∥GH∥CD，
∴四边形AEOG，BEOH，CFOH，DFOG都是平行四边形，
∴S△EOG＝S▱AEOG，S△EOH＝S▱BEOH，S△FOH＝S▱OHCF，S△FOG＝S▱OGDF，
∴四边形EHFG的面积＝×▱ABCD的面积，
∴已知四边形EHFG的面积，可求出▱ABCD的面积，
故A不符合题意；
B、∵S△ABC﹣S△AEO﹣S△CHO＝S△ACD﹣S△AOG﹣S△CFO，
∴S▱BEOH＝S▱GOFD，
∵＝，
∴S▱BEOH＝S▱OGDF＝＝2，
∴已知△AEG和△CHF的面积，可求出▱ABCD的面积，
故B不符合题意；
C、已知四边形EBHO和四边形GOFD的面积，不能求出▱ABCD面积，
故C符合题意；
D、∵＝，
∴＝，
∴S▱OHCF＝S2▱OGDF•，
∴已知△AEO和四边形GOFD的面积，能求出▱ABCD面积；
故D不符合题意；
故选：C．
二、填空题：本大题有6个小题，满分30分，每小题5分。
11．（5分）﹣43的绝对值是 43 ．
【分析】负数的绝对值是它的相反数，由此即可得到答案．
【解答】解：﹣43的绝对值是|﹣43|＝43．
故答案为：43．
12．（5分）分解因式：5x2﹣20＝ 5（x+2）（x﹣2） ．
【分析】先提取公因式5，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：5x2﹣20，
＝5（x2﹣4），
＝5（x+2）（x﹣2）．
故答案为：5（x+2）（x﹣2）．
13．（5分）若x﹣y＝5，xy＝﹣2，则x2+y2的值为 21 ．
【分析】利用完全平方公式，可得x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，然后进行计算即可解答．
【解答】解：∵x﹣y＝5，xy＝﹣2，
∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy
＝52+2×（﹣2）
＝25﹣4
＝21，
故答案为：21．
14．（5分）如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E．B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】首先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出BC，AC的长，利用S△ABC﹣S扇形BOE＝图中阴影部分的面积求出即可．
【解答】解：连接BD，BE，BO，EO，
∵B，E是半圆弧的三等分点，
∴∠EOA＝∠EOB＝∠BOD＝60°，
∴∠BAC＝∠EBA＝30°，
∴BE∥AD，
∵的长为，
∴＝，
解得：R＝2，
∴AB＝ADcos30°＝2，
∴BC＝AB＝，
∴AC＝＝＝3，
∴S△ABC＝×BC×AC＝××3＝，
∵△BOE和△ABE同底等高，
∴△BOE和△ABE面积相等，
∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S扇形BOE＝﹣＝﹣．
故答案为：．
15．（5分）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点A（x．y），我们把点B（）称为点A的“关爱点”．如图，▱CODE的顶点C在x轴的负半轴上，点D，E在第二象限，点E的纵坐标为2，反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象与OD交于点A．若点B是点A的“关爱点“，且点B在∠ODE的边上，则OB的长为 ．
【分析】设A（m，﹣），则B（，﹣m），当B点在ED上时，由﹣m＝2，可求B（﹣，2），则OB＝；当B点在OD上时，OA的解析式为y＝﹣x，由•（﹣）＝﹣m，可求B（﹣，2）（舍）．
【解答】解：设A（m，﹣），
∵点B是点A的“关爱点“，
∴B（，﹣m），
当B点在ED上时，﹣m＝2，
解得m＝﹣，
∴B（﹣，2），
∴OB＝；
当B点在OD上时，
设OA的解析式为y＝kx，
∴mk＝﹣，
解得k＝﹣，
∴y＝﹣x，
∴•（﹣）＝﹣m，
解得m＝±，
∴m＜0，
∴m＝﹣，
∴B（﹣，2）（舍）；
综上所述：OB的长为，
故答案为：．
16．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点E、F分别是边AB，BC边上的点（E、F不与端点重合），且EF∥AC．将△BEF沿直线EF折叠，点B的对应点为点M，延长EM交AC于点G，若以M、G、F为顶点的三角形与△BEF相似，求BF的长 或 ．
【分析】连接并延长BM，BM交EF于点I，BM的延长线交AC于点H，根据轴对称的性质得EF垂直平分BM，∠GMF＝∠EMF＝∠EBF＝90°，MF＝BF，由EF∥AC得∠BIF＝∠MIF＝∠BHC＝90°，所以BH⊥AC，由∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，得AC＝＝10，则×10BH＝×6×8＝S△ABC，求得BH＝，再分两种情况讨论，一是△MGF∽△BEF，且∠MFG＝∠BFE，可推导出MH＝BF，MI＝BI＝BF，则3×BF＝，得BF＝；二是△GMF∽△BEF，且∠MGF＝∠BFE，可推导出MH＝BF，则2×BF+BF＝，得BF＝．
【解答】解：连接并延长BM，BM交EF于点I，BM的延长线交AC于点H，
∵将△BEF沿直线EF折叠，点B的对应点为点M，
∴EF垂直平分BM，∠GMF＝∠EMF＝∠EBF＝90°，MF＝BF，
∵EF∥AC，
∴∠BIF＝∠MIF＝∠BHC＝90°，
∴BH⊥AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝＝10，
∴×10BH＝×6×8＝S△ABC，
∴BH＝，
当△MGF∽△BEF，且∠MFG＝∠BFE时，如图1，
∵△BEF≌△MEF，
∴△MGF∽△MEF，
∴＝＝1，
∴GM＝EM＝EB，
∵∠BFE＝∠C，
∴GM＝EB＝BF•tan∠BFE＝BF•tanC＝BF×＝BF，
∵∠GMH＝90°﹣∠FMI＝∠MFE＝∠BFE＝∠C，
∴MH＝GM•cos∠GMH＝GM•cosC＝BF×＝BF×＝BF，
∵MI＝BI＝BF•sin∠BFE＝BF•sinC＝BF×＝BF，
∴3×BF＝，
∴BF＝；
当△GMF∽△BEF，且∠MGF＝∠BFE时，如图2，
∵＝tan∠MGF＝tan∠BFE＝tanC＝，
∴GM＝MF＝BF，
∴MH＝GM•cos∠GMH＝GM•cosC＝BF×＝BF，
∴2×BF+BF＝，
∴BF＝，
综上所述，BF的长为或，
故答案为：或．
三、解答题：共8小题，满分80分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。
17．（8分）（1）计算：．
（2）解方程组；．
【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂的法则以及特殊角的锐角三角函数值计算即可；
（2）根据方程组中方程的特点，采用加减消元法解答即可．
【解答】解：（1）
＝1﹣4﹣1﹣
＝﹣4﹣
＝﹣；
（2），
①×2得，8x+2y＝10③，
③+②得，9x＝11，
解得x＝，
把x＝代入②得，，
解得y＝，
所以方程组的解为．
18．（8分）如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点和点P都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上．
（1）将△ABC平移，使点P落在平移后的三角形内部，在图甲中画出示意图；
（2）以点C为旋转中心，将△ABC旋转，使点P落在旋转后的三角形内部，在图乙中画出示意图．
【分析】（1）根据网格结构，把△ABC向右平移或向右、向上平移后可使点P为三角形的内部的三个格点中的任意一个；
（2）把△ABC绕点C顺时针旋转90°即可使点P在三角形内部．
【解答】解：（1）平移后的三角形如图所示；
（2）如图所示，旋转后的三角形如图所示．
19．（8分）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）根据每件的销售利润×每天的销售量＝425，解一元二次方程即可；
（3）利用销售该消毒用品每天的销售利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设每天的销售量y（件）与每件售价x（元）函数关系式为：y＝kx+b，
由题意可知：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣5x+150；
（2）（﹣5x+150）（x﹣8）＝425，
解得：x1＝13，x2＝25（舍去），
∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；
（3）w＝y（x﹣8），
＝（﹣5x+150）（x﹣8），
w＝﹣5x2+190x﹣1200，
＝﹣5（x﹣19）2+605，
∵8≤x≤15，且x为整数，
当x＜19时，w随x的增大而增大，
∴当x＝15时，w有最大值，最大值为525．
答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
20．（10分）为弘扬中华传统文化，草根一中准备开展“传统手工技艺”学习实践活动．校学生会在全校范围内随机地对本校一些学生进行了“我最想学习的传统手工技艺”问卷调查（问卷共设有五个选项：“A一剪纸”、“B一木版画雕刻”、“C一陶艺创作”、“D一皮影制作”、“E一其他手工技艺”，参加问卷调查的这些学生，每人都只选了其中的一个选项），将所有的调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全上面的条形统计图；
（2）求扇形E的圆心角度数；
（3）该校共有3600名学生，请你估计该校学生“最想学习的传统手工技艺”为“A一剪纸”的人数．
【分析】（1）用选C的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数乘以选D的人数所占的百分比得到选D的人数，然后补全条形统计图；
（2）用360°乘以样本中选E的人数所占的百分比得到扇形E的圆心角度数；
（3）用3600乘以样本中选A的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）调查的总人数为：90÷30%＝300（人），
所以选D的人数为300×25%＝75（人），
补全条形统计图为：
（2）扇形E的圆心角度数为360°×＝18°；
（3）3600×＝792（人），
估计该校学生“最想学习的传统手工技艺”为“A一剪纸”的人数为792人．
21．（10分）如图，为了测量平静的河面的宽度，即EP的长，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆AB，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即PM＝PN，两岸均高出水平面0.75米，即DE＝FP＝0.75米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，求河宽EP是多少米？
【分析】延长AB交EP的反向延长线于点H，由△ABD∽△AHO求得OH，再由△AHO∽△NPO求得OP，便可解决问题，
【解答】解：延长AB交EP的反向延长线于点H，
则四边形BDEH是矩形，
∴BH＝DE＝0.75，BD∥EH，
∴AH＝AB+BH＝AB+DE＝1.6+0.75＝2.35，
∵BD∥OH，
∴△ABD∽△AHO，
∴＝，
∴＝，
∴HO＝4.7，
∵PM＝PN，MF＝4.5米，FP＝0.75米，
∴PN＝MF+FP＝5.25米，
∵AH⊥EP，PN⊥EP，
∴AH∥PN，
∴△AHO∽△NPO，
∴＝，
∴＝，
∴PO＝10.5，
∴PE＝PO+OE＝10.5+（4.7﹣3.2）＝12，
答：河宽EP是12米．
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上任意两点．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）若x1＝m﹣3，x2＝m+2，比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）若对于﹣3≤x1＜4，x2＝4，都有y1≤y2，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．
（2）分别将x1＝m﹣3，x2＝m+2代入解析式求解．
（3）求出点（4，y2）关于对称轴对称点为（2m﹣4，y2），根据抛物线开口向上及y1≤y2求解．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，
∴抛物线顶点坐标为（m，﹣1）．
（2）将x＝m﹣3代入y＝（x﹣m）2﹣1得y＝32﹣1＝8，
将x＝m+2代入y＝（x﹣m）2﹣1得y＝22﹣1＝3，
∵8＞3
∴y1＞y2．
（3）∵抛物线对称轴为直线x＝m，
∴点（4，y2）关于对称轴对称点为（2m﹣4，y2），
∵抛物线开口向上，y1≤y2，
∴2m﹣4≤x1＜4，
∴2m﹣4≤﹣3，
解得m≤．
23．（12分）如图，正方形ABCD，E、F分别是边AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N．
（1）求证：AF＝DE，AF⊥DE．
（2）求AM：MN：NF的值．
【分析】（1）根据SAS证明△ADE≌△BAF，即可得AF＝DE，∠ADE＝∠BAF，故∠ADE+∠AED＝∠BAF+∠AED＝90°，AF⊥DE；
（2）设正方形ABCD的边长为2x，则AE＝BF＝x，由勾股定理和面积法可得AM＝＝x，证明△NAD∽△NFB，可得NF＝AF＝x，即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AB＝DA，∠ABC＝∠BAD＝90°，
∵E、F为边AB、BC的中点，
∴BF＝AE，
在△ADE与△BAF中，
，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴AF＝DE，∠ADE＝∠BAF，
∴∠ADE+∠AED＝∠BAF+∠AED＝90°，
∴∠AME＝90°，
∴AF⊥DE；
（2）解：设正方形ABCD的边长为2x，则AE＝BF＝x，
在Rt△ADE中，DE＝＝x，
由（1）知DE＝AF，
∴AF＝x，
∵2S△ADE＝AE•AD＝DE•AM，
∴AM＝＝x，
∵AD∥BC，
∴∠ADN＝∠NBF，∠NAD＝∠NFB，
∴△NAD∽△NFB，
∴＝＝2，
∴AN＝2FN，
∴NF＝AF＝x，
∴MN＝AF﹣AM﹣NF＝，
∴AM：MN：NF＝x：x：x＝6：4：5．
24．（14分）新知学习：若一条线段把一个平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条线段叫做该平面图形的二分线．
解决问题：
（1）①三角形的中线、高线、角平分线中，一定是三角形的二分线的是 三角形的中线 ；
②如图1，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，DC上，连接EF，与AD交于点G．若S△AEG＝S△DGF，则EF 是 （填“是”或“不是”）△ABC的一条二分线．
（2）如图2，四边形ABCD中，CD平行于AB，点G是AD的中点，射线CG交射线BA于点E，取EB的中点F，连接CF．求证：CF是四边形ABCD的二分线．
（3）如图3，在△ABC中，AB＝CB＝CE＝7，∠A＝∠C，∠CBE＝∠CEB，D，E分别是线段BC，AC上的点，且∠BED＝∠A，EF是四边形ABDE的一条二分线，求DF的长．
【分析】（1）①由平面图形的二分线定义可求解；
②由面积的和差关系可得S△BEF＝S△ABD＝S△ABC，可得EF是△ABC的一条二分线；
（2）根据EB的中点F，所以S△CBF＝S△CEF，由AB∥DC，G是AD的中点，证明△CDG≌△EAG，所以S四边形AFCD＝S△CEF，所以S四边形AFCD＝S△CBF，可得CF是四边形ABCD的二分线；
（3）延长CB使BH＝CD，连接EH，通过全等三角形的判定可得S△BEH＝S△DEC＝S△ABE，可得S△HED＝S四边形ABDE，即可得DF＝DH＝．
【解答】解：（1）∵三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；
∴三角形的中线是三角形的二分线，
故答案为三角形的中线
②∵AD是BC边上的中线
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，
∵S△AEG＝S△DGF，
∴S四边形BDGE+S△AEG＝S四边形BDGE+S△DGF，
∴S△BEF＝S△ABD＝S△ABC，
∴EF是△ABC的一条二分线
故答案为：是
（2）∵EB的中点F，
∴S△CBF＝S△CEF，
∵AB∥DC，
∴∠E＝∠DCG，
∵G是AD的中点，
∴DG＝AG，
在△CDG和△EAG中，
∴△CDG≌△EAG（AAS），
∴S△AEG＝S△DCG，
∴S四边形AFCD＝S△CEF，
∴S四边形AFCD＝S△CBF，
∴CF是四边形ABCD的二分线．
（3）如图，延长CB使BH＝CD，连接EH，
AB＝CB＝CE＝7，∠A＝∠C，∠CBE＝∠CEB，D，E分别是线段BC，AC上的点，且∠BED＝∠A，
∵BC＝7
∴BD+CD＝7
∴BD+BH＝7＝HD
∵∠BED＝∠A，∠BED+∠DEC＝∠A+∠ABE
∴∠ABE＝∠CED，且AB＝CE＝7，∠A＝∠C
∴△ABE≌△CED（ASA）
∴AE＝CD，BE＝DE，∠AEB＝∠EDC，S△ABE＝S△EDC，
∴AE＝BH，
∵∠CBE＝∠CEB
∴∠AEB＝∠EBH
∴∠EBH＝∠EDC，且BE＝DE，BH＝CD
∴△BEH≌△DEC（SAS）、
∴S△BEH＝S△DEC，
∴S△BEH＝S△DEC＝S△ABE，
∴S△HED＝S四边形ABDE，
∵EF是四边形ABDE的一条二分线，
∴S△DEF＝S四边形ABDE＝S△HED，
∴DF＝DH＝
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