泰山区泰山实验中学2023年八年级第一学期八年级数学上册导学案

这是一份初中鲁教版 (五四制)本册综合导学案及答案，共123页。学案主要包含了学习目标，课前梳理，课堂练习，当堂达标，拓展延伸，当堂检测，课后巩固，课堂小结等内容，欢迎下载使用。



八年级数学上册
（导学案）


目 录
第一章 因式分解
1.1因式分解 1
1.2用提公因式法(1) 3
1.2用提公因式法(2) 5
1.3公式法 (1) 7
1.3公式法 (2) 9
1.3公式法 (3) 11
复习与巩固 13
第二章 分式与分式方程
2.1认识分式（1） 18
2.1认识分式（2） 20
2.2分式的乘除法（1） 22
2.2分式的乘除法（2） 24
2.3分式的加减法（1） 26
2.3分式的加减法（2） 28
2.3分式的加减法（3） 30
2.4分式方程（1） 32
2.4分式方程（2） 34
2.4分式方程（3） 36
2.4分式方程（4） 38
复习与巩固 40
第三章 数据的分析
3.1平均数（1） 49
3.1平均数（2） 51
3.2中位数与众数 53
3.3从统计图分析数据的集中趋势 55
3.4数据的离散程度(1) 57
3.4数据的离散程度(2) 59
复习与巩固 61
第四章 图形的平移与旋转
4.1图形的平移（1） 69
4.1图形的平移（2） 71
4.1图形的平移（3） 73
4.1图形的平移（4） 75
4.2图形的旋转（1） 77
4.2图形的旋转（2） 79
4.2图形的旋转（3） 81

4.3图形的中心对称（1） 83
4.3图形的中心对称（2） 85
4.4 图形变化的简单应用 87
复习与巩固 89
第五章 平行四边形
5.1平行四边形及其性质（1） 94
5.1平行四边形及其性质（2） 96
5.1平行四边形及其性质（3） 98
5.2平行四边形的判定（1） 100
5.2平行四边形的判定（2） 103
5.2平行四边形的判定（3） 104
5.3三角形的中位线定理（1） 106
5.3三角形的中位线定理（2） 108
5.4多边形的内角和与外角和(1) 110
5.4多边形的内角和与外角和(2) 112
复习与巩固 114
第一章 因式分解
1.1因式分解
【学习目标】
1.理解因式分解的概念.
2.理解因式分解与整式乘法的关系.
【课前梳理】阅读课本P2～3页内容，完成下列各题.
（一）知识回顾
1. 完成下列整式的计算:
=________ 3a(a+2)=________ m(a+b+c)=________ 3y(y+1)(y-1)=_________
2. 平方差公式：= 完全平方公式：(a+b)2 = (a-b)2 =
（二）因式分解的概念
3.由拼图过程中，得知ma+mb+mc=m(a+b+c),,把一个多项式化成几个_____________的形式，这种变形叫做_____________.因式分解也可以称为____________.
4.下列变形中，哪些是因式分解？
(1) (2)m2-9=(m+3)(m-3) (3)a2-b2+2=(a+b)(a-b)+2
(4)a2b–2ab2+ab=ab(a-2b+1) (5)m2-n2=(m+n)(m-n) (6)
（三）因式分解与整式乘法的关系
5.计算下列各式：(1)=_______________ (2)m(a+b+c)=_______________
(3)(m+4)(m-4)=______________ (4)(y-3)2 =________________
6.完成下面算式的填空：
(1)=（ ）（ ） (2)ma+mb-m=( )( )
(3)m2-16=( )( ) (4)y2-6y+9=( )( )
【课堂练习】
知识点: 因式分解的概念
1.下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解?
A.4a(a+2b)=4a2+8ab; B.6ax-3ax2=3ax(2-x);
C.a2-4=(a+2)(a-2); D.x2 -3x+2=x(x-3)+2.
2.判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2)2x(x-3y)=2x2-6xy
(3)(5a-1)2=25a2-10a+1 (4)x2+4x+4=(x+2)2
(5)(a-3)(a+3)=a2-9 (6)m2-4=(m+4)(m-4)
(7)2πR+ 2πr= 2π(R+r) (8)
【当堂达标】
1.由整式乘法，可得知因式分解=_____________;
由整式乘法(2a+b)2=4a2+4ab+b2，可得知，4a2+4ab+b2=_______________.
2.下列各式变形中，是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
3.下列式子由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
4.下列式子由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A.a2+4a-21=a(a+4)-21 B.a2+4a-21=(a-3)(a+7)
C.(a-3)(a-7)=a2+4a-21 D.a2+4a-21=(a-2)2-25
5.若多项式，则m的值为（ ）
A.3 B.-3 C.2 D.-2
【拓展延伸】
1. 已知二次三项式x2−4x+m有一个因式是(x+3)，求另一个因式以及m的值.


2.已知关于的二次三项式：因式分解的结果为，求m,n的值.



3.两位同学将一个二次三项式分解因式,一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x−1)(x−9),另一位同学因看错了常数项而分解成2(x−2)(x−4)，请将原多项式分解因式.


1.2用提公因式法(1)
【学习目标】
1.理解公因式与提公因式法的概念.
2.会确定一个多项式各项的公因式.
3.会用提公因式法对有公因式的多项式进行因式分解.
【课前梳理】
1. 叫因式分解
2.多项式ab+bc各项都含有的相同因式是 _______,把多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的____________.
定系数：系数取多项式各项系数的 （当系数是整数时）.
定字母：字母取多项式各项中都含有的 .
定指数：相同字母的指数取其 .
3.找下列多项式的公因式
①12m2-4m3 ②5a2b-10ab ƒ8a3b2－12ab3c


【课堂练习】
知识点一 找公因式的方法
1.把下列各式进行因式分解：
(2)12ab＋6b (4)6ab3-2a2b2+4a3b

知识点二 用提公因式法分解因式
2.(1)a2b–2ab2+ab　 (2)5x2y＋10xy2－15xy







(5)6ab3-2a2b2+4a3b (6)

【当堂检测】
一、选择题
1.多项式的公因式是（ ）
A.a2 B.a C. D.ay
2.（－2）10＋（－2）11等于（ ）
A.－210 B.－211 C.210 D.－2
3.多项式分解因式的结果是（ ）
A.an（1－a3＋a2） B.an（－a2n＋a2）
C.an（1－a2n＋a2） D.an（－a3＋an）
二、解答题:分解因式
(1) (2)



(3) (4)




(5) (6)




【拓展延伸】
1.用简便方法计算下列各题：
(1)96×3.14-4.8×31.4+520×0.314 (2)7.56×1.09+1.09×6-125.6×0.109



2.已知，求的值.


1.2  提公因式法(2)
【学习目标】
1. 对公因式是多项式的式子进行因式分解.
2.熟练运用提公因式法进行因式分解.
【课前梳理】
1.把下列各式进行因式分解.
(1)2ab2+ 4abc (2)m2n3 -3n2m3 (3)a2b-2ab2+ab (4)9x2–6xy+3xz


2.找出下列各式的公因式，并尝试利用提公因式法分解因式.
(1)3x（m－n）＋2（m－n） (2)a2(a-b)2-a(a-b)2


3.公因式可以是 ，也可以是 .
4.请在下列各式等号右边的括号前填“+”或“-”，使等式成立.
(1)-x+y=___(x-y) (2)-m2-n2=___(m2+n2) (3)(x-y)2=___(y-x)2 (4)(x-y)3=___(y-x)3
你发现了什么规律？
5.当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提出_________,使括号内的第一项的系数成为___________，在提出__________时，多项式的各项都要 _____ .
6.把下列各式进行因式分解：
(1) (2)

(3) (4)


【课堂练习】
知识点一 第一项的系数为负数时的因式分解
1. 2.



知识点二 公因式是多项式时的因式分解
3. 4.
5. (2)mn(m-n)-m(n-m)3 (3)




【当堂检测】
1.下列分解因式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2.把多项式4（a+b）-2a(a+b)分解因式，应提出公因式___________
3.把下列各式进行因式分解：
(1)2（a-b）-4(b-a) (2)a2b（a－b）＋3ab（a－b）



(3) (4)-2(m+n)2+4m(m+n)



【拓展延伸】
1. 已知，,求的值.



2.先分解因式(1)(2)(3)，再解答后面的问题.
(1)1+a+a(1+a). (2)1+a+a(1+a)+a(1+a)2 (3)1+a+a(1+a)+a(1+a)2+a(1+a)3
问题：
I.先探索上述分解因式的规律,再写出：1+a(1+a)+a(1+a)2+a(1+a)3+…+a(1+a)2014分解因式的结果是____________________________________.
Ⅱ.请按上述方法分解因式：1+a(1+a)+a(1+a)2+a(1+a)3+…+a(1+a)n(n为正整数).


1.3公式法(1)
【学习目标】
1.理解公式法与乘法公式的联系.
2.会用平方差公式进行因式分解.
【课前梳理】
1. 把下列各式因式分解：
（1） (2)



2.用字母表示平方差公式:
3.乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2左边是整式的乘积，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是 ，左边是 ，右边是 .
用字母表示为 ， 用语言叙述为：两数的平方差，等于这两数的 与这两数的 的积.
4.议一议：下列多项式可以用平方差公式分解吗？若能，请分解因式：
(1)(2)(3)(4)；(5)(6)



【课堂练习】
知识点: 用平方差公式因式分解
1.把下列各式因式分解
（1） (2)


2.把下列各式因式分解
(1)(a+m)2-(a+n)2 (2)


(3)3（a+b）2-27c2 (4)

【当堂检测】
一、选择题
1.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）

2.有一个因式是a＋b－c，则另一个因式为（ ）
A.a－b－c B.a＋b＋c C.a＋b－c D.a－b＋c
3.把多项式分解因式，结果正确的是
A. B. C. D.
4.计算= .
5.已知，，则 .
二、把下列各式因式分解：
(1)9a2－b2 (2) (3)


【课后巩固】
一、选择题
1.m2+n2是下列多项式（ ）中的一个因式
A.m2(m-n)+n2(n-m) B.m4-n4 C.m4+n4 D.(m+n)2·(m-n)2
2.把（3m＋2n)2－（3m－2n)2分解因式，结果是（ ）
A.0 B.16n2 C.36m2 D.24mn
3.如果多项式4a4-(b-c)2=M(2a2-b+c)，则M表示的多项式是（ ）
A.2a2b+c B.2a2-b-c C.2a2+b-c D.2a2+b+c
二、把下列多项式因式分解
(1)a2b2-b2 (2)
(3) (4)


【拓展延伸】计算
1.3公式法 (2)
【学习目标】
1.理解完全平方公式的特点．
2.能较熟悉地运用完全平方公式分解因式．
【课前梳理】
1.把下列各式因式分解：



2.用字母表示平方差公式 完全平方公式 .
3.完全平方公式的结构特征
(1)① ②
(2)根据上述等式填空即：
（因式分解的）完全平方公式：a2+2ab+b2 = ， a2-2ab+b= .
用语言叙述为：
两个数的 加上（或减去）这两个数的积的 倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
4.议一议：下列多项式可以用完全平方公式因式分解吗？若能，请分解因式：
(1)a2-4a+4 (2)x2+4x+4y2 (3)4a2+2ab+b2 (4)a2-ab+b2 (5)x2-6x-9


【课堂练习】
知识点一 运用完全平方公式进行因式分解
1.把下列各式因式分解
(2) (3)



知识点二 利用完全平方公式求值
2.已知，求代数式的值.

3.已知，求代数式的值.


知识点三 利用因式分解进行计算：
4.(1) (2)



【当堂达标】
一.选择题
1.代数式①x2+xy+1 ②4x2+2x+1③ ④4x2-12xy+9y2,其中为完全平方公式的有（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.分解因式的结果是（ ）
A. B. C. D.
3.把分解因式，正确的结果是（ ）

4.如果多项式2能分解为一个二项式的平方的形式，那么m的值（ ）
A.4 B.8 C.-8 D.+8
二.解答题
(1) (2) (3)



【拓展延伸】我们知道多项式a2+6a+9可以写成(a+3)2的形式，这就是将多项式a2+6a+9因式分解．当一个多项式（如a2+6a+8）不能写成两数和（或差）的平方的形式时，我们通常采用下面的方法：
a2+6a+8=a2+6a+32-32+8=(a+3)2-1=(a+2)(a+4).请仿照上面的方法，将下列各式因式分解.


1.3 公式法 (3)
【学习目标】
1.进一步理解提公因式法和公式法分解因式;
2.灵活运用两种方法进行因式分解.
【课前梳理】
1.平方差公式(字母表示) 完全平方公式（字母表示）
把两个公式左右颠倒得到分解因式公式
2.尝试分解因式
（1） a3－ab2 (2)

(3) (4)


【课堂练习】
知识点：用公式法进行因式分解
(1) (2)


(3) (4)




【当堂检测】
一、填空题
1.如果x2＋（k+2）xy＋9y2是一个完全平方公式，那么k是 .
2.若m+n=3,则2m2+4mn+2n2-6的值为( )
A.12 B.2 C.3 D.0
3.下列因式分解正确的是（ ）
A.4（m－n）2－4（m－n）＋1＝（2m－2n＋1) 2 B.18x－9x2－9＝－9（x＋1）2
C.(a2+1) 2-4a2=(a+1)2(a-1)2 D.－a2－2ab－b2＝（－a－b）2
4.把代数式分解因式，下列结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
二.分解因式
(1)


(2)


(3)



【拓展延伸】
1.因式分解


2.若a2＋2a＋1＋b2－6b＋9＝0，求a2－b2的值．



3.已知是△ABC三边的长，且你能判断△ABC的形状吗？请说明理由．





4.试说明必能被45整除.



《因式分解》复习与巩固
【课前梳理】
知识点一 因式分解的定义
把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式 .如：
知识点一 提公因式法分解因式
多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式 ,我们把这个因式 叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc= 就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中因式一个是各项的公因式 ，另一个因式是 即 ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.
例如：x2 – x = x（ )， 8a2b-4ab+2a = 2a( )
知识点三 公式法分解因式
(1)平方差公式：a2-b2=( )( ).
例如：4x2-9=( )2-（ ）2=( )( ).
(2)完全平方公式：a2±2ab+b2=( )2其中， 叫做完全平方式.
例如：4x2-12xy+9y2=（ ）2
【课堂练习】
知识点一 因式分解的意义
1、自主交流
下列变形是否是因式分解？为什么?
(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)； (2)x2-2x+3=(x-1)2+2；
(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)； (4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.
知识点二 提公因式法分解因式
2、典例剖析
例1.用提公因式法将下列各式因式分解.
(1)； (2)3x(a-b)+2y(b-a)




(3)a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2 (4)(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)




知识点三 运用公式法分解因式
1.自主交流
下列变形是否正确？
(1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y)；
(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2；
(3)x2-2x-1=(x-1)2.
2.典型引例
例2.把下列各式分解因式.
(1)(a+b)2-4a2 ； (2)1-10x+25x2； (3)(m+n)2-6(m+n)+9






知识点四 综合运用
例3.分解因式.
(1)x3-2x2+x (2)x2(x-y)+y2(y-x)





知识点五 探索与创新
例4、 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= .
例5、 巩固提升 若x2+(k+3)x+9是完全平方式，则k=__________
【课堂小结】
各项有“公”先 ，首项有负 ，某项提出莫 ,括号里面分到“底”.



【巩固训练】
一.选择题
1.下列式子变形是因式分解的是（　　）
A. B.
C. D.
2.已知：△ABC的三边长分别为，那么代数式的值（ ）
A.大于零 B.等于零 C.小于零 D不能确定
3.已知有一个因式是，把它分解因式后应当是（ ）
A. B. C. D.
4.若，且，，那么必须满足条件( ).
A.都是正数 B.异号，且正数的绝对值较大
C.都是负数 D.异号，且负数的绝对值较大
5.下列因式分解错误的是（　　）
A. B.
C. D.
6.将下述多项式分解后，有相同因式的多项式有 (　 )
①； ②； ③； ④；
⑤；　　⑥
A.2个 　　　B.3个　　　 C.4个 　　　D.5个
7.已知可因式分解成，其中均为整数，则（ 　　）
A.－12 B.－32 C.38 D.72
8.将分组分解，下列的分组方法不恰当的是（ ）
A.　　　 B.
C. 　　　D.
二.填空题
9.＝_________，其中＝2，＝－2.
10.分解因式：＝_____________.
11.已知，则＝ .
12.分解因式：＝__________.
13.若有一个因式为，则的值应当是_________.
14.把多项式分解因式的结果是__________.
15.已知，则＝ .
16.分解因式：（1）＝________；（2）＝________.
三.解答题
17. 把下列各式分解因式：
（1） .





18.(1)有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2.

①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；
②由此，你可以得出的一个等式为：________.
(2)有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示.
①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；
②请你用拼图等方法推出因式分解的结果，画出你的拼图.










19.下面是某同学对多项式＋4进行因式分解的过程：
解：设
原式＝ （第一步）
＝ （第二步）
＝ （第三步）
＝ （第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）
A.提取公因式 B.平方差公式
C.两数和的完全平方公式 D.两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？______________(填彻底或不彻底)
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_______________.
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解.







第二章 分式与分式方程
2.1认识分式（1）
【学习目标】
1.理解分式的概念，并会判断一个代数式是否为分式;会求分式的值；
2.理解分式有意义.无意义的条件；会确定分式值为零的条件.
【课前梳理】
1.分式的概念
如果把除法算式A÷B写成 的形式，其中A. B都是 ，且B中含有 ，我们把代数式就叫做分式.其中， 叫做分式的分子, 叫做分式的分母.
2.分式有意义.无意义和值为0的条件
（1）当 时，分式 无意义. (2)当 时，分式 有意义.

（3）当 时，分式 的值为0.
3.求分式的值
已知，求分式 的值.
【课堂练习】
知识点一 分式的概念
1.下列有有理式中，哪些是整式？哪些是分式？
整式( ) 分式( )
2.把下列各式填入相应的括号内

整式集合｛ …｝
分式集合｛ …｝
知识点二 分式的意义
3.求分式满足下列条件的值.
（1）有意义
（2）分式的值为0
4.要使分式有意义，则的取值应满足
A. B. C. D.
5.使分式的值为0，这时 .
【当堂达标】
1.（3分）下列式子代数式中，是分式的有 （填序号）
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)； (6)；(7)
2.（1分）下列代数式是分式的是（ ）
A. B. C. D.
3.若分式的值为零，则的值为（ ）A.0 B.1 C.-1 D.
4.（2分）下列分式中，一定有意义的是（ ）
A. B. C. D.
5.（3分）求的值:
(1)若分式 的值为0； (2)若分式 的值为0；(3)若分式 的值为0.



【拓展延伸】阅读下面例题，解答问题：当x取何值时,分式的值为正?
解：依题意，得，则有①或②
解不等式组①得或，所以当或时，分式的值为正.
问题：当x取何值时,分的值为负?

2.1认识分式（2）
【学习目标】
1.理解和掌握分式的基本性质，并会利用分式的基本性质进行简单的恒等变形；
2.理解约分与最简分式的概念，会将一个分式化成最简分式或整式；掌握分式的符号法则.
【课前梳理】
1.分式的分子与分母都 同一个不等于零的整式，分式的 不变，这个性质叫做分式的基本性质.用式子表示为
（其中 不等于0的整式）.
2.在下面的括号内填上适当的整式，使等式成立：
（1） （2）

3.分式的约分.最简分式的概念
（1）利用 ，把一个分式的分子和分母中 约去，叫做分式的约分.
（2）当一个分式的分子与分母， 时，这样的分式叫做最简分式.
【课堂练习】
知识点一 分式的基本性质
1.如果把分式中的分子和分母中的都同时变成原来的3倍，那么分式的值（ ）A.不变 B.扩大3倍 C.缩小为原来的 D.缩小为原来的
2.不改变分式的值，把分子.分母中各项的系数化为整数，其结果是
知识点二 分式的约分（化简）




知识点三 分式的符号法则
4.在分式本身.分子.分母的三个符号中，同时改变其中 ，分式的值
即
5.不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含负号.
（1） （2） （3） （4）
【当堂达标】
1. (4分)在括号内填上适当的整式，使等式成立：
（1） （2）
（3）（4）
2.(1分)分式，，，中是最简分式的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.(1分)下列分式约分正确的是（ ）
4.化简下列分式：（每小题2分，共4分)




【拓展延伸】
1.先将分式约分，然后代入你喜欢的一个值求分式的值.


2.已知，求的值.
2.2分式的乘除法（1）
【学习目标】
1.理解和掌握分式的乘除法运算法则，能进行简单的分式乘除法运算.
2.掌握分式的分子和分母是单项式的分式的乘除法计算.
3.掌握分式的乘方法则，会进行分式的乘方运算.
【课前梳理】
1.分式乘法的运算法则：两个分式相乘，把分子的积作为积的 ，把分母的积作为积的 .用式子表示为 .
2.计算：（1）·（-） (2)
3.分式除法的运算法则：两个分式相除，把除式的分子和分母 ，再与被除式 .
4.计算：（1） （2）÷
5.表示 ，其中a叫做 ，n叫做 .
6.计算：





7.分式的乘方法则：分式的乘方，把 ，即 .
8.计算：（1) （2)
【课堂练习】
知识点一 分子、分母是单项式的分式乘除法
1.计算

2.计算


知识点二 分式的乘除混合运算
3. 计算



4.计算



【当堂达标】
1.下列各式中，计算结果是分式的是（ ）
A. B． C． D．
2.化简 的结果是（ ）
A.–m B.m C. D.-n
3.计算：
（1） （2） （3） （4）



【拓展延伸】
观察下面一列单项式：
(1)计算这列单项式中，一个单项式与它前一项的商，你有什么发现?
(2)根据你发现的规律写出第n个单项式.


2.2分式的乘除法（2）
【学习目标】
1.熟练运用分式的乘除法运算法则，能进行简单的分式乘除法运算.
2.掌握分式的分子和分母是多项式的分式的乘除法计算.
【课前梳理】
1.分式乘法的运算法则：两个分式相乘，把分子的积作为积的 ，把分母的积作为积的 .用式子表示为 .
2.分式除法的运算法则：两个分式相除，把除式的分子和分母 ，再与被除式 .用式子表示为 .
3．因式分解
(1) (2) （3）



【课堂练习】
知识点一 分子、分母是多项式的分式乘除法
1.



2.(1) (2) （3）





知识点二 分式的乘除混合运算
3.化简



【当堂达标】
1.化简的结果是（ ） A. B. C. D.
2.化简的结果是（ ）A. B. C. D.
3.计算（1+）÷的结果是（　　）
A．x+1 B． C． D．
4.计算：
（1） （2）



（3） （4）




【拓展延伸】
1.使分式 的值等于5，则a的值是（ ）
A.5 B.-5 C. D.
2.先化简，再选一个你认为合适的m的值代入求值.





2.3分式的加减法（1）
【学习目标】
1.掌握同分母分式的加减法运算法则，能熟练进行同分母分式的加减运算；
2.能正确处理运算中的符号.
【课前梳理】
1.计算：
2.同分母的分数加减法的法则：同分母的分数相加减，分母 ，把分子 .

3.仿照分数的加减法则尝试填空： ； .
4.用类比的方法归纳同分母的分式加减法的法则：
同分母的分式相加减，分母 ，把分子 ，符号语言表示为：


5.计算：
(1) (2)



(3) (4)




【课堂练习】
知识点一 分母是单项式的分式加减法
1.计算



2.计算
知识点二 分母是多项式的分式加减法
3.




4.的结果是
【当堂达标】
1. 下列计算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 化简的结果为（ ）
A. B. C. D.
3.计算 的结果是（　　）
A.1 B.﹣1 C.0 D.
4.计算：(每题2分，共4分）






【拓展延伸】
化简的结果是( )
A.0 B.2 C.-2 D.2或-2
2.3分式的加减法（2）
【学习目标】
1.理解掌握分式的通分和最简公分母的概念，会找最简公分母.
2.掌握异分母分式的加减法运算法则，能熟练进行异分母分式的加减运算并能正确处理运算中的符号.
【课前梳理】
1.通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的 .为了计算方便，异分母分式通分时，通常取 作为它们的共同分母.
2.异分母分式加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，化为 的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为 .
【课堂练习】
知识点一 通分
1.



2.（1） （2）



知识点二 异分母分式的加减法
3.先化简，然后在不等式的非负整数解中选一个使原式有意义的数代入求值.





4. 计算



【当堂达标】
1.（1）的最简公分母是 .
（2）求分式的最简公分母是 .
2.通分
（1） （2）


3.计算
（1） （2）（3） （4）



【拓展延伸】
1. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
2. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.

3. 计算：
(1) (2)




4.已知实数满足,设，，试说明M＝N．
2.3分式的加减法（3）
【学习目标】
1. 掌握分式的混合运算顺序，能熟练地进行分式的混合运算.
2. 会用分式的加减解决简单的实际问题.
【课前梳理】
1.分式的乘法法则： .
2.分式的除法法则： .
3.同分母的分式加减法的法则：同分母的分式相加减，分母 ，把分子 .
4.异分母的分式加减法的法则：
异分母的分式相加减，先 ，变为 分式，再 .
5.已知，求的值.
【课堂练习】
知识点一 分式的混合运算
1.化简





知识点二 分式的求值
2.已知，求的值.





【当堂达标】
1. 化简分式的结果是（ ）
A.2 B.-2 C. D.
2.计算的结果是（ ）
A.1 B. C. D.
3.计算：(1) (2)




4.先化简，再求值：（a﹣9+）÷（a﹣1﹣），其中a＝2．







【课后巩固】
1.已知，则的值为 .
2.用两种不同的运算顺序计算，并求出x=-1时分式的值.









2.4分式方程（1）
1.理解分式方程的概念，并能判断一个方程是不是分式方程.
2.能将实际问题中的等量关系用分式方程表示.
【课前梳理】
任务一：知识回顾
1. 方程的定义：含有 的等式叫做方程.
2. 解一元一次方程的一般步骤： . . . . .
任务二：分式方程的概念
分式方程的定义:
2.在方程 中，分式方程的个数为（ ）

A. 1 B.2 C.3 D.4
【课堂练习】
知识点一 分式方程的定义 （1）分式方程的主要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程.
⑵分式方程与整式方程的区别在于分母中是否含有未知数.
1.方程：其中分式方程的个数是（ ）
A. 1 B.2 C.3 D.4
2.下列方程是分工方程的有 （填序号）.

知识点二 列分式方程
3.部分学生自行组织春游，预计费用为120元，后来又有2名学生参加，费用不变，这样每人可少交3元.若设原来的人数是x，则可列方程为 .


4.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同.设原计划平均每天生产x台机器，根据题意列方程为___.

【当堂达标】
1. 在方程①；②；③（a,b为常数）；④；
⑤；⑥（a是常数）；⑦中是分式方程的有
（只填序号）
2.某地对一段长达4800m的河堤进行加固.在加固600m后，采用新的加固模式，每天的加固长度是原来的2倍.用9天完成了全部加固任务.如果设原来每天加固河堤米，请列出关于的分式方程.
等量关系式：

采用原来的加固模式
采用新的加固模式
加固的总长度(米）


加固的天数（天）


每天加固的长度(米）



列出方程：
3.小亮从图书馆借了一本书，共280页，借期是两周.当他读完书的一半时，发现以后平均每天读书的页数必须增加1倍才能在借期内读完.如果设小亮读前半本书时平均每天读页，请列出关于的分式方程.
等量关系式：

前半本
后半本
读的总页数（页）


每天读的页数（页）


读的天数（天）



列出方程：
【拓展延伸】
“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花.已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元，如果设第一批盒装花的进价是x元/盒.（请列出符合题意的分式方程）





2.4分式方程（2）
【学习目标】
1.了解分式方程增根的含义和产生增根的原因，并会检验分式方程的根;
2.掌握分式方程的一般步骤，会解可化为一元一次方程的分式方程.
【课前梳理】
一、知识回顾
1.找出下列各组分式的最简公分母：
（1）， （2），（3）， （4），
2.分式方程：分母中含有 　　　 的方程叫分式方程.
二、解分式方程的一般步骤：
（1）去分母，即将分式方程的两边都乘 ，把分式方程转化为整式方程.
（2）解这个 .
（3）检验：将整式方程的根代入分式方程中分式的分母中，使分式方程中有的分母为零时，得到的是原方程的增根，应当舍去.
（4）写出分式方程的根.
三、分式方程的增根及产生增根的原因.

因为解分式方程 ，所以解分式方程必须检验.
口诀记忆法： 解分式方程的步骤

同乘最简公分母 ，化成整式写清楚，
求得解后需验根，原（解）留.增（根）舍别含糊.
【课堂练习】
知识点一 分式方程的解法
1.解方程




2.


知识点二 分式方程的增根
3.若关于的方程有增根，试求的值.





【当堂达标】
1. 分式方程的解为（ ）
A.3 B.-3 C.无解 D.3或-3
2.下列关于分式方程增根的说法正确的是( )
A.使所有的分母的值都为零的解是增根 B.分式方程的解为零就是增根
C.使分子的值为零的解就是增根 D.使最简公分母的值为零的解是增根
3.解分式方程时，去分母后得（ ）
A.　B.　C.　D.
4.已知关于的方程有增根，则的值为（ ）
A.5 B.-5 C.6 D.4
5. 解分式方程：
（1） （2） （3）








【拓展延伸】
为何值时，关于的方程会产生增根？



2.4 分式方程（3）
【学习目标】
1.经历将实际问题中的等量关系用分式方程表示的过程.
2.会列出分式方程解决简单的应用题，并掌握列分式方程解应用题的一般步骤.
【课前梳理】
1.解下列方程:
（1） （2） （3）
2.列分式方程解应用题的关键是找出题目中的 .表达等量关系的关键词有：是.比.共.总计.早.晚.多.少.增加.减少.提高.降低等.
分式方程解应用题的一般步骤：
(1)审：审清题意，找 . (2)设：设未知数.
(3)列：根据 ，列分式方程. (4)解：解分式方程.
(5)检：检验所求的解是否为分式方程的解，并检验分式方程的解是否符合 .
(6)答：写出答案.
【课堂练习】
知识点 列分式方程解决实际问题
1.某单位将沿街的一部分房租出租，每间房屋的租金相同.已知每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元.
（1）你能找出这一情境中的等量关系吗？

（2）填表：设第一年每间房屋的租金为元.

第一年
第二年
所有房屋出租的租金(元）


每间房屋出租的租金(元）


出租房屋的间数（间数）


（3） 你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗？


2.某农场开挖一条长960米的渠道，开工后工作效率比计划提高50%，结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米？



【当堂达标】
1.某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为千米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了%，结果提前了8天完成任务，设原计划每天铺设管道千米，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
2.为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种480棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种 ,结果提前 4天完成任务，原计划每天种多少棵树？



3.某中学积极响应“钦州园林生活十年计划”的号召，组织团员植树300棵.实际参加植树的团员人数是原计划的1.5倍，这样，实际人均植树棵树比原计划的少2棵，求原计划参加植树的团员有多少人？


【课后巩固】
1. 为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用.到2013年底，全市已有公租自行车25000辆，租赁点600个，预计到2015年底，全市将有公租自行车50000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍.预计到2015年底，全市将有租赁点多少个？



2.某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但是这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支.
（1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？
（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支铅笔售价至少是多少元？
2.4 分式方程（4）
【学习目标】
1.经历将实际问题中的等量关系用分式方程表示的过程.
2.会列出分式方程解决简单的应用题；并掌握列分式方程解应用题的一般步骤.
【课前梳理】
1.解下列方程:
(1) (2)




2. 列分式方程解应用题的一般步骤：
（1） （2） （3） （4） （5）
【课堂练习】
知识点一 列分式方程解决实际问题
1.一艘轮船顺水中航行40千米所用的时间与逆水航行30千米所用的时间相等，已知水流速度为3千米／时，求轮船在静水中的速度.
(1)你能找出这一情境中的等量关系吗？

(2) 顺水速= 逆水速=
(3) 填表:设船在静水中的速度为千米/时.

顺水航行
逆水航行
路程（千米）


速度（千米/时）


时间（小时）


(4) 列分式方程解答：




2.某中学到离学校15千米的某地旅游，先遣队和大队同时出发，行进速度是大队的1.2倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作.求先遣队和大队的速度各是多少？



【当堂达标】
1.轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米/时，求船在静水中的速度.


2.符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，请你根据上述规定求出等式中x的值.

3甲.乙两人分别从距目的6千米和10千米的两地同时出发，甲.乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20分钟到达目的地，求甲.乙的速度.



4.打字员甲的工作效率比乙高25%，甲打2000字所用时间比乙打1800字的时间少5分钟，求甲乙二人每分钟各打多少字？


【课后巩固】
1. 甲.乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程，已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的，求甲.乙两队单独完成各需多少天？



2. （2015•山东聊城）在“母亲节”前夕，某花店用16000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快预售一空．根据市场需求情况，该花店又用7500元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每盒的进价是多少元？

《分式与分式方程》复习与巩固（一）
【学习目标】
1.理解分式定义，掌握分式有意义的条件.
2.掌握分式的加减乘除运算及混合运算.
3.掌握分式方程的解法，会列分式方程解决实际问题.
【课前梳理】
1．分式概念
一般的，如果A、B表示两个整式， ，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
分式有意义的条件： ；
分式无意义的条件： ；
分式的值为0的条件： .
2．分式的基本性质
分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.
用式子表示即为： （C≠0），其中A、B、C是整式.

（1）分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中 个，分式的值不变.
用式子表示为：
（2）最简分式：一个分式的分子与分母没有 时，叫做最简分式.
（3）最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，叫最简公分母.
3.分式的运算
分式的乘除
（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母.
用式子表示为：
（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的 ，与被除式相乘.
用式子表示为：
分式的乘方
分式乘方的法则是：分式乘方要把分子、分 ，即
（n为正整数）
分式的加减
同分母分式相加减法则： .用式子表示为：
异分母分式相加减法则：异分母分式相加减， .
用式子表示为：
【典型例题】
例1：下列哪些式子是分式？哪些是整式？
，，，，，，，

例2：已知分式
（1） 当x为何值时，分式无意义? （2）当x为何值时，分式有意义?


（3） 当x为何值时，分式的值为零? （4）当x= - 3时，分式的值是多少?


例3：化简下列分式(约分)
(1) (2) (3)


例4：分式，，的最简公分母为（ ）
A． B． C． D．
跟踪训练：
1、约分
（1） （2） （3）




（4） （5） （6）



2．分式，，，中是最简分式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例5：化简求值
先化简，再求值：，其中．






【当堂达标】
1.化简





2.化简求值，其中




3.先化简，再求值，其中




【课后巩固】
1. 化简（a﹣1）÷（﹣1）•a的结果是（　　）
A．﹣a2 B．1 C．a2 D．﹣1
2. 若分式的值为0，则x的值是（　　 ）
A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣5
3. 计算，结果正确的是（　　 ）
A．1 B．x C． D．
4. 若分式的值为0，则x的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．0
5. 计算的结果为（　　） A．1 B．3 C． D．
6. 已知=3，则代数式的值是（　　）
A． B． C． D．
7.如果分式有意义，那么实数x的取值范围是　 　．
8.要使分式有意义，x的取值应满足　 　．
9.当x=1时，分式的值是　 　．
10.化简+结果是　 　．
11.化简+的结果是　 　
12计算：(1)（﹣）． (2)（a﹣1﹣）÷






13.先化简，再求值（﹣）÷，其中a，b满足a+b﹣=0．






14.先化简，再求值•+．（其中x=1，y=2）












15. 先化简，再求值：÷（a﹣1﹣），并从﹣1，0，1，2四个数中，选一个合适的数代入求值．




















《分式与分式方程》复习与巩固二）
【学习目标】
1、复习分式方程的概念，会识别分式方程，加深对分式方程概念的理解.
2、通过解分式方程，进一步巩固解分式方程的一般步骤，体会转化的数学思想.

【课前梳理】


【课堂练习】
理解分式方程的有关概念
例1 指出下列方程中，分式方程有（ ）
①=5 ②=5 ③x2-5x=0 ④+3=0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
掌握分式方程的解法步骤
例2 解方程：注意分式方程最后要验根.
（1）； （2）.







分式方程的应用
例3 某服装厂装备加工300套演出服，在加工60套后，采用了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用9天完成任务，求该厂原来每天加工多少套演出服．





【基础训练】
1．如果分式的值相等，则x的值是（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
2．若关于x的方程=0有增根，则m的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
3．有两块面积相同的小麦试验田，分别收获小麦9000kg和15000kg．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg，若设第一块试验田每公顷的产量为xkg，根据题意，可得方程（ ）

4．已知方程有增根，则这个增根一定是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．方程的解是（ ） A．1 B．-1 C．±1 D．0
6．张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，依题，得到的方程是（ ）

7．方程的解是_______．
8．若关于x的方程-1=0无实根，则a的值为_______．
9．若x+=2，则x+=_______．
10．解下列方程：
（1）=1； （2）=3.


11.文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本．
（1）甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？
（2）书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完．）










12．怀化市某乡积极响应党中央提出的“建设社会主义新农村”的号召，在本乡建起了农民文化活动室，现要将其装修．若甲、乙两个装修公司合做需8天完成，需工钱8000元；若甲公司单独做6天后，剩下的由乙公司来做，还需12天完成，共需工钱7500元．若只选一个公司单独完成．从节约开始角度考虑，该乡是选甲公司还是选乙公司？请你说明理由．










13.某校组织学生去9km外的郊区游玩，一部分学生骑自行车先走，半小时后，其他学生乘公共汽车出发，结果他们同时到达．已知公共汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度和公共汽车的速度分别是多少？




【拓展延伸】
14．先阅读下列一段文字，然后解答问题．
已知：
方程x-=1的解是x1=2，x2=-；
方程x-=2的解是x1=3，x2=-；
方程x-=3的解是x1=4，x2=-；
方程x-=4的解是x1=5，x2=-．
问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程x-=10的解，并写出检验．





15．阅读理解题：
阅读下列材料，关于x的方程：
x+=c+的解是x1=c，x2=；
x-=c-的妥是x1=c，x2=-；
x+=c+的解是x1=c，x2=；
x+=c+的解是x1=c，x2=……
（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程x+（m≠0）与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证．
（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数，方程右边的形式与左边完全相同，只把其中未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程：x+.




第三章 数据的分析
3.1平均数（1）
【学习目标】
1.理解算术平均数、加权平均数的概念，并会求一组数据的平均数和加权平均数.
2.会运用算术平均数和加权平均数解决实际问题.
【课前梳理】
（一）算术平均数的概念
1.一般地，对于n个数据，我们把 叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记为 ,计算公式为 .
2.已知某班参加运动会的五位同学的年龄分别为15、14、16、15、14，他们的平均年龄是 .
（二）加权平均数的概念
1.一般地，对于n个数据，出现的次数分别为，其中，那么这个数的平均数为= ，这个平均数叫做这组数据的 .
2.某学校生物兴趣小组11人到校外采集植物标本，其中2人每人采集6 件，4人每人采集3件，5人每人采集4件，求这个兴趣小组平均每人采集标本是多少件？
【课堂练习】
知识点一 算术平均数
1. 如果一组数据5，，3,4的平均数是5，那么= .
2. 已知一组数据1，7，10，8，x，6，0，3，若=5，则x应等于（ ）
A.6　　　　B.5 C.4 D.2
知识点二 加权平均数
3.某班共有学生50人，平均身高为168cm，其中30名男生平均身高为170cm，则20名女生的平均身高为________.
4.某公司对应聘者进行面试，按专业知识、工作经验、仪表形象给应聘者打分，这三个方面的重要性之比为6:3:1.该公司对应聘的王丽、张瑛两人的打分如下表

王丽
张瑛
专业知识
14
18
工作经验
16
16
仪表形象
18
12
两人中只录取一个，若你是人事主管，你会录用 .
【当堂达标】
1. 在航天知识竞赛中，包括甲同学在内的6名同学的平均分为74分，其中甲同学考了89分，则除甲以外的5名同学的平均分为 分.
2.数据，，，，，，的平均数是（ ）
A. B. C. D.
3.某校12名学生参加今年全国初中数学竞赛，其中8名男同学的平均成绩为85分，4名女同学的平均成绩为76分，则该校12名同学的平均成绩为___________.
4.小明骑自行车的速度是15千米/时，步行的速度是5千米/时.
(1)如果小明先骑自行车1小时，然后又步行了1小时，那么他的平均速度是多少？
(2)如果小明先骑自行车2小时，然后又步行了3小时，那么他的平均速度是多少？



5.某校规定，学生的数学成绩有三部分组平时占15%，期中占20%，期末占65%，小颖平时成绩80分，期中成绩85分，期末成绩90分.
(1)小颖数学成绩的平均分是多少？
(2)在平时和期中不变情况下，若小颖要使数学成绩的平均分达到90分，那么她在期末考试中至少要考多少分？




【课后巩固】
1.若个数的平均数为，个数的平均数为，则这（+）个数的平均数是( ）
A. B. C. D.
2.某居民院内月底统计用电情况，其中3户用电45度，5户用电50度，6户用电42度，则平均每户用电（ ）
A.41度 B.42度 C.45.5度 D.46度
3. 甲、乙、丙三种糖果售价分别为每千克6元，7元，8元，若将甲种8千克，乙种10千克，丙种3千克混在一起，则售价应定为每千克（ ）
A.6.7元 B.6.8元 C.7.5元 D.8.6元
4.下表是某校初三（1）班20名学生某次数学测验的成绩统计表：
成绩（分）
60
70
80
90
100
人数（人）
1
5
x
y
2



若这20名学生成绩的平均分数为80分，求，的值.


3.1 平均数（2）
【学习目标】
1.能应用加权平均数解释现实生活中简单现象，并能用它解决一些实际问题.
2.理解算术平均数是加权平均数的一种特殊情况.
【课前梳理】
1. 算术平均数： ，
计算公式： .
2. 加权平均数平均数： ，
计算公式： .
3.x1，x2，x3，……，x10的平均数是5，x11，x12，x13，……，x20的平均数是3，则x1，x2，
x3，……，x20的平均数是 .
【课堂练习】
知识点 应用加权平均数解决实际问题
小明参加班长竞选，需进行演讲答辩与民主测评，民主测评时一人一票，按“优秀、良好、一般”三选一投票.如图是7位评委对小明“演讲答辩”的评分统计图及全班50位同学民主测评票数统计图.

(1)求评委给小明演讲答辩分数的众数，以及民主测评为“良好”票数的扇形圆心角度数；
(2)求小明的综合得分是多少?
(3)在竞选中，小亮的民主测评得分为82分，如果他的综合得分不小于小明的综合得分，他的演讲答辩得分至少要多少分?



【当堂达标】
1.8名学生在一次数学测试中的成绩为80，82，79，69，74，78 ，，81,这组成绩的平均数是77，则的值为（ ） A.76 B.75 C.74 D.73
2.学校以德智体三项成绩来计算学生的平均成绩，三项成绩的比例依次为1:3:1,小明德智体三项成绩分别为98分，95分，96分，则小明的平均成绩为 分.
3.某校在一次广播体操比赛中，801班，802班，803班的各项得分如下：
（1）如果根据三项得分的平均数从高到低确定名次，那么三个班的排名顺序怎样？


（2）如果学校认为这三项的重要程度有所不同，而给予这三项分别为15；35：50.以加权平均数来确定名次，那么三个班的排名又怎样？




服装统一
动作
整齐
动作
准确
801班
80
84
87
802班
98
78
80
803班
90
82
83
3题图
4题图

候选人
笔试成绩
面试成绩
甲
90
88
乙
84
92
丙
x
90
丁
88
86

4.某公司招聘职员两名，对甲、乙、丙、丁四名候选人进行了笔试和面试，各项成绩满分均为100分，然后再按笔试占60%、面试占40%计算候选人的综合成绩（满分为100分）.
他们的各项成绩如表所示：
（1）现得知候选人丙的综合成绩为87.6分，求表中x的值；
（2）求出其余三名候选人的综合成绩，并以综合成绩排序确定所要招聘的前两名的人选.




【拓展延伸】
1.某鱼塘放养鱼苗10万条，根据这几年的经验知道，鱼苗成活率为95％，一段时间后准备打捞出售，第一次从中网出40条，称得平均每条鱼重2.5千克；第二次从中网出25条，称得平均每条鱼重2.2千克；第三次从中网出35条，称得平均每条鱼重2.8千克，请估计鱼塘中鱼的总重量约是多少？


2.已知一组数据10，9，8，，12，，10，7的平均数是10，又知比大2，求，的值.
3.2中位数与众数
【学习目标】
1.理解中位数、众数的概念，会求一组数据的中位数、众数.
2.体会“众数”“中位数”“平均数”各自的特点，明确他们之间的联系与区别，并能选择众数、中位数或平均数来解决实际问题.
【课前梳理】中位数、众数的概念
1.中位数：
众数：
2.求出这两组数据的中位数和众数.
⑴2 6 2 8 4 ⑵1 2 3 4 5 6 4 5

3.中位数什么时候取最中间位置的数据？什么时候取最中间两个数据的平均数？

4.思考：中位数一定是这组数据中的数吗？
5.一组数据中中位数有几个？众数唯一吗？

【课堂练习】 知识点一 中位数
1.某电视台举办的青年歌手电视大奖赛上,六位评委给3号选手的评分如下：90,96,91,96,95,94,这组数据的中位数是（ ）
A. 95 B. 94 C. 94.5 D. 96
2.某班7个合作学习小组的人数如下：5,5,6,x,7,7,8,已知这组数据的平均数是6,则这组数据的中位数是( )
A. 7 B. 6 C. 5.5 D. 5
知识点二 众数
3.在某次体育测试中,九（1） 班6 位同学的立定跳远成绩(单位:m )分别为:1.71 ,1.85 ,1.85 ,1.95 ,2.10 ,2.31 ,则这组数据的众数是( )
A、1.71 B、1.85 C、1.90 D、2.31
4.有一组数据1,1,2,3，的平均数是3，则这组数据的众数是 .
知识点三 选择众数、中位数或平均数来解决实际问题
5.某地5月份某一周每天的最高气温统计如下：
最高气温/℃
28
29
30
31
天数/天
1
1
3
2
年龄:（岁）
13
14
15
16
人数
1
5
4
2
求该周最高气温的众数和中位数.
6.某中学篮球队12名队员的年龄如下表：
求这12名队员的年龄的平均数、众数和中位数.

【当堂达标】
1.实验学校八年级一班十名同学进行定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：5,4,3,5,5,2,5,3,4,1，则这组数据的中位数、众数分别为（ ）
A.4,5 B.5,4 C.4,4 D.5，5
2.如果在一组数据中，23，25，28，22出现的次数依次为2，5，3，4次，并且没有其它的数据，则这组数据的中位数是（ ）
A.26 B.24 C.25 D.27
3.某区10名学生参加市级汉字听写大赛，他们得分情况如下表：
人数
3
4
2
1
分数
80
85
90
95
那么这10名学生所得分数的平均数和众数分别是（ ）
A.85和82.5 B.85.5和85 C.85和85 D.85.5和80
4.10名学生分别购买如下尺码的鞋子：20,20,21,22,22,22,22,23,23,24（单位：cm）.这组数据的平均数、中位数、众数三个指标中鞋店老板最不喜欢的是 ，最喜欢的是 .
5.为了全面了解学生的学习、生活及家庭的基本情况，加强学校、家庭的联系，梅灿中学积极组织全体教师开展“课外访万家活动”，王老师对所在班级的全体学生进行实地家访，了解到每名学生家庭的相关信息，现从中随机抽取15名学生家庭的年收入情况，数据如下表：
年收入（单位：万元）
2
2.5
3
4
5
9
13
家庭个数
1
3
5
2
2
1
1
(1)求这15名学生家庭年收入的平均数、中位数、众数.
(2)你认为用（1）中的哪个数据来代表这15名学生家庭收入的一般水平较为合适？请简要说明理由.



【课后巩固】
1.下列说法中,正确的说法有____________
①一组数据中的中位数只有一个；
②一组数据中的中位数可能是这组数据中的一个，也可能不是这组数据中的一个；
③在一组数据中，大于中位数的数据与小于中位数的数据的个数相等.
2.已知数据1，3，2，，2的平均是3，则这组数据的中位数是___________ .
3.一组数据23，27，20，18，，12 ，它的中位数是21，则的值是__________ .
4.用中位数去估计总体时,其优越性是 (   )
A. 运算简便  B.不受较大数据的影响  
C. 不受较小数据的影响  D. 不受个别数据较大或较小的影响

3.3从统计图分析数据的集中趋势
【学习目标】
1.经历从统计图分析数据集中趋势的活动，建立数据直觉，发展几何直观.
2.能从条形统计图、扇形统计图等统计图中获取信息，求出或估计相关数据的平均数、中位数、众数.
【课前梳理】
1.常见的统计图有 、 、 .
2.中位数：
众数：
3. 、 、 都是描述分析数据集中趋势的统计量.
【课堂练习】
知识点一 利用条形统计图分析数据的集中趋势
1.如图是交警在一个路口统计的某个时段往车辆的车速情况(单位：千米/时).则这些车辆行驶速度的中位数是________、众数是________、平均数是________(结果精确到0.1).
若某车以50.5千米/时的速度经过该路口，能否说该车的速度要比一半以上车的速度快？

知识点二 利用折线统计图分析数据的集中趋势
2.为了解初三学生的体育锻炼时间，小华调查了某班45名同学一周参加体育锻炼的情况，并把它绘制成折线统计图(如图所示).那么关于该班45名同学一周参加体育锻炼时间的说法错误的是（ ）
3题图
A. 众数是9 B. 中位数是9 C. 平均数是9
D. 锻炼时间不低于9小时的有14人
知识点三 利用扇形统计图分析数据的集中趋势
3.某地连续统计了10天日最高气温，并绘制成如图所示的扇形
统计图.计算这10天中，日最高气温的众数是 ，
平均值为_________℃.


【当堂达标】
1.如图是根据某地某段时间的每天最低气温绘成的折线图，那么这段时间最低气温的众数、平均数依次是（ ）
A.5°，4° B.5°，4.5° C.4°，4° D.4°，4.5°
2题图
7
6
5
4
3
2
1
0
1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 9日 10日
2008年4月上旬最低气温统计图
温度（℃）
1题图








2.如图是某商场一天的运动鞋销售量情况统计图.这些运动鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别是（ ）
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
3.在烟台市举办的“读好书、讲礼仪”活动中，东华学校积极行动，各班图书角的新书、好书不断增多.除学校购买外，还有师生捐献的图书.下面是七年级（1）班全体同学捐献图书的情况统计图：










请你根据以上统计图中的信息，解答下列问题：
（1）该班有学生多少人？
（2）补全条形统计图；
（3）七（1）班全体同学所捐图书的中位数和众数分别是多少？



【拓展延伸】
如图7：在一次爱心捐款中，某班有40名学生拿出自己的零花钱，有捐5元、10元、20元、50元的，图7反映了不同捐款的人数比例，那么这个班的学生平均每人捐款_________元，中位数是______元，众数是_________元.
3.4数据的离散程度(1)
【学习目标】
1.理解极差、方差、标准差的意义与作用.
2.会用样本的方差、标准差估计总体的方差、标准差.
【课前梳理】
1.极差：一组数据中 数据与 数据的差称为极差.
2.方差：一组数据中 .

公式为： .
标准差： .
【课堂预习】
知识点一 极差
1.为了考察某种小麦的长势,从中抽取了10株麦苗,测得苗高(单位：cm)为：
16,9,14,11,12,10,16,8,17,19
则这组数据的中位数和极差分别是( )
A. 13，16 B. 14，11 C. 12，11 D. 13，11
知识点二 方差与标准差
2.计算（1）1，2，3，4，5五个的平均数是 ，方差是 ，标准差是 .
（2）11,12,13,14,15五个的平均数是 ，方差是 .
（3）10,20,30,40,50五个的平均数是 ，方差是 .
3.为了从甲、乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶10次，为了比较两人的成绩，制作了统计图表：
甲、乙射击成绩统计表

(1)请补全上述图表(请直接在表中填空和补全折线图)；
(2)如果规定成绩较稳定者胜出，你认为谁应胜出?说明你的理由；
(3)如果希望(2)中的另一名选手胜出，根据图表中的信息，应该制定怎样的评判规则?为什么?

【当堂达标】
1.如果样本方差，那么这个样本的平均数为 ，样本容量为 .
2.从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是86.5分，方差分别是S甲2=1.5，S乙2=2.6，S丙2=3.5，S丁2=3.68，你认为派谁去参赛更合适（　　） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
3.一组数据：，，0，，1的平均数是0，则= ,= .
4.已知一组数据0，1，2，3，4的方差为2，则数据20,21,22,23,24的方差为_____.
5.某班第二组女生参加体育测试，仰卧起坐的成绩（单位：个）如下：43，41，39，40，37.这组数据方差是　 　.标准差是　 　.
【课后巩固】
1.为参加学校举办的“诗意校园•致远方”朗诵艺术大赛，八年级“屈原读书社”组织了五次选拔赛，这五次选拔赛中，小明五次成绩的平均数是90，方差是2；小强五次成绩的平均数也是90，方差是14.8.下列说法正确的是（　　）
A.小明的成绩比小强稳定 B.小明、小强两人成绩一样稳定
C.小强的成绩比小明稳定 D.无法确定小明、小强的成绩谁更稳定
2.贵州省第十届运动会将于2018年8月8日在遵义市奥体中心开幕，某校有2名射击队员在比赛中的平均成绩均为9环，如果教练要从中选1名成绩稳定的队员参加比赛，那么还应考虑这2名队员选拔成绩的（　　）
A.方差 B.中位数 C.众数 D.最高环数
3.王大伯几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽100棵杨梅树，成活98%.现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅，每棵的产量如折线统计图所示.
(1)分别计算甲、乙两山样本的平均数，并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和；
(2)试通过计算说明，哪个山上的杨梅产量较稳定?



3.4数据的离散程度（2）
【学习目标】
通过观察、思考、比较、分析，探索极差、方差、标准差的意义，体会数据的波动性对决策的作用.
【课前梳理】
1. 什么是极差、平均数、方差、标准差？ 及方差的计算公式是什么？




2. 一组数据的方差与这组数据的波动有怎样的关系？方差反映了数据的什么特征？



【课堂练习】
1.某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲
95
82
88
81
93
79
84
78
乙
83
92
80
95
90
80
85
75
(1)请你计算这两组数据的平均数、中位数；





(2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适?请说明理由.






【当堂达标】
1.下列说法正确的是（ ）
A.数据的离散程度越大，表示数据分布的范围越小；
B.数据分布的越集中，变动范围越小，也越稳定；
C.平均数的代表性越小，表述数据的分布范围越小；
D.表示数据的离散程度的量有平均数、中位数.
2.甲、乙两学生在一学期里多次检测中，其数学成绩的平均分相等，但他
们成绩的方差不等，那么正确评价他们的数学学习情况的是（ ）
A.学习水平一样
B.成绩虽然一样，但方差大的学生学习潜力大
C.虽然平均成绩一样，但方差小的学习成绩稳定
D.方差较小的学习成绩不稳定，忽高忽低
3.某班打靶成绩最优秀的两位同学在军训表演时用一支步枪各打了5发子弹，命中环数如下：甲：8,7,9，9,7 乙：5,10,6,9,10， 打靶环数离散程度较大的是（ ）
A.甲 B.乙 C.甲与乙一样 D.无法比较
4.一组数据3，5，a，4，3的平均数是4，这组数据的方差为 _________.
5.射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：

第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
平均成绩
中位数
甲
10
8
9
8
10
9
9
①
乙
10
7
10
10
9
8
②
9.5
（1）完成表中填空①　 　；②　 　；
（2）请计算甲六次测试成绩的方差；


（3）若乙六次测试成绩的方差为，你认为推荐谁参加比赛更合适，请说明理由.

《数据的分析》复习与巩固
【学习目标】
理解统计的基本思想是用样本的特征去估计总体的特征，会用平均数、中位数、众数、极差、方差进行数据处理.
【课前梳理】
1. 若n个数的权分别是 则：
叫做这n个数的加权平均数.
2.在求n个数的算术平均数时，如果x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（这里f1+ f2+…+ fk=n）那么这n个数的算术平均数 .
3.调查包括_________调查和__________调查.总体是指考察对象的___________， 个体是总体中的______________________， 样本是从________中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的____________.
4.统计图包括_________统计图、_________统计图和___________统计图.
5.将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列,如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的 .如果数据的个数是偶数，则 就是这组数据的中位数.中位数是一个 .如果已知一组数据的中位数，那么可以知道，小于等于或大于等于这个中位数的数据各占一半.
6.一组数据中出现次数_________________的数据就是这组数据的众数.
7.极差：一组数据中 数据与___ 数据的差.
极差是最简单的一种度量数据 情况的量,但只能反映数据的波动范围,不能衡量每个数据的变化情况,而且受极端值的影响较大.
8.各数据与平均数的差的平方的平均数叫做这批数据的方差.公式为：
s2=
方差 ，波动越小.方差 ，波动越大.
平均数、中位数、众数比较
（1）联系：
平均数、中位数和众数都可以作为一组数据的代表，是描述一组数据 ，平均数是应用较多的一种量.实际问题中求得的平均数、众数、中位数应带上 .
（2）区别：
①平均数计算要用到所有数据，它能充分利用所有的数据信息，任何一个数据的变动都会相应引起平均数的变动，并且它受 的影响较大；
②中位数仅与数据的 有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势；
③众数是当一组数据中某一数据重复出现较多时，人们往往关心的一个量，众数不受 的影响，它是它的一个优势.

【课堂练习】
（一）整体代入思想
1.已知一组数据a1,a2,a3,a4,a5的平均数是8,则另一组数据a1+10,a2−10,a3+10,a4−10,a5+10的平均数为______________.
（二）方程思想
2.某班40名学生的某次数学测验成绩统计如下表：
成绩（分）
50
60
70
80
90
100
人数
2
x
10
y
4
2
（1）若这个班的数学平均成绩是69分，求x和y的值；




（2）设此班40名学生成绩的众数为a，中位数为b，求的值；
（3）根据以上信息，你认为这个班的数学水平怎么样？






（三）数形结合思想
3.为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛,A、B两位同学在学校实习基地现场进行加工直径为20mm的零件的测试,他俩各加工的10个零件的相关数据依次如下图表所示(单位：mm)

平均数
方差
完全符合
要求个数

A
 20
0.026
 2
 B
20

5
根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：
(1)考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为___的成绩好些；
(2)计算出的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些；
(3)考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10个的实际情况，你认为派谁去参赛较合适?说明你的理由.




（四）分类讨论思想
4.如果一组数据−2，0，3，5，x的极差是8，那么x的值是___.


【当堂达标】
1.10名学生的体重分别是41，48，50，53，49，50，53，51，67（单位：kg），这组数据的极差是（ ）
A.27 B.26 C.25 D.24
2.某校五个绿化小组一天植树的棵数如下：10，10，12，x，8.已知这组数据的众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是（ ）
A.x=8 B.x=9 C.x=10 D.x=12
3.某班50名学生身高测量结果如下：
身高
1.51
1.52
1.53
1.54
1.55
1.56
1.57
1.58
1.59
1.60
1.64
人数
1
1
3
4
3
4
4
6
8
10
6
该班学生身高的众数和中位数分别是( )
A.1.60,1.56 B.1.59,1.58 C.1.60,1.58 D.1.60,1.60
4.如果一组数据a1，a2，…an的方差是2，那么一组新数2a1，2a2，…2an的方差是（ ）
A.2 B.4 C.8 D.16
5.甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数统计结果如下表：
班级
参加人数
中位数
方差
平均数
甲
55
149
191
135
乙
55
151
110
135
某同学分析上表后得出如下结论：
①甲、乙两班学生成绩平均水平相同；
②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字≥150个为优秀）；
③甲班成绩的波动比乙班大，上述结论正确的是（ ）
A.①②③ B.①② C.①③ D.②③
6.为了调查某一路汽车流量，记录了30天中每天同一时段通过该路口的汽车辆数，其中4天是284辆，4天是290辆，12天是312辆，10天是314辆，那么这30天该路口同一时段通过的汽车平均数为 .
7.小芳测得连续5天日最低气温并整理后得出下表：
日期
一
二
三
四
五
方差
平均气温
最低气温
1
3
2
5


3
由于不小心被污染了两个数据，这两个数据分别是 、 .
8.某地两校联谊文艺晚会上甲、乙两个文艺节目均由10个演员表演，他们的年龄（岁）分别如下：
甲节目：13 ，13，14，15，15，15，15，16，17，17
乙节目：5，5，6，6，6，6，7，7，50，52
（1）甲节目中演员年龄的中位数是 ；乙节目中演员年龄的众数是 .
（2）两个节目中，演员年龄波动较小的是 .
【巩固训练】
1.某学习小组共有学生5人，在一次数学测验中，有2人得85分，2人得90分，1人得70分，该学习小组的平均分为　 　分.
2.一组数据：2，5，3，1，6，则这组数据的中位数是　 　.
3.一组数据：﹣1，3，2，x，5，它有唯一的众数是3，则这组数据的中位数是　 　.
4.已知甲、乙两组数据的折线图如图，设甲、乙两组数据的方差分别为、，则
（填“＞”、“=”、“＜”）

5.春节期间，重庆某著名旅游景点成为热门景点，大量游客慕名前往，市旅游局统计了春节期间5天的游客数量，绘制了如图所示的折线统计图，则这五天游客数量的中位数为　 　.
6.一组数据1，3，2，7，x，2，3的平均数是3，则该组数据的众数为　 　.
7.甲、乙两名同学的5次射击训练成绩（单位：环）如下表.
甲
7
8
9
8
8
乙
6
10
9
7
8
比较甲、乙这5次射击成绩的方差，结果为： .（选填“＞”“=”或“＜”）
8.样本数据1，2，3，4，5.则这个样本的方差是　 　.
9.如图是我国2013～2017年国内生产总值增长速度统计图，则这5年增长速度的众数是　 　.

10某同学进行社会调查，随机抽查某地区20个家庭的收入情况，并绘制了统计图请根据统计图给出的信息回答：
（1）填写下表
年收入（万元）
0.6
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
9.7
家庭户数








这20个家庭的年平均收入为 万元.
（2）数据中的中位数是 万元，众数是 万元.
11.如果一组数据6、7、x、9、5的平均数是2x，那么这组数据的方差为（　　）
A.4 B.3 C.2 D.1
12.为了帮助市内一名患“白血病”的中学生，东营市某学校数学社团15名同学积极捐款，捐款情况如下表所示，下列说法正确的是（　　）
捐款数额
10
20
30
50
100
人数
2
4
5
3
1
A.众数是100 B.中位数是30 C.极差是20 D.平均数是30
13.在一次数学答题比赛中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10，则关于这组数据的说法不正确的是（　　）
A.众数是5 B.中位数是5 C.平均数是6 D.方差是3.6
14.某中学九年级二班六组的8名同学在一次排球垫球测试中的成绩如下（单位：个）
35 38 42 44 40 47 45 45 则这组数据的中位数、平均数分别是（　　）
A.42、42 B.43、42 C.43、43 D.44、43
15. 某篮球队10名队员的年龄结构如表，已知该队队员年龄的中位数为21.5，则众数与方差分别为（　　） A.22，3 B.22，4 C.21，3 D.21，4
年龄
19
20
21
22
24
26
人数
1
1
x
y
2
1
16.某公司招聘职员，对甲、乙两位候选人进行了面试和笔试，面试包括形体和口才，笔试中包括专业水平和创新能力考察，他们的成绩（百分制）如下表
候选人
面试
笔试
形体
口才
专业水平
创新能力
甲
86
90
96
92
乙
92
88
95
93
（1）若公司根据经营性质和岗位要求认为：形体、口才、专业水平、创新能力按照5：5：4：6的比确定，请计算甲、乙两人各自的平均成绩，看看谁将被录取？
（2）若公司根据经营性质和岗位要求认为：面试成绩中形体占5%，口才占30%，笔试成绩中专业水平点35%，创新能力点30%，那么你认为该公司会录取谁？
（3）(1)(2)的结果不一样说明了什么？







17.在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶，如图所示，是其中的甲、乙台阶的示意图，请你用学过的统计知识回答下列问题：
（1）两段台阶路有哪些相同点和不同点？
（2）哪段台阶路走起来更舒服？为什么？
15
11
18
17
10
19
乙路段
（3）为方便游客行走，需要重新整修上山的小路，对于这两段台阶，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议.
15
16
16
14
14
15
甲路段















18. 下表是随机抽取的某公司部分员工的月收入资料.
月收入/元
45000
18000
10000
5500
5000
3400
3000
2000
人数
1
1
1
3
6
1
11
2
（1）请计算以上样本的平均数和中位数；
（2）甲乙两人分别用样本平均数和中位数来估计推断公司全体员工月收入水平，请你写出甲乙两人的推断结论；
（3）指出谁的推断比较科学合理，能真实地反映公司全体员工月收入水平，并说出另一个人的推断依据不能真实反映公司全体员工月收入水平的原因.








19. 为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校1200名学生进行经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛，为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”，根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示.

大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一周诗词诵背数量”，绘制成统计表
一周诗词诵背数量
3首
4首
5首
6首
7首
8首
人数
10
10
15
40
25
20
请根据调查的信息分析：
（1）活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数为　 　；
（2）估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的人数；
（3）选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校经典诗词诵背系列活动的效果.






20. 绵阳某公司销售部统计了每个销售员在某月的销售额，绘制了如下折线统计图和扇形统计图：

设销售员的月销售额为x（单位：万元）.销售部规定：当x＜16时为“不称职”，当16≤x＜20时为“基本称职”，当20≤x＜25时为“称职”，当x≥25时为“优秀”.根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全折线统计图和扇形统计图；
（2）求所有“称职”和“优秀”的销售员月销售额的中位数和众数；
（3）为了调动销售员的积极性，销售部决定制定一个月销售额奖励标准，凡月销售额达到或超过这个标准的销售员将获得奖励.如果要使得所有“称职”和“优秀”的销售员的一半人员能获奖，月销售额奖励标准应定为多少万元（结果取整数）？并简述其理由.














第四章 图形的平移与旋转
4.1 图形的平移（1）
【学习目标】
1.通过观察和动手操作，探索归纳平移的特征；
2.能利用平移特征解决较简单的实际问题.
【课前梳理】阅读课本第78--80页内容,完成下列问题.
1.平移的定义:在 内将一个图形沿 移动一定的距离，图形的这种变化称为 .由于一个图形和它经过平移所得到的图形是全等形，因此平移不改变图形的 和 .
图（1）
2.（1）观察右图(1)，△ＡＢＣ沿着PQ的方向平移到△A′B′C′的位置，除了对应线段平行并且相等以外，你还发现了什么规律?
我们可以看到，△ABC上的每一点都作了相同的平移：
A→A′， B→B′， C→C′．
不难发现：AA′∥ ∥ ；AA′＝ ＝ ．
图（2）
（2）如右图(2)所示，在平移过程中，对应线段及对应点所连的线段也可能在一条直线上．
3.性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点连线的线段 （或 ）且 ；对应线段 （或 ）且 ，对应角 .
【课堂练习】
知识点一：平移的定义
1.下列各组图形中，可以经过平移变换由一个图形得到另一个图形的是（　　）
A
B
C
D




知识点二：平移的性质
2.将长度为3cm的线段向上平移20cm，所得线段的长度是（ ）
A．3cm B．23cm C．20cm D．17cm
6题图
3.如图,面积为12cm2的△ABC沿着BC方向平移到△DEF的位置,平移距离是边BC长的两倍,则图中四边形ABED的面积为（  ）
A. 24cm2
B. 36cm2
C. 48cm2
D. 无法确定

【当堂达标】
1．下列图形可由平移得到的是（　　）
A
B
C
D





2．如图图形中，把△ABC平移后能得到△DEF的是（　　）
A
B
C
D






A
B
C
D
3.下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（　　）





4．平移后的图形与原来的图形的对应点连线（　　）
5题图
A．相交 B．平行
C．平行或在同一条直线上且相等 D．相等
5.如图，△ABC和△DEF中，一个三角形经过平移可得到另一个三角形，则下列说法中不正确的是( ).
6题图
A. AB∥FD，AB＝FD B. ∠ACB＝∠FED
C. BD＝CE D. 平移距离为线段CD的长度
6．如图，△ABC沿着由点B到点E的方向平移，得到△DEF，若BC=4，EC=1，那么平移的距离为　 　.
【拓展延伸】
7.如图，两个直角三角形重叠在一起,将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置,AB=10,DH=4,平移距离为6,求阴影部分的面积.
7题图






4.1图形的平移（2）
【学习目标】
能根据平移的两个要素在所给的条件下画出它平移后的图形.
【课前梳理】阅读课本第81-82页内容，完成下列问题.
1.经过平移所得的图形与原来的图形的对应线段＿＿＿＿＿＿，对应角＿＿＿＿＿＿，对应点所连的线段＿＿＿＿＿＿＿.
2. 平移的两大要素是＿＿＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿＿.
3.确定一个图形平移后的位置，除需要原来的位置外，还需要什么条件？


【课堂练习】
知识点：按要求画一个图形的平移图形
1.如图，经过平移，△ABC的顶点A移到了点D，请作出平移后的三角形.
分析：因为：A与D是对应点，而平移的对应点的连线平行且相等,所以平移两要素：平移方向——沿射线AD方向，平移距离——线段AD的长.






2.如图,将字母A按箭头所指的方向平移3厘米，作出平移后的图形.
思考：
（1）要确定平移后的图形，只需确定 的位置，再依次连接即可；
（2）由此可以归纳平移作图的基本步骤是： .













【当堂达标】
1．如图，若△DEF是由△ABC经过平移后得到，已知A，D之间的距离为1，CE=2，则EF=　 　．
2.如图，将△ABC沿着AB方向，向右平移得到△DEF．若AE=8，DB=2．则CF=　 　．
3.如图，将△ABC平移后得到△DEF，若∠A=44°，∠EGC=70°，则∠ACB的度数是　 　．
1题图
2题图





4题图
E
B
A
C
D
F


4.如图,△ABC沿BC边所在的直线向左平移得到△DEF,
下列结论错误的是 ( )
A. AC=DF B. EB=FC C. DE∥AB D.∠D=∠DEF
5.作图：将下图中的 △ABC 沿MN方向平移到△A′B′C′的位置，其平移的距离为线段MN的长度．
N
M
B
A

C








6．如图，△ABC的面积为12，将△ABC沿BC方向移到△A′B′C′的位置，使B′与C重合，连接AC′交A′C于D，则△C′DC的面积为（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
【拓展延伸】
7.如图,将四边形ABCD沿AE进行平移,得到四边形EFGH,则图中与CG平行的线段有( )
A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条
7题图

6题图







4.1图形的平移（3）
【学习目标】
1.知道平面直角坐标系中点的左右或上下平移与点的坐标的变化规律；
2.能根据要求在平面直角坐标系中画出一简单图形平移后的图形，并写出对应点的坐标.
【课前梳理】阅读课本第83-84页内容，完成下列问题.
在平面直角坐标系中点的左右或上下平移与点的坐标变化规律为：
1.沿x轴正方向平移，则 坐标加上平移单位的数量，沿x轴负方向平移，则 坐标减去平移单位的数量；
2.沿y轴正方向平移，则 坐标加上平移的单位数量，沿y轴负方向平移，则 坐标减去平移单位的数量.
即：“上加下减，左减右加”
【课堂练习】
知识点：坐标平面中图形的平移
1题图
1.如图，在10×6的网格中，将三角形ABC平移到三角形DEF的位置，下面的平移步骤正确的是（ ）
A.先向左平移5个格，再向下平移2个格
B.先向右平移5个格，再向下平移2个格
C.先向左平移5个格，再向上平移2个格
D.先向右平移5个格，再向上平移2个格
2．在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为　　
A．（2,3） B．（-6,3） C．（-2,7） D．（-2，-1）
3. 如图，在直角坐标系中，△ABC经过平移后得到△DEF.已知点A,B,C,F的坐标分别为(−3,5),(−2,1),(−1,3),(4,0),求点D，E的坐标.
2题图












【当堂达标】
1.如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移三个单位长度得到 △A′B′C′，则A′点的坐标是　 　．
2.如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第一象限，点A的坐标是（4，3），把 △ABC向左平移6个单位长度，得到△A1B1C1，则点B1的坐标是　 　．
3.如图，四边形ABCD平移到四边形A′B′C′D′ 的位置，这时可把四边形A′B′C′D′ 看作先将四边形ABCD向右平移 格，再向下平移 格.
3题图
2题图
1题图




1题图





4.如图,在网格图中(小正方形的边长为1),△ABC的三个顶点都在格点上,直接写出点C的坐标,并把△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1,再把△A1B1C1沿x轴对称得到△A2B2C2,请分别作出△A1B1C1与△A2B2C2,并写出点C1和点C2的坐标.




















4.1图形的平移（4）
【学习目标】
在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形.
【课前梳理】阅读课本第87-89页内容，完成下列问题.
1．如图（1）中的鱼是将坐标为（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，－1），（3，0），（4，－2），（0，0）的点用线段依次连接而成的“鱼”.
图(1)
图(2)
图(3)









先将这条“鱼”向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到新“鱼”
（1）在图（2）和图（3）分别画出平移后的新“鱼”；
（2）能否将新“鱼”看成是经过一次平移得到的？如果能，请指出平移的方向和平移的距离.
（3）你发现对应点的坐标之间有什么关系？即：横坐标 ；纵坐标 .
2.一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经 过 得到的.
【课堂练习】
知识点：坐标平面内的平移
1.如图，把图①中的△ABC经过一定的变换得到图②中的△A′B′C′，如果图①中△ABC上点P的坐标为(a,b)，那么这个点在图②中的对应点P′的坐标为（  ）
A.(a+2,b+3) B.(a−3,b−2) C.(a+3,b+2) D.(a−2,b−3)
1题图









1题图
【当堂达标】
1.如图，将四边形ABCD先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，那么点A的对应点A′的坐标是　 　．

2．已知点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（2，1）．将线段AB沿某一方向平移后，点A的对应点的坐标为（﹣2，1）．则点B的对应点的坐标为　 　．
3.如图，A，B的坐标为（1，0），（0，2），若将线段AB平移至A1B1，则a﹣b的值为　 　．
4.将△ABC沿BC方向平移3个单位得△DEF．若△ABC的周长等于8，则四边形ABFD的周长为（　　）
A．14 B．12 C．10 D．8
4题图
3题图
B1（a，4）
A1（3，b）
A（1，0）
B（0,2）









1题图


5.如图,点A、B、C的坐标如图所示，将△ABC平移后得到△DEF，已知A平移到点D(1，0）.B
C

（1） 写出E，F两点的坐标；
（2） 画出△DEF













4.2图形的旋转（1）
【学习目标】
1.通过观察具体实例来认识旋转，掌握图形旋转的相关概念和特征.
2.掌握图形旋转的性质，并能根据这些性质发展初步的问题解决的能力.
【课前梳理】阅读课本第91--93页内容,完成下列问题
1.定义：在 内，将一个图形绕 按某个方向转动一个角度，图形的这种变化称为 ，这个定点称为 ，转动的角称为 .
2.旋转的三要素： 、 、 .
3.旋转的基本性质：
（1）旋转不改变图形的 和 ．
（2）线段：对应点到旋转中心的距离 ，对应线段 .
（3）角：任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于 .
（4）图形：旋转前后的图形 .
【课堂练习】
知识点一：旋转定义
1.△ABC是等边三角形，D是BC上一点，△ABD经旋转后到达△ACE的位置.
(1)旋转中心是哪一点?
(2)旋转了多少度?
1题图
(3)指出线段AE的对应线段.
(4)指出∠B和∠BAD的对应角
(5)若M是AB的中点，那么经过上述旋转后，
点M转到了什么位置?请在图中画出来.






知识点二：旋转性质
2题图
2.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,4),将线段OA绕点O顺时针旋转90∘得到线段OA′,则点A′的坐标是（  ）
A. (1,4)
B. (4,1)
C. (4,−1)
D. (2,3)



【当堂达标】
1．将小鱼图案绕着头部某点顺时针旋转90°后可以得到的图案是（　 　）
A
B
C
D






2.将图绕中心按顺时针方向旋转60°后可得到的图形是（　　 ）
A
B
C
D






3.如图，将△ABC绕点A旋转后得到△ADE，则旋转方式是( ).
A.顺时针旋转90° B.逆时针旋转90° C.顺时针旋转45° D.逆时针旋转45°
4.如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，∠BAD＝15°，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，那么旋转了( ).
3题图
4题图
A.75° B.60° C.45° D.15°







5.如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，点E在AB上，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么旋转中心是点_____；旋转的度数是_____．
6.如图，△ABC为等边三角形，D为△ABC内一点，△ABD经过旋转后到达△ACP的位置，则旋转中心是____；旋转角度是____；△ADP是______三角形．
5题图
6题图








4.2图形的旋转（2）
【学习目标】
能够按照要求做出简单的图形旋转后的图形.
1题图
【课前梳理】自主学习课本95-96页内容，回答下列问题：
1.如图(1)，D正方形AECF中CF边上任意一点，以点A为中心，把△ADF按顺时针旋转90°，得到△AEB，回答下列问题：
（1）图中的旋转角是 ；
（2）新增的相等的线段有 ；
（3）新增的相等的角有 .
2.通过观察上面图形的旋转，你能发现图形的旋转哪些基本性质吗？
归纳：①旋转前、后的图形__ ____；
②对应点到__________________________；
③任意一对对应点与_________所连线所成的夹角都等于_______.
【课堂练习】
知识点一：已知旋转角作图
1. 如图,已知线段AB绕O点顺时针旋转60°，求作旋转后的图形


B
A
O






知识点一：未知旋转角作图

2.如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B、C对应点的位置，指出这一旋转的旋转角，最后画出旋转后的三角形.


C
B
A
D







【当堂达标】
1.如图所示，在边长为1的网格中作出 △ABC 绕点A按逆时针方向旋转180º后的图形
△A1B1C1
2.如图已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出图中点A和点C的坐标；

y
x
8
7
6
5
4
3
2
1
0
8
7
6
5
4
3
2
1
B
C
A
2题图
（2）画出⊿ABC绕点C按顺时针方向旋转；
1题图










3.在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，图①、图②、图③均为顶点都在格点上的三角形（每个小方格的顶点叫格点）；
（1）在图1中，图①经过一次　 　变换（填“平移”或“旋转”或“轴对称”）可以得到图②；
（2）在图1中，图③是可以由图②经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点　 　（填“A”或“B”或“C”）；
3题图
（3）在图2中画出图①绕点A顺时针旋转90°后的图④．




4.2图形的旋转（3）
【学习目标】
1.能够按照要求做出简单的图形旋转后的图形.
2.继续利用旋转的性质解决相关问题.
1题图
【课前梳理】阅读课本第97--98页内容,完成下列问题.
1.如图，已知A（﹣1，﹣1），B（﹣3，3），C（﹣4，1），画出△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°后的△A1B1C1．






【课堂练习】
知识点：图形的旋转应用
1．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B=______.
2题图
1题图
2.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度,得到△ADE.若∠CAE=65∘,∠E=70∘,且AD⊥BC,∠BAC的度数为( )
A. 60∘ B. 75∘
C. 85∘ D. 90∘






3题图
3.如图,将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90∘,得到△A′B′C,连接AA′,若∠1=20∘,则∠B的度数是（  ）
A. 70∘
B. 65∘
C. 60∘
D. 55∘





【当堂达标】
1题图
1．如图所示的图案绕旋转中心旋转一定角度后能够与自身重合，
那么这个旋转角可能是（　 　）
A．60° B．72° C．90° D．120°
2.下列图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转45°得到的
是（ ）
A
B
C
D






3.如图，ΔABC和ΔADE都是等腰直角三角形，∠C和∠ADE都是直角，点C在AE上，
ΔABC绕着A点经过逆时针旋转后能够与ΔADE重合得到左图，再将左图作为“基本图形”绕着A点经过逆时针连续旋转得到右图.两次旋转的角度分别为（ ）

3题图






A．45°，90° B．90°，45° C．60°，30° D．30°，60
4．如图，△ABC中，AB=4，AC=3，BC=2，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，则BE的长为______.
5．如图,在△ABC中,∠CAB=65∘,将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置,使CC′∥AB,则旋转角的度数为( )
A. 35∘ B. 40∘
C. 50∘ D. 65∘
4题图
5题图











4.3图形的中心对称（1）
【学习目标】
理解中心对称的概念及其性质，并能画出已知图形关于已知点成中心对称的图形.
【课前梳理】
1.定义：在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转 后，能与 重合，那么就说这两个图形关于这个点成 ，这个点叫做 .两个图形上，经过旋转180o后重合的两个点叫做 .
2.性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过 ，且被对称中心 .
【课堂练习】
知识点一：定义
1.在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是 .
2.在线段、等腰梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等边三角形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
3.选出如图图形中的中心对称图形( )

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④
知识点二：中心对称性质

4.如图，已知四边形ABCD和点O，画四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于点O成中心对称（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．






【当堂达标】
1.观察下列图形，是中心对称图形的是（　　）
A
B
C
D





1. 下列生态环保标志中，是中心对称图形的是（　　）
A
B
C
D






3.如图所示，图中的四组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有（ ）



A.1组 B.2 组 C.3组 D.4组
A
B
C
D
4.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）





5．下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（　　）
A
B
C
D




6.已知如图，两个四边形关于某点成中心对称，找出它们的对称中心.
7题图
6题图







【拓展延伸】
7.如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,若将矩形折叠，使C点和A点重合,求折痕EF的长？






4.3图形的中心对称（2）
【学习目标】
1.理解中心对称图形的概念及其性质；
2.会判断一些常见图形是否是中心对称图形，能辨认中心对称图形和轴对称图形；
3.能应用概念和性质把图形分成面积相等的两部分.
【课前梳理】阅读教材第103---104页的内容，思考并完成下列问题：
1.在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转 后，能与 重合，那么就说这两个图形关于这个点成 .
2.在平面内，把 图形绕某个点旋转 ，如果旋转前后的图形 ，那么这个图形叫做 ，这个点就是它的 .
【课堂练习】
知识点：中心对称图形
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
1.下列图形是中心对称图形的有 .

2.平行四边形是中心对称图形吗？如果是，请找出它的对称中心，并设法验证你的结论.
菱形、矩形、正方形呢？





3.在26个英文大写正体字母中，哪些字母是中心对称图形？

A B C D E F G H I J K L M
N O P Q R S T U V W X Y Z



【当堂达标】
1.如图的汽车标志中， 中心对称图形
③
④
②
①


2.下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）

A．4个 B．3个 　 　　C.2个 D．1个
3.下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）

　 A．1个 B． 2个 C． 3个 D．4个
4.下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A
B
C
D
　













5题图

5.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为 ( )
A.3 B.6 C.12 D.24


【拓展延伸】
图中画出了六叶风车中的三个风叶,请以点O为对称中心,画出了六叶风车的整体图形.









4.4 图形变化的简单应用
【学习目标】
1.掌握平面图形的全等变换(轴对称，平移，旋转及其组合)的特征.
2.经历探索图形之间的变换关系的过程，提高图形分析能力.
3.能应用平面图形的全等变换解决问题．
【课前梳理】
1.识记复述平移、旋转、成中心对称概念及基本性质.
2.平移的基本性质：（1）对应点所连线段平行且相等或对应点所连线段在同一直线上且相等；（2）对应线段 或对应线段在 ；（3）对应角相等
3.旋转的基本性质：（1）对应点到旋转中心的距离 ；（2）任意一组对应点到旋转中心的连线所成的角都等于 ；（3）对应线段相等，对应角相等.
4.关于某点成中心对称的基本性质：(1) 成中心对称的两个图形中，对应点的连线都经过对称中心，且被称中心 ；（2）成中心对称的两个图形是 图形.
【课堂练习】
知识点：平移、旋转和中心对称
1.右图是由△和△组成的中心对称图形．
(1)请找出它的对称中心．
(2)过点画一条直线，并画出△关于直线成轴对称的△．
(3) 将△进行平移变换可以得到△吗？旋转变换呢？


2.你能对甲图案进行适当的运动变化，使它与乙图案重合吗？写出你的操作过程．
2题图








【当堂达标】
1.在下列四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（　 　）
　
A
B
C
D




A
B
C
D
2.下列每个图中都有一对全等三角形，其中的一个三角形只经过一次旋转运动即可和另一个三角形重合的是（ ）
　










3.经过平移或旋转不可能将甲图案变成乙图案的是（　　 ）
　

A
B
C
D











4．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（﹣4，1）、（﹣1，3），在经过两次变化（平移、轴对称、旋转）得到对应点A''、B''的坐标分别为（1，0）、（3，﹣3），则由线段AB得到线段A'B'的过程是：　 　，由线段A'B'得到线段A''B''的过程是：　 　．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，△CDE可以看作是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△CDE的过程：　 　．
4题图
5题图

　










《图形的平移与旋转》复习与巩固
【学习目标】
1.了解平移、旋转、中心对称，探索它们的基本性质；
2.能够按要求作出简单平面图形经过平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两次图形变换后的图形；
3.利用平移、旋转、中心对称、轴对称及其组合进行图案设计，认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用.
【课前梳理】
1. 平移的概念：在平面内，将一个图形 移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的 和 ．
2．平移的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段 （或 ）且 ；对应线段 （或 ）且 ；，对应角 ．
3. 点的平移引起坐标的变化规律：沿x轴正方向平移，则 坐标加上平移单位的数量，沿x轴负方向平移，则 坐标减去平移单位的数量；沿y轴正方向平移，则 坐标加上平移的单位数量，沿y轴负方向平移，则 坐标减去平移单位的数量.即：“上加下减，左减右加”
4．旋转概念：在 内，将一个图形绕一个 按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.这个定点称为 ，转动的角称为 .
5．旋转变换的性质：一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离 ，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于 ；对应线段 ，对应角 .
6．旋转三要素： 、 、 .
7．中心对称概念：把一个图形绕着某一点旋转 ，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成 ，这个点叫做它们的 ．
8.中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过 ，且被对称中心 ．
9.中心对称图形：把一个图形绕着某点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做 ，这个点叫做它的 .
10.平移、旋转、中心对称三种变换的关系：图形经过平移、旋转或中心对称的变换后，虽然对应位置改变了，但 和 没有改变，即两个图形是全等的．
例1图
训练1图
例1图







【课堂练习】
【典型例题1】如图，△ABC的面积为2，将△ABC沿AC方向平移至△DFE，且AC=CD，则四边形AEFB的面积为（　 　）．
A．6　　 B．8　 　 C．10　 　D．12
【跟踪训练1】如图，面积为12cm2的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移距离是边BC长的两倍，则图中四边形ACED的面积为（ ）．
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．无法确定
【典型例题2】如图所示，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若AB＝1，∠C＝30°，则CD的长为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．2
例3图
训练2图
训练3图









【跟踪训练2】如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，则∠BAD的度数是（　　）
A.65° B.70° C．80° D．90°
【跟踪训练3】如图，△ABC中，∠B＝70°，则∠BAC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC．当点B的对应点D恰好落在AC上时，∠CAE的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【典型例题3】如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、OD到点F、E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连接EF．将△EOF绕点O逆时针旋转角得到△E1OF1(如图2)．
(1)探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明；
(2)当＝30°时，求证：△AOE1为直角三角形．










训练4
【跟踪训练4】在等边三角形ABC中有一点P，已知PC＝2, PA＝4，PB＝，则∠APB＝ .
【巩固训练】
1．下列运动属于平移的是（　　）
A．转动的电风扇的叶片
B．打气筒打气时活塞的运动
C．行驶的自行车的后轮
D．在游乐场荡秋千的小朋友
2．把下列数字看成图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为　　
A．（2，3） B．（-6，3） C．（-2，7） D．（-2，-1）
4．如图图形中，把△ABC平移后能得到△DEF的是（　　）
A
B
D
C






5．如图，三角形ABC沿着由点B到点E的方向平移到三角形DEF的位置，已知BC＝8，EC＝5，那么平移的距离为（　　）
A．13 B．8 C．5 D．3
6．如图，三角形ABC经过平移后得到三角形DEF，下列说法：①AB∥DE；②AD＝BE；③∠ACB＝∠DFE；④BC＝DE．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10题图
5题图
6题图
7题图
8题图
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是AC的中点，将CD绕着点C逆时针旋转一周，在旋转的过程中，点D的对应点为点E，连接AE、BE，则△AEB面积的最小值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4




二、填空题
8.如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF．如果四边形ABFD的周长是20cm，则△ABC周长
是　 　cm．
9．已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于原点的对称点在第一象限，则m的取值范围是　 　．
10.如图，O是边长为6的等边△ABC三边中垂线的交点，将△ABC绕点O逆时针方向旋转180°，得到△A1B1C1，则图中阴影部分的面积为　 　．
11．如图，在直角坐标系中，将△AOB绕原点旋转到△OCD，其中A（-3，-1），B（4，3），点D在轴正半轴上，则点C的坐标为 　　．
12．如图，把△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C'，此时A′B′⊥AC于D，已知∠A＝50°，则∠B′CB的度数是　 　°．

12题图
11题图









三、解答题
13．已知，△ABC三个顶点的坐标分别为：A（﹣3，﹣2）、B（﹣5，0）、C（﹣2，2）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC；
（2）将△ABC向右平移5个单位长度，再向上移2个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；
（3）计算△A1B1C1的面积．






14题图
14．如图,矩形ABCD与矩形A’B’C’D’关于点A 成中心对称,试判定四边形BDB’D’的形状,并说明你的理由




15．已知△ABC是等边三角形，D是∠ABC外－点，且∠BDC＝120°，求证：BD＋CD＝AD.
15题图










16．（1）如图①，已知正方形ABCD，点E，F分别在边BC,AB上,且BE=BF.此时AF与CE有怎样的数量关系？
（2）如图②，△BEF绕点B顺时针旋转∠α.当0°＜α＜90°时，连接AF，CE,此时AF与CE仍有（1）中的数量关系吗？如果成立，请说明理由.否则，请举出反例；
16题图
（3）当α=90°时（图③），连接AF,CE.猜想AB与BE有什么数量关系时，直线AF是EC的垂直平行线？试说明理由.






















第五章 平行四边形
5.1平行四边形及其性质（1）
【学习目标】
1.理解掌握并会应用平行四边形的定义及性质定理
【课前梳理】
1. 平行线的性质：两条 被第三条直线所截， 相等， 相等， 互补.
2. 全等三角形的判定方法： , , , .
【课堂练习】
知识点一：平行四边形的定义：
1.定义：________________________________________叫做平行四边形.
2.平行四边形定义的应用
∵ ； ，∴四边形ABCD是平行四边形.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴ ； .
3.平行四边形的记法：如，平行四边形ABCD记作_________,读作_______________.
知识点二：平行四边形的性质
图1
4.画一个□ABCD，连接对角线AC,如果沿这条对角线将平行四边形剪成两个三角形，你发现得到的△ABC和△CDA能够重合吗？如果能够重合，说出哪些边是对应边？哪些角是对应角？由此，你猜测平行四边形的对边和对角分别具有怎样的数量关系？
5.已知：如图1，□ABCD，求证：AB＝CD，CB＝AD．∠B=∠D,
∠BAD=∠BCD
分析：要证AB＝CD，CB＝AD．∠B=∠D, ∠BAD=∠BCD我们可以考虑只要证明四条线段所在的两个三角形__________ 即可.因此我们可以作辅助线___________,它将平行四边形分成_________和__________，我们只要证明这两个三角形全等即可得到结论．
证明：






【当堂达标】
1.如图，在□ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交与点O，那么图中的平行四边形一共有（ ）
A.4个 B.5个 C.8个 D.9个
2.如图，在平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为( )
A.2和3 B.3和2 C.4和1 D.1和4
3.(2分)□ABCD中,对角线AC与BD交于点O,∠DAC=42°,∠CBD=23°,则COD= .


1题图 2题图 3题图
4.如图，在□ABCD中，E. F为对角线AC上的两点，且AE=CF，连接DE、BF，
求证：DE∥BF.
4题图






【拓展延伸】
1.在□ABCD中，∠A=，则∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．
2.若□ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，则AB= cm，BC= cm，CD= cm.
图2
3.如图2，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BE=DF.求证：AE=CF.







5.1平行四边形及其性质（2）
【学习目标】
1.理解并掌握平行四边形对角线互相平分的性质；
2.能运用对角线互相平分这一性质解决平行四边形的有关计算和证明题.
【课前梳理】
D
A
C
B
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD AC∥BD, 理由： ；
AB=CD AC=BD, 理由： ；
∠A= ∠C= ，理由： ；
∠A﹢∠C= ， 理由： .
【课堂练习】
图1
知识点一：探究平行四边形的对角线
1.如图1，□EFGH中，连接对角线EG、HF，设它们分别交于点O．分别度量OH、OF、OG、OE的长度，你会发现OH OF；OG OE.
推理证明：






2.由此我们可以得到：平行四边形的对角线 .（定理）
几何语言表达为：∵四边形EFGH为平行四边形，
∴ ； .
知识点二：平行四边形的性质定理的应用
A
E
B
D
C
F
O
图2
3. 已知：如图2，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AD、BC分别相交于点E、F．
求证：OE＝OF．
证明：









【当堂达标】
1.如图,□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,则下列说法一定正确的是( )
A. AO=OD B. AO⊥OD C. AO=OC D. AO⊥AB
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
O
2.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O.已知AB=5cm，△AOB的周长比△BOC的周长少3cm，则AD的长为 .



1题图 2题图 4题图
3.一个平行四边形的周长是20cm,一条对角线把它分成的两个三角形的周长都是18cm,则这条对角线的长为______cm.
4.如图，在□ABCD中，AC，BD相交于点O，AB=10cm，AD=8cm，AC⊥BC，求OB的长.




【拓展延伸】
1.已知O是□ABCD两条对角线的交点,AC=24mm,BC=38mm,OD=28mm,则△OBC的周长为 .
2.已知平行四边形的一边长是14，下列各组数中能分别作为它的两条对角线的是（ ）
A. 10与 16 B.12与16 C.20与22 D.10与40
图3
3.如图3，□ABCD中，EF过对角线的交点O，AB=4，AD=3，OF=1.3，
求四边形BCEF的周长.




5.1平行四边形的性质（3）
【学习目标】
1.通过实例认识“平行线之间的距离”;
2.探索并证明“夹在平行线之间的平行线段相等”.
【课前梳理】
1.平行四边形的定义是什么？
平行四边形的定义： 的四边形，叫做平行四边形
2.平行四边形的性质
几何语言：
D
A
C
B
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ;（对边位置关系）
;（对边数量关系）
;（对角数量关系）
;（邻角数量关系）
;（对角线数量关系）
【课堂练习】
知识点一：探究平行线之间的距离
两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的距叫距离做两平行线之间的距离.
图1
知识点二：证明平行线之间的距离相等
1. 已知，直线a//b，过直线a上任两点A，B分别向
直线b作垂线，交直线b于点C，点D，如图1，
（1）线段AC，BD所在直线有什么样的位置关系？试说明.
（2）比较线段AC，BD的长.试说明.













【当堂达标】
1.如图，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积将（　　）
A.变大　 B.变小 C.不变 D.变大变小要看点P向左还是向右移动
2.如图，E是平行四边形内任一点，若S□ABCD=8，则S阴影=　_______．
3.如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=5，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为_______．



1题图 2题图 3题图 4题图
4.如图，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°．
（1）求∠EDC；
（2）若BC=10，S△BCD=30，求点E到BC的距离．



【拓展延伸】
1.已知一点到两条平行线的距离分别是1cm，4cm，则这两条平行线之间距离是______cm．
图2
2．如图2，已知□ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD=DF．过点D作DC的垂线，分别交AE、AB于点M、N．
（1）若M为AG中点，且DM=2，求DE的长；
（2）求证：AB=CF+DM．





5.2平行四边形的判定（1）

【学习目标】
1.理解并掌握平行四边形的定义判定法、判定定理1判定法及其应用
【课前梳理】
1．什么是平行四边形？
2．平行四边形具有哪些性质？
(1）边
(2) 角
(3) 对角线

平行四边形定义及性质用几何语言表示：
如图1： ∵AD // BC ，
DC// AB
图1
∴四边形ABCD是平行四边形；
∵ □ABCD
∴　　　　//　　　 ，　　　 //　　　 ；
∵ □ABCD
∴　　　　=　　　 ，　　　=　　　 ；
∵ □ABCD
∴　∠　　　=∠　　　 ，∠　　　=∠　　　 ；
∵ □ABCD
∴　∠　　+∠ 　 =180°，∠ 　+∠ 　 =180° ；
∵ □ABCD
∴ = , =
【课堂练习】探究如何判定一个四边形是平行四边形.
1. 定义判定法：
几何语言表示：∵　　　//　　　 ，　　　 //　　　 ，
∴四边形ABCD是平行四边形
2. 判定定理1判定法：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
几何语言表示：∵　　　　=　　　 ，　　　=　　　 ，
∴四边形ABCD是平行四边形








【当堂达标】
1题图
1.如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，E，F为对角线AC上的点，且AE=CF，求证：BE=DF．







2.已知：如图，□ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．
2题图
求证：四边形BEFD是平行四边形．









【拓展延伸】
图2
如图2，分别以△ABC的三边为边长，在BC的同侧作等边△ABD，等边△BCE，等边△ACF，连接DE，EF.求证：四边形ADEF是平行四边形.










5.2平行四边形的判定（2）
1.理解并掌握平行四边形的判定定理2判定法，并会进行相关证明.
【学习目标】

【课前梳理】
判定四边形ABCD是平行四边形的方法有哪些？
1.定义判定法： .
几何语言表示为：∵ ， .
∴四边形ABCD是平行四边形；
2.判定定理1判定法： .
几何语言表示为：∵ = ， = .
∴四边形ABCD是平行四边形
图1
【课堂练习】
1.探究：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
已知：如图1，在四边形ABCD中，AB//CD AB=CD
求证：四边形ABCD是平行四边形
证明：




2.判定定理2判定法：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
几何语言表示为：∵　　　//　　　 ，　　　 =　　　 ，
∴四边形ABCD是平行四边形
【当堂达标】
1.下列几个条件中，不能判定一个四边形是平行四边形的是（ ）
A.一组对边相等 B.一组对边平行且相等
C.两组对边分别平行 D.两组对边分别相等
2.四边形ABCD中,AB∥CD,若再添加一个条件 ，就可以判定四边形ABCD是平行四边.
3题图
3.如图,四边形ABCD中,AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形.



4题图
4.如图，平行四边形ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使BC=2CE
连接DE,CF.求证：四边形CEDF是平行四边形.




【拓展延伸】
5.如图,已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF.
5题图
求证：四边形BECF是平行四边形.









5.2平行四边形的判定（3）
【学习目标】
1.理解并掌握用对角线来判定平行四边形的方法．
【课前梳理】
1.判定四边形是平行四边形的方法有哪些？
（1）两组对边分别 的四边形是平行四边形.
（2）两组对边分别 的四边形是平行四边形.
图1
（3）一组对边 的四边形是平行四边形.
2.平行四边形判定方法用几何语言表示：
如图1：（1） ∵ // ， // .
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2） ∵ = ， = .
∴四边形ABCD是平行四边形；
（3） ∵ // ， = .
∴四边形ABCD是平行四边形.
【课堂练习】对角线互相平分的四边形是平行四边形.
1.如图2，四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，并OA=OC，OB=OD
图2
求证：四边形ABCD是平行四边形




2.判定定理3判定法几何语言表示为：
∵ = ， = .
∴四边形ABCD是平行四边形


【当堂达标】
1.如下图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，
（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC= cm，CD= cm时，四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO= cm，DO= cm时，四边形ABCD为平行四边形．
2.如下图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（ ）．
A.若AO=OC，则ABCD是平行四边形;
B.若AC=BD，则ABCD是平行四边形;
C.若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平行四边形;
D.若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平行四边形
1题图 2题图 3题图






3.如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,直线EF经过点O,分别与AB,CD的延长线交于点E,F.求证:四边形AECF是平行四边形.



【拓展延伸】
图3
如图3，在□ABCD中，BD⊥BC，∠BDC=60°，∠DAB和∠DBC的平分线相交于点E，F为AE上一点，EF=EB，G为BD延长线上一点，BG=AB，连接GE．
（1）若□ABCD的面积为9，求AB的长；
（2）求证：AF=GE．

图3





5.3三角形的中位线定理（1）
【学习目标】
1.掌握三角形中位线的概念 、性质定理及其应用.
【课前梳理】
（1）三角形中线的定义：三角形的 和 的连线，叫三角形的中线;
（2）一个三角形有______条中线，试画出图（1）⊿ABC的中线.
【课堂练习】
知识点一：认识三角形中位线
1.（1）三角形中位线定义：连接_______________________的线段，叫做三角形的中位线.
A
B
C
图（1）
D
E
F
图（2）
A
E
D
B
C
图（3）
（2）一个三角形共有 条中位线，试画出图（2）⊿DEF的中位线.





知识点二：三角形中位线定理：如图（3）
2.（1）D，E分别是AB,AC的中点，通过度量你发现DE与 BC有怎样的数量关系？
（2）用量角器量一量∠ADE与∠B的度数，你发现DE与BC有怎样的位置关系?
你能不能用语言叙述你发现的性质：_____________________________
（3）试一试证明你的发现
已知：在△ABC 中，DE是△ABC的中位线
求证：
证明：




（4）由此得到三角形中位线定理： ___________________________________ .
几何语言：∵ , ∴ .
【当堂达标】
1.如图,在△ABC中，M,N分别是AC，BC中点，若MN = 10cm，则AB=_______cm.
2.如图：在△ABC中，DE是中位线.
3题图
A
B
D
N
M
C
（1）若∠ADE = 65°，则∠B= ;
2题图
1题图
（2）DE + BC=18cm,则BC= .





3.如图所示，M是⊿ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=10，BC=15，MN=3.(1)求证：BN=DN;(2)求⊿ABC的周长.




图4
【拓展延伸】
1.已知：如图4，第一个三角形的周长为a，它的三条中位线组成第二个三角形，
其周长为 ，第二个三角形的三条中位线又组成第三个三角形，
其周长为 ，以此类推，第2020个三角形的周长为______

.

图5
2.如图5所示，已知E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF，求证：AB=2OF．





5.3三角形的中位线定理(2)
图1
【学习目标】
1.理解掌握并学会运用三角形中位线的性质定理；
【课前梳理】
（1）连接三角形_____________的线段叫做三角形的中位线.
（2）一个三角形有 条中位线.
（3）如图1，三角形的中位线定理： .
∵DE是△ABC的中位线（或AD=BD，AE=CE）
∴ ， .
（4）已知：如图2，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.
图2
求证：四边形EFGH是平行四边形.





【课堂练习】
图3
如图3，由三角形的中位线定理可知，在△ABC中，若点D，E分别是AB，AC的中点，则DE∥BC.,反过来，若点D是AB的中点，DE∥BC，交AC于点E，点E是AC边的中点吗？怎样证明呢？






归结：经过三角形一边的中点且平行于另一边的直线，必平分三角形的第三边.



【当堂达标】
1.如图，A、B两地被一座小山阻隔，为测量A、B两地之间的距离，在地面上选一点C，连接CA、CB，分别取CA、CB的中点D、E，测得DE的长度为360米，则A、B两地之间的距离是      米.
2.如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，则S△EBD：S△ABC=（　　）
A.1：2 B.1：4 C.1：3 D.2：3
3.）如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G、F分别为OC、OB的中点，BC=4，AO=3，则四边形DEFG的周长为 .




3题图
2题图
1题图


图1
4.如图1,在△ABC中,点D在BC上,且DC=A C,CE⊥AD,垂足为E,点F是AB的中点.
求证:EF∥BC










5.4多边形的内角和与外角和(1)
【学习目标】
1.经历探索多边形的内角和公式的过程，进一步了解数学中转化的思想方法.
2. 掌握多边形内角和定理;会应用公式解决问题.
【课前梳理】
1. 叫多边形的对角线.
2.n边形有 条对角线.
【课堂练习】
1.三角形的三个内角的和等于__________.
2.多边形与三角形的关系
方法一：从同一顶点处引对角线
四边形可以被从同一顶点出发的对角线分成_____个三角形
五边形可以被从同一顶点出发的对角线分成_____个三角形
六边形可以被从同一顶点出发的对角线分成_____个三角形
..........
n边形可以被从同一顶点出发的对角线分成________个三角形
补充：n边形（n＞3）从一个顶点出发可以引________条对角线.
∴n边形的内角和等于(n—2)个三角形的内角和.
方法二：从多边形内任取一点O,然后依次连接多边形的各个顶点
如果多边形是四边形，会得到_____个三角形
如果多边形是五边形，会得到_____个三角形
如果多边形是六边形，会得到_____个三角形
..........
3.如果多边形是n（n＞3）边形，会得到_____个三角形
∴n边形的内角和等于n个三角形的内角和减去以点O为顶点的周角360°
4.归结： 多边形内角和定理：n边形的内角和等于___________________.
例1 过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形. 这个多边形是几边形？它的内角和是多少？





【当堂达标】
1.一个多边形共有27条对角线，则这个多边形的边数为_____.
2.如果一个多边形的边数增加1，那么这个多边形的内角和增加_________度.
3.正七边形的内角和为_______.
4.已知多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为_____.
5.下列角中能成为一个多边形的内角和的是（ ）
A.270° B.560° C.1800° D.1900°
6.下列角度不可能是多边形的内角和的是（ ）
A.1080° B.960° C.1440° D.540°
7.正多边形的内角和为720°，则这个多边形的一个内角是（ ）
A、90° B、60° C、120° D、135°
8.一个多边形每个内角的度数是150°，则这个多边形的边数是_______.
9.一个多边形的各边都相等，周长是60，且它的内角和为900°，则它的边长是________.
10.如图所示的模板,按规定,AB,CD的延长线相交成80°的角,因交点不在板上,不便测量，质检员测得∠BAE=122°，∠DCF=155°如果你是质检员,如何知道模板是否合格?为什么?











5.4多边形的内角和与外角和(2)
【学习目标】
1.经历探索多边形的外角和公式的过程;会应用公式解决问题；
2.把未知转化为已知进行探究，发展说理能力与简单的推理能力．
【课前梳理】
1.n边形的内角和为 .正五边形的一个内角= .
2.多边形的外角（图1）：
定义：多边形内角的一边与另一边的反向延长线组成的角叫做这个多边形的外角.
n边形有 个外角.正八边形的一个外角=　　　　.
【课堂练习】
1.________________________________________叫做这个多边形的外角和.
2.运用多边形的内角和，来研究多边形的外角和.
图1





通过观察我们会发现：
（1）多边形中，每个顶点处各有一个内角和一个对应的外角，即：一组邻补角
∴ 三角形的内外角之和为：180°×3 ；四边形的内外角之和为： ；
五边形的内外角之和为： ；n 边形的内外角之知为： ；
根据多边形的内角和公式： ；
三角形的内角和为：180°×（3-2）；四边形的内角和为： ；
五边形的内角和为： ；n 边形的内角知为： ；
∴ 多边形的外角和为： .
(2) 归结：多边形的外角和定理:多边形的外角和等于 .

【当堂达标】
1.当一个多边形的边数增加时，其外角和（　　）
A.增加　　　B.减少　　C.不变　　　D.不能确定
2.如果一个多边形的内角和与它的外角和相等，那么这个多边形是____边形.
3.如果一个多边形的内角和等于它的外角和2倍，那么这个多边形是____边形.
4.一个多边形的每个外角都是120°，则这个多边形是_________形.
5.一个多边形的内角和与外角和为540°，则它是 形.
6.若一个n边形的内角都相等，且它的一个外角等于它的相邻的内角的，那么，这个多边形的边数为________.
7.一个多边形的外角和是内角和的一半，则它是_____边形.
8.一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该对角线的条数是 条.
9.在下列正多边形组合中，不能铺满地面的是（ ）
A.正八边形和正方形 B. 正五边形和正八边形
C. 正六边形和正三角形 D. 正三角形和正方形
10.将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形,那么这两个多边形的内角和之和不可能是( )
A. 360° B. 540° C. 720° D. 900°
【拓展延伸】
1.n边形内角和与外角和之比是5：2，则n＝ ．
图2
2.已知，如图2，∠A＝∠C＝90°，BE、DF分别平分∠ABC和∠ADC，
求证：BE∥DF





《平行四边形》复习与巩固
【学习目标】
1.能够熟练掌握平行四边形的判定和性质定理，并能够应用数学符号语言表述证明过程.
2.掌握三角形中位线的定义和性质，明确三角形中位线与中线的不同并能运用它进行有关的论证和计算.
3.掌握多边形内角和、外角和定理，进一步了解转化的数学思想.
【课前梳理】
1.定义：________________________________________的四边形是平行四边形.
2.平行四边形的性质（边，角，对角线，对称性）
（1）边的性质：平行四边形的对边_________；平行四边形的对边__________；
（2）角的性质：平行四边形的对角________ ；
（3）对角线的性质：平行四边形的对角线__________________；
（4）平行四边形是__________对称图形 .
3.平行四边形的判定.
（1）两组对边__________________________的四边形是平行四边形（定义）;
（2）两组对边__________________________的四边形是平行四边形 ;
（3） 对角线___________________________的四边形是平行四边形 ;
（4）一组对边__________________________的四边形是平行四边形;
（5）两组对角__________________________的四边形是平行四边形 .
4.两条平行线间的距离的定义.
若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意_______到另一条直线的________相等，这个________称为平行线之间的距离，实际上________________________处处相等.
5.三角形的中位线 .
（1）三角形中位线的定义：连接________________________的线段叫做三角形的中位线 ;
（2）三角形中位线定理：三角形的中位线____________第三边，且等于______________.
6.多边形的内角与外角和 .
（1）多边形：在平面内，由______________________________________________组成的封闭图形叫做多边形 ;
（2）n边形的内角和是________________________;
（3）多边形的外角和等于_____________________.
【课堂练习】
典型例题1
图1
如图1所示，在四边形ABCD中，DC∥AB，以AD，AC为边作□ACED，延长DC交EB于F，求证：EF=FB．










跟踪训练1
图2
如图2，分别以△ABC的三边为边长，在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角形ACF，连接DE，EF.求证：四边形ADEF是平行四边形.













典型例题2
如图3，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．请证明四边形EGFH是平行四边形.
图3











跟踪训练2
如图4，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．

图4

















【巩固训练】
图5
1. 如图5，在口ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交于点M，CE与DF交于点N．
求证：四边形MFNE是平行四边形．










图6
2、如图6，等腰△ABC中，D是BC边上的一点，DE∥AC，DF∥AB,通过观察分析线段DE，DF，AB三者之间有什么关系，试说明你的结论．









图7
3. 如图7，已知BE // DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE，求证：四边形DEBF是平行四边形．







 
图8
4. 如图8，在△ABC中，AB=BC=12cm，∠ABC=80∘，BD是∠ABC的平分线，DE // BC．
（1） 求∠EDB的度数；
（2）求DE的长．
 







图9
5. 公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图9，AB=15m，AD=12m，AC⊥BC，求：
（1）小路BC，CD，OC的长；
（2）计算出绿地的面积；
（3）AB、CD之间的距离．








 
图10
6. 已知：如图10，平行四边形ABCD中，AE、BE、CF、DF分别平分∠BAD、∠ABC、∠BCD、∠CDA，BE、DF的延长线分别交AD、BC于点M、N，连接EF，若AD=7，AB=4，求EF的长．

 

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