泰山区泰山实验中学2023年八年级第二学期八年级数学下册导学案

这是一份初中数学鲁教版 (五四制)八年级下册本册综合导学案，共109页。学案主要包含了学习目标，课前梳理，课堂练习，当堂达标，课后拓展，巩固训练，拓展延伸，典型例题1等内容，欢迎下载使用。



八年级数学下册导学案


目 录
第六章 特殊平行四边形
6.1菱形的性质与判断（1） 1
6.1菱形的性质与判断（2） 3
6.1菱形的性质与判断（3） 5
6.2矩形的性质与判断（1） 7
6.2矩形的性质与判断（2） 9
6.2矩形的性质与判断（3） 11
6.3正方形的性质与判断（1） 13
6.3正方形的性质与判断（2） 15
复习与巩固 17
第七章 二次根式
7.1 二次根式 21
7.2 二次根式的性质（1） 23
7.2 二次根式的性质（2） 25
7.3 二次根式的加法与减法 27
7.4 二次根式的乘法与除法（1） 29
7.4 二次根式的乘法与除法（2） 31
复习与巩固 33
第八章 一元二次方程
8.1一元二次方程（1） 37
8.1一元二次方程（2） 39
8.2用配方法解一元二次方程（1） 41
8.2用配方法解一元二次方程（2） 43
8.2用配方法解一元二次方程（3） 45
8.3用公式法解一元二次方程（1） 47
8.3用公式法解一元二次方程（2） 49
8.3用公式法解一元二次方程（3） 51
8.4用因式分解法解一元二次方程 53
8.5一元二次方程的根与系数的关系 55
8.6一元二次方程的应用（1） 57
8.6一元二次方程的应用（2） 59
8.6一元二次方程的应用（3） 61
8.6一元二次方程的应用（4） 63
复习与巩固 65
第九章 图形的相似
9.1 成比例线段（1） 69
9.1 成比例线段（2） 71
9.2 平行线分线段成比例 73
9.3 相似多边形 75
9.4 探索三角形相似的条件（1） 77
9.4 探索三角形相似的条件（2） 79
9.4 探索三角形相似的条件（3） 81
9.5 相似三角形判定定理的证明 83
9.6 黄金分割 85
9.7 利用相似三角形测高 87
9.8 相似三角形的性质（1） 89
9.8 相似三角形的性质（2） 91
9.9 利用位似放缩图形（1） 93
9.9利用位似放缩图形（2） 95
复习与巩固 97
第六章 特殊平行四边形
6.1菱形的性质与判断（1）
【学习目标】
1. 理解菱形的定义； 2.探索并证明菱形的性质定理。 
3.会利用菱形的性质进行计算和证明。
【课前梳理】
1.平行四边形的定义：两组__________分别___________的四边形叫做平行四边形.
边：__________________________________________
2.平行四边形的性质 角：__________________________________________
对角线：________________________________________
【课堂练习】
任务一：菱形的定义
1. 叫做菱形.菱形是 的平行四边形.
任务二：菱形的性质
1.菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有 条对称轴.
2.从菱形的定义可以探究菱形具有的性质：
（1）菱形具有平行四边形的一切性质.（2）菱形与平行四边形比较又有其特殊的性质.
特殊在“边”上的性质是________________________________________________________
特殊在“对角线”上的性质是_____________________________________________________

3题图
3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于O，∠BAD=60°BD=2，求
AB与AC的长.








D
A
B
C
4题图
4.如图，已知菱形ABCD的对角线AC=6cm，BD=8cm,求这个菱形的周长.








【当堂达标】
1.已知菱形两邻角的比是1：2，周长为40cm，则较短对角线的长是 .
2.若菱形的周长为40cm，两对角线的长度之比为3：4，则两对角线的长分别为（ ）
3题图
A.6cm，8cm B.3cm，4cm C.12cm，16cm D.24cm，32cm
3.如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=120°，点E是AB的中点，点F
是AC上的一动点，则EF+BF的最小值是　          　
4.如图，在菱形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，
4题图
求证：AE=AF.





5.如图，已知菱形ABCD的对角线交于点O，AC=16cm，BD=12cm，
求菱形的高    
5题图






【课后拓展】
1.（2018 淮安）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（　　）
A．20 B．24 C．40 D．48






（1题图） （2题图） （3题图）
2.如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（　　） A．3.5 B．4 C．7 D．14
3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=　　　　　　．
6.1菱形的性质与判断（2）

【学习目标】
掌握菱形的判定方法，并会解决有关的计算和证明.
【课前梳理】
菱形的定义： 的平行四边形是菱形。
定义可以作为菱形的判定方法，这个判定有 个条件，分别是________和 __________
A
B
C
D
如右图：
∵
∴四边形ABCD是菱形
注意：利用定义法判定菱形时，必须要两个条件同时具备。
【课堂练习】
任务一：从“对角线”和“边”两方面得到菱形的判定定理：
菱形的判定定理(1): ___________________________________________________________
菱形的判定定理(2): ___________________________________________________________
任务二：独立证明菱形的判定定理（1）,(2).
1.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知： 求证：
证明：



2.四条边都相等的四边形是菱形 .
已知： 求证：
证明：





A
B
C
D
O
3题图
3.如图，ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB= 5，AC=8，DB=6. 求证:四边形ABCD是菱形. 





判定方法比较

边
角
对角线
对称性
平形四边形




菱 形




【当堂达标】
1.下列命题中是真命题的是（ ）
A.对角线互相平分的四边形是菱形 B.对角线互相平分且相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
2.小明和小亮在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请补充一个条件，使得四边形ABCD是菱形。小明补充的条件是AB=BC；小亮补充的条件是AC=BD，你认为下列说法正确的是（ ）
A.小明、小亮都正确B.小明正确，小亮错误C.小明错误，小亮正确 D.小明、小亮都错误
3.菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是 .
4题图
4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC的垂直平分线交AD，BC于点E，F.求证：四边形AECF是菱形．
 
           
 


5题图
5.如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CH⊥AB于H，且交BD于点F，DE⊥AB于E，四边形CDEF是菱形吗？请说明理由．





【课后拓展】
图1
如图1，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，E是BC的中点，AD∥BC， AE∥DC，EF⊥CD于点F．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AB=6，BC=10，求EF的长．



6.1菱形的性质与判断（3）
【学习目标】
1.掌握菱形的面积公式；
2.会灵活运用菱形的有关知识进行计算和证明.
【课前梳理】
如图，已知菱形ABCD的周长为20cm，∠A：∠ABC＝1：2，
求∠ABD的度数与BD长.






【课堂练习】
任务一：
1.如图：四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线AC长24cm.求:
（1）对角线BD的长度为多少cm?
（2）菱形ABCD的面积为多少cm2.










任务二：探索菱形的面积公式
2. 如右图菱形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，
若把菱形ABCD看成⊿ABD和⊿BCD，
而AO和OC分别是它们的高：
S菱形ABCD=S⊿ABD+S⊿BCD= + =BD× ，即菱形的面积等于 乘积的 。（可以作为公式使用）




【当堂达标】
1.菱形的对角线长为24和10，则菱形的边长为 ，周长为 ，面积为 .
2.已知菱形ABCD的周长为20cm，∠A：∠ABC＝1：2，则BD= cm.
3.菱形ABCD，若∠A:∠B＝2：1，∠CAD的平分线AE和边CD之间的关系是（ ）
A.相等 　B.互相垂直且不平分　　C.互相平分且不垂直 D.垂直且平分
4.已知菱形的一条对角线的长为12cm，面积是30cm2，则它的另一条对角线的长 cm
5题图
5. 已知：如图，在□ABCD中，E, F分别是边AD,BC上的点，且AE=CF,直线EF分
交BA的延长线、DC的延长线于点G ,H，交BD于点O.
(1 )求证：△ABE≌△CDF；
(2 )连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由.






6题图
6.已知：如图，菱形ABCD的边长为4 cm,∠BAD＝120°对角线AC、BD相交于点O，试求出菱形对角线的长和面积．





【课后拓展】
如图1，在□ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．
(1)求证：□ABCD是菱形；（2）若AB=5，AC=6，求□ABCD的面积．

图1



6.2矩形的性质与判断（1）
【学习目标】
1.理解矩形的意义，知道矩形与平行四边形的区别与联系；
2.掌握矩形的性质定理，会用定理进行有关的计算与证明；
3.掌握直角三角形斜边上中线的性质与应用.
【课前梳理】
1题图
1.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE=DF．
求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）四边形ABCD是菱形．





2. 叫做矩形.矩形是 的平行四边形.
3.从矩形的定义可以探究矩形具有的性质：
(1)矩形具有平行四边形具有的一切性质.（2）矩形与平行四边形比较又有其特殊的性质.
对称性：矩形是_____图形，有_____条对称轴。
特殊在“角”上的性是：___________________________________________
特殊在“对角线”上的性质是：_________________________________________
4.从矩形的性质可以说明直角三角形斜边上的中线等于斜边的 .

【课堂练习】
任务一：矩形的定义及其性质：___________________________________________

_______________________________________________________________________
任务二：独立证明性质定理2：矩形的对角线相等.
已知： 求证：
证明：


任务三：:独立证明推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
已知： 求证：
证明：





【当堂达标】
1.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，边AB=8cm，则△ABO的周长为________．
2.矩形的两条对角线的夹角为60°，较短的边长为4.5厘米，则对角线长为 .
3.如图所示，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD，交BC于E，∠CAE=15°，那么∠AOB=　　 ．
4题图
5题图
3题图
5题图
4. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE=3，则菱形ABCD的周长为 ．
3题图



5题图



5.已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC，求证：CE＝EF.




6.如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，求证：四边形OCED是菱形。





【课后拓展】
1.如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（　　）
A．4.8 B．5 C．6 D．7.2
2.（2018•株洲）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC=10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为　 　．
6.2矩形的性质与判断（2）
【学习目标】
1.理解并掌握矩形的判定方法；
2.会用矩形的判定定理进行有关的论证或计算.
【课前梳理】
矩形的性质:边________________________________________________________
角________________________________________________________
对角线_____________________________________________________

【课堂练习】
任务一：矩形的判定方法
1.定义法： 叫做矩形.
2.矩形相对于一般平行四边形来讲，特殊在“对角线”和“角”上.通过自学，
我们可以从“对角线”和“角”两方面得到矩形的判定定理：
矩形的判定定理（1）：________________________________________________________
矩形的判定定理（2）：________________________________________________________
任务二：阅读课本，独立证明矩形的判定定理（1），（2）.
A
B
C
D
有三个角是直角的四边形是矩形.
已知： 求证：
证明：




对角线相等的平行四边形是矩形.
已知： 求证：
证明：



图1

例题：如图1，已知AD∥BE,AD=BC=CE,BD=DE
求证:四边形ABCD是矩形.





【当堂达标】
1.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）
A.测量对角线是否相互平分 B.测量两组对边是否分别相等
C.测量一组对角是否都为直角 D.测量其中三个角是否都为直角
2.能判断四边形是矩形的条件是（ ）
A.两条对角线互相平分 B.两条对角线相等
C.两条对角线互相平分且相等 D.两条对角线互相垂直
3.下列命题中正确的是（ ）
A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角相等且有一个角是直角的四边形是矩形
C.有一个角是直角的四边形是矩形 D.内角都相等的四边形是矩形
4.四边形ABCD的对角线交于点O，在下列条件中，不能说明它是矩形的是（ ） 　　 　　
A.AB=CD，AD=BC，∠BAD=90° B.∠BAD=∠ABC =90°,∠BAD+∠ADC=180°
C.∠BAD=∠BCD,∠ABC+∠ADC=180° D.AO=CO,BO=DO,AC=BD
5题图
5. 如图 ，O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE＝BF＝CG＝DH.
求证：四边形EFGH是矩形.




【课后拓展】
1.已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　）
A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC
2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是　 　．







6.2矩形的性质与判断（3）
【学习目标】
会灵活运用矩形的性质与判定定理进行有关的论证或计算.
【课前梳理】
图1
如图，已知：如图1，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB=MC.
求证：四边形ABCD是矩形.





【课堂练习】预习课本P18～19页内容，完成下列各题
1题图
1.如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，BD=4BE，求AE的长








2. 已知：如图，在ABC中，AB=AC，AN为⊿ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，
2题图
垂足为点E四边形ADCE是矩形.
求证：,AD为∠BAC的平分线.





2题图





【当堂达标】
1.下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？
（1）四个角都相等的四边形是矩形;
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
（4）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形．
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｏ
Ｅ
2题图
2.已知矩形，对角线相交于相交于，试判定四边形的形状．






3.如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.
①求证：EO=FO；
3题图
②当O点运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.





【课后拓展】
图2
如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，EF过点O，且AF⊥BC，求证：四边形AFCE是矩形．








6.3正方形的性质与判断（1）
【学习目标】
1.掌握正方形的概念和性质，并会用它们进行有关的论证和计算；
图1
2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别.
【课前梳理】
1.已知：如图1，在△ABC中，∠C＝90°，CD为中线，延长CD
到点E，使得 DE＝CD．连结AE，BE.
求证：四边形ACBE为矩形．
2. 叫做正方形.正方形既是 ，又是_____.
3.从正方形的定义可以探究正方形具有的性质：
（1）边的性质 ．
（2）角的性质：______________________.
（3）对角线的性质：___________________ .
（4）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有____对称轴．
【课堂练习】
1题图
1.如图,在正方形ABCD中,E为CD边上一点,F为BC延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？说明理由





正方形的性质与平行四边形、矩形、菱形的性质可比较如下：

平行四边形
矩形
菱形
正方形
对边平行且相等




四条边都相等




对角相等




四个角都是直角




对角线互相平分




对角线互相垂直




对角线相等




每条对角线平分一组对角




【当堂达标】
1.如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF．若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为_____
2.如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF．其中正确结论有（　　）个
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（　　）
A.16 B.17 C.18 D.19
4.如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，求∠AMD的度数。　　





4题图
【课后拓展】
图2
（2018 聊城）如图2，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF．
（1）求证：AE=BF．
（2）若正方形边长是5，BE=2，求AF的长．








6.3正方形的性质与判断（2）
【学习目标】
掌握正方形的判定方法，并会用它们进行有关的论证和计算.
【课前梳理】
（1）_____________________________________的菱形是正方形.
（2）_____________________________________的矩形是正方形.
（3）_____________________________________的菱形是正方形（从对角线来说）.
图1
（4）_____________________________________的矩形是正方形（从对角线来说）.

如图1，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF.
⑴AE与BF相等吗？为什么？
⑵AE与BF是否垂直？说明你的理由。





【课堂练习】
1.如图2，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，
图2
求证：四边形BECF是正方形．








2.如图3，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．
（1）求证：DE=DF．
图3
（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，请你至少写出两种不同的添加方 法．（不另外添加辅助线，无需证明）






正方形的判定方法：









【当堂达标】
1.过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC、BD的平行线，分别相交于E、F、G、H四点，则四边形EFGH为（ ）
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
2.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．
2题图
求证：四边形CFDE是正方形．




3. 如图所示，在RtΔABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，试说明四边形CEDF为正方形。
3题图






【课后拓展】
已知：如图4，□ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．
图4
（1）求证：△AOD≌△EOC；
（2）连接AC，DE，当∠B=∠AEB=　 °时，
四边形ACED是正方形？请说明理由．




复习与巩固
【学习目标】
1.综合利用矩形、菱形、正方形的性质综合解决问题；
2.综合利用矩形、菱形、正方形的判定综合解决问题；
【课前梳理】
1．矩形、菱形、正方形都具有平行四边形的所有性质。
2.矩形的特殊性质：（1）矩形的四个角都是________；（2）矩形的对角线________.
矩形的判定：（1）有一个角_______的平行四边形；（2）三个角是_______的四边形；（3）对角线__________的平行四边形.
3.菱形的特殊性质：（1）四边_____；（2）对角线__________，并且每一条对角线__________菱形的判定：（1）一组邻边______的平行四边形；（2）四边___________的四边形；（3）对角线__________的平行四边形.（4）每条角线___________________的四边形
4.正方形的特殊性质：正方形具有__________和____________的性质.
正方形的判定：（1）一组邻边_________的矩形；（2）有一个角是_________的菱形.
5.矩形、菱形、正方形都_______对称图形，也是___________对称图形。
【课堂练习】
典型例题1
已知：如图1， O是矩形ABCD 对角线的交点， AE平分 ∠BAD，∠AOD=120° ，
图1
求∠AEO 的度数








跟踪训练1
图2
如图2，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．
（1）求证：∠PNM=2∠CBN；
（2）求线段AP的长．







典型例题2
图3
如图3，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．
求证：HF=AP；












跟踪训练2
如图4，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．
图4
（1）求证：BE=CE．
（2）求∠BEC的度数．









【巩固训练】
1. 在菱形ABCD中，AB = 5，∠BCD =120°，则对角线AC等于（ ）
A．20 　B．15 C．10 　　 D．5
2.如图5，要使▱ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是（　　）
A．AC=AD B．BA=BC C．∠ABC=90° D． AC=BD
图5
3.下列命题是假命题的是（　　）
A．四个角相等的四边形是矩形
B.对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线垂直的四边形是菱形
D.对角线垂直的平行四边形是菱形
4.下列叙述中，错误的是（　　）
A.有一组邻边相等的矩形是正方形　
B.有一个角是直角的菱形是正方形
C.对角线垂直平分且相等的四边形是正方形
D.是轴对称也是中心对称是四边形是正方形
图6
5.如图6，正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ是对角线ＡＣ上一点，ＥＦ⊥ＡＢ，ＥＧ⊥ＡＤ，垂足分别为Ｆ、Ｇ.求证：四边形ＡＦＥＧ是正方形。












6.如图7,矩形纸片ABCD中,AB=8,将纸片折叠,使顶点B落在边AD的E点上,BG=10.
(1)当折痕的另一端F在AB边上时,如图(1).求△EFG的面积.
图（1）
图（2）
图7
(2)当折痕的另一端F在AD边上时,如图(2).证明四边形BGEF为菱形,并求出折痕GF的长.














7.如图8，CD是△ABC的中线，点E是AF的中点，CF∥AB．
（1）求证：CF=AD；
图8
（2）若∠ACB=90°，试判断四边形BFCD的形状，并说明理由．













图9
8.如图9，在ＲＴ△ＡＢＣ中，∠Ａ＝90°，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ为ＢＣ的中点，ＤＥ⊥ＡＢ，垂足为Ｅ，Ｆ为ＡＣ的中点。求证：四边形ＡＥＦＤ是正方形。

















第七章 二次根式
7.1 二次根式
【学习目标】
1.了解二次根式的意义及二次根式被开方数中字母的取值问题.
2.掌握二次根式的平方性质()2= a（a≥0）并能灵活应用.
【课前梳理】
1.二次根式的概念
一般的，形如 的式子叫做二次根式，其中a叫做 .
2.下列各式中哪些是二次根式？哪些不是二次根式？
（1） （2）（a≥2）（3）；（4）（m≥0）（5）
(6) (7)
3.二次根式的性质的初步认识
≥0（a≥0）， = （a≥0）.

【课堂练习】
知识点一 二次根式的概念
1.x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？
（1） （2） （3）





知识点二 二次根式的性质
2.计算：
（１） 　（２）　（3） （4）





【当堂达标】
一、选择题
1.对于，以下说法正确的是 （ ）
A.对于任意实数a ，它表示a的平方根； B.对于任意实数,它表示a的算术平方根；
C.时，它表示a的平方根； D.时，它表示a的算术平方根。
2.a为实数时，=－a，则实数 a对应的点在数轴上的位置是（ ）．
A.原点的左侧 B.原点的右侧 C.原点或原点的左侧 D.原点或原点的右侧
3.如果代数式有意义，那么x的取值范围是（　　）
A.x≥0 B.x≠1 C.x＞0 D.x≥0且x≠1
4.下列各式一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5.当有意义时，a的取值范围是 .
6.若，则xy= .
7.若，则的取值范围是 .
三、解答题
8.计算：（1） （2）





【拓展延伸】
9.若，求的值.





7.2 二次根式的性质（1）
【学习目标】
1.探究并理解二次根式
并会利用它进行计算和化简.
2.正确理解积的算术平方根=·（a≥0，b≥0）并利用它进行计算和化简.
【课前梳理】
1.要使有意义时的取值范围是 .
2.化简或计算.（1） （-）2； （2）-（）2；
（3） ; （4）-
3.二次根式的性质
当a≥0时，= .
4. 积的算术平方根
= （a≥0，b≥0）.即积的算术平方根等于 .
【课堂练习】
知识点一 二次根式的性质
1.化简：



知识点二 积的算术平方根
2.化简:
(1) （2） （3）

知识点三 a2的算术平方根公式的扩展：
3. .
【当堂达标】
一、选择题
1.如果式子化简的结果为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.已知数a，b，若，则 (   )
A.a>b     B.a 3.若b＜0，化简的结果是（　　）
A. B. C. D.
4.下面的等式总能成立的是（ ）
A.=a B.a=a2 C.·= D.=·
二、填空题
5.计算：= .
6.若，化简+= .
7.当1 三、解答题
8.计算：







【拓展延伸】
9.





7.2 二次根式和它的性质（2）
【学习目标】
1.理解商的算术平方根公式 ＝ （a≥0，b>0）,并能灵活利用它进行计算和化简.
2.掌握二次根式化为最简二次根式的条件并会化简.
【课前梳理】
1.若（ ）
A. B. C. D.
2. ，
3.商的算术平方根
= .
即商的算术平方根等于 .
4.最简二次根式
如果二次根式的被开方式中不含 ，并且也都不含 ，像这样的二次根式称为最简二次根式.
【课堂练习】
知识点一 商的算术平方根
1.化简：
（1） （2） 　　 （3）　




知识点二 最简二次根式
2.把下列各式化成最简二次根式：
（1） （2） （3） （4）




【当堂达标】
一、选择题
1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2．设，，则下列运算中错误的是（ ）
A. B. C. D.
3.能使等式成立的的取值范围是（ ）
A. B. C. x﹥2 D.
二、填空题
4. = . = .
5.把的根号外的因式移到根号内等于 ．
三、解答题
6.化简：（1） （2）


7.化简：（1） （2）



【拓展延伸】
8.已知实数x为任意实数，试化简：


7.3 二次根式的加法与减法
【学习目标】
1.知道并会辨别两个根式是否是同类二次根式；会区分最简二次根式与同类二次根式.
2.会通过合并同类二次根式，进行二次根式加减法运算，进一步了解归类数学思想方法.
【课前梳理】
1.下列根式中属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2.合并同类项：
（1）2x+3x=( + )x= ； （2） 3a2-2a2+a= .
3.同类二次根式:
几个二次根式化成 后，如果 相同，那么这几个二次根式是同类二次根式．
注意：判断几个二次根式是否是同类二次根式时：
第一步，将它们化成 ；第二步，看它们的 是否相同．
4.二次根式的加减：
一般地，二次根式相加减，先把各个二次根式分别化成 ，然后再将 分别合并,有括号时，要先 .
二次根式的加减分三个步骤：①化 ②找 ③合并 
【课堂练习】
知识点一 同类二次根式
1.识别下列二次根式是否为同类二次根式：
（1），，； （2），；
（3），； （4），.


知识点二 二次根式的加减
2.计算：（1） （2） （3）


【当堂达标】
一、选择题
1.下列各组中与是同类二次根式的一组是（ ）．
A.， B.， C.， D.，
2.在下列二次根式中，与是同类二次根式的是( )．
A． B． C． D．
3.下列计算正确的是（　　）.
A.　 B. C. D.
二、填空题
4.与无法合并，这种说法是______的．(填“正确”或“错误”)
5.如果最简二次根式与是同类二次根式，那么b=______
三、解答题
6.计算：（1） （2）7-（2+4）




【拓展延伸】
7.张老师的生日快到了，八二班的同学准备用彩带做礼物送给张老师.第一小组所用的彩带的长分别为，，，，第二小组所用的彩带的长分别为，，结果发现，两个小组用的彩带总长相等，试确定，的值.




7.4 二次根式的乘法与除法（1）
【学习目标】
1.利用积、商的算术平方根性质，化简二次根式及二次根式的乘、除计算.
2.利用分母有理化的方法化简二次根式.
【课前梳理】
1.二次根式的乘法和除法:
= （a≥0，b≥0）；
= （a≥0，b>0）
特别注意：二次根式运算的结果要化成最简二次根式或整式.

【课堂练习】
知识点一 二次根式的乘法
1.计算：
（1）  （2） （3）



知识点二 二次根式的除法
2.计算：
（1）     （2）





（3） （4）



【当堂达标】
一、选择题
1.下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
2.若=成立，则的取值范围是（ ）
A.0 B.2 C.02 D.2
3.有下列算式：（1）=-2×（-3）=6 （2)·=a
（3） =× (4),其中正确的（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
4.直角三角形的两条直角边分别长和，那么这个直角三角形的面积_____.
5.定义运算“@”的运算法则为：则(2@6)@6=_____.
6.如果那么x的取值范围是 .
三.解答题：
7.计算：（1） （2） ×÷






【拓展延伸】
8.已知=，且为偶数，求的值.





7.4 二次根式的乘法与除法（2）
【学习目标】
1.掌握实数的运算顺序与运算律在二次根式中的应用.
2.会进行二次根式的加减与乘除的混合运算.
【课前梳理】
1.整式的乘法公式: 平方差公式： .
完全平方公式： .
.
2.二次根式的乘法公式： .
二次根式的除法公式： .
3. 二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序是先算 ，再算 ，最后算 ；
有括号的， .
利用 可以适当改变运算顺序进行简便运算.
【课堂练习】
知识点 二次根式的混合运算
1.计算： (1) （2）



2.计算： （1） （2）




3.利用乘法公式计算
（1） （2） （3）





【当堂达标】
1.化简得（ ）
A. B. C.2 D.
2.估计－2的值（ ）
A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间
3.设a=－，b=－1，c=，则a、b、c之间的大小关系是（ ）
A．c>b>a B．a>c>b C．b>a>c D．a>b>c
4.已知，，则a与b的关系为( )
A．a=b B．ab=1 C．a=－b D．ab=－1
5.已知，，则ab=_______ ，a+b=_______．
6.计算： ．
7.（3-）2019（ 3+ ）2019= ．
8.已知：，求的值 ．
9.计算：（1） （2）



【拓展延伸】
10.先化简，再求值，其中.




复习与巩固
【学习目标】
1.理解二次根式的有关概念，会求二次根式中字母的取值范围，会将二次根式化为最简二次根式，会识别同类二次根式；
2.掌握二次根式的性质，并能运用相关性质解决问题.
3.会用二次根式的性质和运算法则进行有关计算和化简.
【课前梳理】
1.有关概念
二次根式：一般地，形如 的式子叫做二次根式.
最简二次根式：（1）被开方数不含 ；（2）被开方数不含能开得尽的 .
同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果它们的 相同，那么这几个二次根式是同类二次根式.
2.二次根式的性质
（1）≥0（a≥0）； （2）（）2＝ （a≥0）； （3）＝|a|＝
（4）＝ ； （5）＝ .
3.二次根式的运算
二次根式的加减：一般地，二次根式相加减，先将二次根式化成 ，再将
进行合并.有括号时，要 .
二次根式的乘除：（1）乘法运算法则：·＝（a≥0，b≥0）；
（2）除法运算法则：÷＝（a≥0，b＞0）.
二次根式的混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减.
【课堂练习】
知识点一　二次根式的有关概念
例1 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ 　）
A.x＝l B. x≥l C. x＞1 D. x＜1
例2 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A.　 B.　 C.　 　D.
跟踪训练
1.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为
2.下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
知识点二　二次根式的性质
例3 计算的结果是（　　）
A.－3　　　　B.3　　　　C.－9　　　　　D.9
例4 如果成立，那么实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
跟踪训练
3.已知，则= .
4.如果实数在数轴上的位置如图所示,那么代数式可以化简为( )

A.  B.  C.  D. 
知识点三 　二次根式的运算
例5 （1） 计算


（2）先化简，再求值：，其中满足



跟踪训练
5.计算：

6.已知：，求的值.
【巩固训练】
一、选择题（每小题4分，共40分）
1. 下列式子中，二次根式的个数有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦
A. 2个 　　　 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2.要使二次根式有意义，那么x的取值范围是（ ）
A. x＞2 　　　 B. x＜2 C. x≥2 D. x≤2
3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列二次根式化成最简后，可以与合并的是（　　）
A. B. C. D.
5. 计算2－6＋的正确结果是（ ）
A. 3－2 B. 5－ C. 5－ D. 2
6. 若与｜x－y－3｜互为相反数，则的值为（ ）
A． 3 B．9 C．3 D．27
7. 已知y=+3，则的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 12 D. 18
8. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）
A. 7 B. －7 C. 2a－15 D. 无法确定

9. 已知m＝，则有（ ）
A. 5＜m＜6 B. 4＜m＜5 C. －5＜m＜－4 D. －6＜m＜－5[来源:学科网ZXXK]
10. 设a=，b=，用含a，b的式子表示，则下列结果正确的是（ ）[来源:学§科§网]
A. 0.3ab B. 0.6ab C. 2ab D. 2a2b
二、填空题（每小题4分，共20分）
11.要使有意义，则x的取值范围为__________.
12.如果最简二次根式与可以合并，则a＝__________．
13.定义新运算“¤”的运算法则为：x¤y=，则（5¤9）¤4=__________.
14.无论取任何实数，代数式都有意义，则的取值范围为_________.
15.已知a=-，b=+，则a2018b2019=__________．
三、解答题（共40分）
16.计算：（每小题6分，共12分）
（1）2－9＋； （2）（3－2＋）÷2.

17.（8分）当x＝－时，求代数式x2＋x－4的值．


18．（10分）先化简，再求值：，其中a＝3＋，b＝3－．



19.（10分）先观察下列等式，再回答问题：
①； ②；
③； ④ ……
（1）根据上面等式提供的信息，试猜想的结果；
（2）猜想上面各式反映的规律，试用含（为正整数）的等式表示出来.
第八章 一元二次方程
8.1一元二次方程（1）
【学习目标】
1.掌握一元二次方程的概念；
2.能准确指出一元二次方程各部分名称.
【课前梳理】
1． 叫方程.
叫一元一次方程.
2．一元二次方程的概念：只含有____个未知数的 方程，并且都可以化成
的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
3．一元二次方程的一般形式：我们把___________________________称为一元二次方程的一般形式，其中_________________分别为二次项、一次项和常数项，__________分别称为二次项系数和一次项系数.
【课堂练习】
知识点一 一元二次方程的概念
1.下列方程中，哪些是一元二次方程？
①； ②；
③ ④；
⑤； ⑥
是一元二次方程的有 .
知识点二 一元二次方程的一般形式
2． 将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出方程的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）

（2）
【当堂达标】
1.下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A.2x2－7=3y+1 B.5x2－6y－2=0
C.x－+x D.ax2+（b－3）x+c+2=0
2.已知一元二次方程x2+kx﹣3=0有一个根为1，则k的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
3.下列一元二次方程中是一般形式的是（ ）
A.x2=1+x B.x2=x－3 C.2（x+1）=3x（x+2） D.－x2+2x－1=0
4.若方程x2+mx－15=0可以化成（x+3）（x+n）=0的形式，则m的值是（ ）
A.3 B.－2 C.－4 D.6
5.若方程（m－1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A.m≠1 B.m≥0 C.m≥0且m≠1 D.m为任何实数
6.若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，则6m2﹣9m+2015的值为　 　．
7.关于x的方程 是一元二次方程，求m= .
8.为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为　 　．
【拓展延伸】
9.某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题：
（1）m取何值时该方程是一元二次方程，并指出二次项系数、一次项系数和常数项；
（2）m取何值时是一元一次方程，并解此方程.



8.1一元二次方程（2）
【学习目标】
1.进一步理解一元二次方程相关的定义；
2.经历估计一元二次方程解的过程，学会初步判断解的取值范围和近似值，掌握估计方法。
【课前梳理】
1.一元二次方程的一般形式是：_____________________________________________
2.把方程x(x+2)=5x化成一般形式，则a= b= c= .
3.当x的值使得的值无限接近于 时，x的值可看作一元二次方程=0的近似值.
4.一元二次方程的一个根可能在（ ）
A. 4,5之间 B. 6,7之间 C. 7,8之间 D. 9,10之间
【课堂练习】
知识点 一元二次方程的解的估算
1. 根据下面的表格，确定方程的一个根的范围是（ ）
x
1.0
1.1
1.2
1.3

0.5
-0.09
-0.06
-1.21
A.1.0
2. 根据下面的表格中的对应值：
x
-1
0
0.5
1
1.5

2
0
-0.25
0
0.75
判断的一个根（ ）
Ａ．在-1与0之间 　　 Ｂ．为ｘ＝０　　　Ｃ．为ｘ＝１　　Ｄ．在１与１.５之间
3.探索一元二次方程近似解.
x
1.1
1.2
1.3
1.4

-15
-8.75
-2
5.25
由上表可以得出 【当堂达标】
1.根据下列表格中的对应值：












可得方程的一个解的范围是（ ）
A. B. C. D.
2.方程的正根精确到0.1的近似值是（　　　）
A．0.6　　 　B．0.5　　 　C．0.4　 　D．１
3.根据下列表格中的对应值，判断关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）的一个根的范围正确的是（　　）
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
-0.06
-0.02
0.03
0.09
A.-0.02<<0.03 B.3.24<<3.25 C.-0.02≤≤0.03 D.3.24≤≤3.25
4.根据下面表格中列出来的数据,可判断方程x2-bx-c=0有一个根大约是　(　　)
x
0
0.5
1
1.5
2
x2-bx-c
-15
-8.75
-2
5.25
13



A.0.25　　　 B.0.75　　 　C.1.25　　 　D.1.75
5.已知α是一元二次方程x2-x-1=0较大的根,则下面对α的估计正确的是　(　　)
A.0<α<1 B.1<α<1.5 C.1.5<α<2 D.2<α<3
【拓展延伸】
5. 一个面积为120cm２的矩形，它的长比宽多2cm，求矩形的长和宽．（列方程，并估算出方程的根）



8.2用配方法解一元二次方程（1）
【学习目标】
1.根据平方根的定义解形式为（x+a）2=b（b≥0）的一元二次方程；
2.掌握解简单的一元二次方程的步骤.
【课前梳理】
1.如果一元二次方程能化成的形式，应用直接开平方法可得 .
若x2=4，则x=______ . 
2.如果一元二次方程能化成的形式，应用直接开平方法可得 .
若，那么x= .
【课堂练习】
知识点 用直接开平方法解一元二次方程
1.用直接开平方法解下列方程：
①x-29＝0 ②(x+5)2＝9



③16x2-13=3 ④2(3x+2)2=2




2.定义新运算“*”，对于非零的实数规定*=，若2*=3，求x的值.





【当堂达标】
一、选择题
1.若x2+10x+m是一个完全平方式，则m的值是（ ）
A.25 B.-25 C.±25 D.以上都不对
2.用配方法解方程x2+4x+4=0的根为（ ）
A.2 B.-2 C.2或-2 D.-4
二、用配方法解下列一元二次方程.
3.（1）y2-6y+9=0 （2）3x2=5


（3）x2-4x+4=1 （4）x2-10x=-25



（5）x2=-4x-4 （6）9（y+3）2=16





(7) x2+8x=9  (8) x2+12x-15=0 






【拓展延伸】
4.已知关于x的一元二次方程的解为，方程的解为 .
8.2用配方法解一元二次方程（2）
【学习目标】
1.理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程；
2.体会转化的思想.
【课前梳理】
1. 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，关键是将方程的左边转化成 ，而右边是一个 的形式.
2.我们通过配成 的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为 .
3.填上适当的数，使下列等式成立
（1）x2+12x+_____=(x+6)2 ; （2）x2+8x+_____=(x+___)2
（3）x2+ x+    =（x+   ）2； （4）x2－9x+    =（x－   ）2
【课堂练习】
知识点 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
1. 一元二次方程配方后的方程为 .
2. 用配方法解下列一元二次方程：
（1） （2）




（3） （4）



用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的方法步骤：
①将常数项移到方程的右边，②两边都加上一次项系数一半的平方，把方程左边变成完全平方式,③方程两边开平方，求出方程的解.

【当堂达标】
一、选择题
1.若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（ ）
A.3 B.-3 C.±3 D.以上都不对
2.用配方法解方程x2+4x=10的根为（ ）
A.2± B.-2± C.-2+ D.2-
3.把方程x2-4x=3配方，得（ ）
A．（x-2）2=7 B．（x+2）2=21 C．（x-2）2=1 D.（x+2）2=2
4.不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（ ）
A.总不小于2 B.总不小于7 C.可为任何实数 D.可能为负数
二、用配方法解下列一元二次方程.
5.（1） （2） （3）





（4） （5） （6）






【拓展延伸】
6.一元二次方程x2﹣6x﹣6=0配方后化为（　　）
A．（x﹣3）2=15 B．（x﹣3）2=3 C．（x+3）2=15 D．（x+3）2=3
7.若方程的两根为和，且，则下列结论中正确的是 （ ）
A．是19的算术平方根 B．是19的平方根
C.是19的算术平方根 D．是19的平方根
8.2用配方法解一元二次方程（3）
【学习目标】
1.理解配方法，会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程；
2.掌握配方法解形如ax2+bx+c=0（a≠0）的一元二次方程的步骤.
【课前梳理】
1. 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，一般先把二次项系数化为 .
2. 解方程时，先把二次项系数化为1变形为 ，再移项化为 ，配方后变形为 .
【课堂练习】
知识点 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
1.将x2+6x+3配方成（x+m）2+n的形式，则m=　 　．
2.一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为（　　）
A．（y+）2=1 B．（y﹣）2=1 C．（y+）2= D．（y﹣）2=
3.用配方法解下列一元二次方程.
（1） （2）







（3） （4）






配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0的步骤：系数化为1——移项——配方——求根—检验
体会“系数化为1”，“二元变一元”过程中转化的数学思想.
【当堂达标】
一、选择题：
1.对于任意的实数x，代数式x－4x＋10的值是一个 （ ）
A.非负数 B.正数 C.整数 D.不能确定的数
2.用配方法解方程，则方程可变形为 （ ）
A. B. C. D.
二、用配方法解下列一元二次方程.
3.（1）2x+3x+1=0 （2）3x+2x－1 =0






（3） （4）






【拓展延伸】
4.有n个方程：x2+2x−8=0;x2+2×2x−8×22=0;…；x2+2nx−8n2=0.
小静同学解第一个方程x2+2x−8=0的步骤为：“①x2+2x=8;②x2+2x+1=8+1;③(x+1)2=9;④x+1=±3;⑤x=1±3;⑥x1=4,x2=−2.”
(1)小静的解法是从步骤___开始出现错误的。
(2)用配方法解第n个方程x2+2nx−8n2=0.(用含有n的式子表示方程的根)




8.3用公式法解一元二次方程（1）
【学习目标】
1.会利用配方法推导一元二次方程的求根公式；
2.能用公式法解简单的数字系数的一元二次方程.
【课前梳理】
1.用配方法解方程3x2-6x-8=0;



2.对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当≥0时，它的根是x= ， 这个式子称为一元二次方程的求根公式，用 解一元二次方程的方法称为公式法.
3. 利用求根公式求一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的步骤：
①化方程为 ，②确定方程中的 的值，③算出 的值，④当 时，代入求根公式 求方程的根.
【课堂练习】
知识点 用公式法解一元二次方程
1.用公式法解方程，方程的两个根是 （ ）
A. B. C. D.
2.用公式法解下列方程。
（1）2x2-9x+8=0 （2）16x2+8x=3






（3） （4）



【当堂达标】
一、 填空
1.方程x2+3x =4的解是 .
2.方程：（2x+1）（x﹣1）=8（9﹣x）﹣1的根为  .
二、用公式法解下列方程
3.（1）x2+8x-20=0 （2）x2-3x-10=0





（3）x2=4x-1 （4）3x2+4x-7=0






【拓展延伸】
4.关于x的一元二次方程的解是 （ ）
A. B.
C. D.
5.已知，试求方程的根。



8.3用公式法解一元二次方程（2）
【学习目标】
1.掌握一元二次方程的求根公式；会用公式法解一元二次方程。
2.了解一元二次方程可能有两个相等的实数根的情况。
【课前梳理】
1. 利用求根公式求一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的步骤：
①化方程为 ，②确定方程中的 的值，③算出 的值，④当 时，代入求根公式 求方程的根.
2.用公式法解下列一元二次方程
(1) x2+x-6=0;            (2)
 



总结：当＞0时，方程有两个 的实数根，
当=0时，方程有两个 的实数根。
【课堂练习】
知识点 用公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的根是 （ ）
A. B.
C. D.
2.用公式法解下列一元二次方程
(1)3x2-6x-2=0; (2)




【当堂达标】
1.一元二次方程x2–ax+1=0的两实数根相等，则a的值为（ ）
A.a=0= B.a=2或a=-2 C.a=2= D.a=2或0
2.若关于y的一元二次方程ky2-4y-3=3y+4有实根,则k的取值范围是( )
A.k>- B.k≥且k≠0 C.k≥- D.k≥-且k≠0
3.关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a值为（ ）
A.1 B.-1 C.1或-1 D.
4.方程x2－＋5 = 0根的情况是 .
5.用公式法解方程
(1)4x2－3x－1＝x－2； （2）（3-x）2+x2=5




（3）x2－3=x （4）-3 x2－2x+1=0





【拓展延伸】
6.已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.
(1)当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．




8.3用公式法解一元二次方程（3）
【学习目标】
1.掌握一元二次方程的求根公式；会用公式法解一元二次方程。
2.理解根的判别式，会根据b2-4ac的值判定方程根的情况。
【课前梳理】
1.正数有平方根吗？负数呢？0呢？
2.用公式法解一元二次方程方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，应先算 的值，如果 ，方程有两个不相等的实数根，如果 ，方程有两个相等的实数根，如果 ，方程没有实数根.
3.我们把 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式.
4.方程x2+x+1=0的根的情况是 .
【课堂练习】
知识点 一元二次方程根的情况
1.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况由 决定.
2.不解方程，判断方程2x+3x-2=0的根的情况是 .
3.关于一元二次方程x+2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是 .
4.不解方程，判断下列方程的根的情况
（1）2x+4x=-3 （2）x-3x+2=0





（3）4x-4x+1=0 （4）






【当堂达标】
一、填空题
1.若方程ax2+3x+1=0无解，则a应满足的条件是_______．
2.用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac=_______，x1= ，x2=_______．
二、选择题
3.不解方程，判断所给方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，有实数根的方程有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
4．关于x的一元二次方程kx2＋2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A.k>-1 B.k>1 C.k≠0 D.k>-1且k≠0
5.下列方程中有两个相等的实数根的是（ ）
A.3x2－x－1=0 B.x2－2x－1=0 C.9x2=4（3x－1） D.x2＋7x＋15=0.
三、 解答题
6.已知一元二次方程有两个不相等的实数根.
（1） 求的取值范围；
（2） 若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一根.




【拓展延伸】
7.已知关于x的一元二次方程.
(1)若方程有实数根，求k的取值范围；
(2)如果k是满足（1）条件的最大的整数,且方程一根的相反数是一元二次方程的一个根，求m的值及这个方程的另一根。





8.4用因式分解法解一元二次方程
【学习目标】
1. 会用因式分解法解一元二次方程，体会“降次”化归的思想方法；
2. 通过因式分解法解一元二次方程的学习，树立转化的思想。
【课前梳理】
1.因式分解的方法：① ② .
2.写出因式分解中的平方差公式和完全平方公式：
a2-b2= ；a2+2ab+b2= ； a2-2ab+b2= .
3.当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成 时，我们就可以用因式分解法解一元二次方程.
4.如果，那么 .
【课堂练习】
知识点 因式分解法解一元二次方程
1.解方程的最适当的方法是 （ ）
A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法
2.已知方程(x-2)(3x+1)=0，则x-2的值为（ ）
A. B.0 C.-2 D.或0
3.用因式分解法解下列方程．
（1） （2）



（3） （4）





【当堂达标】
1.已知方程4x2-3x=0，下列说法正确的是（ ）
A.只有一个根x= B.只有一个根x=0 C.有两个根x1=0,x2= D.有两个根x1=0,x2=-
2.如果(x-1)(x+2)=0，那么以下结论正确的是（ ）
A.x=1或x=-2 B.必须x=1 C.x=2或x=-1 D.必须x=1且x=-2
3.若方程(x-2)(3x+1)=0，则3x+1的值为（ ）
A.7 B.2 C.0 D.7 或0
4.下列方程适合用因式分解法的是（ ）
A. B. C. D.
5.已知方程的两根分别为3和，则可分解为（ ）
A． B. C. D.
6.若三角形三边的长均能使代数式的值为零，则此三角形的周长是（　　）
A．9或18 B．12或15 C．9或15或18 D．9或12或15或18
7.用因式分解法解下列方程：
(１) ； (２)


（3） 　　(４)



【拓展延伸】
8.若关于x的方程（a≠0）满足，则它的两根分别是.
（1）请利用上面的结论，快速求解下列方程：
① =___，=____；② =____，=____；
③=____，=____；
④=____，=____；
（2）请你写出3个一元二次方程，使它们都有一个根是x=1.
8.5 一元二次方程的根与系数的关系
【学习目标】
1.掌握一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系.
2.能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知系数.
3.会利用根与系数的关系求关于两根代数式的值.
【课前梳理】
1.填写下表：
方程
两个根x1，x2的值
两根之和
x1＋x2
两根之积
x1·x2
x1
x2
2x2＋5x＋3＝0




3x2－2x－2＝0





2.如果方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根，那么=____，=____．
3.方程有两个实数根，则=____，=____．
4.已知α，β是一元二次方程的两个实数根，则α+αβ+β的值为 （ ）
A. -1 B. 9 C. 23 D. 27
【课堂练习】
知识点 一元二次方程的根与系数的关系
1.已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（　　）
A．x1+x2＞0 B．x1+x2＜0 C．x1•x2＞0 D. x1•x2＜0
2.设是方程的两个根，则的值是 （ ）
A.19 B.25 C.31 D.30
3.设是方程的两个根，则 .
4.关于的方程有一个根是-4，求另一个根及的值.






【当堂达标】
1.已知方程的两个解分别为、，则的值为（ ）
A. B. C.7 D.3
2.如果关于x的方程2x2－5x＋m＝0的两个实数根互为倒数，那么m的值为（ ）
A. B.－ C.2 D.－2
3.已知a,b是关于x的一元二次方程的两实数根，则式子的值是（ ）
A. B. C. D.
4.以3和—2为根的一元二次方程是（ ）
A. B. C. D.
5.已知方程的两根分别为，则的值为（ ）
A. -1 B.—2 C. 1 D. 2
6.如果是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式 .
7.不解方程，求下列方程的两根x1、x2的和与积.
⑴ ⑵ ⑶






【拓展延伸】
8.若是方程的两个根，求的值.







8.6一元二次方程的应用(第1课时）
【学习目标】
1.能根据具体几何实际问题中的数量关系列出一元二次方程并求解.
2.体会方程建模思想，培养数形结合意识.
【课前梳理】
1. 列一元二次方程解应用题的步骤：
（1）________：审题要弄清已知量和未知量，问题中的等量关系；
（2）________：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；
（3）________：列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，列代数式表示相等关系中的各个量，即方程；
（4）________：求出所列方程的解；
（5）________：检验方程的解是否正确，是否符合题意；
（6）________：写出答案．
2.如图，在一长为40cm、宽为28cm的矩形铁皮的四角截去四个全等的小正方形后，折成一个无盖的长方形盒子，若已知长方形盒子的底面积为364cm2，求截取去的四个小正方形的边长？

分析：如果设截去的小正方形的边长是cm，那么无盖长方体盒子的底面的宽是 ，长是 ，从而可以根据相等关系列出方程： .
【课堂练习】
知识点 列一元二次方程解决面积问题
1.长方形的长比宽多4m，面积为60m2，则长为 ，宽为 .
2.已知一个菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm,那么这个菱形的边长为 ，面积为 .
3.一间会议室，它的地面是长方形的，长为20m，宽为15m，现在准备在会议室地面的中间铺一块地毯，要求四周未铺地毯的部分宽度相等，而且地毯的面积是会议室地面面积的一半，则地面上未铺地毯的部分宽度是多少米?



【当堂达标】
1.三角形一边的长是该边上高的2倍，且面积是32，则该边的长是（ ）
A.8 B.4 C.4 D.8
2.李萍要在一幅长90cm、宽40cm的风景画的四周外围，镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，使风景画的面积占整个挂图面积的54%，设金色纸边的宽为xcm，根据题意可列方程（ ）
A．（90+x）（40+x）×54%=90×40; B．（90+2x）（40+2x）×54%=90×40;
C．（90+x）（40+2x）×54%=90×40; D．（90+2x）（40+x）×54%=90×40
3.如图，矩形的周长是20cm，以为边向外作正方形和正方形，若正方形和的面积之和为，那么矩形的面积是（ ）
A. B. C. D.
G
D
C
E
F
H
3题图
4题图
B
A

4.如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，所截去的小正方形的边长是 。
5.一条长12cm的铁丝围成一个斜边长是5cm的直角三角形，则这个直角三角形的两条直角边的长分别是（ ）
A. 1cm和6cm B. 2cm和5cm C. 3cm和4cm D.都是3.5cm
6.如图所示，某农户想建造一花圃，用来种植两种不同的花卉，以供应城镇市场需要，现用长为36m的篱笆，一面砌墙（墙的最大可使用长度为13m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．问花圃的宽AB为多少米时，围成的面积为96？

【拓展延伸】
7.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？

8.6一元二次方程的应用(第2课时）
【学习目标】
1.使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率问题．
2.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生应用数学的意识。
【课前梳理】
1. 变化前的基数为a，增长率（降低率）为x，变化的次数为n，变化后的基数为b，这四者之间的关系可用公式表示为 .
2. 增长率问题常见的等量关系是.其中表示 的数据，表示 .b表示 的数据.
3.某工厂一月份生产零件1000个，计划二、三月份共生产零件2500个，设二、三月份的平均增长率为x，可列方程 .
【课堂练习】
知识点 列一元二次方程解决有关增长率问题
1.某商场1月份的利润是25万元，3月份的利润是36万元，这两个月的利润平均月增长的百分率是多少？
分析：设这两个月的利润平均月增长率为x，

1月
2月
3月
利润



由上面的分析，我们可得到方程： ；
解这个方程得： ；
答： ；
2.某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80 C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=100
3. 某商品的售价为100元，连续两次降价％后售价降低了36元，则为 （ ）
A. 8 B.20 C.36 D.18
4.随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通
过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，则该种药品平均每场降价的百分率
是多少？







【当堂达标】
1.某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
2.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，如果每月的增长率相同，则（ ）
A. B.
C. D.
3.为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为提高到若每年的年增长率相同，则年增长率为（ ）
A. 　 　 B.　 C. D.
4.某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为，可列方程为 ．
5.某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个。设该厂五、六月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是 。
6.某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2．6万元，设可变成本平均的每年增长的百分率为．
⑴用含的代数式表示第3年的可变成本为 万元．
⑵如果该养殖户第3年的养殖成本为7．146万元，求可变成本平均每年增长的百分率．





【拓展延伸】
7.某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．
假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本．






8.6一元二次方程的应用(第3课时）
【学习目标】
1.使学生会用列一元二次方程的方法解决有关商品的销售问题．
2.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生应用数学的意识。
【课前梳理】
1.一元二次方程的一般形式是 ；
2.解一元二次方程的方法有那几种： ； ； ；
3.用一元二次方程解应用题的基本步骤有哪些： ； ； ； ； ； .
4.某件商品利润= ；商品总利润= .
5.新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元。市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元时，每台冰箱的定价应为多少?
分析题目，回答下列问题：
(1)题目中每台冰箱的进价是 元，售价是 元，每台冰箱获得的利润是 元.
(2)冰箱的销售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，如果每台冰箱的销售价降低了X元，平均每天就能多销售 台冰箱，平均每天销售冰箱的数量为 台，此时，每台冰箱的销售价为 元，每台冰箱的销售利润为 元.
(3）列出方程 .
【课堂练习】
知识点 列一元二次方程的方法解决有关商品的销售问题
1.某商店以每件16元的价格购进一批商品,物价局限定,每件商品的利润不得超过30%,若毎件商品售价定为x元,则可卖出(170−5x)件,商店预期要盈利280元,那么每件商品的售价应定为 ( )
A.20 B.20.8 C.20或30 D.30
2.泰安市某著名特产,产品畅销省内外,现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元,每天可售出50箱;若每箱产品每涨价1元,日销售量将减少2箱;据此规律,要使每天的盈利达到600元,设每箱产品涨价x元,则列出关于x的方程是 ( )
A. (10−x)(50−2x)=600 B. (10+x)(50+2x)=600
C. (10−x)(50+2x)=600 D. (10+x)(50−2x)=600
3.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元?





【当堂达标】
1.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株？则可以列出的方程是 ( )
A．(3＋x)(4－0.5x)＝15 B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15
C．(x＋4)(3－0.5x)＝15 D．(x＋1)(4－0.5x)＝15
2.某种文化衫,平均每天销售40件，每件盈利20元，若每件降价1元，则每天可多售10件，如果每天要盈利1080元，每件应降价 元．
3.某商店销售一批服装，每价成本价100元，若想获利25%，这种服装的售价应为_______________元.
4.某商品原价a元，因需求量大，经营者将该商品提价10%，后因市场物价调整，又降价10%，降价后这种商品的价格是_______________。
5.某种服装,平均每天可售20件,每件盈利44元,在每件降低幅度不超过10元的情况下,若每件降价1元,则每天可多售5件,如果每天要盈利1600元,每件应降价多少元?



6. 商场有一批进货价为12元的商品A，当定价为20元时，每天可售出240个.根据市场调查发现，在定价20元的基础上，该商品：
（1） 单价每涨1元,每天少出售20个（2）单价每降1元,每天多出售40个
为了使出售商品每天获得的利润1920元,并让利给消费者,定价多少时较为合理？





【拓展延伸】
7.在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．
销售量y（千克）
…
34.8
32
29.6
28
…
售价x（元/千克）
…
22.6
24
25.2
26
…
（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．
（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？




8.6一元二次方程的应用(第4课时）
【学习目标】
1.使学生会用列一元二次方程的方法解决有关几何动态问题．
2.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生应用数学的意识。
【课前梳理】
1.勾股定理： ；
2.直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为 （ ）．
A. B.5 C. D.7
3.从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是 （ ）． A.8cm B.64cm C.8cm2 D.64cm2
4.长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为________．
5.在ABCD中,AB=10,BC=14,E,F分别为边BC,AD上的点,若四边形AECF为正方形,则AE的长为 ( ) A.7 B.4或10 C.5或9 D.6或8
【课堂练习】
知识点 列一元二次方程的方法解决有关几何动态问题
1.三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（　　） A.24 B.24或8 C.48 D.8
2.如图，AB⊥BC，AB＝10cm，BC＝8cm．一只蝉从C沿CB的方向以1cm/s的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A沿AB方向以2cm/s的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x s后，它们分别到达了M、N的位置，此时△MNB的面积恰好为24，由题意可列方程（　　）A. 2x·x＝24 B. （10－2x）（8－x）＝24
C. （10－x）（8－2x）＝24 D. （10－2x）（8－x）＝48
2题图
3题图

3.如图所示,甲、乙两人开车分别从正方形广场ABCD的顶点B. C两点同时出发,甲由C向D运动,乙由B向C运动,甲的速度为1千米/分,乙的速度为2千米/分;若正方形广场的周长为40千米,问几分钟后,两人相距千米?



【当堂达标】
1.如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是BC、CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE的长为（　　）
A. B. C. D.
1题图
2题图

2.如图所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动。如果P、Q分别从A、B同时出发，问：
（1）经过几秒钟，使S△PBQ=8cm2？
（2）几秒钟后P，Q两点的距离等于4 cm?







【拓展延伸】
3.如图，已知长方形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm。某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，当点M到达点B时，两点同时停止运动，问经过多长时间，△AMN的面积等于长方形ABCD面积的？




复习与巩固
【学习目标】
1.了解一元二次方程及其相关概念，会解简单的一元二次方程.
2.经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程，并会用此解决相关问题.
3.能够利用一元二次方程解决有关实际问题.
【课前梳理】
1.一元二次方程的定义
只含有 个未知数，并且可以化成 的整式方程.
2. 一元二次方程的解法
（1）配方法：把一元二次方程的左边配成一个 式，将方程化成 的形式；
（2）公式法：先把方程化成 形式，当 时，方程的根为 ；
（3）因式分解法：方程的一边为 ，而另一边易于分解成 .
解法选择：当方程二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可选用配方法；
当方程各项系数都较为简单时，可选用公式法；当方程一边为0，另一边易于分解因式时，可选用因式分解法；配方法和公式法可解所有的一元二次方程.
3.根与系数
（1）根的判别式：当 时，方程有两个不相等的实数根，
当 时，方程有两个相等的实数根，
当 时，方程没有实数根；
（2） 根与系数的关系：如果方程有两个实数根，那么 ， .
4.一元二次方程的应用
（1）列一元二次方程解应用题的一般步骤为： ；
（2）常见类型： .
【课堂练习】
知识点一　一元二次方程及其解
例1 若一元二次方程有一根为，则 .
跟踪训练
1.已知是关于的一元二次方程，则的取值范围是 .
2.若是方程的一个根，则的值为 .
知识点二　一元二次方程的解法
例2 用适当的方法解下列一元二次方程
（1） （2）





跟踪训练
3.用适当的方法解下列一元二次方程
（1） （2）





知识点三 　一元二次方程的根与系数
例3 关于的一元二次方程 有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B.<3 C.<3 且 D.且
跟踪训练
4. 已知是关于的一元二次方程的两个解，若，则的值为（ ）
A. -10 B. 4 C. -4 D. 10
5.若关于的一元二次方程 的两个实数根分别是，且满足，则的值是 .
知识点四 　一元二次方程的应用
例6 用一条长40cm的绳子围成一个面积为64的矩形，设矩形的一边长为x，则可列方程为 .
跟踪训练
6.一件工艺品进价为100元，标价为135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得利润为3596元，每件工艺品需降价（ ）元.
A. 4 B. 6 C. 4或6 D. 5
巩固训练
一、选择题（每小题5分，共40分）
1. 关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（　　）
A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3
2.2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（　　）
A．x（x﹣1）=380 B．x（x﹣1）=380 C．x（x+1）=380 D．x（x+1）=380
3. 一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为（　　）
A．（y+）2=1 B．（y﹣）2=1 C．（y+）2= D．（y﹣）2=
4.若 ,那么的值为 ( )
A.2或-1 B.0或1 C. -1 D. 2
5. 宾馆有50间房供游客居住，当毎间房毎天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房毎天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房毎天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（　　）
A．（180+x﹣20）（50﹣）=10890 B．（x﹣20）（50﹣）=10890
C．x（50﹣）﹣50×20=10890 D．（x+180）（50﹣）﹣50×20=10890
6.某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（　　）
A．2% B．4.4% C．20% D．44%
7.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（　　） A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
8.我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（　　）
A．8% B．9% C．10% D．11%
二、 填空题（每小题5分，共20分）
9.若x2+2（m﹣3）x+16是关于x的完全平方式，则m=　 　．
10.一元二次方程x2﹣x=0的根是　 　．
11.已知：m2﹣2m﹣1=0，n2-2n﹣1=0且mn≠1，则的值为　 　．
12.若2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，则m﹣n的值为　 　．
三、解答题（共 40 分）
13.（10分）解下列一元二次方程
（1）2x2+5x+2=0． （2）



14.（12分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．



15. （18分）“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．
(1)求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？
（2）若该型号自行车的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月可获利26400元.



第九章 图形的相似
9.1 成比例线段（1）
【学习目标】
1.了解线段的比概念.
2.会求两条线段的比，应用线段的比解决实际问题.
【课前梳理】阅读课本第84-86页内容，完成下列问题.
1.如果选用 量得两条线段AB,CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们 ，即 或写成 .
2.四条线段a,b,c,d中如果 ，即 ，那么这四条线段a,b,c,d叫做 ，简称 .
3.比例的基本性质：如果,那么 ；如果ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么 .
【课堂练习】
知识点一：两条线段的比
1.一张桌面的长a=1.25m，宽b=0.75m，那么长与宽的比是 .
2.已知A、B两地的实际距离是60km,画在地图上其距离A’B’是6cm,求这幅地图的比例尺 .

知识点二：成比例线段
3.已知线段a=1cm，b=2.4cm，c=2cm，d=4.8cm，这四条线段是成比例线段吗？




知识点三：比例基本性质
4.若x是3、4、9的第四比例项，则x＝ .
5.已知线段a＝4cm，b＝9cm，线段c是a、b的比例中项，则线段c的长为 .
6.已知a=3,b=6,c=9
(1)若a,b,c,x是成比例线段，求x. (2)若a,x,b,c是成比例线段，求x.







【当堂达标】
一、选择题
1.已知：线段a=7cm，b=2cm，则= .
2.如果线段a=2cm，b=8cm，c=4cm，那么a、b、c的第四比例项d为 .
3.已知线段b是a,c的比例中项，a=9cm,c=25cm,则b等于 cm.
4.把mn=pq（m,n,p,q都不等于0）写成比例式，写错的是（ ）
A. B. C. D.
5.若(m+n):n=3:2，则m:n的值是（ ）
A.3:2 B.2:3 C.1:2 D.5:2
6.下列四组线段中，成比例线段的是（ ）
A.1cm,2cm,3cm,4cm
B.4cm,8cm,3cm,5cm
C.5cm,15cm,2cm,6cm
D.2cm,5cm,3cm,4cm
7.在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离为
7.5cm，那么福州与上海之间的实际距离是多少？




8题图
8.如图，△ABC中，，且DE=10，BC=15，AG=4，求AH．




【拓展延伸】：
9.已知三个数1、2、，请你再添上一个数，使它们构成一个比例式，则这个数是多少？






9.1 成比例线段（2）
【学习目标】
1.知道成比例线段的两个基本性质及其简单应用.
2.运用比例的基本性质解决有关问题.
【课前梳理】阅读课本87页——90页内容，完成下列问题：
1.如图，已知=3,则=吗？

2.如果=k（k为常数），那么成立吗？为什么？

3.如果,那么成立吗？为什么？

4.性质一：如果，那么 .
5.性质二：如果=…==k（b+d+…+n≠0）,那么 = = .你能写出推理过程吗？



【课堂练习】
知识点一：合比性质
1.已知a:b=3:2,且a-b=10，则a+b = .
2.若3，则 ； ； .
知识点二：等比性质
3.已知：==5（b+d+f≠0）
（1） （2）




【当堂达标】
1.填空
（1）若 则 ； ； .
（2）已知 则 ； .
2.已知，则 .
3.已知a、b、c是△ABC的三边，且a+b+c=60cm，a:b:c=3:4:5，求△ABC的面积。





4题图
4.如图，已知,且△的周长为36cm，求△的周长.





【拓展延伸】：
5.已知a:b:c=3:4:2,且a+2b-c=18
(1)求a,b,c (2)求4a-3b+c的值




6.如果线段a,b,c的长度之和是32cm，且满足那么这三条线段能否围成一个三角形？








9.2 平行线分线段成比例
【学习目标】
1.借助勾股定理探索并掌握平行线分线段成比例这个基本事实及其推论.
2.正确理解 “对应线段”和 “等量代换” 会用平行线分线段成比例的事实和推论解决相关的计算和证明问题.
3.体会由特殊到一般再到特殊的归纳推理的思想和方法.
【课前梳理】阅读课本90-92页内容，完成下列问题.
1.内容：如图（1）小方格的边长都是1，直线a ∥b∥ c ,分别交直线m,n于 A1，A2，A3，B1，B2，B3 。
根据勾股定理可得：
A1A2= .B1B2= .
A2A3= .B2B3= .
A1A3= .B1B3= .
所以 由此你能得到的结论是 .
所以 由此你能得到的结论是 .
所以 由此你能得到的结论是 .
2.定理：两条直线被 ，所得的 .
3.推论： 的直线与其他两边相交，截得的 .
【课堂练习】
1题图
2题图
知识点一：平行线分线段成比例
1.如图,l1∥l2∥l3,根据“平行线分线段成比例定理”,下列比例式中正确的是( )
A. B.
C. D.
知识点二：推论
2.如图,在△ABC中,DE∥BC，分别交AB，AC于点D， E. 若AD=3，DB=2，BC=6，则DE的长为__ _.



【当堂达标】
1.根据“对应线段”解决问题.
（1）∵AB∥DE ∴=( ) =( ) =( ) =( ）
（2）∵AD∥EF∥BC ∴=( )=( ) =( )=( )
3题图
2题图
(1)
(2)
(3)
1题图
（3）在平行四边形ABCD中，=( )=( ) =( )=( )





2.根据例题解决问题.
如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC上的点，且 DE∥BC,
（1）如果AD = 3.2cm, DB = 1.2cm ，AE=2.4cm,那么EC的长是多少？
（2）如果AB = 5cm, AD=3cm，AC = 4cm ，那么EC的长是多少？



3.根据“对应线段”和例题解决问题.
如图，在△ABC中，D、E分别是AB和BC上的点，且DE∥AC，=,=,求

4题图

4.根据“等量代换”解决问题
如图P是四边形OACB对角线的任意一点，且PM∥CB，PN∥CA，
求证：



【拓展延伸】
5题图
5.综合应用相关知识解决问题.
如图，在ΔABC中，EF//DC，DE//BC，
求证：（1）AF︰FD＝AD︰DB； （2）AD2＝AF·AB




9.3相似多边形
【学习目标】
1.各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形.
2.相似多边形对应边的比叫做相似比.
D
E
F
A
B
C
1题图
3.相似多边形的对应边成比例，对应角相等．
【课前梳理】阅读课本95——96页内容，完成下列问题：
1.如图：△ABC和△DEF全等，那么对应边有 ，对应角有 ，对应边的比是 .
2.相似多边形： 、 的两个多边形叫做 . 相似符号为 ，读作 .
3.相似比： 的比叫做相似比.[来源:学.科.网
4.六边形ABCDEF相似于六边形GHIJKL 记作：___________ __ ____.
5.思考：两个相似多边形对应角有什么关系？对应边有什么的关系？



【课堂练习】
知识点一：相似多边形
1.下面图形是相似形的为( )
A.所有矩形      B.所有正方形 C.所有菱形     D.所有平行四边形
2.下列说法正确的是( )
A.所有的三角形都相似 B.所有的正方形都相似
C.所有的菱形都相似 D.所有的矩形都相似
3.如果六边形ABCDEF∽六边形A′B′C′D′E′F′，∠B=62°，那么∠B′等于（ ）
A.28° B.118° C.62° D.54°
知识点二：相似比
4.△ABC相似于△HMN 记作：____________；若，则相似比为 .
5.两个相似多边形的对应边的比是，则这两个多边形的相似比是________.
6.若五边形ABCDE∽五边形MNOPQ，且AB=12，MN=6，AE=7，则MQ=________.
7.四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为2:3，四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为5:4，则四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似且相似比为（  ）
A. 5:6 B. 6:5 C. 5:6或6:5 D. 8:15



【当堂达标】
一、填空题
1.以下五个命题：①所有的正方形都相似；②所有的矩形都相似；③所有的三角形都相似；④所有的等腰直角三角形都相似；⑤所有的正五边形都相似．其中正确的命题有_______．
2. 下列四组图形中不一定相似的是( )
A. 有一个角等于40∘的两个等腰三角形
B. 有一个角为50∘的两个直角三角形
C. 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形
D. 有一个角是60∘的两个等腰三角形
3.一个六边形六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与它相似的六边形的最短边为6，则其周长为 ．
4.把一矩形纸片对折，如果对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为 ．
5题图
5.如图，等腰梯形ABCD与等腰梯形A′B′C′D′相似，∠A′=65°，A′B′=6 cm， AB=8 cm， AD=5 cm，试求梯形ABCD的各角的度数与A′D′， B′C′的长?




6题图
6.在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是(　　）
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
【拓展延伸】
7题图
7.如图，在□ABCD中，AB//EF，若AB = 1，AD = 2，AE=AB，则□ABFE与□BCDA相似吗?说明理由．








9.4 探索三角形相似的条件（1）
【学习目标】
1.能说出三角形相似的判定定理（1）：两角分别相等的两个三角形相似.
2.会用三角形相似的判定定理（1）来解决有关问题.
3.通过用三角形全等的判定方法类比得出三角形相似的判定方法，使学生进一步领悟类比的思想方法.
【课前梳理】阅读课本第98-99页内容，完成下列问题.
1.根据相似多边形的定义， 、 的两个三角形叫做相似三角形.
2.类比两个三角形全等的条件，寻找判定两个三角形相似的条件，可以得到三角形相似的判定定理（1）： 的两个三角形相似.
B
C
E
D
A
1题图
【课堂练习】
知识点一：三角形相似的判定定理一
1.已知：如图D、E分别是△ABC两边AB、BC上的点,∠A=60°,∠C=70°,∠AED=50°,AD=5,AC=10,AE=9,求AB的长.




3题图
2.下列说法：①有一个锐角相等的两个直角三角形相似；②顶角相等的两个等腰三角形相似；③任意两个菱形一定相似；④位似图形一定是相似图形；其中正确的个数是( )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36∘，CD是∠ACB的平分线，
△ABC和△CBD相似吗?为什么?



知识点三：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似.
A
B
D
4题图
C
4.已知：如图（7），∆ABC中，CD是斜边上的高．
求证： ∆ACD∽∆ABC．







1题图
【当堂达标】
1.如图，在矩形ABCD中，E、F分别是DC、BC边上的点，且∠AEF=90°则下列结论正确的是（　　）
A. △ABF∽△AEF B. △ABF∽△CEF
2题图
C. △CEF∽△DAE D. △DAE∽△BAF
2.如右图,(1)若∠B=∠C，则 ∆ABE∽∆______；
∆DBO∽∆______．
(2)若∠B=∠C,且∠1=∠A，则图中相似三角形共有______对．
3题图
3.已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，且
∠1=∠B.求证：AEAC=ADAB




【拓展延伸】
4.如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B.
4题图
求证：AC·CD = CP·BP






5.在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90O,E为AB的中点.
(1)求证: AC2=AD·AB
5题图
(2)求证:CE∥AD.
(3)若AD=4，AB=6，求的值.










9.4 探索三角形相似的条件（2）
【学习目标】
1.掌握判定两个三角形相似的方法（2）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
2.培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法（2）与全等三角形判定方法（SAS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系.
【课前梳理】阅读课本第101-102页内容，完成下列问题.
1.三角形相似的判定定理（2）：.如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边 成比例，并且夹角 ，那么这两个三角形 .简称： 且 的两个三角形相似.
2.如果△ABC和△A′B′C′的两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？


【课堂练习】
知识点：三角形相似的判定定理二
1题图
1.如图，P是△ABC的边AC上的一点，连接BP．以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（  ）． 

（C）∠ABP=∠C （D）∠APB=∠ABC 
2.已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠B=∠B′，AB=6，BC=8，
B′C′=4，当A′B′=_______时，△ABC∽△A′B′C′．
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在AB、AC上，
3题图
且AD·AB=AF·AC．ED与AB垂直吗？请说明理由.





4题图
4.如图，AD=3，AE=4，BE=5，CD=9，△ADE和△ABC相似吗？
说明理由.







【当堂达标】
一、选择题
1.下列条件能判定△ABC∽△A/B/C/的有( ）
（1）∠A＝45°，AB＝12，AC＝15，∠A/＝450， A/B′＝16，A/C/＝20
（2）∠A＝47°，AB＝1.5，AC＝2，∠B/＝47°， A/B/＝2.8，B/C/＝2.1
（3）∠A＝47°，AB＝2，AC＝3， ∠B/＝47°，A/B/＝4，B/C/＝6
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.如图，在△ABC中，P为AB上的一点，在下列条件中：①∠ACP＝∠B；
②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC∽△ACB的条件是（ ）
A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③
二、选择题
P
C
A
2题图
3题图
5题图
4题图
A
C
D
B
3.如图在△ABC和△A′B′C′中∠B＝∠B′,要使△ABC∽△A′B′C′，还需要添加条件 .



B




4.如图在△ABC中,D在AB上,要说明△ACD∽△ABC相似,已经具备了条件 ,
还需添加的条件是 ，或 或 .
5.如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为 .
【拓展延伸】

6题图
6.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且= =
(1)求证:△ADF∽△ACG；
(2)求的值.











9.4 探索三角形相似的条件（3）
【学习目标】
1.初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法.
2.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题.
【课前梳理】阅读课本第103-104页内容，完成下列问题.
1.相似三角形判定定理（3）： 的两个三角形相似.
2.我们学习过哪些判定三角形相似的方法？

3.全等三角形与相似三角形有怎样的关系？
4题图

4.如图，如果要判定△ABC与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？


【课堂练习】
C
B
A
D
E
1题图
知识点一：三角形相似的判定定理三
1.如图，在△ABC和△ADE中，,∠BAD=20°
求∠CAE的度数。






2.如图,在四个4×4的正方形网格中,三角形相似的是( )

A. ①和② B. ②和④ C. ②和③ D. ①和③
3.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4，6，8；另一个三角形框架的一边长为2，它的别外两条边长应当是多少？你有几种答案？



【当堂达标】
一、 选择题
3题图
2.下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）

3．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：（1）ABA′B′=BCB′C′，（2）BCB′C′=ACA′C′；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有（　　）
A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
4.如图，已知AE=2，BE=3，DB=AE，BC=7.5.
①△ABC∽△DBE吗？为什么？②如果DE=2.5,那么AC的长是多少？
4题图




【拓展延伸】
5.已知：如图，AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点．
求证：△DFE∽△ABC．
5题图









9.5相似三角形判定定理的证明
【学习目标】：
1.了解相似三角形判定定理会证明相似三角形判定定理.
2.掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力.
【课前梳理】阅读课本第106-108页内容，完成下列问题.
1.两角 ，两三角形相似.
2.两边 且 ,两三角形相似.
3.三边 ,两三角形相似.
4.掌握三种三角形相似判定定理的证明过程.
【课堂练习】
1题图
知识点一：两角分别相等的两个三角形相似.
1.已知：如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.





知识点二：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
2题图
2.如图,△ABC,AB=12,AC=15,D为AB上一点,且AD=23AB,在AC上取一点E,使以A. D. E为顶点的三角形与ABC相似,则AE等于( )
A. 6.4
B. 10
C. 6.4或10
D. 以上答案都不对
知识点三：定理  三边成比例的两个三角形相似.
3.如图,小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的
是( )




A
B
C
D






【当堂达标】
1.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　）
A. =　　B. 　　C. 　　D.
1题图TTUTU
2题图
3题图






2.如图，在等边三角形 ABC 中， D， E， F 分别是三边上的点， AE = BF = CD，那么△ABC 与△DEF 相似吗？ 请证明你的结论.



3.已知:如图,ΔABC中,AD=DB,∠1=∠2.求证:ΔABC∽ΔEAD.




【拓展延伸】
4.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，DE=DF，
∠EDF=∠A．
4题图
A
D
B
E
C
F
（1）找出图中一对相似的三角形，并证明；
（2）求证：．
A
D
B
E
C
F












9.6 黄金分割
【学习目标】
1.了解黄金分割,通过折叠黄金矩形活动，加深对黄金分割的认识.
2.通过学生主动参与、积极思考、合作交流体会黄金分割的文化价值，增强学生的数学应用意识.
3.通过观察、推理、交流、反思等数学活动过程培养学生发现、分析、解决问题的能力，积累数学活动经验.
【课前梳理】阅读课本第110-111页内容，完成下列问题.
B
C
A
1.黄金分割：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果 ，那么称线段AB被点C ，点C叫做线段AB的 ，AC与AB的比叫做 .
2.黄金比 ≈ .
【课堂练习】
知识点一：黄金分割
D
C
E
A
B
H
G
F
1题图
1.如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH.则点H是AB的黄金分割点吗？说说你的理由.










知识点二：黄金分割比
2.如果点C是线段AB的黄金分割点， AC＞BC，且AB=2，则AC= .
3.已知P、Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB=10，则PQ的长为（ ）
A.5（-1） B.5（+1）
C.10（-2） D.5（3-）


【当堂达标】
1题图
一、选择题
2题图
1.已知如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（　 　）.

A．AB2=AC2+BC2 B.BC2=AC•BA C. D.

2.当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．
如图，某女士身高165cm下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能
达到好的效果，她穿的高跟鞋高度大约为（ ）
A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm
二、填空题
4题图
3. 已知一本书的宽与长之比为黄金比，且这本书的长是20 cm，则它的宽为_____cm（结果保留根号）.
4. 顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD是三角形ABC的角平分线，那么AD＝ .
【拓展延伸】
5.如图：在中，D、E分别是边AB、AC上的点，且；
(1)你能说明吗?
(2)若AB=12，AE=6，EC=4，求出AD的长.
D E
B C
A
5题图
(3)若,且的周长为30，求出的周长.















9.7 利用相似三角形测高
【学习目标】
1.使学生掌握和综合运用三角形相似的判定条件和性质.
2.通过测量旗杆的高度，使学生运用所学知识解决问题.
3.通过问题情境的设置，培养学生积极的进取精神，增强学生数学学习的自信心.
【课前梳理】阅读课本第113-115页内容，完成下列问题.
1.相似三角形的性质：相似三角形的对应角_________，对应边_________.
2.相似三角形的判定：①___________________的两个三角形相似；
②________________ 且 ___________的两个三角形相似；
③______________________的两个三角形相似.
3.利用相似三角形测高的三种方法：①___________________，②_________ _______，③_____________________.
【课堂练习】
知识点一：利用阳光下的影子
1．利用阳光下的影子，某学习小组要测量旗杆的高度，他们选一名身高为1.6米的同学直立于旗杆影子的顶端处，测得该同学的影长为1.2米，同一时刻测得旗杆影长为9米，那么旗杆的高度是多少米？
1题图








2.某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻测得小树高为1.6米时，其影长为0.8米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为4.8米，墙上影长为1.2米，那么这棵大树高多少米?
0.8m
1.6m
B
4.8m
A
?
C
1.2m
D
2题图










知识点二：利用标杆
3题图
3.利用标杆，某学习小组要测量旗杆的高度，一名学生站在B处恰好能从高为4米的标杆CD顶端看到旗杆顶端点E，其他小组成员测出BD为2米，标杆与旗杆的距离DF为10米，该学生眼睛距地面的高度AB为1.6米，那么旗杆的高度是多少米？





知识点三：利用镜子的反射
4题图
4.利用镜子的反射，某同学要测量旗杆的高度，在地面上E处放一面平面镜，与旗杆的距离EA=15米，当她与镜子的距离CE=1.5米时，她刚好能从镜子中看到旗杆的顶端B，已知她眼睛距地面的高度CD=1.6米，那么旗杆的高度是多少米？





【当堂达标】
1.高4米的旗杆在水平地面上的影子长为6米，此时测得附近一个建筑物的影长为24米，则该建筑物的高度是______米.
2题图
2.如图是小明设计用手电筒测量某建筑物高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到该建筑物CD的顶端C处，已知AB⊥BD，
CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该建筑物的高度是多少米？






3题图
3.如图利用标杆BE测量建筑物DC的高度，如果标杆BE的长为1.2米，测得AB=1.6米，BC=8.4米，则楼高CD为多少米？






9.8 相似三角形的性质（1）
【学习目标】
1.掌握相似三角形的性质定理及其证明方法.
2.能运用相似三角形性质定理解决问题.
3.通过全等三形与相似三角形的类比学习，感受学生从特殊到一般的认识规律.
【课前梳理】阅读课本第117-118页内容，完成下列问题.
1.全等三角形的对应角 、对应边 .
2.全等三角形的对应高 、对应中线 、对应角平分 .
3.相似三角形的对应角 、对应边 .
4.相似三角形 的比、 的比、 的比都等于相似比.
【课堂练习】
知识点：相似三角形对应线段的比都等于相似比
1题图
1.如图 ，已知△ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k. AD 与 A'D'分别是对应边BC与 B'C'上的高．
（1）除△ABC ∽△A'B'C'以外，图中还有几对相似三角
形？
（2）AD与 A'D'的比与相似比 k 有什么关系？为什么？
（3）在△ABC与△A'B'C'中，分别作出∠A 与∠A'的平分线以及
BC与B'C'上的中线，则对应的角平分线的比、对应边上中线
的比分别与k有什么关系？说明你的理由.







2题图
2.如图2，有一块锐角三角形余料ABC，它的边 BC = 12 cm，高AD=8cm . 现要用它裁出一个正方形工件，使正方形的一边在BC上，其余的两个顶点分别在 AB，AC 上，求裁出的正方形的边长？








【当堂达标】
1.△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为 ( )
A. 1:2 B. 1:3 C. 1:4 D. 1:16
2.如果△ABC∽△A′B′C′，BC＝3，B′C′=1.8，则△A′B′C′与△ABC的对应边上的对应高的相似比为( )
A.5∶3 B.3∶2 C.2∶3 D.3∶5
3.若的周长为，点D,E,F分别是三边的中点，则的周长为（　　）
4题图
A. B. C. D.
4. 一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22．5cm．
现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，已知剪得
的纸条中有一张是正方形，这张正方形纸条是(　)
A.第4张 B.第5张 C.第6张 D.第7张
5.若两个相似三角形的相似比是2∶3，则它们的对应高线的比是 ，对应中线的比是 ，对应角平分线的比是 .
6题图
6.如图所示，有一块三角形余料△ABC，它的边BC=40cm，高AD=30cm.现在要把它加工成长与宽的比为2:1的矩形零件PQMN，要求一条长边在边BC上，其余两个顶点分别在边AB，AC上.求矩形的长和宽.







【拓展延伸】
7.已知：如图△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，.
7题图
(1)求证：△ABD∽△ACB；
(2)求△ABD与△ACB的周长的比









9.8 相似三角形的性质（2）
【学习目标】
1.进一步掌握相似三角形的性质定理及其证明方法.
2.能运用相似三角形性质定理解决问题.
3.通过相似三角形性质定理及应用的学习，培养学生类比思想、归纳思想及特殊到一般的认识规律，拓展学生思维.
【课前梳理】阅读课本第119-121页内容，完成下列问题.
1.相似三角形周长的比等于 .
2.相似三角形面积的比等于 .
3.两个相似四边形的周长的比等于相似比吗？面积的比等于相似比的平方吗？两个相似五边形呢？两个相似的n边形呢？

【课堂练习】
知识点一：相似三角形周长的比等于相似比.
1.两个相似三角形周长的比为9∶16，其中小三角形的周长为36cm，求另一个三角形的周长.



2.两个相似三角形的周长分别为5cm和16cm，则它们的对应角的平分线的比为 .          
3题图
知识点二：相似三角形面积的比等于相似比的平方.
3.如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD∶DB = 3∶1，△ABC 的面积为 48 .
求△ADE 的面积？





4.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，S△ADE：S△BCE=4：9，求S△ABD：S△ABC.      
A
D

4题图
E



B
C



【当堂达标】
一、填空题
1.两个相似三角形，其周长之比为3：2，则其面积比为 .
2题图
5题图
3题图图
O
A
D
6题图
2.△ABC中，DE∥FG∥BC，AD＝DF＝FB，则S△ADE:S四边形DFGE:S四边形FBCG= .



B
C



3.在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点AD∶BC＝3∶7，则AO∶OC＝ ，
∶＝ ，∶＝ .
4.两个相似三角形面积之差为9cm2，对应的高线的比是∶，这两个三角形的面积分别是 .
5.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4
则S△BDE：S△ACD= .
6.如图，已知P为△ABC内一点，过P点分别作直线平行于△ABC的各边，形成小三角形的面积、、，分别为4、9、49，则△ABC的面积为 .
【拓展延伸】
7.如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.

7题图
(1)求证：FD 2 ＝FB·FC.
(2)如果AC=6,BC=4,S△FBD=2,求S△FDC









9.9 利用位似放缩图形（1）
【学习目标】
1.探索并了解位似图形的有关概念，能利用位似将一个图形放大或缩小.
2.经历探索位似图形的定义与性质的过程，进一步体会位似图形的特征，发展空间观念.
【课前梳理】阅读课本第123-124页内容，完成下列问题.
1.如果两个 每组对应顶点A，A′的 ，且有 ，那么这样的两个多边形叫做 ，点O叫做 .实际上，k就是这两个相似多边形的 .
2. 位似多边形的性质：如果两个多边形是位似图形，且对应边平行或在同一直线上，那么图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于 .
【课堂练习】
知识点一：位似多边形的概念
1.下列3个图形中是位似图形的有 个.


知识点二：位似多边形的性质
2.下列图形中，每个图中的四边形ABCD和四边形A′B′C′D′都是相似图形.分别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边形各对应点的连线有什么特征？对应边有何位置关系？

知识点三：位似多边形的作图
3.如图 1-30，已知△ABC 与点 O . 以点 O 为位似中心，画出△A'B'C'，使它与△ABC 是位似图形，并且相似比为 3∶2 .
画法一：（位似中心在图形的同一侧）画法二：（位似中心在图形之间）.






【当堂达标】
一.选择题
1.下列说法中正确的是( )
A.位似图形可以通过平移而相互得到 B.位似图形的对应边平行且相等
C.位似图形的位似中心不只有一个[来源:学_ D.位似中心到对应点的距离之比都相等[
2.下列图形中位似中心在图形上的是( )






4题图
3题图
3.如图，已知△EFH和△MNK是位似图形，那么其位似中心是点（　　）
A.A B.B C.C D.D






二.填空题
4.如图，△ABC与△A1B1C1为位似图形，点O是它们的位似中心，位似比是1：2，已知△ABC的面积为3，那么△A1B1C1的面积是　 .
5.已知△ABC与点O， 以O为位似中心，画出△A’B’C’，使它与△ABC是位似图形，并且相似比为1：2.




【拓展延伸】
A
B
C
D
E
6题图
6.如图D，E分别是AB，AC上的点.
(1)如果DE∥BC,那么△ADE和△ABC位似图形吗?为什么?
(2)如果△ADE和△ABC是位似图形,那么DE∥BC吗?为什么?






9.9 利用位似放缩图形（2）
【学习目标】
1.会用图形上点的坐标的变化来表示图形的位似变换.
2.会坐标的变化把一个图形按一定大小比例放大或缩小，并掌握点的坐标变化的规律.
3.经历探索图形上点的坐标变化和图形位似变换关系的过程，体会数形结合的数学思想.
【课前梳理】阅读课本第126-127页内容，完成下列问题.
1.在平面直角坐标系中有两点A（6，3），B（6，0），以原点O为位似中心，相似比为
1：3，把线段AB缩小.
方法一： 方法二：



（1）在方法一中，A’的坐标是 ，B’的坐标是 ，对应点坐标之比是.
（2）在方法二中，A’’的坐标是 ，B’’的坐标是 ，对应点坐标之比是.
2.位似性质：在直角坐标系中，将一个多边形 ，
所对应的图形与原图形位似，位似中心是 ，它们的相似比为 .
【课堂练习】
知识点：直角坐标系中的位似性质
如图,图中的小方格都是边长为1的正方形,△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.
(1)画出位似中心点O；
(2)求出△ABC与△A′B′C′的位似比；
(3)以点O为位似中心,再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于3:2.







【当堂达标】
一、 选择题
1.如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是：（ ）
A．（―4，―3） B．（―3，―3） C．（―4，―4） D．（―3，―4）
C
A
D
B
E
1题图
2题图
4题图










2.如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，如果小“鱼”上一个“顶点”的坐标为，那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
二、简答题
3.△ABO的顶点坐标分别为A(-1,4)，B(3,2)，O(0,0)，试将△ABO放大为△EFO，使△EFO与△ABO的相似比为2.5∶1，求点E和点F的坐标．


4.如图AB，CD相交于点E，AC∥DB. △ACE与△BDE是位似
图形吗？为什么？[来源


【拓展延伸】
5.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4）,C（﹣2，6）.
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1.
（2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2．






复习与巩固
【学习目标】
1.了解线段的比，成比例线段；通过建筑、艺术等方面的实例了解黄金分割.
2.了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的判定及直角三角形相似的判定；会用相似三角形证明角相等或线段成比例，或进行角的度数和线段长度的计算等.
【课前梳理】
1．两条线段____的比叫做这两条线段的____．在四条线段a、b、c、d中，若a：b＝c：d，则称a、b、c、d四条线段成_ ___．若a：b＝b：c，则线段b叫做线段a和c的比例___ __．
2。（1）若，则ad＝_______．（2）若，则＝_______．
（3）若_______.
3.平行线分线断成比例：（1）定理：两条直线被 ，所得的 .
（2）推论： 的直线与其他两边相交，截得的 .
4.相似三角形：（1）定义：对应角 ，对应边 的两个三角形叫做相似三角形。相似用符号“ ”来表示，读作“ ”。相似三角形对应边的比叫做 .
（2）三角形相似的判定方法：
判定定理1： 的两个三角形相似.
判定定理2： 且 的两个三角形相似.
判定定理3： 的两个三角形相似.
5．（1）黄金分割：点C把线段AB分成AC和BC两段(CA>BC)，且AC是AB和BC的_______，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的________.
（2）黄金分割比: ≈ .
6.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角 ，对应边 .
（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于 .
（3）相似三角形周长的比等于 .
（4）相似三角形面积的比等于 .
7.位似图形：定义：如果两个 每组对应顶点A，A′的 ，且有 ，那么这样的两个多边形叫做 ，点O叫做 .实际上，k就是这两个相似多边形的 .性质：每组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于 .利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。
【课堂练习】
【典型例题1】已知，则的值是 .
【跟踪训练1】若，则的值为（　 ）
A．1 B． C． D．
【跟踪训练2】已知，则的值是 .
【跟踪训练3】若，则k= .
【典型例题2】已知xy = mn，则把它改写成比例式后，错误的是 （ ）
训练5图
例3图
例4图
训练4图
A. B. C. D.



【典型例题3】如图，已知：，AB=6，DE=5，EF=7．5，则AC= ．
【典型例题4】如图，在□ABCD中，过点B作BE⊥CD，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C．
（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长；
（3）在（1）、（2）的条件下，若AD=3，求BF的长.




【跟踪训练4】如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=‏ BC．图中相似三角形共有（　　）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
【跟踪训练5】如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为 时，△ADP和△ABC相似．
C
A
B
C
B
A
D
【跟踪训练6】如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（粗线）与左图中△ABC相似的是（ ）



【典型例题5】如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则＝______．
【跟踪训练7】如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2，若S＝2，则S1＋S2＝__ _．
例5图
训练7图
例8图
训练8图






【典型例题6】点C是线段AB的黄金分割点，带≈0．6 18，那么的近似值是______.
【典型例题7】关于对位似图形的表述,下列命题正确的是_ __.(只填序号)
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形.
②位似图形一定有位似中心.
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形.
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比.
【典型例题8】如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③；④AG+DF=FG．其中正确的是 ．
【巩固训练】
一．选择题（每小题5分）：
1.下列各组数中，成比例的是（　　）
A．－7，－5，14，5　 B．－6，－8，3，4　　C．3，5，9，12　 D．2，3，6，12
2.如果x:(x+y)＝3:5，那么x:y＝( )
A. B. C. D.

3.如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF∶FD=1∶3，则BE∶EC=（ ）
3题图
A. B. C. D.
4.下列说法中，错误的是（ ）
A.两个全等三角形一定是相似形 B.两个等腰三角形一定相似
C.两个等边三角形一定相似 D.两个等腰直角三角形一定相似
5.如图，RtΔABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，若ΔABC∽ΔBDC，则CD＝　　．
A．2　　 　B．　　 　C．　　 　D．
10题图
5题图
7题图
8题图
二、填空题（每小题5分）




6.已知＝4，＝9，是的比例中项，则＝　　　　．
7.如图，要使ΔABC∽ΔACD，需补充的条件是　　　　　　．（只要写出一种）
8.如图，小东设计两个直角测量河宽DE，量得AD＝2m，BD＝3m，CE＝9m，则河宽DE为　　　.
9.一公园占地面积约为800000，若按比例尺1∶2000缩小后，其面积约为　　　　．
10.如图，点P是RtΔABC斜边AB上的任意一点（A、B两点除外）过点P作一条直线，使截得的三角形与RtΔABC相似，这样的直线可以作　　　条．
15题图
14题图
13题图
三、解答题
12题图
11题图







11.如图18—95，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙80cm，梯上点D距墙70cm，BD长55cm．求梯子的长．(8分)










12.如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，AO＝78cm，BO＝42cm，CD＝150cm，求CO和DO．(8分)











13.如图，在正方形网格上有与，这两个三角形相似吗?如果相似，求出的面积比．（10分)












14.已知：如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AC、AB、BC边上，且四边形CDEF是正方形，AC＝3，
BC＝2，求△ADE、△EFB、△ACB的周长之比和面积之比．(12分)











15.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似. (12分)