1.3一元二次方程的根与系数的关系 教案

一元二次方程的根与系数的关系

课首沟通

1. 了解学校学习进度，把握学生的知识掌握情况。
2. 上次课知识回顾并检查作业。

知识导图

课首小测

1. [单选题]  一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（ ）

A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2

2.   [单选题]  若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（ ） A．k＞                               B．k≥                               C．k＞ 且k≠1              D．k≥ 且k≠1
3. 已知关于x的方程x²-mx+n=0 的两个根是0和-3，则m=         ，n=      。

4. 已知关于  的一元二次方程有实数根，则  的取值范围是                           ．

导学一 ： 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）

例 1. 解下列方程，并填写表格：

观察上面的表格，你能得到什么结论？

（1）  关于x的方程 的两根 ， 与系数p，q之间有什么关系？

（2）  关于x的方程 的两根 ， 与系数a，b，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？

例 2. 不解方程，口答下列方程的两根和与两根积：

（1） （2） （3）

（4）            （5）                       （6）

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1. 回答问题：

（1）  你认为什么是根与系数的关系？根与系数的关系有什么作用？

（2）  运用根与系数的关系要注意些什么？

2.   [单选题] （2016年广州市天河区联考试题） 方程的两个根是 ，则 的值等于( ) A.4 B.-4 C.3              D.-3

3.   [单选题] （2016年广州市华侨外国语期中试题） 若方程的两根为 ，下列表示根与系数的等式中，正确的是（ ）

A.                         B.

C.                          D.

导学二 ： 运用韦达定理求代数式的值

知识点讲解 1：常见的代数式

（1） ，

（2）

（3） ，

（4） ，

（5） ，

例 1. 若 是方程 的两个根，试求下列各式的值：

(1) ； (3) ； (4) ．

【学有所获】这些代数式有什么共同的特点吗？

例 2. 已知的两个实数根，求 的值。

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1. [单选题] （2016年广州市七中期中试题） 已知 是一元二次方程 的两根，那么 的值为

（ ）

A.   B.   C.   D.

2. （2016年广州市广雅实验期中试题） 已知一元二次方程的两根为m，n，则 =                            。

3. 已知 是方程 的两个实数根，则 的值为                               。

导学三 ： 运用韦达定理求待定系数

知识点讲解 1：一根已知一根未知型

例 1. 1.已知方程的一个根是－3，求另一根及k的值。

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1. （2016年广州市广雅实验期中试题） 已知一元二次方程有一个根为0，则a的值为

（ ）

A、1 B、-1 C、1或-1 D、0

知识点讲解 2：两根都未知型

例 1. 关于x的一元二次方程的实根为

（1）  求k的取值范围；

（2）  若 且为整数，求k的值。

例 2. （2016年广州市广雅实验期末试题） 已知关于x的一元二次方程。

（1）  若方程有实数根，求实数m的取值范围；

（2）  若方程两实数根分别为 ，且满足 ，求实数m的值。

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1.   （2016年广州市七中期中试题） 若关于  的一元二次方程有两个不相等的实数根，是否存在实数 ，使方程的两个实数根之和等于0？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.

2. 已知关于 的一元二次方程．

（1）  求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；

（2）  若方程的两根为 ，且满足 ，求 的值．

限时考场模拟 ：      15  分钟完成

1. 一元二次方程x²+2x-3=0的一个根是x=1,则另一个根为（ ）

A.1 B.3 C.-3 D.

2. 已知 是方程 的两根。不解方程求下列代数式的值。

（1） （2） （3）

3. 设 是方程 的两根，利用根与系数关系，求 的值。

4. （2016年广州市七中期中试题） 已知：关于 的方程.

（1）  求证：无论 为任何实数，方程总有实数根；

（2）  若此方程有两个实数根 ，且 ，求 的值.

课后作业

1.   [单选题] 已知3是关于x的方程一个根，则这个方程的另一个根是（ ） A. B.2 C.5               D.6
2. [单选题] 关于x的方程有两个不同实根 且 则a的值是（

）。

A.1 B. C. 或1. D.2

3. [单选题] 若关于x的一元二次方程有两个实根 ，且 ，则m的取值范围是

（ ）

A.                           B.                             C.                           D.

4. [单选题] 已知 是方程 的两实根，则 的值为（ ）

A.6 B. 6 C.10 D.

5. 若方程 的两根为 ，则 =                    。
6. 已知关于x的方程 的两个实根的平方和等于11，则求k的值？

7. 已知一元二次方程 ，

（1）  若方程有两实根，求m的取值范围，

（2）  若方程的实根为 且 ，求m.

8. 已知关于x的方程 有两个实数根

（1）  求k的取值范围。

（2）  若 ，求k的值。

1. 总结本节课的重难点；
2. 做好课堂笔记，独立完成规定作业。

课首小测

1.C

解析: 把x=2代入原方程，得4+2p-2=0，解得p= -1。故选C。2.B

解析:由已知得△＞0，即2²-4（k-1）×（-2）＞0，解得k＞

因为原一元二次方程的系数k-1≠0，则k≠1，故选C。3.-3，0

解析:

方法一：把x=0和x=-3分别代入原方程，得

解得

方法二：根据根与系数的关系的关系公式，得

因为原一元二次方程的系数m-1≠0，则m的取值范围为：m≤

导学一例题

1.

证明方法（1）：对于方程

∵

∴

∴

证明方法（2）：∵ ，当 时根为：

设 ， ，则

∴

2.（1）3，-1；（2） （3）3,0；

（4） ；（5）0，-2；（6）-1,1

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1.

（1）  根与系数的关系是指一元二次方程的两根x1，x2与系数a，b，c之间的等量关系，即

， ；根与系数的关系作用很大，比如不解方程即可快速求出两根之和与两根之积的值，比如已知方程的一根，根据两根之和，即可快速求出另一根等等；

（2）  运用根与系数的关系要注意：前提条件是方程有根，即

2.-4

解析: 因为a=1，b=4，所以=-4 3.D

解析:根据公式 ， 即可得答案。

导学二

知识点讲解 1：常见的代数式例题

1.（1）4018；（2） （3）-1972；（4）

解析:

解：由题意，根据根与系数的关系得： (1)

(2)

(3)

(4)

2.

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1.C

解析: 根据公式 即可得到答案。

2.12

解析: 3.2008

解析:把x=a代入原方程，得

导学三

知识点讲解 1：一根已知一根未知型例题

1.

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1.B

解析: 根据一元二次方程的根与系数的关系，得两根之积为0，则因为系数a-1≠0，a≠1，所以a=-1.故选B。

知识点讲解 2：两根都未知型例题

1.

2.

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2.

限时考场模拟

1.C

解析:根据公式，两根之积等于-3，-3÷1=-3，所以另一根为-3.故选C。2.（1） （2）19（3）

解析:

4.

课后作业

1.B

解析:

2.B

解析:由根与系数的关系得 = ， = ，又因 = ，因此

= ，所以a=1或a= .当a=1时方程即为 ， =2.而题目要求 所以x=1不符合

题意，当x=-1时，原方程为 .可得 故a=-1符合题目要求。故选B 3.D

解析:

4.

解析:

5.-3

解析:

=-3，所以填-3. 6.

设方程两根为 则

，又 =11

即 。

解得k=1或k= 时， 当k=1， 正确答案：k=1 7.

8.