高中数学高考考点21 利用导数研究函数的单调性（原卷版）

考点21  利用导数研究函数的单调性

【命题解读】

从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力

【基础知识回顾】 

1. 利用导数研究函数的单调性

在某个区间(a，b)内，如果f′(x)≥0且在(a，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)≤0且在(a，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．

2. 判定函数单调性的一般步骤

(1)确定函数y＝f(x)的定义域；

(2)求导数f′(x)；

(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；

(4)根据(3)的结果确定函数的单调区间．

3. 已知函数单调性求参数的值或参数的范围

(1)函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，可转化为f′(x)≥0在(a，b)上恒成立，且在(a，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a，b)⊆增区间．

函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，可转化为f′(x)≤0在(a，b)上恒成立，且在(a，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a，b)⊆减区间．

(2)函数y＝f(x)的增区间是(a，b)，可转化为(a，b)＝增区间，也可转化为f′(x)＞0的解集是(a，b)；

函数y＝f(x)的减区间是(a，b)，可转化为(a，b)＝减区间，也可转化为a，b是f′(x)＝0的两根．

.1、若函数y＝f(x)的图像如下图所示，则函数y＝f′(x)的图像有可能是(       )

第1题图

　A　               　B

C　                    　D

2、函数f(x)＝－2lnx－x－的单调递增区间是(    )

A.   B.

C.   D.

3、函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图像如图，则函数y＝ax2＋bx＋的单调递增区间是(    )

第3题图

A. (－∞，－2]

B.

C.

D.

4、函数f (x)＝ln x－ax(a>0)的单调递增区间为(　　)

A.   B.

C.   D．(－∞，a)

5、函数f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为________．

6、已知函数f (x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1(k>0)，若f (x)的单调递减区间是(0,4)，则实数k的值为________；

7、(多填题)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点(－1，－6)，函数g(x)＝f′(x)＋6x的图象关于y轴对称.则m＝________，f(x)的单调递减区间为________.

考向一　求函数的单调区间

　求下列函数的单调区间：

(1)f(x)＝x3－x2－2x＋3；

(2)g(x)＝x2－2lnx.

变式1、（1）函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为__ __．

（2） 函数f(x)＝1＋x－sinx在(0，2π)上的单调情况是__     __．

（3）已知a<0，函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋2的单调递减区间是__       ．

变式2、已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.

(1)求a的值；

(2)求函数f(x)的单调区间．

变式3、已知函数f(x)＝(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行.

(1)求实数k的值；

(2)求函数f(x)的单调区间.

方法总结：1. 利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导函数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．

2. 利用导数求函数单调性，在对函数求导以后要对导函数进行整理并因式分解，方便后面求根和判断导函数的符号．

考向二  给定区间求参数的范围

例2、设函数，曲线在点处的切线方程为.

(1)求的值；

(2)若，求函数的单调区间；

(3)设函数，且在区间内存在单调递减区间，求实数的取值范围．

变式1、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知函数.若在上是单调递增函数，求的取值范围；

变式2、设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是____．

方法总结：　1.明晰导数概念及其几何意义在解题中的应用，强化方程的思想，培养基本运算能力．

2. 辨析区间上单调和区间上存在单调区间的本质区别和处理策略的不同，提升参变分离和构造函数等解决问题的方法和技巧，感悟数学解题背后的思维和内涵．

考向三  函数单调区间的讨论

例3、（2019·夏津第一中学高三月考）已知函数．当时，讨论的单调性；

变式1、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知函数.

(1)讨论函数的单调性;

变式2、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知函数，其中.

（1）求函数的单调区间；

变式3、已知函数f(x)＝(x－1)2－x＋ln x(a>0)．讨论f(x)的单调性．

方法总结： 对含参函数的合理分类，关键是找到引起分类讨论的原因．

2. 会对函数进行准确求导，求导以后进行整理并因式分解，其中能否因式分解、每个因式系数的正负、根的大小等都是引起分类讨论的原因．

考向四  构造函数研究单调性

例4、(1)设函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，且2f(x)＋xf′(x)>x2，则下列不等式在R上恒成立的是(　　)

A．f(x)>0　　　　　　　 B．f(x)<0

C．f(x)>x  D．f(x)<x

(2)已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>－2f(x)，若g(x)＝x2f(x)，则不等式g(x)<g(1)的解集是(　　)

A．(－∞，1)  B．(－1,1)

C．(－∞，0)∪(0,1)  D．(－1,0)∪(0,1)

变式1、（2020届山东实验中学高三上期中）设定义在上的函数满足，且当时，.己知存在，且为函数(为自然对数的底数)的一个零点，则实数的取值可能是（    ）

A． B． C． D．

变式2、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是(     )

A． B．

C． D．

方法总结：(1)对于不等式f′(x)＋g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)；

(2)对于不等式f′(x)－g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)；

特别地，对于不等式f′(x)>k(或<k)(k≠0)，构造函数F(x)＝f(x)－kx.

(3)对于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)g(x)；

(4)对于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝(g(x)≠0)；

(5)对于不等式xf′(x)＋f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝xf(x)；

(6)对于不等式xf′(x)－f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝(x≠0)．

1、【2017年高考浙江】函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是

2、【2019年高考北京理数】设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．

3、（2018年泰州期中），若在上存在单调递增区间，则的取值范围是_______

4、【2018年高考天津理数】已知函数，，其中a>1.

（I）求函数的单调区间；

5、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数．

（1）讨论的单调性；

6、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数.讨论的单调性；

7、（2020届山东省临沂市高三上期末）函数（）.

（1）讨论的单调性；