高中数学高考大题专项训练2

大题专项训练2　数　列

1．(2019年陕西西安模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列．

(1)求a1；

(2)求an的通项公式．

【解析】(1)在2Sn＝an＋1－2n＋1＋1中，

令n＝1，得2S1＝a2－22＋1.

令n＝2，得2S2＝a3－23＋1，

解得a2＝2a1＋3，a3＝6a1＋13.

又2(a2＋5)＝a1＋a3，解得a1＝1.

(2)由2Sn＝an＋1－2n＋1＋1,2Sn＋1＝an＋2－2n＋2＋1，

得an＋2＝3an＋1＋2n＋1.

又a1＝1，a2＝5也满足a2＝3a1＋21，

所以an＋1＝3an＋2n对n∈N*成立．

所以an＋1＋2n＋1＝3(an＋2n)．

所以an＋2n＝3n.所以an＝3n－2n.

2．(2019年山西吕梁模拟)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝2an－n＋1，数列{bn}满足b1＝2，bn＋1＝bn＋an－n.

(1)证明：{an－n}为等比数列；

(2)数列{cn}满足cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，求证：Tn<.

【证明】(1)∵an＋1＝2an－n＋1，

∴an＋1－(n＋1)＝2(an－n)．

又∵a1－1＝2，∴{an－n}是以2为首项，2为公比的等比数列．

(2)由(1)知bn－b1＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＝2n－1＋2n－2＋…＋2＝2n－2，则bn＝2n.

cn＝＝－，

∴Tn＝－＋－＋…＋－＝－<.

3．已知数列{an}的各项均为正数，且a－2nan－(2n＋1)＝0，n∈N*.

(1)求an；

(2)若bn＝(－1)n－1an，求数列{bn}的前n项和Tn.

【解析】(1)由a－2nan－(2n＋1)＝0，得[an－(2n＋1)]·(an＋1)＝0，

∴an＝2n＋1或an＝－1.

又∵数列{an}的各项均为正数，∴an＝2n＋1.

(2)∵bn＝(－1)n－1an＝(－1)n－1·(2n＋1)，

∴Tn＝3－5＋7－9＋…＋(－1)n－1·(2n＋1)．

当n为偶数时，Tn＝－2×＝－n；

当n为奇数时，Tn＝Tn－1＋an＝－(n－1)＋2n＋1＝n＋2.

4．已知数列{an}是公差为正数的等差数列，数列{bn}为等比数列，且a1＝1，a2＝b2，a5＝b3，a14＝b4.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)对任意给定的k∈N*，是否存在p，r∈N*(k＜p＜r)使，，成等差数列？若存在，用k分别表示p和r(只要写出一组即可)；若不存在，请说明理由．

【解析】(1)设数列{an}的公差为d，则a2＝1＋d，a5＝1＋4d，a14＝1＋13d，

即b2＝1＋d，b3＝1＋4d，b4＝1＋13d，∴(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)，解得d＝2或d＝0(舍去)，∴d＝2.

∴an＝1＋2(n－1)，即an＝2n－1.

又b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，

∴{bn}的公比q＝＝＝3，

∴bn＝b2qn－2＝3×3n－2，即bn＝3n－1.

(2)当k＝1时，若存在p，r，使，，成等差数列，则＝－＝－＝.

∵p≥2，∴ar＜0，与数列{an}为正项数列相矛盾．

∴当k＝1时不存在．

当k≥2时，设ak＝x，ap＝y，ar＝z，则＋＝，

∴z＝.

令y＝2x－1，得z＝xy＝x(2x－1)，此时ak＝x＝2k－1，ap＝y＝2x－1＝2(2k－1)－1，

∴p＝2k－1，ar＝z＝(2k－1)(4k－3)＝2(4k2－5k＋2)－1.∴r＝4k2－5k＋2.

综上，当k＝1时，不存在p，r；

当k≥2时，存在p＝2k－1，r＝4k2－5k＋2满足要求．