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人教版 (2019)必修 第一册3 匀变速直线运动的位移与时间的关系学案及答案
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这是一份人教版 (2019)必修 第一册3 匀变速直线运动的位移与时间的关系学案及答案，共16页。学案主要包含了匀速直线运动的位移，速度与位移的关系等内容，欢迎下载使用。
第3节 匀变速直线运动的位移与时间的关系
学习目标
核心素养形成脉络
1．知道匀变速直线运动的位移与v－t图像中图线与坐标轴围成面积的关系。
2．了解利用极限思想解决物理问题的方法。
3．理解匀变速直线运动的位移与时间的关系并会用来分析、解决问题。
4．会推导速度与位移的关系式，并知道匀变速直线运动的速度与位移的关系式中各物理量的含义。
5．会用公式v2－v＝2ax进行分析和计算。
一、匀速直线运动的位移
1．做匀速直线运动的物体在时间t内的位移x＝vt。
2．做匀速直线运动的物体，其v－t图像如图所示。根据位移计算公式，在下图中，图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积可以表示物体运动的位移。
二、匀变速直线运动的位移 []@%~2*022版新#教材教辅[]
1．位移在v－t图像中的表示：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v－t图像中的图线和时间轴包围的“面积”。 []*20~22版新教@材#^教辅[]
2．位移公式的推导
(1)上图中CB斜线下梯形的面积表示位移，面积S＝(OC＋AB)×OA，其中OC表示初速度v0，AB表示t时刻的速度v，OA表示时间t，代入上式得位移x＝(v0＋v)t；
(2)将速度公式v＝v0＋at代入上式得x＝v0t＋at2。 []20%2~2版新教^材教*辅[#]
3．(1)如果v0＝0，则x＝at2，表示初速度为零的匀加速直线运动的位移与时间的关系。
(2)如果a＝0，则x＝v0t，表示匀速直线运动的位移与时间的关系。
三、速度与位移的关系
1．公式
v2－v＝2ax。 []《优*@%化方案》#&教辅[]
2．推导
速度公式：v＝v0＋at；
位移公式：x＝v0t＋at2； []%#&*《优化方@案》教辅[]
由以上两式消去t得：v2－v＝2ax。 []《优化方案^》*@教%辅~[]
3．两种特殊形式
(1)当v0＝0时，v2＝2ax。
(2)当v＝0时，－v＝2ax。 []2022版&新^教@%#材教辅[]
1．判断下列说法是否正确。
(1)只有匀变速直线运动的v－t图像与t轴所围的面积等于物体的位移。( )
(2)位移公式x＝v0t＋at2仅适用于匀加速直线运动。( ) []20#~22%*版^新教材教辅[]
(3)初速度越大，时间越长，匀变速直线运动物体的位移一定越大。( )
(4)确定公式v2－v＝2ax中的四个物理量时，必须选取同一参考系。( ) []2&02~@2版新*教材教%辅[]
(5)在公式v2－v＝2ax中，x、v0、v、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。( )
提示：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2．(2020·甘肃天水高一期中)一物体由静止开始做匀变速直线运动，加速度为2 m/s2，则2 s末速度和位移分别为( )
A．4 m/s 4 m B．2 m/s 4 m
C．4 m/s 2 m D．2 m/s 2 m
解析：选A。2 s末速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s，位移x＝at2＝×2×22 m＝4 m，故选A。
3．(2020·山东济南月考)若有一个小孩从滑梯上由静止开始沿直线匀加速下滑。当他下滑距离为L时，速度为v，当它的速度是时，它沿斜面下滑的距离是( )
A． B．
C． D．
解析：选A。由题意知：v2＝2aL，＝2ax，解得x＝，A正确，B、C、D错误。 []《优~化@^方案&》#教辅[]
探究一 用v－t图像求位移
阅读教材P43页“拓展学习”，请用“无限分割”“逐渐逼近”的思想说明v－t图像与t轴所围面积表示位移。
[要点提示] 把物体的运动分成几个小段，如图甲，每段位移大小约等于每段起始时刻速度大小与每段时间的乘积，该乘积对应矩形面积。所以，整个过程的位移大小约等于各个小矩形面积之和。
把运动过程分为更多的小段，如图乙，各小矩形的面积之和可以更精确地表示物体在整个过程的位移大小。
把整个过程分得非常细，如图丙，小矩形合在一起成了一个梯形，梯形的面积就代表物体在相应时间间隔内的位移大小。
[]@%《优^化&方案#》教辅[]
对于任何形式的直线运动，物体在t时间内的位移都可以用v－t图线与t轴所包围的面积表示，如图所示。
[]20^22版新教材教辅@&#%[]
(1)当“面积”在t轴上方时，位移取正值，这表示物体的位移与规定的正方向相同。
(2)当“面积”在t轴下方时，位移取负值，这表示物体的位移与规定的正方向相反。 []《优化方案%》教~辅@[&*]
(3)物体的总位移等于各部分位移(正负面积)的代数和；物体通过的路程为t轴上、下“面积”绝对值的和。 []2#02*2版新@&教材~教辅[]
某一做直线运动的物体的v－t图像如图所示，根据图像求：
(1)物体距出发点的最远距离；
(2)前4 s内物体的位移； []2022~版新教材教@#*辅^[]
(3)前4 s内物体通过的路程。
[解析] (1)物体距出发点最远的距离 []202^%2~版新教材@教辅*[]
xm＝v1t1＝×4×3 m＝6 m； []20@2#2版%新教材教辅^[*]
(2)前4 s内的位移x＝x1－x2＝v1t1－v2t2＝×4×3 m－×2×1 m＝5 m，方向与初速度方向相同；
(3)前4 s内通过的路程s＝|x1|＋|x2|＝×4×3 m＋×2×1 m＝7 m。 []&%202^2版新教材教辅*#[]
[答案] (1)6 m (2)5 m，方向与初速度方向相同
(3)7 m
探究二 位移公式的理解和应用
1．公式的适用条件：位移公式x＝v0t＋at2只适用于匀变速直线运动。
2．公式的矢量性：公式x＝v0t＋at2为矢量公式，其中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。一般选v0的方向为正方向。
3．公式的两种特殊形式 []@2022版新教&材#~教辅^[]
(1)当a＝0时，x＝v0t(匀速直线运动)。
(2)当v0＝0时，x＝at2(由静止开始的匀加速直线运动)。
汽车做匀加速直线运动，初速度为10 m/s，若它在开始的10 s内位移为175 m，求： []2022版新教材教^辅&%[@~]
(1)它的加速度大小；
(2)在离出发点52 m处的速度大小；
(3)第7 s内的位移大小。 []2022~@版&新教材教辅#[%]
[解析] (1)由x＝v0t＋at2
得a＝＝ m/s2＝1.5 m/s2；
(2)由速度位移公式v2－v＝2ax []2@*022版新教#^材教辅&[]
解得v＝＝ m/s＝16 m/s；
(3)前7 s内的位移为x7＝v0t7＋at
前6 s内的位移为x6＝v0t6＋at
Δx＝x7－x6
联立解得Δx＝19.75 m。
[答案] (1)1.5 m/s2 (2)16 m/s (3)19.75 m
[针对训练1] 某质点从静止开始做匀加速直线运动，已知第3 s内通过的位移是x，则质点运动的加速度为( )
A． B． []《~^优*化%@方案》教辅[]
C． D．
解析：选C。方法一 质点由静止开始运动，由位移公式x＝at2可得质点在第3 s内的位移x＝a×32－a×22＝a，解得a＝，C正确。
方法二 质点由静止开始运动，设加速度为a，则在第3 s初速度为v＝2a，第3 s内位移为x＝v×1＋a×12＝a，解得a＝，C正确。 []*#《优化^方案%》教辅[@]
方法三 质点在第3 s内的平均速度等于其第2.5 s时的瞬时速度，则v2.5＝x，由v＝at得加速度为，C正确。
探究三 公式v2－v＝2ax的理解和应用
1．公式的适用条件：公式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关系，适用于匀变速直线运动。
2．公式的意义：公式2ax＝v2－v反映了初速度v0、末速度v、加速度a、位移x之间的关系，当其中三个物理量已知时，可求另一个未知量。 []#《优化方案%~》教^辅[@]
3．公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0方向为正方向。 []^202%2版新@教&材#教辅[]
(1)物体做加速运动时，a取正值，做减速运动时，a取负值。
(2)x>0，说明物体通过的位移方向与初速度方向相同；x<0，说明位移的方向与初速度的方向相反。
4．两种特殊形式：
(1)当v0＝0时，v2＝2ax(初速度为零的匀加速直线运动)。
(2)当v＝0时，－v＝2ax(末速度为零的匀减速直线运动)。
长100 m的列车通过长1 000 m的隧道时做匀加速直线运动，列车刚进隧道时的速度是10 m/s，完全出隧道时的速度是12 m/s，求：
(1)列车过隧道时的加速度的大小；
(2)列车通过隧道所用的时间。
[解析] (1)x＝1 000 m＋100 m＝1 100 m，v0＝10 m/s，
v＝12 m/s，由v2－v＝2ax得加速度a＝＝0.02 m/s2。
(2)由v＝v0＋at得所用时间为t＝＝100 s。
[答案] (1)0.02 m/s2 (2)100 s []#《~优化^方*案》教辅%[]
[针对训练2] 随着机动车数量的增加，交通安全问题日益凸显。一货车严重超载后的总质量为49 t，以54 km/h的速率匀速行驶。发现红灯时司机刹车，货车立即做匀减速直线运动，加速度的大小为2.5 m/s2(不超载时加速度大小为5 m/s2)。
(1)若前方无阻挡，问从刹车到停下来此货车在超载和不超载时分别前进多远？
(2)若超载货车刹车时正前方25 m处停着总质量为1 t的轿车，两车将发生碰撞，求相撞时货车的速度大小。
解析：(1)货车刹车时的速度大小为v0＝15 m/s，设加速度大小为a，末速度大小为v，刹车距离为x，根据匀变速直线运动的速度与位移的关系式得x＝，代入数据，得超载时x1＝45 m，不超载时x2＝22.5 m。
(2)超载货车刹车时与轿车相距25 m，由v－v2＝2ax知
相撞时货车的速度 []2022%&^版新@#教材教辅[]
v＝＝ m/s＝10 m/s。 []20%2*2^版新教材教辅@[~]
答案：(1)45 m 22.5 m (2)10 m/s []《优~化方@案%》#&教辅[]
探究四 “刹车类”问题
1．刹车类问题一般视为汽车做匀减速直线运动且停下后不能做反向的运动。
2．处理该类问题时，首先要判断刹车后经多长时间速度变为零(即刹车时间)。
(1)若所给时间大于刹车时间，则v＝0，x＝v0t0＋at(t0为刹车时间)，或x＝－。
(2)若所给时间小于刹车时间，则v＝v0＋at，x＝v0t＋at2，t为所给时间。
(2020·福建厦门一中月考)汽车匀减速刹车，初速度大小为7 m/s，第1 s内的位移大小为6 m，求： []%2022版^新@教材*教&辅[]
(1)汽车刹车的加速度大小；
(2)汽车刹车后4 s内的位移大小。 []^@《优化方&案》教辅*[~]
[解析] (1)根据匀变速直线运动的位移时间关系x＝v0t＋at2可得汽车运动的加速度a＝＝－2 m/s2，负号表示加速度的方向与初速度的方向相反，加速度的大小为2 m/s2。
(2)根据速度时间关系知汽车停车时间t＝＝3.5 s， []&《~优化方案》教%辅[@^]
故汽车刹车后4 s内的位移等于汽车刹车后3.5 s内的位移x＝at2＝×2×3.52 m＝12.25 m。
[答案] (1)2 m/s2 (2)12.25 m []@2#02%2版新教材^教辅*[]
[]2@*022版新教#^材教辅~[]
1．(“刹车类”问题)(多选)(2020·儋州市一中期中)一辆汽车开始刹车后运动的位移随时间变化的规律是x＝10t－2t2，x和t的单位分别是m和s，以下说法正确的是( )
A．初速度v0＝10 m/s，加速度大小a＝4 m/s2
B．初速度v0＝4 m/s，加速度大小a＝10 m/s2 []20*2~2#版@新教^材教辅[]
C．汽车刹车到停止所用时间为5 s
D．汽车刹车后4 s内的位移是12.5 m
解析：选AD。根据x＝v0t＋at2＝10t－2t2可得v0＝10 m/s，a＝－4 m/s2，即初速度为10 m/s，加速度大小为4 m/s2，故A正确，B错误；汽车速度减为零的时间为t0＝＝ s＝2.5 s，则刹车后4 s内的位移为x＝ t0＝×2.5 m＝12.5 m，故C错误，D正确。
2．(用v－t图像求位移)一质点的v－t图像如图所示，求它在前2 s内和前4 s 内的位移。
解析：位移大小等于图线与时间轴t所围成的面积，在前2 s内的位移x1＝2×5× m＝5 m；在后2 s内的位移x2＝(4－2)×(－5)× m＝－5 m，所以质点在前4 s内的位移x＝x1＋x2＝5 m－5 m＝0。
答案：5 m 0
3.
(公式v2－v＝2ax的理解和应用)(2020·山东潍坊高一期中)汽车在路上出现故障时，应在车后放置三角警示牌(如图所示)，以提醒后面驾车司机，减速安全通过。在夜间，有一货车因故障抛锚，后面有一小轿车以30 m/s的速度向前驶来，由于夜间视线不好，小轿车驾驶员只能看清前方50 m 的物体，并且他的反应时间为0.6 s，制动后最大加速度为5 m/s2。求： []20^22版新#&教*材教%辅[]
(1)小轿车从刹车到停止所用的最短时间；
(2)三角警示牌至少要放在车后多远处，才能有效避免两车相撞。 []%《优~化方&案@》*教辅[]
解析：(1)设从刹车到停止所用的最短时间为t2，则t2＝＝6 s。
(2)反应时间内做匀速运动，则x1＝v0t1，x1＝18 m，从刹车到停止的位移为x2，则x2＝，x2＝90 m，小轿车从发现警示牌到停止的全部距离为x＝x1＋x2＝108 m，Δx＝x－50 m＝58 m。
答案：(1)6 s (2)58 m
(限时：35分钟)
【合格考练】
1．一物体做匀变速直线运动，下列说法正确的是( ) []%2022&*版新^~教材教辅[]
A．物体的末速度与时间成正比
B．物体的位移与时间的平方成正比
C．物体的速度在一段时间内的变化量与这段时间成正比
D．若是匀加速运动，位移和速度随时间增加；若是匀减速运动，位移和速度随时间减小 []@%~2*0#22版新教材教辅[]
解析：选C。根据v＝v0＋at和x＝v0t＋at2可知，只有在初速度为0的情况下，速度与时间成正比，位移与时间的平方成正比，故A、B错误；由a＝可知，a一定，则物体的速度在一段时间内的变化量与这段时间成正比，故C正确；当物体做匀减速运动时，速度减小但位移可能增大，故D错误。
2．关于质点做匀速直线运动的位移—时间图像，以下说法正确的是( )
A．图线代表质点运动的轨迹
B．图线的长度代表质点的路程 []~%《优化方案^*》教#辅[]
C．图像是一条直线，其长度表示质点的位移大小，每一点代表质点的位置
D．利用x－t图像可知质点任意时间内的位移及发生某段位移所用的时间 []《优化#方案》^&*教辅@[]
解析：选D。位移—时间图像描述位移随时间的变化规律，图线不是质点的运动轨迹，图线的长度不是质点的路程或位移大小，A、B、C错误；位移—时间图像的横坐标表示时间，纵坐标表示位移，所以，从图像中可知质点任意时间内的位移和发生任意位移所用的时间，D正确。
3．(2020·徐州高一检测)做匀减速直线运动的物体的加速度大小为a，初速度大小是v0，经过时间t速度减小到0，则它在这段时间内的位移大小表达错误的是( )
A．v0t＋at2 B．v0t－at2
C．t D．at2
解析：选A。根据位移公式可知，B正确，A错误；若将该运动反过来看，则是初速度为0的匀加速直线运动，D正确；因为末速度等于0，故v0＝at代入x＝v0t－at2得x＝t，C正确。
4．一可视为质点的物体以初速度v0＝20 m/s从斜面底部沿光滑斜面匀减速向上滑动，当上滑距离x0＝30 m时，速度减为v＝10 m/s，物体恰滑到斜面顶部速度为0，则斜面长度为( )
A．40 m B．50 m []2&022版新%教材~教@辅#[]
C．32 m D．60 m
解析：选A。设质点运动过程中加速度大小为a、斜面的长度为L，由速度与位移的关系式可得v2－v＝2(－a)·x0、0－v＝2(－a)L，解得L＝40 m，A正确。
5．(2020·北京四中高一检测)交警在处理某次交通事故时，通过监控仪器扫描，输入计算机后得到该汽车在水平面上刹车过程中的位移随时间变化的规律为x＝20t－2t2(x的单位是m，t的单位是s)。则该汽车在路面上留下的刹车痕迹长度为( )
A．25 m B．50 m
C．100 m D．200 m
解析：选B。根据x＝20t－2t2可知，该汽车初速度v0＝20 m/s，加速度a＝－4 m/s2，刹车时间t＝＝s＝5 s，刹车后做匀减速运动的位移为刹车痕迹长度，根据x＝v0t＋at2得x＝20×5 m－×4×52 m＝50 m，B正确。 []2&022%^版新#教材教辅[*]
6．一辆汽车正在平直的公路上以72 km/h的速度行驶，司机看见红色信号灯便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动。设汽车减速过程的加速度大小为5 m/s2，求： []20^%22版新&教材~#教辅[]
(1)开始制动后，前2 s内汽车行驶的距离；
(2)开始制动后，前5 s内汽车行驶的距离。
解析：汽车的初速度v0＝72 km/h＝20 m/s，末速度v＝0，加速度a＝－5 m/s2，汽车运动的时间t＝＝＝4 s。
(1)因为t1＝2 s＜t，所以汽车2 s末没有停止运动，故
x1＝v0t1＋at＝(20×2－×5×22) m＝30 m。
(2)因为t2＝5 s＞t，所以汽车5 s末已停止运动，可应用逆向思维法，把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，则有x2＝at2＝×5×42 m＝40 m。
答案：(1)30 m (2)40 m
【等级考练】
7．(2020·甘肃白银高一期中)国庆期间，京津冀地区PM2.5平均浓度维持在250 μg/m3左右，出现严重污染。已知汽车在京津高速上行驶限速120 km/h，由于雾霾的影响，某人开车在此段高速公路上行驶时，能见度(观察者与能看见的最远目标间的距离)为50 m，该人的反应时间为0.5 s，汽车刹车时能产生的最大加速度的大小为5 m/s2，为安全行驶，汽车行驶的最大速度是( )
A．10 m/s B．15 m/s
C．20 m/s D．25 m/s
解析：选C。设汽车行驶的最大速度为v，则有：vt0＋＝x，即0.5v＋＝50，解得v＝20 m/s。 []~《&优化%方^案》教辅*[]
8．(2020·山西太原五中月考)一辆汽车在平直的公路上匀速行驶，由于前方出现险情，司机采取紧急刹车，刹车后汽车的速度与时间关系为v＝20－4t(v单位为m/s，t单位为s)，则下列说法中正确的是( ) []~#《优*化方案》教&辅[^]
A．汽车刹车的加速度大小为4 m/s2
B．刹车后6 s内汽车的平均速度为10 m/s
C．刹车后6 s内汽车的平均速度为4 m/s []2022%版@新教材*教^辅[~]
D．刹车后3 s内的位移为50 m
解析：选A。根据速度时间关系v＝v0＋at与汽车的速度与时间关系为v＝20－4t，比较系数可得v0＝20 m/s，a＝－4 m/s2，故A正确；汽车从刹车到停止运动的时间为t0＝＝ s＝5 s，刹车后6 s内汽车的位移为5 s内运动的位移x6＝＝ m＝50 m，刹车后6 s内汽车的平均速度为＝＝ m/s＝ m/s，故B、C错误；刹车后3 s内的位移为x3＝v0t－at2＝20×3－×4×32 m＝42 m，故D错误。 []《@优化方案&》教*辅[%~]
9．(2020·陕西安康月考)一个质点做匀变速直线运动，依次经过a、b、c、d四点。已知经过ab、bc和cd的时间分别为t、2t、3t，ac和bd的位移分别为x1和x2，则质点经过c点时的瞬时速度为( )
A． B． []&《~优化方案》教%辅[^@]
C． D．
解析：选B。设a点的速度为v，则有
x1＝v·3t＋a×(3t)2
x2＝(v＋at)×5t＋a×(5t)2
联立解得a＝，且有v－v2＝2ax1，
联立解得vc＝。
10．(2020·广东广州一模)高速公路的ETC电子收费系统如图所示，ETC通道的长度是识别区起点到自动栏杆的水平距离。某汽车以21.6 km/h的速度匀速进入识别区，ETC天线用了0.3 s的时间识别车载电子标签，识别完成后发出“滴”的一声，司机发现自动栏杆没有抬起，于是采取制动刹车，汽车刚好没有撞杆。已知司机的反应时间为0.7 s，刹车的加速度大小为5 m/s2，则该ETC通道的长度约为( )
A．4.2 m B．6.0 m
C．7.8 m D．9.6 m []《@#优化方案~&*》教辅[]
解析：选D。21.6 km/h＝6 m/s；汽车在前0.3 s＋0.7 s内做匀速直线运动，位移为：x1＝6×(0.3＋0.7) m＝6 m；随后汽车做减速运动，位移为：x2＝＝ m＝3.6 m；所以该ETC通道的长度为：L＝x1＋x2＝6 m＋3.6 m＝9.6 m，故A、B、C错误，D正确。
11．如图所示的是甲、乙两物体的v－t图像，在0～t2时间内甲一直做匀加速直线运动，乙先做匀减速到速度为0，再做匀加速直线运动，t2<2t1，关于两物体在0～t2时间内运动的位移大小关系正确的是( )
A．x甲＝2x乙 B．x甲>2x乙
C．x甲<2x乙 D．以上三种情况都可能
解析：选B。从速度图像上比较位移，可直接比较速度图线与时间轴所围面积。如图所示，0～t1时间内甲物体的位移大于乙物体位移的2倍，t1～t2时间内甲物体的位移小于乙物体位移的2倍，但由于t2<2t1，则图中标号为1的三角形面积必大于标号为2的三角形面积，故甲的位移必大于乙位移的2倍，B正确。
[]202*2版~#新@教材^教辅[]
12．某市规定，汽车在学校门前大路上的行驶速度不得超过40 km/h。一辆汽车在校门前大路上遇紧急情况刹车，由于车轮抱死，滑行时在大路上留下一道笔直的车痕。交警测量了车痕长度x＝9 m，又从监控录像上确定了该车从刹车到停止运动的时间t＝1.5 s，立即判断出这辆车超速，这是为什么？
解析：方法一 速度判断法
由于x＝9 m，t＝1.5 s，所以由＝得平均速度＝ m/s＝6 m/s。又因为＝，所以刹车前汽车的速度v0＝2＝2×6 m/s＝12 m/s＝43.2 km/h。
因为43.2 km/h>40 km/h，所以此车超速。
方法二 位移判断法
设汽车恰以v0＝40 km/h＝ m/s的速度行驶，则刹车后1.5 s汽车停下，汽车刹车时的加速度a＝＝＝－ m/s2，以此加速度刹车，刹车位移x′＝v0t＋at2≈8.33 m，因为8.33 m<9 m，所以此车超速。
答案：见解析
第3节 匀变速直线运动的位移与时间的关系
学习目标
核心素养形成脉络
1．知道匀变速直线运动的位移与v－t图像中图线与坐标轴围成面积的关系。
2．了解利用极限思想解决物理问题的方法。
3．理解匀变速直线运动的位移与时间的关系并会用来分析、解决问题。
4．会推导速度与位移的关系式，并知道匀变速直线运动的速度与位移的关系式中各物理量的含义。
5．会用公式v2－v＝2ax进行分析和计算。
一、匀速直线运动的位移
1．做匀速直线运动的物体在时间t内的位移x＝vt。
2．做匀速直线运动的物体，其v－t图像如图所示。根据位移计算公式，在下图中，图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积可以表示物体运动的位移。
二、匀变速直线运动的位移 []@%~2*022版新#教材教辅[]
1．位移在v－t图像中的表示：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v－t图像中的图线和时间轴包围的“面积”。 []*20~22版新教@材#^教辅[]
2．位移公式的推导
(1)上图中CB斜线下梯形的面积表示位移，面积S＝(OC＋AB)×OA，其中OC表示初速度v0，AB表示t时刻的速度v，OA表示时间t，代入上式得位移x＝(v0＋v)t；
(2)将速度公式v＝v0＋at代入上式得x＝v0t＋at2。 []20%2~2版新教^材教*辅[#]
3．(1)如果v0＝0，则x＝at2，表示初速度为零的匀加速直线运动的位移与时间的关系。
(2)如果a＝0，则x＝v0t，表示匀速直线运动的位移与时间的关系。
三、速度与位移的关系
1．公式
v2－v＝2ax。 []《优*@%化方案》#&教辅[]
2．推导
速度公式：v＝v0＋at；
位移公式：x＝v0t＋at2； []%#&*《优化方@案》教辅[]
由以上两式消去t得：v2－v＝2ax。 []《优化方案^》*@教%辅~[]
3．两种特殊形式
(1)当v0＝0时，v2＝2ax。
(2)当v＝0时，－v＝2ax。 []2022版&新^教@%#材教辅[]
1．判断下列说法是否正确。
(1)只有匀变速直线运动的v－t图像与t轴所围的面积等于物体的位移。( )
(2)位移公式x＝v0t＋at2仅适用于匀加速直线运动。( ) []20#~22%*版^新教材教辅[]
(3)初速度越大，时间越长，匀变速直线运动物体的位移一定越大。( )
(4)确定公式v2－v＝2ax中的四个物理量时，必须选取同一参考系。( ) []2&02~@2版新*教材教%辅[]
(5)在公式v2－v＝2ax中，x、v0、v、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。( )
提示：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2．(2020·甘肃天水高一期中)一物体由静止开始做匀变速直线运动，加速度为2 m/s2，则2 s末速度和位移分别为( )
A．4 m/s 4 m B．2 m/s 4 m
C．4 m/s 2 m D．2 m/s 2 m
解析：选A。2 s末速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s，位移x＝at2＝×2×22 m＝4 m，故选A。
3．(2020·山东济南月考)若有一个小孩从滑梯上由静止开始沿直线匀加速下滑。当他下滑距离为L时，速度为v，当它的速度是时，它沿斜面下滑的距离是( )
A． B．
C． D．
解析：选A。由题意知：v2＝2aL，＝2ax，解得x＝，A正确，B、C、D错误。 []《优~化@^方案&》#教辅[]
探究一 用v－t图像求位移
阅读教材P43页“拓展学习”，请用“无限分割”“逐渐逼近”的思想说明v－t图像与t轴所围面积表示位移。
[要点提示] 把物体的运动分成几个小段，如图甲，每段位移大小约等于每段起始时刻速度大小与每段时间的乘积，该乘积对应矩形面积。所以，整个过程的位移大小约等于各个小矩形面积之和。
把运动过程分为更多的小段，如图乙，各小矩形的面积之和可以更精确地表示物体在整个过程的位移大小。
把整个过程分得非常细，如图丙，小矩形合在一起成了一个梯形，梯形的面积就代表物体在相应时间间隔内的位移大小。
[]@%《优^化&方案#》教辅[]
对于任何形式的直线运动，物体在t时间内的位移都可以用v－t图线与t轴所包围的面积表示，如图所示。
[]20^22版新教材教辅@&#%[]
(1)当“面积”在t轴上方时，位移取正值，这表示物体的位移与规定的正方向相同。
(2)当“面积”在t轴下方时，位移取负值，这表示物体的位移与规定的正方向相反。 []《优化方案%》教~辅@[&*]
(3)物体的总位移等于各部分位移(正负面积)的代数和；物体通过的路程为t轴上、下“面积”绝对值的和。 []2#02*2版新@&教材~教辅[]
某一做直线运动的物体的v－t图像如图所示，根据图像求：
(1)物体距出发点的最远距离；
(2)前4 s内物体的位移； []2022~版新教材教@#*辅^[]
(3)前4 s内物体通过的路程。
[解析] (1)物体距出发点最远的距离 []202^%2~版新教材@教辅*[]
xm＝v1t1＝×4×3 m＝6 m； []20@2#2版%新教材教辅^[*]
(2)前4 s内的位移x＝x1－x2＝v1t1－v2t2＝×4×3 m－×2×1 m＝5 m，方向与初速度方向相同；
(3)前4 s内通过的路程s＝|x1|＋|x2|＝×4×3 m＋×2×1 m＝7 m。 []&%202^2版新教材教辅*#[]
[答案] (1)6 m (2)5 m，方向与初速度方向相同
(3)7 m
探究二 位移公式的理解和应用
1．公式的适用条件：位移公式x＝v0t＋at2只适用于匀变速直线运动。
2．公式的矢量性：公式x＝v0t＋at2为矢量公式，其中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。一般选v0的方向为正方向。
3．公式的两种特殊形式 []@2022版新教&材#~教辅^[]
(1)当a＝0时，x＝v0t(匀速直线运动)。
(2)当v0＝0时，x＝at2(由静止开始的匀加速直线运动)。
汽车做匀加速直线运动，初速度为10 m/s，若它在开始的10 s内位移为175 m，求： []2022版新教材教^辅&%[@~]
(1)它的加速度大小；
(2)在离出发点52 m处的速度大小；
(3)第7 s内的位移大小。 []2022~@版&新教材教辅#[%]
[解析] (1)由x＝v0t＋at2
得a＝＝ m/s2＝1.5 m/s2；
(2)由速度位移公式v2－v＝2ax []2@*022版新教#^材教辅&[]
解得v＝＝ m/s＝16 m/s；
(3)前7 s内的位移为x7＝v0t7＋at
前6 s内的位移为x6＝v0t6＋at
Δx＝x7－x6
联立解得Δx＝19.75 m。
[答案] (1)1.5 m/s2 (2)16 m/s (3)19.75 m
[针对训练1] 某质点从静止开始做匀加速直线运动，已知第3 s内通过的位移是x，则质点运动的加速度为( )
A． B． []《~^优*化%@方案》教辅[]
C． D．
解析：选C。方法一 质点由静止开始运动，由位移公式x＝at2可得质点在第3 s内的位移x＝a×32－a×22＝a，解得a＝，C正确。
方法二 质点由静止开始运动，设加速度为a，则在第3 s初速度为v＝2a，第3 s内位移为x＝v×1＋a×12＝a，解得a＝，C正确。 []*#《优化^方案%》教辅[@]
方法三 质点在第3 s内的平均速度等于其第2.5 s时的瞬时速度，则v2.5＝x，由v＝at得加速度为，C正确。
探究三 公式v2－v＝2ax的理解和应用
1．公式的适用条件：公式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关系，适用于匀变速直线运动。
2．公式的意义：公式2ax＝v2－v反映了初速度v0、末速度v、加速度a、位移x之间的关系，当其中三个物理量已知时，可求另一个未知量。 []#《优化方案%~》教^辅[@]
3．公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0方向为正方向。 []^202%2版新@教&材#教辅[]
(1)物体做加速运动时，a取正值，做减速运动时，a取负值。
(2)x>0，说明物体通过的位移方向与初速度方向相同；x<0，说明位移的方向与初速度的方向相反。
4．两种特殊形式：
(1)当v0＝0时，v2＝2ax(初速度为零的匀加速直线运动)。
(2)当v＝0时，－v＝2ax(末速度为零的匀减速直线运动)。
长100 m的列车通过长1 000 m的隧道时做匀加速直线运动，列车刚进隧道时的速度是10 m/s，完全出隧道时的速度是12 m/s，求：
(1)列车过隧道时的加速度的大小；
(2)列车通过隧道所用的时间。
[解析] (1)x＝1 000 m＋100 m＝1 100 m，v0＝10 m/s，
v＝12 m/s，由v2－v＝2ax得加速度a＝＝0.02 m/s2。
(2)由v＝v0＋at得所用时间为t＝＝100 s。
[答案] (1)0.02 m/s2 (2)100 s []#《~优化^方*案》教辅%[]
[针对训练2] 随着机动车数量的增加，交通安全问题日益凸显。一货车严重超载后的总质量为49 t，以54 km/h的速率匀速行驶。发现红灯时司机刹车，货车立即做匀减速直线运动，加速度的大小为2.5 m/s2(不超载时加速度大小为5 m/s2)。
(1)若前方无阻挡，问从刹车到停下来此货车在超载和不超载时分别前进多远？
(2)若超载货车刹车时正前方25 m处停着总质量为1 t的轿车，两车将发生碰撞，求相撞时货车的速度大小。
解析：(1)货车刹车时的速度大小为v0＝15 m/s，设加速度大小为a，末速度大小为v，刹车距离为x，根据匀变速直线运动的速度与位移的关系式得x＝，代入数据，得超载时x1＝45 m，不超载时x2＝22.5 m。
(2)超载货车刹车时与轿车相距25 m，由v－v2＝2ax知
相撞时货车的速度 []2022%&^版新@#教材教辅[]
v＝＝ m/s＝10 m/s。 []20%2*2^版新教材教辅@[~]
答案：(1)45 m 22.5 m (2)10 m/s []《优~化方@案%》#&教辅[]
探究四 “刹车类”问题
1．刹车类问题一般视为汽车做匀减速直线运动且停下后不能做反向的运动。
2．处理该类问题时，首先要判断刹车后经多长时间速度变为零(即刹车时间)。
(1)若所给时间大于刹车时间，则v＝0，x＝v0t0＋at(t0为刹车时间)，或x＝－。
(2)若所给时间小于刹车时间，则v＝v0＋at，x＝v0t＋at2，t为所给时间。
(2020·福建厦门一中月考)汽车匀减速刹车，初速度大小为7 m/s，第1 s内的位移大小为6 m，求： []%2022版^新@教材*教&辅[]
(1)汽车刹车的加速度大小；
(2)汽车刹车后4 s内的位移大小。 []^@《优化方&案》教辅*[~]
[解析] (1)根据匀变速直线运动的位移时间关系x＝v0t＋at2可得汽车运动的加速度a＝＝－2 m/s2，负号表示加速度的方向与初速度的方向相反，加速度的大小为2 m/s2。
(2)根据速度时间关系知汽车停车时间t＝＝3.5 s， []&《~优化方案》教%辅[@^]
故汽车刹车后4 s内的位移等于汽车刹车后3.5 s内的位移x＝at2＝×2×3.52 m＝12.25 m。
[答案] (1)2 m/s2 (2)12.25 m []@2#02%2版新教材^教辅*[]
[]2@*022版新教#^材教辅~[]
1．(“刹车类”问题)(多选)(2020·儋州市一中期中)一辆汽车开始刹车后运动的位移随时间变化的规律是x＝10t－2t2，x和t的单位分别是m和s，以下说法正确的是( )
A．初速度v0＝10 m/s，加速度大小a＝4 m/s2
B．初速度v0＝4 m/s，加速度大小a＝10 m/s2 []20*2~2#版@新教^材教辅[]
C．汽车刹车到停止所用时间为5 s
D．汽车刹车后4 s内的位移是12.5 m
解析：选AD。根据x＝v0t＋at2＝10t－2t2可得v0＝10 m/s，a＝－4 m/s2，即初速度为10 m/s，加速度大小为4 m/s2，故A正确，B错误；汽车速度减为零的时间为t0＝＝ s＝2.5 s，则刹车后4 s内的位移为x＝ t0＝×2.5 m＝12.5 m，故C错误，D正确。
2．(用v－t图像求位移)一质点的v－t图像如图所示，求它在前2 s内和前4 s 内的位移。
解析：位移大小等于图线与时间轴t所围成的面积，在前2 s内的位移x1＝2×5× m＝5 m；在后2 s内的位移x2＝(4－2)×(－5)× m＝－5 m，所以质点在前4 s内的位移x＝x1＋x2＝5 m－5 m＝0。
答案：5 m 0
3.
(公式v2－v＝2ax的理解和应用)(2020·山东潍坊高一期中)汽车在路上出现故障时，应在车后放置三角警示牌(如图所示)，以提醒后面驾车司机，减速安全通过。在夜间，有一货车因故障抛锚，后面有一小轿车以30 m/s的速度向前驶来，由于夜间视线不好，小轿车驾驶员只能看清前方50 m 的物体，并且他的反应时间为0.6 s，制动后最大加速度为5 m/s2。求： []20^22版新#&教*材教%辅[]
(1)小轿车从刹车到停止所用的最短时间；
(2)三角警示牌至少要放在车后多远处，才能有效避免两车相撞。 []%《优~化方&案@》*教辅[]
解析：(1)设从刹车到停止所用的最短时间为t2，则t2＝＝6 s。
(2)反应时间内做匀速运动，则x1＝v0t1，x1＝18 m，从刹车到停止的位移为x2，则x2＝，x2＝90 m，小轿车从发现警示牌到停止的全部距离为x＝x1＋x2＝108 m，Δx＝x－50 m＝58 m。
答案：(1)6 s (2)58 m
(限时：35分钟)
【合格考练】
1．一物体做匀变速直线运动，下列说法正确的是( ) []%2022&*版新^~教材教辅[]
A．物体的末速度与时间成正比
B．物体的位移与时间的平方成正比
C．物体的速度在一段时间内的变化量与这段时间成正比
D．若是匀加速运动，位移和速度随时间增加；若是匀减速运动，位移和速度随时间减小 []@%~2*0#22版新教材教辅[]
解析：选C。根据v＝v0＋at和x＝v0t＋at2可知，只有在初速度为0的情况下，速度与时间成正比，位移与时间的平方成正比，故A、B错误；由a＝可知，a一定，则物体的速度在一段时间内的变化量与这段时间成正比，故C正确；当物体做匀减速运动时，速度减小但位移可能增大，故D错误。
2．关于质点做匀速直线运动的位移—时间图像，以下说法正确的是( )
A．图线代表质点运动的轨迹
B．图线的长度代表质点的路程 []~%《优化方案^*》教#辅[]
C．图像是一条直线，其长度表示质点的位移大小，每一点代表质点的位置
D．利用x－t图像可知质点任意时间内的位移及发生某段位移所用的时间 []《优化#方案》^&*教辅@[]
解析：选D。位移—时间图像描述位移随时间的变化规律，图线不是质点的运动轨迹，图线的长度不是质点的路程或位移大小，A、B、C错误；位移—时间图像的横坐标表示时间，纵坐标表示位移，所以，从图像中可知质点任意时间内的位移和发生任意位移所用的时间，D正确。
3．(2020·徐州高一检测)做匀减速直线运动的物体的加速度大小为a，初速度大小是v0，经过时间t速度减小到0，则它在这段时间内的位移大小表达错误的是( )
A．v0t＋at2 B．v0t－at2
C．t D．at2
解析：选A。根据位移公式可知，B正确，A错误；若将该运动反过来看，则是初速度为0的匀加速直线运动，D正确；因为末速度等于0，故v0＝at代入x＝v0t－at2得x＝t，C正确。
4．一可视为质点的物体以初速度v0＝20 m/s从斜面底部沿光滑斜面匀减速向上滑动，当上滑距离x0＝30 m时，速度减为v＝10 m/s，物体恰滑到斜面顶部速度为0，则斜面长度为( )
A．40 m B．50 m []2&022版新%教材~教@辅#[]
C．32 m D．60 m
解析：选A。设质点运动过程中加速度大小为a、斜面的长度为L，由速度与位移的关系式可得v2－v＝2(－a)·x0、0－v＝2(－a)L，解得L＝40 m，A正确。
5．(2020·北京四中高一检测)交警在处理某次交通事故时，通过监控仪器扫描，输入计算机后得到该汽车在水平面上刹车过程中的位移随时间变化的规律为x＝20t－2t2(x的单位是m，t的单位是s)。则该汽车在路面上留下的刹车痕迹长度为( )
A．25 m B．50 m
C．100 m D．200 m
解析：选B。根据x＝20t－2t2可知，该汽车初速度v0＝20 m/s，加速度a＝－4 m/s2，刹车时间t＝＝s＝5 s，刹车后做匀减速运动的位移为刹车痕迹长度，根据x＝v0t＋at2得x＝20×5 m－×4×52 m＝50 m，B正确。 []2&022%^版新#教材教辅[*]
6．一辆汽车正在平直的公路上以72 km/h的速度行驶，司机看见红色信号灯便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动。设汽车减速过程的加速度大小为5 m/s2，求： []20^%22版新&教材~#教辅[]
(1)开始制动后，前2 s内汽车行驶的距离；
(2)开始制动后，前5 s内汽车行驶的距离。
解析：汽车的初速度v0＝72 km/h＝20 m/s，末速度v＝0，加速度a＝－5 m/s2，汽车运动的时间t＝＝＝4 s。
(1)因为t1＝2 s＜t，所以汽车2 s末没有停止运动，故
x1＝v0t1＋at＝(20×2－×5×22) m＝30 m。
(2)因为t2＝5 s＞t，所以汽车5 s末已停止运动，可应用逆向思维法，把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，则有x2＝at2＝×5×42 m＝40 m。
答案：(1)30 m (2)40 m
【等级考练】
7．(2020·甘肃白银高一期中)国庆期间，京津冀地区PM2.5平均浓度维持在250 μg/m3左右，出现严重污染。已知汽车在京津高速上行驶限速120 km/h，由于雾霾的影响，某人开车在此段高速公路上行驶时，能见度(观察者与能看见的最远目标间的距离)为50 m，该人的反应时间为0.5 s，汽车刹车时能产生的最大加速度的大小为5 m/s2，为安全行驶，汽车行驶的最大速度是( )
A．10 m/s B．15 m/s
C．20 m/s D．25 m/s
解析：选C。设汽车行驶的最大速度为v，则有：vt0＋＝x，即0.5v＋＝50，解得v＝20 m/s。 []~《&优化%方^案》教辅*[]
8．(2020·山西太原五中月考)一辆汽车在平直的公路上匀速行驶，由于前方出现险情，司机采取紧急刹车，刹车后汽车的速度与时间关系为v＝20－4t(v单位为m/s，t单位为s)，则下列说法中正确的是( ) []~#《优*化方案》教&辅[^]
A．汽车刹车的加速度大小为4 m/s2
B．刹车后6 s内汽车的平均速度为10 m/s
C．刹车后6 s内汽车的平均速度为4 m/s []2022%版@新教材*教^辅[~]
D．刹车后3 s内的位移为50 m
解析：选A。根据速度时间关系v＝v0＋at与汽车的速度与时间关系为v＝20－4t，比较系数可得v0＝20 m/s，a＝－4 m/s2，故A正确；汽车从刹车到停止运动的时间为t0＝＝ s＝5 s，刹车后6 s内汽车的位移为5 s内运动的位移x6＝＝ m＝50 m，刹车后6 s内汽车的平均速度为＝＝ m/s＝ m/s，故B、C错误；刹车后3 s内的位移为x3＝v0t－at2＝20×3－×4×32 m＝42 m，故D错误。 []《@优化方案&》教*辅[%~]
9．(2020·陕西安康月考)一个质点做匀变速直线运动，依次经过a、b、c、d四点。已知经过ab、bc和cd的时间分别为t、2t、3t，ac和bd的位移分别为x1和x2，则质点经过c点时的瞬时速度为( )
A． B． []&《~优化方案》教%辅[^@]
C． D．
解析：选B。设a点的速度为v，则有
x1＝v·3t＋a×(3t)2
x2＝(v＋at)×5t＋a×(5t)2
联立解得a＝，且有v－v2＝2ax1，
联立解得vc＝。
10．(2020·广东广州一模)高速公路的ETC电子收费系统如图所示，ETC通道的长度是识别区起点到自动栏杆的水平距离。某汽车以21.6 km/h的速度匀速进入识别区，ETC天线用了0.3 s的时间识别车载电子标签，识别完成后发出“滴”的一声，司机发现自动栏杆没有抬起，于是采取制动刹车，汽车刚好没有撞杆。已知司机的反应时间为0.7 s，刹车的加速度大小为5 m/s2，则该ETC通道的长度约为( )
A．4.2 m B．6.0 m
C．7.8 m D．9.6 m []《@#优化方案~&*》教辅[]
解析：选D。21.6 km/h＝6 m/s；汽车在前0.3 s＋0.7 s内做匀速直线运动，位移为：x1＝6×(0.3＋0.7) m＝6 m；随后汽车做减速运动，位移为：x2＝＝ m＝3.6 m；所以该ETC通道的长度为：L＝x1＋x2＝6 m＋3.6 m＝9.6 m，故A、B、C错误，D正确。
11．如图所示的是甲、乙两物体的v－t图像，在0～t2时间内甲一直做匀加速直线运动，乙先做匀减速到速度为0，再做匀加速直线运动，t2<2t1，关于两物体在0～t2时间内运动的位移大小关系正确的是( )
A．x甲＝2x乙 B．x甲>2x乙
C．x甲<2x乙 D．以上三种情况都可能
解析：选B。从速度图像上比较位移，可直接比较速度图线与时间轴所围面积。如图所示，0～t1时间内甲物体的位移大于乙物体位移的2倍，t1～t2时间内甲物体的位移小于乙物体位移的2倍，但由于t2<2t1，则图中标号为1的三角形面积必大于标号为2的三角形面积，故甲的位移必大于乙位移的2倍，B正确。
[]202*2版~#新@教材^教辅[]
12．某市规定，汽车在学校门前大路上的行驶速度不得超过40 km/h。一辆汽车在校门前大路上遇紧急情况刹车，由于车轮抱死，滑行时在大路上留下一道笔直的车痕。交警测量了车痕长度x＝9 m，又从监控录像上确定了该车从刹车到停止运动的时间t＝1.5 s，立即判断出这辆车超速，这是为什么？
解析：方法一 速度判断法
由于x＝9 m，t＝1.5 s，所以由＝得平均速度＝ m/s＝6 m/s。又因为＝，所以刹车前汽车的速度v0＝2＝2×6 m/s＝12 m/s＝43.2 km/h。
因为43.2 km/h>40 km/h，所以此车超速。
方法二 位移判断法
设汽车恰以v0＝40 km/h＝ m/s的速度行驶，则刹车后1.5 s汽车停下，汽车刹车时的加速度a＝＝＝－ m/s2，以此加速度刹车，刹车位移x′＝v0t＋at2≈8.33 m，因为8.33 m<9 m，所以此车超速。
答案：见解析
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